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2.2.3向量数乘运算及其几何意义


个旧三中高一年级数学教案
课题:2.2.3 向量的数乘运算及其几何意义 主备人:胡珍谊
教材分析 本节内容介绍的是向量与实数相乘的相关内容,其中包括定义、性质以及运算法则,对 于这一部分的内容我觉得关键是在于让学生能够从理解的角度认可并掌握实数与向量相乘 的几何图形表示。 学情分析 通过 2.2 的学习,在有了向量的加减法的基础上,在理解数乘运算的几何作法及共线方面仍 然会有一些困难 教学目标 (1)掌握向量数乘运算法则,并理解其几何意义; (2)让学生能由实数运算律类比向量运算律, 并且验证强化对知识的形成过程的认 识,正确表示结果; (3)初步学会用向量的方法解决几何问题和实际应用问题。

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教学重点 向量的数乘运算法则的理解及几何意义。 教学难点 正确运用法则解决几何问题。 教学理念

自主、合作、探究
教学策略 课文一开始的引入是从图形的放大和缩小是否能使用向量的手段进行解决这个问题 入手的, 是从向量和实数相乘的用法的角度切入的, 可能相当一部分学生对这个问题不怎么 感兴趣。 而从向量的数乘是向量加法的一种特殊情况入手不仅复习回顾了前面向量的加减运 算,而且从加法的特例(即几个相同的向量相加)入手,使得学生能自然地接受几何表示, 不会觉得很突兀。 其次牢记实数与向量相乘的结果是向量,而不是数,也比较重要, 尤其是当 向量为零或实数为零时,是讲解的重点。并且对于代数形式,稍加归纳总结即可。运算率可 以让学生自己来证明。最后就是在解题的过程中,要强调格式的正确性,因为是高中的新知

识,初中没有接触过,所以正确的格式要坚持强调。 教学环节: 一、前提测评 1、向量加法的三角形法则 作法:各向量“首尾相连”,和向量由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点. 2、向量加法的平行四边形法则 作法:(1)在平面内任取一点 A; (2)以点 A 为起点以向量 a、 b 为邻边作平行 四边形 ABCD.即 AD=BC=a,AB=DC=b ; (3)则以点 A 为起点的对角线 AC=a+b. 3.向量减法:如果从向量 a 的终点指向向量 b 的终点作向量 二、展示目标 (1)掌握向量数乘运算法则,并理解其几何意义; (2)让学生能由实数运算律类比向量运算律, 并且验证强化对知识的形成过程的认 识,正确表示结果; (3)初步学会用向量的方法解决几何问题和实际应用问题。

三、导学达标 1.例:已知如图向量 a 为非零向量,试用作图方式表示 a + a + a 和- a +(- a ) 一.向量数乘的相关概念及性质: 1.向量数乘(实数和向量相乘)的定义: 实数 ? 和向量 a 的乘积是一个向量,记作 ? a ,且 ? a 的长 (而且我们可以根据刚才的例题总结出这样的结论:)
? ? ? ? ? ?

?a ? ?

a.

?当? ? 0时,与 ? a ( a ? 0)的方向 ? ?当? ? 0时,与
当 ? ? 0 或 a ? 0 时, 0a ? 0 或 ? 0 ? 0.

a 同方向; a 反方向.

2.实数和向量相乘所满足的运算率: (1) (? ? ? )a ? ?a ? ?a ; (2) ? ( ?a) ? (?? )a ;

(3) ? (a ? b) ? ?a ? ?b (分配率). (以上各运算律证明方法见后面,(3)的证明类似于例 1,略,由学生自己证明) 1.计算下列各式: (1) ( ?2) ?

? a; ?

(2) 2(a ? b) ? 3(a ? b) ; (3) (? ? ? )(a ? b) ? (? ? ? )(a ? b) . 解:

(1)( ?2) ?

? a ? ? ? ( ?2 ? )a ; ? ? (?1)a ? ?a

(2)2(a ? b) ? 3(a ? b) ? 2a ? 2b ? 3a ? 3b ? (2a ? 3a ) ? (2b ? 3b) ? ?a ? 5b
(3)(? ? ? )(a ? b) ? (? ? ? )(a ? b) ? ? (a ? b) ? ? (a ? b) ? ? (a ? b) ? ? (a ? b) ? ?a ? ?b ? ? a ? ? b ? ? a
;

??b ? ?a ? ?b ? 2 ? a ? 2? b 例 2.设 x 是未知向量,解方程: 5( x ? a) ? 3( x ? b) ? 0.
解:原式可变形为:

5 x ? 5a ? 3 x ? 3b ? 0 8 x ? ?5a ? 3b x ? ? 5a ? 3b 8 8
(例 1 和例 2 所需要注意的是书写格式要正确,箭头不要丢掉) 例 3.如图所示,已知 OA ? 3 OA , A B ? 3 AB, 说明向量 OB 与 OB 的关系. 解:因为
?? ' ?? ?? ' ' ??
??

?? '

OB ' = OA' + A' B '
=3 OA +3 AB =3( OA + AB ) =3 OB
?? ?? ??

??

??

??

??

??

所以 OB 与 OB 共线且方向相同,长度是 OB 的 3 倍. 四、达标测评 A 组题目和 B 组 1,2 小题.

?? '

??

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