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圆锥曲线中的轨迹问题

轨迹方程
例 1. (江苏卷)已知两点 M (-2 , 0 ) 、 N( 2 ,0 ) ,点 P 为坐标平面内的动点,满足
| MN | ? | MP | ? MN ? MP

=0,则动点 P(x,y)的轨迹方程为 (C) y 2 ? 4 x (D) y 2 ? ?4 x

(A) y 2 ? 8x

(B) y 2 ? ?8 x

【思路点拨】本题主要考查平面向量的数量积运算,抛物线的定义. 【正确解答】设 P( x, y ) , x ? 0, y ? 0 , M (?2, 0), N (2, 0) , MN ? 4 则 MP ? ( x ? 2, y ), NP ? ( x ? 2, y )
2 2 由 MN ? MP ? MN ? NP ? 0 ,则 4 ( x ? 2) ? y ? 4( x ? 2) ? 0 ,

???? ?

????

??? ?

化简整理得 y ? ?8 x 所以选 B
2

【解后反思】向量的坐标表示和数量积的性质在平面向量中的应用是学习的重点和难点.也 是高考常常考查的重要内容之一.在平时请多多注意用坐标如何来表示向量平行和向量垂直, 既要注意它们联系,也要注意它们的区别. 例 2.设过点 P( x, y ) 的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A, B 两点,点 Q 与点

? ??? ? ??? ? ???? ??? P 关于 y 轴对称, O 为坐标原点,若 BP ? 2PA 且 OQ?AB ? 1 ,则点 P 的轨迹方程是
A. 3 x 2 ? C.

3 2 y ? 1( x ? 0, y ? 0) 2

B. 3 x 2 ? D.

3 2 y ? 1( x ? 0, y ? 0) 2

3 2 x ? 3 y 2 ? 1( x ? 0, y ? 0) 2

3 2 x ? 3 y 2 ? 1( x ? 0, y ? 0) 2

解:设 P ( x , y) ,则 Q (- x , y) ,又设 A ( a , 0 ) ,B (0 , b ) ,则 a?0 , b?0 ,于是

??? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 BP=(x,y-b), PA =(a-x,-y) , 由B b=3y, 所以 x?0, y?0 P=2 P A 可得 a= x, 2 ???? ??? ? ??? ? 3 3 又 AB =(-a,b)=(- x,3y) ,由 OQ ? AB =1 可得 x 2 ? 3 y 2 ? 1( x ? 0, y ? 0) 2 2
故选 D

练习:轨迹方程的应用 1.若 AB ? 2, AC ?

2 BC ,则 S ?ABC 的最大值
2 2



2、在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x ? y ? 4 上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=0 的 距离为 1,则实数 c 的取值范围是______▲_____
[来源

3. y ? x 上两个动点 A,B,且 AB=3 求 AB 中点到 y 轴距离的最小值。
2

4.如图,AB 是平面 a 的斜线段,A 为斜足,若点 P 在平面 a 内运动,使得△ABP

的面积为定值,则动点 P 的轨迹是 B

(A)圆 (C)一条直线

(B)椭圆 (D)两条平行直线

5.如图(21)图,M(-2,0)和 N(2,0)是平面上的两点,动点 P 满足: PM ? PN ? 6. (Ⅰ)求点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)若 PM · PN =

2 ,求点 P 的坐标. 1 ? cos ?MPN

解:(Ⅰ)由椭圆的定义,点 P 的轨迹是以 M、N 为焦点,长轴长 2a=6 的椭圆. 因此半焦距 c=2,长半轴 a=3,从而短半轴

b= a 2 ? c 2 ? 5 ,
所以椭圆的方程为 (Ⅱ)由 PM ?PN ?

x2 y 2 ? ? 1. 9 5

2 ,得 1 ? cos MPN


PM ?PN cos MPN ? PM ?PN ? 2.

因为 cos MPN ? 1, P 不为椭圆长轴顶点,故 P、M、N 构成三角形.在△PMN 中, MN ? 4,由余弦定理有

MN ? PM ? PN ? 2 PM ?PN cos MPN .
将①代入②,得

2

2

2



42 ? PM ? PN ? 2( PM ?PN ? 2).
故点 P 在以 M、N 为焦点,实轴长为 2 3 的双曲线

2

2

x2 ? y 2 ? 1 上. 3

由(Ⅰ)知,点 P 的坐标又满足

x2 y2 ? ? 1 ,所以 9 5
? 3 3 , ?x ? ? ? 2 解得 ? ?y ? ? 5 . ? ? 2

2 2 ? ?5 x ? 9 y ? 45, 由方程组 ? 2 2 ? ? x ? 3 y ? 3.

即 P 点坐标为

(

3 3 5 3 3 5 3 3 5 3 3 5 , )、( ,- )、(, )或( ? ,- ). 2 2 2 2 2 2 2 2


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