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2014届高三数学总复习 2.11导数的概念与运算教案 新人教A版


2014 届高三数学总复习 2.11 导数的概念与运算教案 新人教 A 版
考情分析 ① 导数的概念及其运算是导数应用的基础, 是高考重点考查的对象,主要考查求导数的 基本公式和法则. ② 对导数几何意义的考查几乎年年都有,往 往以导数几何意义为背景设置成导数与解析 几何的简单综合. 考点新知

① 了解导数概念的实际背景,理解导数的几 何意义. ② 能根据基本初等函数的导数公式和导数 的四则运算法则求简单函数的导数.

1 ?1 ? 1. (选修 22P7 例 4 改编)已知函数 f(x)=1+ ,则 f(x)在区间[1,2],? ,1?上的平均 x ?2 ? 变化率分别为________. 1 答案:- ,-2 2 f(2)-f(1) 1 解析: =- ; 2-1 2 1 f(1)-f( ) 2 =-2. 1 1- 2 2. (选修 22P12 练习 2 改编)一个物体的运动方程为 s=1-t+t ,其中 s 的单位是 m,t 的单位是 s,那么物体在 3 s 末的瞬时速度是_______m/s. 答案:5 解析:s′(t)=2t-1,s′(3)=2×3-1=5. 1 π 3. (选修 22P26 习题 5)曲线 y= x-cosx 在 x= 处的切线方程为________. 2 6 π 3 答案:x-y- - =0 12 2 1 π 3? ?π ?π ? 1 解析:设 f(x)= x-cosx,则 f′? ?= +sin =1,故切线方程为 y-? - ?=x 2 6 ?6? 2 12 2 ? ? π π 3 - ,化简可得 x-y- - =0. 6 12 2 (x-2) 4. (选修 22P26 习题 8)已知函数 f(x)= , 则 f(x)的导函数 f′(x)=________. x+1 x +2x-8 答案: 2 (x+1) x -4x+4 解析:由 f(x)= ,得 x+1
2 2 2 2

1

(2x-4)×(x+1)-(x -4x+4)×1 x +2x-8 f′(x)= = 2 2. (x+1) (x+1) 1 5. (选修 22P20 练习 7)若直线 y= x+b 是曲线 y=lnx(x>0)的一条切线,则实数 b= 2 ________. 答案:ln2-1 1 1 解析:设切点(x0,lnx0),则切线斜率 k= = ,所以 x0=2.又切点(2,ln2)在切线 y x0 2 1 = x+b 上,所以 b=ln2-1. 2

2

2

1. 平均变化率 f(x2)-f(x1) 一般地,函数 f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率为 . x2-x1 2. 函数 f(x)在 x=x0 处的导数 Δy 设函数 f(x)在区间(a,b)上有定义,x0∈(a,b),当Δ x 无限趋近于 0 时,比值 = Δx f(x0+Δ x)-f(x0) __,无限趋近于一个常数 A,则称 f(x)在点 x=x0 处可导,并称该常 Δx 数 A 为函数 f(x)在点 x=x0 处的导数,记作 f′(x0). 3. 导数的几何意义 导数 f′(x0)的几何意义就是曲线 f(x)在点(x0,f(x0))的切线的斜率. 4. 导函数(导数) 若 f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导,则 f(x)在各点的导数也随着自变量 x 的变化 而变化,因而也是自变量 x 的函数,该函数称为 f(x)的导函数,记作 f′(x). 5. 基本初等函数的导数公式 (1) C′=0 (C 为常数); n n-1 (2) (x )′=nx ; (3) (sinx)′=cosx; (4) (cosx)′=-sinx; x x (5) (a )′=a lna(a>0 且 a≠1); x x (6) (e )′=e ; 1 1 (7) (logax)′= logae= __(a>0,且 a≠1); x xlna 1 (8) (lnx)′= . x 6. 导数的四则运算法则 若 u(x),v(x)的导数都存在,则 (1) (u±v)′=u′±v′; (2) (uv)′=u′v+uv′; u′v-uv′ ?u? (3) ? ?′= ; 2 v ?v? (4) (mu)′=mu′ (m 为常数).

2

[备课札记]

题型 1 平均变化率与瞬时变化率 例1 2 3 2 某一运动物体,在 x(s)时离出发点的距离(单位:m)是 f(x)= x +x +2x. 3

(1) 求在第 1s 内的平均速度; (2) 求在 1s 末的瞬时速度; (3) 经过多少时间该物体的运动速度达到 14m/s ? f(1) -f(0) 11 解:(1) 物体在第 1 s 内的平均变化率(即平均速度)为 = m/s. 1-0 3 (2) Δ y f(1+Δ x)-f(1) = Δx Δx

2 11 3 2 (1+Δ x) +(1+Δ x) +2(1+Δ x)- 3 3 = Δx 2 Δy 2 =6+3Δ x+ (Δ x) .当Δ x→0 时, →6,所以物体在 1 s 末的瞬时速度为 6m/s. 3 Δx (3) Δ y f(x+Δ x)-f(x) = Δx Δx

2 ?2 3 2 ? 3 2 (x+Δ x) +(x+Δ x) +2(x+Δ x)-? x +x +2x? 3 ?3 ? = Δx 2 2 2 =2x +2x+2+ (Δ x) +2x·Δ x+Δ x. 3 Δy 2 2 当Δ x→0 时, →2x +2x+2,令 2x +2x+2=14,解得 x=2 s,即经过 2 s 该物体 Δx 的运动速度达到 14 m/s. 备选变式(教师专享) 2 在 F1 赛车中,赛车位移与比赛时间 t 存在函数关系 s=10t+5t (s 的单位为 m,t 的单 位为 s).求: Δs (1) t=20s,Δ t=0.1s 时的 Δ s 与 ; Δt (2) t=20s 时的瞬时速度. 2 2 解: (1) Δ s = s(20 + Δ t) - s(20) = 10(20 + 0.1) + 5(20 + 0.1) -10×20-5×20 = 21.05 m. Δ s 21.05 = =210.5 m/s. Δ t 0.1 (2) 由导数的定义,知在 t=20s 的瞬时速度为

3

Δ s 10(t+Δ t)+5(t+Δ t) -10t-5t v(t)= = Δt Δt = 5Δ t +10t·Δ t+10Δ t =5Δ t+10t+10. Δt
2

2

2

当 Δ t→0,t=20 s 时,v =10×20+10=210 m/s. Δs 答:t=20s,Δ t=0.1 s 时的 Δ s 为 21.05 m, 为 210.5 m/s, Δt 即在 t=20s 时瞬时速度为 210 m/s. 题型 2 利用导数公式、求导法则求导 例 2 求下列函数的导数. 1 3 (1) y= +x ; x (2) y=e lnx; (3) y=tanx;
x

? 2 1 1? (4) y=x?x + + 3?; x x? ?
ln(2+3x) (理)(5) y= . x 1 3 2 解:(1) y′=- x- +3x . 2 2 1? 1 x? (2) y′=e ?lnx+ ?.(3) y′= 2 . x? cos x ? 2 2 ln(2+3x) 2 (4) y′=3x - 3.(5) y′= - . 2 x x(2+3x) x 备选变式(教师专享) 求下列函数的导数. 2 (1) y=(2x +3)(3x-2); lnx (2) y= ; x 1 1 (3) y= + ; 1- x 1+ x x x (4) y=x-sin cos ; 2 2 (理)(5) y=2 +ln(1-5x). 1-lnx 2 解:(1) y′=18x -8x+9;(2) y′= ; 2 x 2 (3) y′= 2; (1-x) 1 (4) y′=1- cosx; 2 5 x (5) y′=2 lnx+ . 5x-1 题型 3 利用导数的几何意义解题
x

4

例3

ax 已知函数 f(x)= 2 ,且 f(x)的图象在 x=1 处与直线 y=2 相切. x +b

(1) 求函数 f(x)的解析式; (2) 若 P(x0,y0)为 f(x)图象上的任意一点,直线 l 与 f(x)的图象切于 P 点,求直线 l 的斜率 k 的取值范围. 解:(1) 对函数 f(x)求导,得 a(x +b)-ax(2x) ab-ax f′(x)= = 2 2 2 2. (x +b) (x +b) ∵ f(x)的图象在 x=1 处与直线 y=2 相切, ab-a=0, ? ?1+b≠0, 即? a ? ?1+b=2, 4x . x +1
2 2 2 2

? ?f′(1)=0, ∴ ? ? ?f(1)=2,

∴ a=4,b=1,∴ f(x)= (2) ∵ f′(x) = 4? 1 ? ? 22 2- 2 ?, ?(x0+1) x0+1? 令 t=

4-4x 4-4x0 直 线 l 的 斜 率 k = f ′ (x0) = 2 2 , ∴ 2 2 = (x +1) (x0+1)

2

1 ,t∈(0,1],则 2 x0+1

? 1?2 1 2 k=4(2t -t)=8?t- ? - , ? 4? 2 ? 1 ? ∴ k∈?- ,4?. ? 2 ?
变式训练 1 3 4 (1) 已知曲线 y= x + ,求曲线过点 P(2,4)的切线方程; 3 3 (2) 求抛物线 y=x 上点到直线 x-y-2=0 的最短距离. 1 3 4? 1 3 4 ? 解:(1) 设曲线 y= x + 与过点 P(2,4)的切线相切于点 A?x0, x0+ ?, 3 3? 3 3 ? 2 3 4 ?1 3 4? 2 2 2 则切线的斜率 k=x0,切线方程为 y-? x0+ ?=x0(x-x0),即 y=x0x- x0+ . 3? 3 3 ?3 因为点 P(2,4)在切线上, 2 3 4 2 3 2 所以 4=2x0- x0+ ,即 x0-3x0+4=0, 3 3 解得 x0=-1 或 x0=2, 故所求的切线方程为 4x-y-4=0 或 x-y+2=0. 2 (2) 由题意得,与直线 x-y-2=0 平行的抛物线 y=x 的切线对应的切点到直线 x-y 1 ?1 1? 2 -2=0 距离最短,设切点为(x0,x0),则切线的斜率为 2x0=1,所以 x0= ,切点为? , ?, 2 ?2 4?
2

5

切点到直线 x-y-2=0 的距离为 d=

?1-1-2? ?2 4 ? ? ? 7 2
2 = 8

.

1. (2013·大纲)已知曲线 y=x +ax +1 在点(-1,a+2)处切线的斜率为 8,则 a= ________. 答案:-6 3 解析:y′=4x +2ax,由题意,k=y′|x=-1=-4-2a=8,所以 a=-6. f′(1) x 1 2 2. (2013·南通一模)曲线 f(x)= e -f(0)x+ x 在点(1,f(1))处的切线方程 e 2 为________. 1 答案:y=ex- 2 f′(1) 解析:由已知得 f(0)= , e ∴ ∴ ∴ f′(1) x f′(1) 1 2 f(x)= e- x+ x , e e 2 f′(1) x f′(1) f′(x)= e- +x, e e f′(1) f′(1) f′(1)= e- +1,即 f′(1)=e, e e

4

2

1 2 x x 从而 f(x)=e -x+ x ,f′(x)=e -1+x, 2 ∴ 1 f(1)=e- ,f′(1)=e, 2

1 ? 1? 故切线方程为 y-?e- ?=e(x-1),即 y=ex- . 2 ? 2? 3. (2013·南京三模)记定义在 R 上的函数 y=f(x)的导函数为 f′(x).如果存在 x0∈ [a,b],使得 f(b)-f(a)=f′(x0)(b-a)成立,则称 x0 为函数 f(x)在区间[a,b]上的“中 3 值点”,那么函数 f(x)=x -3x 在区间[-2,2]上“中值点”的个数为________. 答案:2 f(b)-f(a) 2 3 2 解析:f(2)=2,f(-2)=-2, =1,f′(x)=3x -3=1,得 x=± b-a 3 ∈[-2,2],故有 2 个. a -2lna 3c-4 2 2 4. (2013·盐城二模)若实数 a、b、c、d 满足 = =1,则(a-c) +(b-d) b d 的最小值为________. 2 2 答案: (1-ln2) 5 解析:∵ ∴
2 2

a -2lna 3c-4 = =1, b d
2

2

b=a -2lna,d=3c-4,∴ 点(a,b)在曲线 y=x -2lnx 上,点(c,d)在曲线 y

6

=3x-4 上,(a-c) +(b-d) 的几何意义就是曲线 y=x -2lnx 到曲线 y=3x-4 上点的距 2 离最小值的平方.考查曲线 y=x -2lnx(x>0)平行于直线 y=3x-4 的切线,∵ y′=2x 2 2 - ,令 y′=2x- =3,解得 x=2,∴ 切点为(2,4-2ln2),该切点到直线 y=3x-4 x x |3×2-4+2ln2-4| 2-2ln2 2 的距离 d= = 就是所要求的两曲线间的最小距离,故(a-c) + 2 2 3 +(-1) 10 2 2 2 2 (b-d) 的最小值为 d = (1-ln2) . 5

2

2

2

1 2 x 1. 已知函数 f(x)=e -f(0)x+ x ,则 f′(1)=____. 2 答案:e 1 1 2 0 2 x x 解析:由条件,f(0)=e -f(0)×0+ ×0 =1,则 f(x)=e -x+ x ,所以 f′(x)=e 2 2 -1+x,所以 f′(1)=e -1+1=e. 2 2 2. 已知曲线 C1:y=x 与 C2:y=-(x-2) ,直线 l 与 C1、C2 都相切,则直线 l 的方程 是____________. 答案:y=0 或 y=4x-4 2 2 解 析 : 设 两 个 切 点 的 坐 标 依 次 为 (x1 , x 1 ) , (x2 , - (x2 - 2) ) , 由 条 件 , 得 2x1=-2x2+4, ? ? ?x1=0, ? ?x1=2, ? 2 解得? 或? 从而可求直线方程为 y=0 或 y=4x- ?x2 1+[-(x2-2) ] ? ? ?x2=2 ?x2=0, =2x1, ? x1-x2 ? 4.
1

? 1 ? 3. 已知函数 f(x)=xlnx,过点 A?- 2,0?作函数 y=f(x)图象的切线,则切线的方程 ? e ?
为________. 1 答案:x+y+ 2=0 e 解析:设切点 T(x0,y0),则 kAT=f′(x0),∴ x0lnx0 2 =lnx0+1,即 e x0+lnx0+1=0, 1 x0+ 2 e

设 h(x)=e x+lnx+1,当 x>0 时 h′(x)>0,∴ h(x)是单调递增函数,∴ h(x)=0 最多只 1 1 ?1? 2 1 有一个根.又 h? 2?=e × 2+ln 2+1=0,∴ x0= 2.由 f′(x0)=-1 得切线方程是 x+y+ e e e e ? ? 1 2=0. e 1 2 4. 已知函数 f(x)=lnx,g(x)= ax +bx(a≠0),设函数 f(x)的图象 C1 与函数 g(x)的 2 图象 C2 交于两点 P、Q,过线段 PQ 的中点 R 作 x 轴垂线分别交 C1、C2 于点 M、N,问是否存在 点 R,使 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线互相平行?若存在,求出点 R 的横坐标;若 不存在,请说明理由.

2

7

解:设点 P、Q 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),且 0<x2<x1,则点 M、N 的横坐标均 x1+x2 为 . 2 1 x1+x2 2 ∴ C1 在点 M 处的切线斜率为 k1= |x= = , x 2 x1+x2 x1+x2 a(x1+x2) C2 在点 N 处的切线斜率为 k2=ax+b|x= = +b, 2 2 假设 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线互相平行, 2 a(x1+x2) 则 k1=k2,即 = +b. x1+x2 2 1 lnx = ax +bx , ? ? 2 ∵ P、Q 是曲线 C 、C 的交点,∴ ? 1 lnx = ax +bx , ? ? 2
1 2 1 1 1 2 2 2 2 2

?1 2 ? ?1 2 ? 两式相减,得 lnx1-lnx2=? ax1+bx1?-? ax2+bx2?, ?2 ? ?2 ?
即 lnx1-lnx2=(x1-x2)?

?a(x1+x2)+b?, ? 2 ? ?

? x1 ? 2? -1? 2(x1-x2) ?x1? ?x2 ?. ∴ lnx1-lnx2= ,即 ln? ?= x1+x2 ?x2? ?x1 ? ?x2+1? ? ?
x1 2(u-1) 设 u= >1,则 lnu= ,u>1(*). x2 (u+1) 2(u-1) 令 r(u)=lnu- ,u>1, (u+1) 1 4 (u-1) 则 r′(u)= - 2= 2. u (u+1) u(u+1) ∵ u>1,∴ r′(u)>0,∴ r(u)在(1,+∞)上单调递增, 故 r(u)>r(1)=0,则 lnu> 2(u-1) , (u+1)
2

这与上面(*)相矛盾,所以,故假设不成立. 故 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行. 1. 求函数的导数有两种方法,一是利用导数定义,这种方法虽然比较复杂,但需要了 解;二是利用导数公式和运算法则求导数,这是求函数导数的主要方法,其关键是记住公式 和法则,并适当进行简便运算. 2. 利用导数研究曲线的切线问题,一定要熟练掌握以下条件: (1) 函数在切点处的导数值是切线的斜率, 即已知切点坐标可求切线斜率, 已知斜率可 求切点坐标. (2) 切点既在曲线上,又在切线上,切线有可能和曲线还有其他的公共点. (3) 与导数几何意义有关的综合性问题,涉及到三角函数求值、方程和不等式的解,关 键是要善于进行等价转化.

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请使用课时训练(B)第11课时(见活页).

[备课札记]

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