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一堂导数复习课教案


让复习课也充满有效探索与交流 ———记一节市直公开课
温州五十一中 张慧玲
如何设计好一节好的数学复习课, 过去往往是教师进行数学知识结构的归纳和整理, 难 以调动学生学习的主动性和积极性。新课程倡导“数学学习过程应该表现为一个探索与交流 的过程,在探索的过程中形成自己对数学的理解,并在与他人的交流过程中逐渐完善自己的 想法。 ”这种对数学的探索与交流对于习惯了传统教法和学法的师生还不是一个自觉的行为, 尤其在上复习课时,会有学生上课“不买账” “光等着老师讲”等现象。下面是笔者上的一次 《导数的应用》单元复习课,旨在从问题入手,让学生积极参与思考和探索,在主动的体 验过程中掌握和灵活运用知识。 一、教学设计过程 教学设计思路 导数是在解决几何中与切线有关问题,函数单调性,求极值、最值,含参不等式问题, 证明不等式等方面是一个重要工具,笔者在设计这节课时主要是想通过相同或相似的背 景,尽量少的题目,以问题串的形式来实现教学目标,因此采取了如下的教学设计思路。 教学方法:变式教学———这样可以让学生从题海中解脱出来,形成知识网络,增强知 识的系统性与连贯性,从而使学生能够抓住问题的本质,加深对问题的理解,从“变”的现象中 发现“不变”的本质,从“不变”的本质中探索“变”的规律; 教学手段:多媒体辅助教学———主要是采用几何画板教学,这样可以增强学生对图形 的直观理解,同时利用几何画板的优势,把图形的变换过程体现在学生的面前,同时在图像 的变化过程中拓展学生对各种问题情形的思考。这节课也采用了电子白板,在白板上原先有 的表格框架中直接填写,代替在黑板上的板书。 二、教学过程 师:前面我们已经学习了导数这一章,知道导数是一个很好的工具,这节课我们一起来探讨 一下导数有那些应用。 问题一:设 f’(x)是函数 f(x)的导函数,y= f’(x)的图像如图所示,请你画出原函数 y=f(x)的图像。
y

y

y 2 0
X

y

O -1

1 2

x
x

(接下来找学生到黑板前画出图像。锻炼学生动手能力。 ) 【设计意图】直接从问题入手,以问题带动学生对知识的回忆,学生在动手画原函数的过程 中就在进行知识和信息的整理,让学生亲自画出图像,能充分调动其参与课堂的积极性。 师:你为什么要这样画,你是怎样分析的?

生1:当x ? ? ?, ( 0)时,f ' ( x) ? 0, 原函数f ( x)单调递增,x ? (0, 2)时,f ' ( x) ? 0, 原函数f ( x)单调递减,x ?(2,+?)时,f ' ( x) ? 0, 原函数f ( x)单调递增。
师:那么当 x=0 与 x=2 时是原函数的什么点呢?

生 1:极值点。 师:那么哪个是极大值点哪个是极小值点呢? 生 1:x=0 是极大值点,因为它左右的两个区间导数值是先正后负,原函数就先增后减,所 以是极大值点,而 x=2 时,导函数在左右两个区间是先负后正,原函数就是先减后增,所以是 极小值点。 评注:这里让做此题的学生说出自己的分析思考过程,充分体现了学生学习的自主性。 师:分析得很好,请坐。由这里我们可以看出,已知导函数的图像和性质,我们可以推测出 原函数的图像和性质。有时研究导函数的图像会更加简单些。我们也可以列出下列表格: (2, ??) (??,0) x 0 (0,2) 2 f’(x) f(x) + 递增 0 极大值 递减 0 极小值 + 递增

【设计意图】这里动手列表格可以让学生对函数的单调性和极值有更基本和清楚的认识,同 时有用手写出表格中的各项可以展现整个思维过程,这和用幻灯片直接投影出内容相比效果会更 好。 那么导数到底有那些应用呢?我们来看下面的例题。 (用幻灯片投影出以下例题)

1 例、若函数 f ? x ? ? x3 ? x 2 ? bx ? c 2
(1) 点 P(-1,3)是函数图像上的点,点 P 处的切线的斜率为 4,求 b,c 的值。 师:切线问题怎样解决呢? 生 2:先求导。然后把 x=-1 带入导函数,得出 b=0. 再把(? 1 3)代人原函数,得出c ? ,

9 . 2

师:对,这就是导数的几何意义,在求过曲线上的点的切线的斜率时通常用到。 【设计意图】设置这个题目的目的是为了让学生认识到导数的几何意义与曲线的切线相关, 可以解决与切线有关的几何问题。 (2)f(x)是 R 上的单调函数,求 b 的值。 生 3: f ( x) ? x ? x ? b ,导函数 f ( x) ? x ? x ? b 必然恒大于 0.原函数单调递增,故
' 2 ' 2

? ? 0,即? ? 1 ? 4 ? 3b ? 0,? b ?

1 . 12

师:那么原函数有没有可能是单调递减的呢? 生 3:不可能,因为导函数是二次函数,开口向上,只可能是非负数。 师:对,这里特别要注意导函数是可以等于 0 的。例如函数 f(x)=x3,图像我们大家都知道是 递增的,但是它在 x=0 处的导数值是 0,这一点并不影响其单调性。一个函数如果是连续的, 在个别孤立的离散的点处,其导函数为零并不影响其单调性。所以我们特别强调单调函数的导 数可以等于零。 师:有的三次函数是有增区间有减区间的,有的只是单调的,在这里我们看到只有改变参 数 b 的值,就可以改变函数的单调性。 (以下用几何画板展示)

【设计意图】本题的设置是在上一题同样的背景下,复习函数的单调性,这是导数最基本 的应用之一。 (3)若 f(x)在 x=1 处取得极值 (Ⅰ)此时方程 f(x)=0 有三个根,求 c 的取值范围。 师:满足怎样的条件方程才有三个根呢? 生 4:图像要向上图那样穿过三次。 师:那么这样的图像要满足哪些条件呢? 生 4:极大值大于零,极小值小于零。通过讨论 f ( x) ? x ? x ? b
' 2

3 22 3 2 22 得出极大值为 f (? ) ? c ? ? c ? .. ? 0, 极小值为f (1) ? c ? ? 0.因此 ? 2 27 2 3 27 师:很好,何时有一个根呢?两个根呢?我们也可以借助几何画板来看一看。

师:当极小值大于零或极大值小于零时方程只有一个根,当极小值或极大值等于零时,方程 有两个根。而要讨论根的个数就需要借助导数讨论极大值和极小值。 【设计意图】在原题的背景下,层层递进,三次方程的根的个数的讨论也和导数的应用密切相关, 只要根据图形,求出极大值和极小值之后,再判断出极大值和极小值与 0 的关系。几何画板 的演示,使对方程根的个数的情况有了全面认识。 (ⅱ)若 x ? ? ?1, 2? , f ( x) ? c 恒成立,求实数c的取值范围。
2

师:恒成立问题怎样解决? 生 5:只要最大值比 c2 小就可以了。 师:最大值该怎样求呢? 生 5:用极大值和端点值进行比较,较大的就是最大值。 师:很好,关于不等式恒成立问题,可以转化为求极值。函数小于常数恒成立只要函数最大

值小于常数,函数大于常数恒成立,只要函数最小值大于常数。 【设计意图】在上一题的求出函数的极大值和极小值后,恒成立问题就又深入了一部,需要 求函数的最值,从而函数最值的求法得以复习巩固。

2007年高考题:设f ( x) ?

2 x3 2 , 对任意实数t , 记gt ( x) ? t 3 x ? t , 3 3 求证:当x ? 0时,f(x)? gt(x)对任意正实数t成立.

师:这个不等式证明问题该怎样解决呢? 生 6: 可以把右边的部分移到左边来, 那右边就变成 0 了, 那么这个问题就是恒成立问题了。 师:你说得太好了。

x3 2 2 师板书:F(x)=f ( x )? gt x ? ? t 3 x ? t ? ( ) 3 3

0

师:你有没有发现现在这个不等式的左边变成什么了呢? 生 6:新的函数。只要求这个新的函数的最小值大于等于零就可以了。 师:非常好。怎样求最大值? 生 6:求导。 下面求函数的导数部分过程略。 师:看来证明不等式问题可以转化为函数问题,只要把一边化成常数,就成为一个恒成立 问题,再借助导数这个工具,求极值和最值。 【设计意图】设计了一道 07 年浙江省的高考题旨在一是让大家更为重视导数的应用,同时 也让学生的探究热情达到了高潮。这道高考题反映了导数的另一方面的应用,就是解决不等式的 证明问题。在上一题的恒成立问题的基础上又递进了一步,移项之后相当于构造了新的函数,再 转化为已经解决了的恒成立问题,能锻炼学生对导数的综合应用能力。 课后延伸思考: 师:事实上,大家看到左边的函数 F(x)有几个变量呢? 生齐:两个。 师:我们习惯上是把 x 当作自变量,而事实上,大家可以考虑是否能把 t 当成自变量呢?如 果把 t 当成自变量,那我们可不可以对 t 进行求导,从而求出新构造函数的最小值。这个问题其 实是个双变量问题,留给同学们课后思考。 【设计意图】如果说课内的自主探究空间是有限的,那么课外的自主探究则是无限的,通过 课内的引导,激发,点燃学生的探究热情,并把这种热情自觉地延伸到课外,学生的探究意思、 创新能力将会得到积极有效的发展。 课堂小结 师:刚才我们看到导数有以上的一些应用,在解决函数问题时是一个有用的工具,希望大 家在以后的学习中能很好的应用它。 课后反思: 1、这堂课能够抓住导数的应用为主线,通过设计一系列问题的分析,达到复习导数的综合 应用的目的,而且这也是高考的一个主要方向。 2、美中不足的是在有一个学生在提到二阶导数时,考虑的不是很充分。事实上,如果

f ' ( x) ? 0, 而f''(x) ? 0 ,则 x=c 是 f(x)的极值点。 f''(x)>0,则 f’(x)在 x=c 附近递增,由负变正,
所以 f(x)由递减变递增,在 x=c 处取得极小值。 f''(x)<0, f’(x)在 x=c 附近递减,由正变 负,所以 f(x)由递增变递减,在 x=c 处取得极大值。

3、上复习课的传统模式是教师先对知识点进行复习总结,然后讲解典型例题,从而达到 复习的目的,但是缺点是不容易调动学生的积极性。而以问题入手,让学生在解决问题的过 程中发生思维的碰撞,冲突,整个过程都有学生的参与思考,能让学生更好地掌握知识。这 节课虽然问题设置不是很多,但能抓住了导数的本质,利用典型的问题,引起学生对导数的 思考,设计的问题串,达到了使探讨的问题层层递进深入的目的。课堂注重学生的参与和互 动,使学生的思维得到了发展。再通过教师的精炼总结,使学生对导数的应用有了更加明确 的认识,从而达到复习的真正目的。 4、上复习课因为不容易受局限,给教师的空间大,所以现在各类评比,职称评定课都比 较多的以复习课形式命题。 “数学教学的基本要点应是以数学知识的教学为载体,开启学生的智 慧大门,引发学生实质性的数学思维,促进学生的全面发展,所以数学课堂中应该有更多的探 究和理解,更少的简单记忆和机械模仿” (章建跃) 。作为一线教师,在平时的教学中,尤其在 上复习课时,如何让学生更多地参与课堂活动,有效地实施探究式教学是值得我们思考的问题。


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