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2016


第 2 章 平面向量章末分层突破

[自我校对] ①坐标 ②平行四边形 ③|a|= a
2

④cos θ = |a||b|

a?b

1

向量的线性运算 向量的线性运算包括向量的加法运算、 减法运算及数乘运算, 其中平面向量基本定理及 向量共线定理是考查的重点,解题时要结合图形灵活构造三角形或平行四边形. → 1→ → → 如图 2?1 所示,在△ABC 中,点 M 为 AB 的中点,且AN= NC,BN与CM相交于点 2

E,设AB=a,AC=b,试以 a,b 为基底表示AE.







图 2?1 → → → 【精彩点拨】 先由 C,E,M 三点共线? AE=μ AM+(1-μ )AC,由 B,E,N 三点共线 → → → → → ? AE=λ AN+(1-λ )AB,再由AB,AC不共线求 λ ,μ 的值. → 1→ 1 → 1→ 1 【规范解答】 ∵AN= AC= b,AM= AB= a,由 N,E,B 三点共线知存在实数 λ 满 3 3 2 2 → → → 1 足AE=λ AN+(1-λ )AB= λ b+(1-λ )a. 3 → → → μ 由 C,E,M 三点共线知存在实数 μ 满足AE=μ AM+(1-μ )AC= a+(1-μ )b. 2 μ 1-λ = , ? ? 2 ∴? λ ? ?1-μ = 3 , → 2 1 ∴AE= a+ b. 5 5 [再练一题] 1.已知 a=(1,2),b=(-3,2),若 ka+2b 与 2a-4b 平行,求实数 k 的值. 【解】 ∵ka+2b=(k-6,2k+4),2a-4b=(14,-4), 由(ka+2b)∥(2a-4b)得 (k-6)?(-4)-(2k+4)?14=0, 解得 k=-1. 3 λ = , ? ? 5 解得? 4 ? ?μ =5,

2

向量的数量积运算 数量积的运算是向量运算的核心,利用向量的数量积可以解决以下问题: 1.设 a=(x1,y1),b=(x2,y2), 平行问题

a∥b?x1y2-x2y1=0

垂直问题 2.求向量的模及夹角问题,

a⊥b?x1x2+y1y2=0

(1)设 a=(x,y),则|a| =x +y 或|a|= x +y ; (2)两向量 a,b 夹角 θ 的余弦(0≤θ ≤π ),

2

2

2

2

2

a?b x1x2+y1y2 cos θ = = 2 . 2 2 2 |a||b| x1+y1 ? x2+y2
→ → → → 设向量OA=a,OB=b,且|OA|=|OB|=4,∠AOB=60°. (1)求|a+b|,|a-b|; (2)求 a+b 与 a 的夹角 θ 1,a-b 与 a 的夹角 θ 2. 【精彩点拨】 利用|a±b|= ?a±b? 求解;利用 cos θ = 求夹角. |a||b| 【规范解答】 60°+16=48, ∴|a+b|=4 3, ∴|a-b| =|a| -2a?b+|b| =16, ∴|a-b|=4. (2)∵(a+b)?a=|a| +a?b=16+4?4cos 60°=24, ?a+b??a 24 3 ∴cos θ 1= = = . |a+b||a| 4 3?4 2 ∵θ ∈[0°,180°],∴θ 1=30°. ∵(a-b)?a=|a| -a?b=16-4?4cos 60°=8, ?a-b??a 8 1 ∴cos θ 2= = = . |a-b||a| 4?4 2 ∵θ 2∈[0°,180°],∴θ 2=60°. [再练一题] 2π 2.已知 c=ma+nb,c=(-2 3,2),a⊥c,b 与 c 的夹角为 ,b?c=-4,|a|= 3 2 2,求实数 m,n 的值及 a 与 b 的夹角.
3
2 2 2 2 2 2

a?b
2

(1)∵|a+b| =(a +b)(a +b)=|a| +2a?b +|b| =16+2?4?4cos

2

2

【解】 ∵c=(-2 3,2),∴|c|=4, 又 a⊥c,∴a?c=0. ∵b?c=|b||c|cos ∴|b|=2, 又 c=ma+nb,∴c =ma?c+n?b?c, ∴16=-4n,∴n=-4. 又 a?c=ma +na?b, ∴0=8m-4a?b.① 又 b?c=ma?b+n?b , ∴ma?b=12.② 由①②得 m=± 6, ∴a?b=±2 6 ±2 6 3 ∴cos θ = =± ,∵θ ∈[0,π ] 2 2 2?2 π 5π ∴θ = 或 . 6 6 向量的应用 平面向量的应用主要体现在两个方面:一是在平面几何中的应用,向量的加减运算、向 量的相等、平行、数乘向量、距离、夹角和向量的数量积之间有密切的联系,因此利用向量 方法可以解决平面几何中的相关问题;二是在物理学中的应用,主要解决力、位移、速度等 问题. 如图 2?2,在等腰直角△ABC 中,角 C 是直角,CA=CB,D 是 CB 的中点,E 是
2 2 2

2π ? 1? =|b|?4??- ?=-4, 3 ? 2?

AB 上的一点,且 AE=2EB,求证:AD⊥CE.

图 2?2 → → → → 【精彩点拨】 欲证 AD⊥CE,即证AD?CE=0.由于已有CA?CB=0,故考虑选此两向量 为基底,从而应用此已知条件.另外,如果进一步考虑到此组基底是垂直关系,还可以建立 直角坐标系. → → 【规范解答】 法一:记CA=a,CB=b,

4

→ 则AB=b-a,且 a?b=0,|a|=|b|. → → → 1 因为AD=CD-CA= b-a. 2 →

CE=AE-AC= (b-a)+a= b+ a,所以
→ ?1 1 ? ?2 1 ? 1 AD?CE=? b-a??? b+ a?= b2- a2=0.

→ →

2 3

2 3

1 3



?2

? ?3

3 ? 3

3

可得 AD⊥CE.

法二:建立如图所示的直角坐标系,不妨设 AC=BC=2, 则 C(0,0),A(2,0),B(0,2), 因为 D 是 CB 的中点,则 D(0,1). → → 所以AD=(-2,1),AB=(-2,2) → → → → 2→ → → 2 ?2 4? ?2 4? 又CE=CA+AE=CA+ AB=(2,0)+ (-2,2)=? , ?,所以AD?CE=(-2,1)?? , ? 3 3 ?3 3? ?3 3? 2 4 =(-2)? + =0,因此 AD⊥CE. 3 3 [再练一题] 3.如图 2?3,在细绳 O 处用水平力 F2 缓慢拉起所受重力 G 的物体,绳子与铅垂方向的夹 角为 θ ,绳子所受到的拉力为 F1,求:

图 2?3 (1)|F1|,|F2|随角 θ 的变化而变化的情况. (2)当|F1|≤2|G|时,θ 角的取值范围. (3)当|F1|=2|F2|时,求角 θ 的值. → 【解】 (1)由力的平衡原理知,G+F1+F2=0,作向量OA=

F1,OB=F2,OC=-G,则OA+OB=OC,∴四边形 OACB 为平行四边
形,如图.
5







→ →

由已知∠AOC=θ ,∠BOC=

π , 2

→ → → → → |OC| ∴|OA|= ,|OB|=|AC|=|OC|tan θ . cos θ |G| ? π? 即|F1|= ,|F2|=|G|tan θ ,θ ∈?0, ?. 2? cos θ ? π 由此可知,当 θ 从 0 逐渐增大趋向于 时,|F1|,|F2|都逐渐增大. 2 (2)当|F1|≤2|G|时,有 |G| ≤2|G|, cos θ

1 ? π? ? π? ∴cos θ ≥ ,又 θ ∈?0, ?.∴θ ∈?0, ?. 2 3? 2 ? ? ? |G| 1 2sin θ 1 (3)当|F1|=2|F2|时, =2|G|tan θ ,∴ = ,∴sin θ = . cos θ cos θ cos θ 2 π ∴θ = . 6 数形结合思想 平面向量的线性运算和数量积运算的定义及运算法则、 运算律的推导中都渗透了数形结 合思想.引入向量的坐标表示,使向量运算代数化,将“数”和“形”紧密地结合起来.运 用数形结合思想可解决共线、平行、垂直、夹角、距离、面积等问题. → → → → → 已知向量OB=(2,0),OC=(2,2),CA=( 2cos α , 2sin α ),则OA与OB夹 角的范围是________. → → → 【精彩点拨】 结合CA的坐标给出点 A 的轨迹, 并由直线与圆的知识求OA与OB夹角的范 围.

【规范解答】 建立如图所示的直角坐标系. → → → ∵OC=(2,2),OB=(2,0),CA=( 2cos α , 2sin α ), ∴点 A 的轨迹是以 C(2,2)为圆心, 2为半径的圆. → → 过原点 O 作此圆的切线,切点分别为 M,N,连结 CM,CN,如图所示,则向量OA与OB的 → → 夹角范围是∠MOB≤〈OA,OB〉≤∠NOB.

6

→ ∵|OC|=2 2, → → 1 → ∴|CM|=|CN|= |OC|, 2 π π 知∠COM=∠CON= ,但∠COB= . 6 4 π 5π ∴∠MOB= ,∠NOB= , 12 12 故 → → π 5π ≤〈OA,OB〉≤ . 12 12

【答案】 ? [再练一题]

?π ,5π ? ? ?12 12 ?

4.已知船在静水中的速度大小为 5 m/s,且船在静水中的速度大小大于水流速度大小, 河宽为 20 m,船垂直到达对岸用的时间为 5 s,则水流速度大小为________m/s. 【解析】 设船在静水中的速度为 v1,水流速度为 v2,船的实际速度为 v3,建立如图所 示的平面直角坐标系.|v1|=5 m/s, 20 |v3|= =4 m/s,则 v3=(0,4),v1=(-3,4), 5

v2=v3-v1=(0,4)-(-3,4)=(3,0).
∴|v2|=3 m/s,即水流的速度大小为 3 m/s.

【答案】 3

1.(2015?江苏高考)已知向量 a=(2,1),b=(1,-2),若 ma+nb=(9,-8)(m,n ∈R),则 m-n 的值为______. 【解析】 ∵ma+nb=(2m+n,m-2n)=(9,-8),
?2m+n=9, ? ∴? ? ?m-2n=-8,

∴?

?m=2, ? ? ?n=5,

∴m-n=2-5=-3.

【答案】 -3 → → 2.(2015?全国卷Ⅰ改编)已知点 A(0,1),B(3,2),向量AC=(-4,-3),则向量BC= ________.
7

→ 【解析】 方法一:设 C(x,y),则AC=(x,y-1)=(-4,-3), 所以?
? ?x=-4, ?y=-2, ?

→ 从而BC=(-4,-2)-(3,2)=(-7,-4).

→ 方法二:AB=(3,2)-(0,1)=(3,1), →

BC=AC-AB=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).
【答案】 (-7,-4) → → → → → → → 3.(2015?北京高考)在△ABC 中,点 M,N 满足AM=2MC,BN=NC.若MN=xAB+yAC,则

→ →

x=________;y=________.
→ → → 2→ 【解析】 ∵AM=2MC,∴AM= AC. 3 → → → 1 → → ∵BN=NC,∴AN= (AB+AC), 2 → → → 1 → → 2→ ∴MN=AN-AM= (AB+AC)- AC 2 3 1→ 1→ = AB- AC. 2 6 → → → 1 1 又MN=xAB+yAC,∴x= ,y=- . 2 6 【答案】 1 1 - 2 6

→ → 4.(2014?江苏高考)如图 2?4,在平行四边形 ABCD 中,已知 AB=8,AD=5,CP=3PD, → → → → AP?BP=2,则AB?AD的值是________.

图 2?4 → → → 1→ 1→ → → → → 1→ → → → → 1→ 【解析】 由CP=3PD, 得DP= DC= AB, AP=AD+DP=AD+ AB, BP=AP-AB=AD+ AB 4 4 4 4 → → 3→ → → →2 1→ → 3 →2 ?→ 1→? ?→ 3→? -AB=AD- AB.因为AP?BP=2,所以?AD+ AB???AD- AB?=2,即AD - AD?AB- AB 4 2 16 4 ? ? 4 ? ? →2 →2 → → =2.又因为AD =25,AB =64,所以AB?AD=22. 【答案】 22
8

5.(2016?全国卷Ⅱ改编)已知向量 a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则 m= ________. 【解析】 (方法 1)因为 a=(1,m),b=(3,-2),所以 a+b=(4,m-2). 因为(a+b)⊥b,所以(a+b)?b=0,所以 12-2(m-2)=0,解得 m=8. (方法 2)因为(a+b)⊥b,所以(a+b)?b=0,即 a?b+b =3-2m+3 +(-2) =16- 2m=0,解得 m=8. 【答案】 8 → → → → → 6.(2016?四川高考改编)在平面内,定点 A,B,C,D 满足|DA|=|DB|=|DC|,DA?DB → → → → → → → → 2 =DB?DC=DC?DA=-2,动点 P,M 满足|AP|=1,PM=MC,则|BM| 的最大值是________.
2 2 2

图(1) → → → 【解析】 法一:∵|DA|=|DB|=|DC|, ∴点 A,B,C 在以点 D 为圆心的圆上. → → → → → → 又∵DA?DB=DB?DC=DC?DA=-2, → → → ∴DA,DB,DC两两夹角相等,均为 120°,如图(1)所示. → → 设圆 D 的半径为 r,则DA?DB=r?r?cos 120°=-2,∴r=2.

→ → ∵PM=MC,∴M 为 PC 的中点. → ∵|AP|=1, ∴点 P 在以点 A 为圆心,1 为半径的圆上. 由上知△ABC 为等边三角形,边长为 2 3. 设 AC 的中点为 O,连接 DO,OM,则点 B,D,O 三点共线, → → → → → 1→ 则|BO|=3,BM=BO+OM=BO+ AP. 2 →2 ?→ 1→?2 →2 → → 1→2 ∴BM =?BO+ AP? =BO +BO?AP+ AP 4 2 ? ? → → → → 1 37 =9+3?1?cos〈BO,AP〉+ = +3cos〈BO,AP〉 4 4 ≤ → → → 2 37 49 49 +3= ,当BO与AP同向时取等号,即|BM| 的最大值是 . 4 4 4

9

→ → → 法二:∵|DA|=|DB|=|DC|, ∴点 A,B,C 在以点 D 为圆心的圆上. → → → → → → ∵DA?DB=DB?DC=DC?DA=-2, → → → ∴DA,DB,DC两两夹角相等,均为 120°. → → → 2 → 由DA?DB=|DA| ?cos 120°=-2,得|DA|=2. 以 D 为坐标原点, DA 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系如图(2)所示, 则 B(-1, 3),

C(-1,- 3),A(2,0).

图(2) → → 由PM=MC知 M 为 PC 的中点. → ∵|AP|=1, ∴点 P 在以点 A 为圆心,1 为半径的圆上. 设点 P 的坐标为(2+cos θ ,sin θ ),其中 θ 为以点 A 为顶点,以 x 轴正方向为始边 逆时针旋转到 AP 所成的角, 则 M? →

?1+cos θ sin θ - 3? , ?, 2 2 ? ? ?3+cos θ sin θ -3 3? , ?, 2 2 ? ?
2 2

BM=?

→ 2 ?3+cos θ ? ?sin θ -3 3? ∴|BM| = + 4 4 = 37+6cos θ -6 3sin θ 4

π? ? 37+12cos?θ + ? 3 ? 37+12 49 ? = ≤ = . 4 4 4 → 2 49 ∴|BM| 的最大值为 . 4 【答案】 49 4

10

→ ?1 3? → ? 3 1? 7.(2016?全国卷Ⅲ改编)已知向量BA=? , ?,BC=? , ?,则∠ABC=________. ?2 2 ? ? 2 2? → ?1 → → → → 3 3 3 3? → ? 3 1? 【解析】 因为BA=? , ?, BC=? , ?, 所以BA?BC= + = .又因为BA?BC 4 4 2 ?2 2 ? ? 2 2? → → 3 =|BA||BC|?cos∠ABC=1?1?cos∠ABC,所以 cos∠ABC= .又 0°≤∠ABC≤180°,所 2 以∠ABC=30°. 【答案】 30° 8.(2016?天津高考改编)已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形,点 D,E 分别是边 AB,

BC 的中点,连接 DE 并延长到点 F,使得 DE=2EF,则AF?BC的值为________.
→ → → 【解析】 如图所示,AF=AD+DF. 又 D,E 分别为 AB,BC 的中点, → 1→ → 1→ 1→ 3→ 且 DE=2EF,所以AD= AB,DF= AC+ AC= AC, 2 2 4 4 → 1→ 3→ 所以AF= AB+ AC. 2 4 → → → 又BC=AC-AB, → → ?1→ 3→? → → 则AF?BC=? AB+ AC??(AC-AB) 4 ? ?2 1→ → 1→2 3→2 3→ → = AB?AC- AB + AC - AC?AB 2 2 4 4 3→2 1→2 1→ → = AC - AB - AC?AB. 4 2 4 → → 又|AB|=|AC|=1,∠BAC=60°, → → 3 1 1 1 1 故AF?BC= - - ?1?1? = . 4 2 4 2 8 【答案】 1 8

→ →

1 9.(2016?山东高考改编)已知非零向量 m,n 满足 4|m|=3|n|,cos〈m,n〉= ,若 n 3 ⊥(tm+n),则实数 t 的值为________. 【解析】 ∵n⊥(tm+n),∴n?(tm+n)=0,即 tm?n+|n| =0, ∴t|m||n|cos〈m,n〉+|n| =0.
2 2

11

3 1 2 2 又 4|m|=3|n|,∴t? |n| ? +|n| =0, 4 3 解得 t=-4. 【答案】 -4 10.(2016?江苏高考)如图 2?5,在△ABC 中,D 是 BC 的中点,E,F 是 AD 上的两个三 → → → → → → 等分点,BA?CA=4,BF?CF=-1,则BE?CE的值是________.

图 2?5 → → → → → → 【解析】 由题意,得BF?CF=(BD+DF)?(CD+DF) → → → → →2 →2 =(BD+DF)?(-BD+DF)=DF -BD → 2 → 2 =|DF| -|BD| =-1,① →

BA?CA=(BD+DA)?(CD+DA)
→ → → → =(BD+3DF)?(-BD+3DF) →2 →2 =9DF -BD → 2 → 2 =9|DF| -|BD| =4.② → 2 5 → 2 13 由①②得|DF| = ,|BD| = . 8 8 → → → → → → ∴BE?CE=(BD+DE)?(CD+DE) → → → → →2 →2 =(BD+2DF)?(-BD+2DF)=4DF -BD → 2 → 2 5 13 7 =4|DF| -|BD| =4? - = . 8 8 8 【答案】 7 8 章末综合测评(二) 平面向量



→ →

→ →

(时间 120 分钟,满分 160 分) 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在题中横线上) 1.已知作用在点 A(1,1)的三个力 F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1),则合力 F=

F1+F2+F3 的终点坐标是________.
12

【解析】 ∵F=(8,0),∴终点坐标为(8,0)+(1,1)=(9,1). 【答案】 (9,1) → → → → 2.BA-BC+AB+AC=________. → → → → → 【解析】 原式=CA+AC+AB=0+AB=AB . → 【答案】 AB 3.若向量 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),若 c=λ a+μ b,则 λ ,μ 的值分 别是________. 【解析】 ∵c=λ a+μ b, ∴(-1,2)=(λ ,λ )+(μ ,-μ ), 1 ? ?λ =2, ∴? 3 ? ?μ =-2.

? ?-1=λ +μ , ∴? ?2=λ -μ , ?

【答案】

1 3 ,- 2 2

→ 4.已知两点 A(4,1),B(7,-3),则与向量AB同向的单位向量的坐标是________. → → → 4? AB 1 ?3 【解析】 AB=(3,-4),|AB|=5,∴e= = (3,-4)=? ,- ?. 5? → 5 ?5 |AB| 4? ?3 【答案】 ? ,- ? 5 5? ? 5. (2016?镇江高一检测)已知向量 a=(3x,1), b=(2, -5), 若 a∥b, 则 x=________. 2 【解析】 ∵a∥b,∴-15x=2,x=- . 15 2 【答案】 - 15 6.若|a|=1,|b|=2,a?b=-1,则|a-b|=________. 【解析】 ∵|a|=1,|b|=2,a?b=-1 ∴|a-b|= a -2a?b+b = 1+2+4= 7. 【答案】 7
2 2

7.平面向量 a,b 中,若 a=(4,-3),|b|=1,且 a?b=5,则向量 b=________. 【解析】
? ?x +y =1, 设 b=(x,y),则? ?4x-3y=5, ?
2 2

13

4 x= , ? ? 5 ∴? 3 y=- , ? ? 5

3? ?4 即 b=? ,- ?. 5? ?5

3? ?4 【答案】 ? ,- ? 5? ?5 8.(2016?扬州高一检测)下列 5 个说法: ①共线的单位向量是相等向量; ②若 a,b,c 满足 a+b=c 时,则以|a|,|b|,|c|为边一定能构成三角形; ③对任意的向量,必有|a+b|≤|a|+|b|; ④(a?b)c=c(b?c); ⑤(a+b)?c=a?c+b?c.其中正确的是________. 【解析】 共线也有可能反向,故①不正确;若|a|=0,显然不能构成三角形,故②不 正确;由数量积的性质知④不正确;由向量加法的三角形法则知③正确;由数量积的性质知 ⑤正确. 【答案】 ③⑤ 9.(2016?南京高一检测)已知 a=(1,n),b=(-1,n),且 2a-b 与 b 垂直,则|a| 等于________. 【解析】 =4,∴|a|=2. 【答案】 2 10.已知向量 a=(2,-1),b=(x,-2),c=(3,y),若 a∥b,(a+b)⊥(b-c),M(x, 2a-b=(3,n),∵(2a-b)?b=0,∴n -3=0,∴n =3,∴|a| =1+n
2 2 2 2

y),N(y,x),则向量MN的模为________.
【解析】 ∵a∥b,∴2?(-2)-(-1)x=0,解得 x=4, ∴b=(4,-2),∴a+b=(6,-3),b-c=(1,-2-y). ∵(a+b)⊥(b-c),∴(a+b)?(b-c)=0, 即 6-3(-2-y)=0,解得 y=-4, → → ∴MN=(y-x,x-y)=(-8,8),∴|MN|=8 2. 【答案】 8 2 → 11.(2016?泰州高一检测)△ABC 是边长为 2 的等边三角形,已知向量 a,b 满足AB= → 2a,AC=2a+b,则下列结论正确的是________. → (1)|b|=1;(2)a⊥b;(3)a?b=1;(4)(4a+b)⊥BC.
14



【解析】 如图△ABC 是边长为 2 的等边三角形. → → → → 由已知 b=AC-2a=AC-AB=BC, → → → → 2 2 2 显然(1)(2)(3)错,(4a+b)?BC=2AB?BC+|BC| =2?2?2?cos π +2 =0,∴(4a 3 → +b)⊥BC. 【答案】 (4) → → → 12. 如图 1, 非零向量OA=a, OB=b, 且 BC⊥OA, C 为垂足, 若OC=λ a, 则 λ =________.

图1 → → → → → a?b 【解析】 BC=OC-OB=λ a-b,∵BC⊥OA,∴a?(λ a-b)=0,则 λ = 2. |a| 【答案】

a?b 2 |a|

1? ? 13.已知向量 a=(6,2),b=?-4, ?,直线 l 过点 A(3,-1)且与向量 a+2b 垂直, 2? ? 则直线 l 的方程为________. 【解析】 ∵a+2b=(-2,3), → 在 l 上任取一点 P(x,y),则有AP⊥(a+2b), → ∴AP?(a+2b)=0, ∴(x-3,y+1)?(-2,3)=0, ∴2x-3y-9=0. 【答案】 2x-3y-9=0 → → → → 14.已知OA=(2,2),OB=(4,1),O 为坐标原点,在 x 轴上求一点 P,使AP?BP有最小 值,则 P 点坐标为________. → → 2 【解析】 设 P(x,0),∴AP?BP=(x-2,-2)?(x-4,-1)=(x-2)(x-4)+2=x → → 2 -6x+10=(x-3) +1,当 x=3 时,AP?BP有最小值,∴P(3,0). 【答案】 (3,0) 二、 解答题(本大题共 6 小题, 共 90 分. 解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤)

15

→ → 15.(本小题满分 14 分)在平行四边形 ABCD 中,AB=a,AD=b, → → (1)如图①,如果 E,F 分别是 BC,DC 的中点,试用 a,b 分别表示BF,DE. → (2)如图②,如果 O 是 AC 与 BD 的交点,G 是 DO 的中点,试用 a,b 表示AG.

图2 → → → → 1→ → 1→ 1 【解】 (1)BF=BC+CF=AD+ CD=AD- AB=- a+b. 2 2 2 →

DE=DC+CE=AB- AD=a- b.
→ → → (2)BD=AD-AB=b-a, ∵O 是 BD 的中点,G 是 DO 的中点, → 3→ 3 ∴BG= BD= (b-a), 4 4 → → → 3 ∴AG=AB+BG=a+ (b-a) 4 1 3 = a+ b. 4 4 16.(本小题满分 14 分)已知平面向量 a=(1,x),b=(2x+3,-x),x∈R. (1)若 a⊥b,求 x 的值; (2)若 a∥b,求|a-b|. 【解】 (1)若 a⊥b,则 a?b=(1,x)?(2x+3,-x)=1?(2x+3)+x(-x)=0. 整理得 x -2x-3=0,解得 x=-1 或 x=3. (2)若 a∥b,则有 1?(-x)-x(2x+3)=0,即 x(2x+4)=0,解得 x=0 或 x=-2. 当 x=0 时,a=(1,0),b=(3,0), ∴a-b=(-2,0),|a-b|=2. 当 x=-2 时,a=(1,-2),b=(-1,2),a-b=(2,-4),|a-b|= 2 +?-4? =
2 2 2

→ → →

1→ 2

1 2

2 5. 17.(本小题满分 14 分)(2016?无锡高一检测)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(- 1,-2),B(2,3),C(-2,-1). (1)求以线段 AB,AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长;

16

→ → → (2)设实数 t 满足(AB-tOC)?OC=0,求 t 的值. → → → → → → 【解】 (1)由题设,知AB=(3,5),AC=(-1,1),则AB+AC=(2,6),AB-AC=(4,4). → → → → 所以|AB+AC|=2 10,|AB-AC|=4 2.故所求的两条对角线长分别为 4 2,2 10. → → → (2)由题设,知OC=(-2,-1),AB-tOC=(3+2t,5+t). → → → 由(AB-tOC)?OC=0,得(3+2t,5+t)?(-2,-1)=0, 从而 5t=-11,所以 t=- 11 . 5

18.(本小题满分 16 分)设两个向量 e1,e2 满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2 的夹角为 60°, 若向量 2te1+7e2 与 e1+te2 的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围. 【解】 由向量 2te1+7e2 与 e1+te2 的夹角为钝角, 得 ?2te1+7e2???e1+te2? <0, |2te1+7e2|?|e1+te2|

即(2te1+7e2)?(e1+te2)<0. 整理得:2te1+(2t +7)e1?e2+7te2<0.(*) ∵|e1|=2,|e2|=1, 〈e1,e2〉=60°. ∴e1?e2=2?1?cos 60°=1 ∴(*)式化简得:2t +15t+7<0. 1 解得:-7<t<- . 2 当向量 2te1+7e2 与 e1+te2 夹角为 180°时, 设 2te1+7e2=λ (e1+te2)(λ <0). 2t=λ ? ? 对比系数得?7=λ t ? ? λ <0
2 2 2 2

图3



?λ =- 14 ? ∴? 14 t=- ? 2 ?
∴所求实数 t 的取值范围是 14? ? 14 1? ? ?-7,- ?∪?- ,- ?. 2 ? ? 2 2? ? 19.(本小题满分 16 分)设作用于同一点 O 的三个力 F1,F2,F3 处于平衡状态,若|F1| 2 =1,|F2|=2,F1 与 F2 的夹角为 π ,如图 3 所示. 3
17

求:(1)F3 的大小; (2)∠F3OF2 的大小. 【解】 (1)F1、F2、F3 三个力处于平衡状态, 故 F1+F2+F3=0. 即 F3=-(F1+F2). ∴|F3|=|F1+F2|= ?F1+F2? = F1+F2+2F1?F2 = 2 1+4+2?1?2cos π = 3. 3
2 2 2

(2)如图所示,以 F2 所在直线为 x 轴,合力作用点为坐标原点, 建立直角坐标系,将向量 F1,F3 正交分解,设∠MOF3=θ , 由受力平衡知 2 ? ? |F |?cos θ +|F |cos?π - π ?=|-F |, ? ? 3 ? ? ? ?2π -π ?, ? ?|F |?sin θ =|-F |cos? 2? ?3 ?
3 1 2 3 1

π ? ?|F |?cos θ =|-F |-|F |?cos 3 , 即? π ? ?|F |sin θ =|-F |cos 6 .
3 2 1 3 1

? ? 将数值代入得? ? ?
π ∴θ = . 6

1 3cos θ =2- , 2 3sin θ = 3 , 2

π 5 于是得∠F3OF2=π - = π . 6 6 20.(本小题满分 16 分)在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知向量 a=(-1,2),

? π? 且点 A(8,0),B(n,t),C(ksin θ ,t),θ ∈?0, ?. 2? ?
→ → → → (1)若AB⊥a,且|AB|= 5|OA|,求向量OB; → → → (2)若向量AC与向量 a 共线,当 k>4,且 tsin θ 取最大值 4 时,求OA?OC. → → 【解】 (1)因为AB=(n-8,t),且AB⊥a,

18

所以 8-n+2t=0,即 n=8+2t. → → 又|AB|= 5|OA|, 所以 5?64=(n-8) +t =5t ,解得 t=±8. 则 n=24 或-8, → 所以OB=(24,8)或(-8,-8). → → (2)因为AC=(ksin θ -8,t),AC与 a 共线, 所以 t=-2ksin θ +16. 又 tsin θ =(-2ksin θ +16)sin θ 4?2 32 ? =-2k?sin θ - ? + , k
2 2 2

?

?

k

4 当 k>4 时,1> >0,

k

4 32 所以当 sin θ = 时,tsin θ 取得最大值 ;

k

k



32

k

=4,得 k=8,此时 θ =

π , 6

→ 故OC=(4,8), → → 所以OA?OC=8?4+8?0=32.

19


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