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2015-2016学年江西于都中学高二数学教案:第一讲坐标系(8份) 北师大版7(优秀教案)

第八课时

球坐标系与柱坐标系

一、教学目的: 知识目标:了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法 能力目标:了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。 德育目标:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。
二、重难点:教学重点:体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联 系。
教学难点:利用它们进行简单的数学应用。 三、教学方法:启发、诱导发现教学. 四、教学过程: (一)、复习引入:
情境:我们用三个数据来确定卫星的位置,即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。 问题:如何在空间里确定点的位置?有哪些方法? 学生回顾 在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法 极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理 (二)、讲解新课: 、球坐标系
设是空间任意一点,在平面的射影为,连接,记 r ,与轴正向所夹的角为? ,在平 面的射影为,轴按逆时针方向旋转到时所转过的最小正角为? ,点的位置可以用有序数组

(r,? ,?) 表示,我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)

有序数组 (r,? ,?) 叫做点的球坐标,其中 r ≥,≤? ≤? ,≤? <? 。

空间点的直角坐标 (x, y, z) 与球坐标 (r,? ,?) 之间的变换关系为:

?x2 ? y2 ? z2 ? r2

??x ? r sin? cos?

? ?

y

?

r

sin ?

sin

?

??z ? r cos?

M

O r

Z P

、柱坐标系

设是空间任意一点,在平面的射影为,用(ρ ,θ )(ρ ≥≤θ <π )表示点在

平面上的极坐标,点的位置可用有序数组(ρ ,θ )表示把建立上述对应关系的坐标系叫做

柱坐标系

有序数组(ρ ,θ , )叫点的柱坐标,其中ρ ≥, ≤θ <π , ∈

空间点的直角坐标(, , )与柱坐标(ρ ,θ )之间的变换关系为:

?x ? ? cos?

? ?

y

?

?

sin

?

?? z ? z

M

O r

Z P

、数学应用 例建立适当的球坐标系,表示棱长为的正方体的顶点. 变式训练:建立适当的柱坐标系, 表示棱长为的正方体的顶点.
例.将点的球坐标 (8, ? , 5? ) 化为直角坐标. 36
变式训练

.将点的直角坐标 (?1,?1, 2) 化为球坐标. .将点 的柱坐标 (4, ? ,8) 化为直角坐标.
3 .在直角坐标系中点 (a, a, a) (a >)的球坐标是什么?

例.球坐标满足方程的点所构成的图形是什么?并将此方程化为直角坐标方程.

变式训练

极坐标满足方程 ? 的点所构成的图形是什么?

例.已知点的柱坐标为 ( 2, ? ,3), 点的球坐标为 (2, ? , ? ), 求线段的长度.

4

42

思考:在球坐标系中,集合 M

?

???(r,? ,?) 2 ??

?

r

?

6,0

??

?

? 2

,0

??

?

2?

? ?

表示的图形

?

的体积为多少?

(三)、巩固练习:课本页练习 (四)、小结:本节课学习了以下内容:.球坐标系的作用与规则; .柱坐标系的作用与规 则。、球坐标、柱坐标、直角坐标的互化公式的理解与运用。
(五)、作业:课本页、、 五、教学反思:
学习是一件增长知识的工作,在茫茫的学海中,或许我们困苦过,在艰难的竞争中,或许我们疲劳过,在失败的阴影中,或许我们失望过。但我们发现自己的知识在慢慢的增长,从哑哑学语 的婴儿到无所不能的青年时,这种奇妙而巨大的变化怎能不让我们感到骄傲而自豪呢?当我们在学习中遇到困难而艰难的战胜时,当我们在漫长的奋斗后成功时,那种无与伦比的感受又有谁 能表达出来呢?因此学习更是一件愉快的事情,只要我们用另一种心态去体会,就会发现有学习的日子真好! 如果你热爱读书,那你就会从书籍中得到灵魂的慰藉;从书中找到生活的榜样; 从书中找到自己生活的乐趣;并从中不断地发现自己,提升自己,从而超越自己。 明天会更好,相信自己没错的! 我们一定要说积极向上的话。只要持续使用非常积极的话语,就能积累起 相关的重要信息,于是在不经意之间,我们就已经行动起来,并且逐渐把说过的话变成现实。