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山东省冠县武训高级中学2014高二数学 2-3 第2课时角度和物理问题复习导学案 新人教A版


山东省冠县武训高级中学 2014 高二数学 2-3 第 2 课时角度和物理问题复习导 学案 新人教 A 版
知能目标解读 1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法求解三角形的实际问题. 2.学会处理测量角度问题等解三角形的实际问题. 3.用解三角形的知识,解决有关的实际问题,目的是进一步巩固所学知识,提高分析和解决简单的实 际问题的能力、动手操作能力以及用数学语言进行交流的能力,增强应用数学的意识,以达到学习数学的 目的.

重点难点点拨 重点:构建数学模型探求角度测量方法. 难点:将实际问题抽象成数学模型. 学习方法指导 要测量角的大小,可利用测角仪或通过测量出距离计算角的大小,根据所测出的三角形中的量,运用 正、余弦定理和三角形中的有关性质计算出所要求的角.在计算面积和航海问题中,也都与求角的问题相联 系.要清楚问题中的角的含义,如方向角、方位角、仰角、俯角等,根据已知线段和角以及要求的角,选择 有充分条件的三角形求解. 知能自主梳理 1.测量角度就是在三角形内利用 要求出所求的角. 2.坡面和水平面的夹角叫做 . 和 求角的正弦值或余弦值,再根据需

3.坡面的铅直高度与水平宽度之比(如图中的

H ) ,叫做 L

.

[答案] 1.正弦定理 余弦定理 2.坡角 3.坡比 思路方法技巧 命题方向 测量角度问题 [例 1] 在南海伏季渔中,我渔政船甲在 A 处观测到一外国偷渔船乙在我船北偏东 60°的方向,相 距 a 海里,偷渔船正在向北行驶,若我船速度是渔船速度的 3 倍,问我船应沿什么方向前进才能追上渔 船?此时渔船已行驶多少海里?

1

[解析] 如图所示,设乙船沿 B 点向北行驶的速度大小为 v,则甲船行驶的速度大小为 3 v,两船相 遇的时间为 t,则 BC=vt,AC= 3 vt, 在△ABC 中,∠ABC=120°,AB=a, 由余弦定理,得 AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos120°,即 3v2t2=a2+ v2t2+vat,∴2v2t2-vat-a2=0,解得 t1= ∴BC=a,∴∠CAB=30°. 即甲船应沿北偏东 30°的方向去追赶乙船,在乙船行驶 a 海里处相遇. [说明] 解答此类问题,首先应明确各个角的含义,然后分析题意,分清已知和所求,再根据题意 画出正确的示意图,将图形中的已知量与未知量之间的关系转化为 三角形的边与角的关系,运用正、余弦 定理求解.. 变式应用 1 在地面上某处, 测得塔顶的仰角为θ , 由此处向塔走 30 米, 测得塔顶仰角为 2θ , 再向塔走 10 3 米, 测得塔顶仰角为 4θ ,试求角θ 的度数. [分析] 如图所示,求角θ ,必须把角θ 、2θ 、4θ 和边长 30、10 3 尽量集中在一个三角形中, 利用方程求解.

a a ,t2=(舍去). v 2v

[解析] 解法一:∵∠PAB=θ ,∠PBC=2θ , ∴∠BPA=θ ,∴BP=AB=30, 又∵∠PBC=2θ ,∠PCD=4θ , ∴∠BPC=2θ ,∴CP=BC=10 在△BPC 中,根据正弦定理得:

3,

PC PB ? , sin 2? sin ?? ? 4? ?
即 ∴

30 10 3 = , sin 2? sin 4?

2 sin 2? cos2? 30 ? , sin 2? 10 3
2

由于 sin2θ ≠0,∴cos2θ =

3 , 2

∵0°<2θ <90°,∴2θ =30°, ∴θ =15°. 解法二:在△BPC 中,根据余弦定理得: PC2=PB2+BC2-2PB·BC·cos2θ 把 PC=BC=10 3 ,PB=30 代入上式得, 300=302+(10 3 )2-2×30×10 3 cos2θ 化简得:cos2θ =

3 , 2

∵0°<2θ <90°,∴2θ =30°, ∴θ =15°. 解法三:如下图,过顶点 C 作 CE⊥PB,交 PB 于 E, ∵△BPC 为等腰三角形, ∴PE=BE=15, 在 Rt△BEC 中, cos2θ =

BE 15 3 , ? ? BC 10 3 2

∵0°<2θ <90°, ∴2θ =30°, ∴θ =15°.

命题方向 与角度有关的问题 [例 2] 某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼叫信号,我海军舰艇在 A 处获悉后,立即测出该渔轮在 距 A 处北偏东 45°方向、距离为 10n mile 的 C 处,并测得渔轮正沿东偏南 15°的方向,以 9 n mile/h 的速 度向小岛 B 靠拢,我海军舰艇立即以 21 n mile/h 的速度前去营救,求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.

[分析] 根据题意画出图形(如图) ,由题意知 AC=10,设渔轮向小岛 B 靠近,舰艇与渔轮相遇所用时 间与渔轮由 C 到 B′处相遇, 则∠ACB′=120°,利用舰艇与渔轮相遇所用时间与渔轮由 C 到 B′所用时间 相同这一条件,解△AB′C 即可.

3

[解析] 设舰艇与渔轮相遇所需时间为 t h,则 AB′=21 t, B′C=9t.在△AB′C 中,根据余弦定理,则有 AB′2=AC2+B′C2-2AC·B′Ccos120°, 可得 212t2=102+81t2+2×10×9t× 整理,得 360t2-90t-100=0. ∴362t-9t-10=0,∴(12t+5)(3t-2)=0. ∴t=

1 , 2

2 5 或 t=(舍去), 3 12

∴舰艇靠近渔轮所需的时间为

2 h. 3

此时 AB′=14 n mile,B′C=6 n mile.

BC AB ? 由正弦定理,得 , 则 sin∠CAB′= sin ?CAB? sin 120 ?
∴∠CAB′≈21.8°, ∴ 舰艇航行的方位角为北偏东 66.8°.

6? 14

3 2 ,

[说明] 本题应首先理解方位角的概念(方位角指的是从指北方向线顺时针旋转到目标方向线的最 小正角) ,然后作出示意图,利用等差关系列方程求解即可,最后回答行驶的方向时,要注意正确描述方 位角. 变式应用 2 (2010·陕西高考)如图,A,B 是海面上位于东西方 向相距 5(3+ 3 )海里的两个观测点,现位于 A 点北偏东 45°, B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号, 位于 B 点南偏西 60°且与 B 点相距 20 3 海里的 C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为 30 海里/小时,该救援船到达 D 点需要多长时间?

[分析] 利用正弦定理求 BD→利用余弦定理求 DC→结论 [解析] 由题意知 AB=5 (3+ 3 ) , ∠DBA=90°-60°=30°,∠DA B=45°, ∴∠ADB=105° ∴sin105°=sin45°·cos60°+sin60°·cos45 °= 在△ABD 中,由正弦定理得,

2 1 3 2 2? 6 ? ? ? ? . 2 2 2 2 4

∴BD=

AB sin ?DAB 5 3 ? 3 sin 45? ? sin ?ADB sin 105?
4

?

BD AB ? sin ?DAB sin ?ADB

?

2 5 3? 3 · 2 ? 2? 6 4
=

?

?

10 3 1 ? 3 ? 10 3. 1? 3

?

?

又∠DBC=180°-60°-60°=60°. BC=20 3 , 在△DBC 中,由余弦定理得 CD2=BD2+BC2-2×BD×BC×cos60°=300+1200-2×10 3 ×20 3 × ∴CD=30(海里) , 则需要的时间 t=

1 =900. 2

30 =1(小时). 30
探索延拓创新

答:救援船到达 D 点需要 1 小时.

命题方向 正、余弦定理在物理中的应 用 [例 3] 图所示用两根分别长 5 2 米和 10 米的绳子, 将 100N 的物体吊在水平屋顶 AB 上, 平衡后,

G 点距屋顶距离恰好为 5 米,求 A 处所受力的大小(绳子的重量忽略不计). [分析] 决此类问题要先依据题意将物理向量用有向线段来表示, 利用向量加法的平行四边形法则, 将物理问题转化为数学中向量的加法,然后由已知条件进行计算. [解析] 图所示,由已知条件可知 AG 与铅直线成 45°角,BG 与铅直方向成 60°角,A 处所受力 为 fa, 在△GED 中,∠EGD=45°,∠GED=60°, ∴∠GDE=180°-45°-60°=75°,

由正弦定理,得

GD GE ? , sin 60? sin 75?

5

GE sin 60? ∴GD= = sin 75?

100?

3 2 =150 2 -50 6 . 2? 6 4

∴A 处所受力大小为(150 2 -50 6 )N. 变式应用 3 地球与金星的公转轨道 分别是直径为 2.98×108km 和 2.14×108km 的近似圆,圆心为太阳,某时刻, 地球和金星的连线与地球和太阳的连线成 18°的角,如图,求此时地球与金星之间的距离(地球、金星、 太阳均视为点,结果保留 3 个有效数字).

[解析] 此时刻太阳、 地球、 金星的位置分别在点 O、 A、 B 处, 则 OA=2.98×108km,OB=2.14×108km, ∠A=18°,由正弦定理,得 sin∠ABO= ∵OA>OB, ∴∠ABO=25.49°或∠ABO=154.51°, 当∠ABO=25.49°时,∠AOB=136.51°, AB=

OA sin 18 ? ≈0.4303, OB

OB sin ?AOB ≈4.77×108(km). sin 18 ?
OB sin ?AOB ≈9.03×107(km). sin 18 ?
名师辨误做答

当∠ABO=154.51°时,∠AOB=7.49°, AB=

答:此时地球与金星之间的距离约为 4.77×108km 或 9.03×107km.

[例 4] 海岸 A 处,发现北偏东 45°方向,距 A 处( 3 -1)n mile 的 B 处有一艘走私船,在 A 处 北偏西 75°的方向,距离 A 处 2n mile 的 C 处的缉私船奉 命以 10 3 n mile/h 的速度追截走私船.此时,走 私船正以 10n mile/h 的速度从 B 处向北偏东 30°方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?

[误解] 缉私船用 t 小时, 在 D 处追上走私船, 在△ABC 中, 由余弦定理, 得 BC2=AB2+AC2-2AB· AC· cos ∠CAB=( 3 -1) 2+22-2×( 3 -1)×2×cos120°=6, ∴BC= 6 .
6

在△BCD 中,BD=10t,CD=10 3 t, 由余弦定理,得 CD2=BC2+BD2-2BC·BD×cos∠CBD, ∴(10 3 t) 2=6+(10t) 2 -2× 6 ×10t×(整理,得 100t2-5 6 t-3=0, 解得 t=

1 ) , 2

6 . 10

∴BD= 6 ,又 BC= 6 ,∠CBD=120°. ∴∠BCD=∠BDC=30°. 故缉私船沿东偏北 30°的方向能最快追上走私船. 述解法错误的原因在于默认为∠CBD=120°,而没有给出证明,并且多余的求出时间 t. 缉私船用 t 小时在 D 处追上走私船.在△ABC,由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠CAB=( 3 -1) 2+22-2×( 3 -1)×2×cos120°=6, ∴BC= 6 . 在△BCD 中,由正弦定理,得 sin∠ABC=

AC 2 sin∠BAC= , BC 2

∴∠ABC=45°,∴BC 与正北方向垂直. ∴∠CBD=120°.在△BCD 中,由正 弦定理,得

CD BD ? , sin ?CBD sin ?BCD


10 3t 10 ? , sin 120? sin ?BCD
1 ,∴∠BCD=30°. 2
课堂巩固训练

∴sin∠BCD=

故缉私船沿东偏北 30°的方向能最快追上走私船.

一、选择题 1.在某测量中,设 A 在 B 的南偏东 34°27′,则 B 在 A 的( A.北偏西 34°27′ C.北偏西 55°32′ [答案] A 2.如果在测量中,某渠道斜坡的坡比为 B.北偏东 55°33′ D.南偏西 55°33′ )

3 ,设α 为坡角,那么 cosα 等于( 4
B.



A.

3 5 3 4

4 5 4 3
7

C.

D.

B 由题意,得 tanα =

3 sin ? 3 ? , ,∴ 4 cos ? 4



1 ? cos2 ? 9 sin 2 ? 9 ? , ? , 即 cos2 ? 16 cos2 ? 16
cosα =

∵α 为锐角,

4 . 5
)

3.一船以 22 6 km/h 的速度向正北航行,在 A 处看灯塔 S 在船的北偏东 45°,1 小时 30 分后航行到 B 处,在 B 处看灯塔 S 在船的南偏东 15°,则灯塔 S 与 B 之间的距离为 ( A.66 km C.96 km [答案] A [解析] 如图,∠ASB=180°-15°-45°=120°, B.132 km D.33 km

AB=22 6 ×

3 ? 33 6 , 2

由正弦定理,得 ∴SB=66km. 二、填空题

33 6 SB , ? sin120? sin 45?

4.一艘船以 4 km/h 的速度沿着与水流方向成 120°的方向航行,已知河水流速为 2 km/h,则经过 3 h,该 船实际航程为 [答案] 6 km [解析] 如图,水流速和船速的合速度为 v, .

在△OAB 中: OB2=OA2+AB -2OA·AB·cos60°,


∴OB=v=2 3 km/h. 即船的实际速度为 2 3 km/h,则经过 3 h,其路程为 2 3 × 3 =6 km. 5.一只蚂蚁沿东北方向爬行 xcm 后,再向右转 105°爬行 20cm,又向右转 135°,这样继续爬行可回到出 发点处,那么 x= .
8

[答案]

20 6 cm 3

[解析] 如图△ABC 中,∠A=45°+15°=60°,

∠B=45°+30°=75°,∠ACB=45°,由正弦定理知

x 20 ? , sin ?ACB sin A

∴x=

20 6 . 3
课后强化作业

一、选择题 1.已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离相等,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40°,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60°,则灯塔 A 在灯塔 B 的( A.北偏东 10° C.南偏东 10° [答案] B [解析] ) B.北偏西 10° D.南偏西 10°

∠ACB=180°-40°-60°=80°, ∵AC=BC,∴∠ABC=50°, ∴α =60°-50°=10°. 2.甲船在 B 岛的正南 A 处,AB=10km,甲船以 4 km/h 的速度向正北航行,同时,乙船自 B 岛出发以 6km/h 的速度向北偏东 60°的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们航行的时间是 ( A. )

150 min 7

B.

15 h 7

C.21.5min [答案] A

D.2.15h

[解析] 如图,设经过 x 小时时距离为 s,则在△BPQ 中,由余弦定理知:

9

PQ2=BP2+BQ2-2BP·BQ·cos120°, 即 s2=(10-4x) 2+(6x) 2-2(10-4x)×6x×(=28x2-20x+100. 当 x=-

1 ) 2

b 5 5 150 ? 时,s2 最小,此时 x= h= mi n. 2a 14 14 7


3.如图所示,B、C、D 三点在地面同一直线上,DC=a,从 C、D 两点测得 A 点 的仰角分别为β 、α (α <β ),则 A 点离地面的高 AB 等于(

A.

a sin ? sin ? sin ?? ? ? ?

B.

a sin ? sin ? cos?? ? ? ? a cos? cos ? cos?? ? ? ?

C.

a sin ? cos? sin ?? ? ? ?

D.

[答案] A [解析] 由 tanα =

AB AB a sin ? sin ? ,tanβ = ,联立解得 AB= . a ? CB CB sin ?? ? ? ?

4.一质点受到平面上的三个力 F1 、 F2 、 F3 (单位:牛顿)的作用而处于平衡状态,已知 角,且 F1 、 F2 的大小分别为 2 和 4,则 F3 的大小为 ( A.6 C.2 5 [答案] D [解析] 由题意,得 F1 + F2 + F3 =0, ∴ F1 + F2 、 F3 =- F3 , ∴( F1 + F2 )2= F3 2, ∴ F1 + F2 2+2 F1 · F2 ·= F3 2, ∴4+16+2×2×4×cos60°= F3 2, ∴ F3 2=28,
2

F1 、 F2 成 60°

)

B.2 D.2 7

10

∴| F3 |=2 7 .故选 D. 5.一船向正北航行,看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后, 看见一灯塔在船的南偏西 60°方向上,另一灯塔在船的南偏西 75°方向上,则这艘船的速度是每小时 ( ) B.5 3 海里 D.10 3 海里

A.5 海里 C.10 海里 [答案] C

[解析] 如图,依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,

∴∠CAD=∠CDA=15°,从而 CD=CA=10, 在 Rt△ABC 中,求得 AB=5, ∴这艘船的速度是

5 =10(海里/小时). 0 .5
) B.100 3 米 D.30 米

6.江岸边有一炮台高 30 米,江中有两条船,由炮台顶部测得俯角分别为 45°和 30°,而且两条船与炮台 底部连线成 30°角,则两条船相距( A.10 3 米 C.20 3 米 [答案] D [解析] 设炮台顶部为 A,两条船分别为 B,C,炮台底部为 D,可知∠BAD=45°,∠CAD= 60°,∠BDC=30°,AD=30.分别在 Rt△ADB,Rt△ADC 中,求得 BD=30,DC=30 3 .在△DBC 中,由余弦 定理得 BC2=DB2+DC2-2DB·DCcos30°,解得 BC=30. 7.如图,在一幢 20m 高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为 60°,底部的俯角为 45°,那么这座塔吊的高 是( )

A.20(1+

3 )m 3

B.20(1+ 3 )m D.20( 6 ? 2 )m

C.10( 6 ? [答案] B [解析]

2 )m

∠DAE=60°,∠EAC=45°,
11

又 EC=20m, ∴BC=AE=20m, 在△AED 中,DE=AEtan60°=20 3 m. ∴塔吊的高度是 20(1+ 3 )m. 8.如下图所示,一船自西向东匀速航行,上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75°距塔 68 海里的 M 处, 下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处,则这只船航行的速度为( )

A.

17 6 海里/小时 2
17 2 海里/小时 2

B.34 6 海里/小时 D.34 2 海里/小时

C.

[答案] A [解析] 由题意知 PM=68,∠MPN=120°,∠N=45°, 由正弦定理知

PM MN 3 ? × 2 =34 6 , ?MN=68× sin 45? sin 120 ? 2

∴速度为

34 6 17 6 (海里/小时). ? 4 2

二、填空题 9.一角槽的横断面如图所示,四边形 ABED 是矩形,已知∠DAC=50°,∠CBE=70°,AC=90,BC=150, 则 DE= .

[答案] 210 [解析] 由题意知∠ACB=120°, 在△ACB 中,由余弦定理,得 AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB =902+1502-2×90×150×(∴AB=210,DE=210. 10.在静水中划船的速度是每分钟 40m,水 流的速度是每分钟 20m,如果船从岸边 A 处出发,沿着与水流 垂直的航线到达对岸,那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角 为 [答案] 30°
12

1 )=44100. 2

.

[解析] 水流速度与船速的合速度为 v,方向指向河岸,如图由题意可知 sinα = ∴α =30°.

v水 20 1 ? ? v船 40 2

11.有一长为 100 米的斜坡,它的倾斜角为 45°,现在要把倾斜角改成 30°,则坡底要伸 米. [答案] 50( 6 ? 2 ) [解析]

在△ABC 中,∠C=90°, ∠ABC=45°, AB=100,∴AC=50 2 . 又在△ACD 中,∠ADC=30°, ∴∠DAB=45°-30°=15°. sin15°=sin(45°-30°)=

6? 2 . 4

在△ABD 中,由正弦定理,得

BD AB ? , sin ?DAB sin ?ADB

100? sin 15? ∴BD= ? sin 30?

100?

6? 2 4 =50( 6 ? 2 )(米). 1 2

12.在灯塔上面相距 50 米的两点 A、B,测得海内一出事渔船的俯角分别为 45°和 60°,试计算该渔船离 灯塔的距离 . 25( 3 +1) (米) 由题意,作 出图形如图所示,

13

设出事渔船在 C 处,根据在 A 处和 B 处测得的俯角分别为 45°和 60°, 可知∠CBD=30°,∠BAC=45°+90°=135°, ∴∠ACB=180°-135°-30°=15°, 又 AB=50,在△ABC 中,由正弦定理,得

AB AC ? , sin 15? sin 30?

AB ? sin 30? ∴AC= ? sin 15?

50 ?

1 2 =25( 6 ? 2 ) (米). 6? 2 4
2 25 6 ? 2 · 2 AC ? ? 25 3 ? 1 (米). 2 2

∴出事渔船离灯塔的距离 CD= 三、解答题

?

?

?

?

1 3.甲船在 A 处遇险, 在甲船西南 10 海里 B 处的乙船收到甲船的求救信号后, 测得甲船正沿着北偏西 15° 的方向,以每小时 9 海里的速度向某岛靠近.如果乙船要在 40 分钟内追上甲船,问乙船应以多大速度、向 何方向航行?(注:sin21°47′=

3 3 ) 14

[分析] 解答本题可先画示意图,然后运用余弦定理求解速度,用正弦定理求乙船的航向. [解析] 设乙船速度为 v 海里/时,

在△ABC 中,由余弦定理可知: BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos∠CAB,
2 2

2 ?2 ? ?2 ? 2 ? v ? ? ? ? 9 ? ? 10 ? 2 ? ? 9 ? 10 ? cos120? , 3 ?3 ? ?3 ?
∴v=21 海里/时. 又由正弦定理可知:

BC AC ? , sin ?BAC sin B

14

2 ?9 AC ? sin ?BAC 3 3 3 ∴sinB= , ? ? sin 120? ? 2 BC 14 ? 21 3
∴∠B≈21°47′, 即乙船应按北偏东 45°-21°47′=23°13′的方向航行. 14.A、B 是海平面上的两个点,相距 800 m,在 A 点测得山顶 C 的仰角为 45°,∠BAD= 120°,又在 B 点测得∠ABD=45°,其中 D 是点 C 到水平面的垂足,求山高 CD.

[解析] 如图,由于 CD⊥平面 ABD,∠CAD=45°,所以 CD=AD.因此,只需在△ABD 中求出 AD 即可.

在△ABD 中,∠BDA=180°-45°-120°=15°,

AB AD AB ? sin 45? ? , 得AD ? ? 由 sin 15? sin 45? sin 15?
∵CD⊥平面 ABD,∠CAD=45°, ∴CD=AD=800( 3 +1)≈2 186(m). 答:山高 CD 为 2 186 m.

800?

2 2 ? 800 3 ? 1 (m). 6? 2 4

?

?

15.如图所示,海中一小岛周围 3.8 n mile 内有暗礁,一船从 A 由西向东航行望见此岛在北 75°东.船行 8 n mile 后,望见此岛在北 60°东,如果该船不改变航向继续前进,有没有触礁的危险.

[解析] 在△ABC 中,AC=8,∠ACB=9 0°+60°=150°,∠CAB=90°-75°=15°, ∴∠ABC=15°.∴△ABC 为等腰三角形,BC=AC=8,在△BCD 中,∠BCD=30°,BC=8, ∴BD=BC·sin30°=4>3.8.故该船没有触礁危险. 16.如图所示,A、B 两个小岛相距 21n mile,B 岛在 A 岛的正南方,现在甲船从 A 岛出发,以 9n mile/h 的速 度向 B 岛行驶,而乙船同时以 6n mile/h 的速度离开 B 岛向南偏东 60°方向行驶,问行驶多少时间后,两 船相距最近,并求出两 船的最近距离.

15

[解析] 行驶 t 小时后, 甲船行驶了 9tn mile 到达 C 处, 乙船行驶了 6tn mile 到达 D 处.当 9t<21, 即 t< 时,C 在线段 AB 上,此时 BC=21-9t,在△BCD 中,BC=21-9t,BD=6t, ∠CBD=180°-60°=120°,由余弦定理,得 CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos 120° =(21-9t)2+(6t) 2-2×(21-9t)·6t· (=63t2-252t+441=63(t-2) 2+189. ∴当 t=2 时,CD 取得最小值 189 =3 21 . 当 t=

7 3

1 ) 2

7 7 时,C 与 B 重合,此时 CD=6× =14>3 21 . 3 3

当 t>

7 时,BC=9t-21,则 CD2=(9t-21) 2+(6t) 2-2×(9t-21)×6t×cos60°=63t2-252t+441=63(t3

2) 2+189>189. 综上可 知,t=2 时,CD 取最小值 3 21 ,故行驶 2h 后,甲、乙两船相距最近为 3 21 n mile.

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