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数学选修1-2 2.1.1

2.1.1

合情推理

1.归纳推理和类比推理
归纳推理 由某类事物的部分对象具有某些 特征, 推出该类事物的全部对象都 定义 具有这些特征的推理, 或者由个别 事实概括出一般结论的推理, 称为 归纳推理( 简称归纳) 特征 归纳推理是由部分到整体、由个 别到一般的推理 类比推理 由两类对象具有某些类 似特征和其中一类对象 的某些已知特征, 推出另 一类对象也具有这些特 征的推理称为类比推理 ( 简称类比) 类比推理是由特殊到特 殊的推理

归纳推理和类比推理的结论一定正确吗?
提示:归纳推理的结论超出了前提所界定的范围, 其前提和结论之间的联系不是必然性的,而是或然 性的,结论不一定正确.类比推理是从人们已经掌 握了的事物的特征,推测正在被研究中的事物的特 征,所以类比推理的结果具有猜测性,不一定正确.

【做一做 1-1】 如图所示的是一串黑白相间排列的珠子, 若按这种规律排 列下去, 那么第 36 颗珠子的颜色是( )

A.白色

B.黑色

C.白色的可能性大 D.黑色的可能性大 解析: 由题图知, 这串珠子的排列规律是: 5 个一组( 3 个是白色珠子, 每 前 后 2 个是黑色珠子) 呈周期性排列, 36=5×7+1, 而 即第 36 颗珠子正好是第 8 组中的 第 1 颗珠子, 其颜色与第一颗珠子的颜色相同, 故它的颜色一定是白色. 答案: A

【做一做 1-2】 根据所给出的数塔, 猜测 123 456×9+7 等于( 1×9+2=11 12×9+3=111 123×9+4=1 111 1 234×9+5=11 111 12 345×9+6=111 111 A.1 111 110 C.1 111 112 B.1 111 111 D.1 111 113

)

解析: 根据所给出的数塔的构成规律, 经分析、 比较, 可猜测 123 456×9+7 的 值是由 7 个 1 排成的正整数, 故选 B. 答案: B

2.合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实, 经过观察、分析、比较、联想, 再进 含义 行归纳、 类比, 然后提出猜想的推理.我们把它们统称为合情推理.通俗地说, 合情 推理是指“合乎情理”的推理 过程

【做一做 2】 已知在数列{an}中, 1=3, n-an· n+1=1( a a a n∈N*)An 表示数列{an} , 的前 n 项之积, A2 011= 则 . 解析: a1=3, 1-a1a2=1, a2= 2 ; a2= 2 , 2-a2a3=1, a3=- 1 ; 由 a 得 由 a 得 由

3 2
呈周期性变化, 最小正周期为 3.

3

2

a3=- 1 , 3-a3a4=1, a4=3, a 得 所以 a1=a4=3, 因此可归纳出数列{an}的项从 a1 开始

而 a1a2a3=3× 2 ? ? ? 1 ? =-1, 011=670×3+1, A2 011=(-1)670×a2 011=a1=3. 2 故

? ? 3 ? 2?

答案: 3

题型一

数列中的归纳推理

【例题 1】 已知数列{an}满足 a1=1, n+1=2an+1( a n=1, 3, . 2, …) ( 求 a2, 3, 4, 5; 1) a a a ( 归纳猜想通项 an 的表达式. 2) 分析:由 a1 求 a2 →由 a2 求 a3 →由 a3 求 a4 →由 a4 求 a5 →分析 a1, 2, 3, 4, 5 的结 a a a a 构特征→猜想通项公式 an

解: 当 n=1 时, (1) 由已知 a1=1, n+1=2an+1, a 得 a2=2×1+1=3, 3=2×3+1=7, 4=2×7+1=15, 5=2×15+1=31. a a a (2) a1=1=21-1, 2=3=22-1, 由 a a3=7=23-1, 4=15=24-1, 5=31=25-1, a a 可归纳猜想出 an=2n-1(n∈N*) . 反思: 归纳推理具有从特殊到一般, 从具体到抽象的认知功能在求数列的通项或 前 n 项和的问题中, 经常用到归纳推理得出关于前有限项的结论, 此时要注意把 它们的表达式的结构形式进行统一, 以便于寻找规律, 归纳猜想出结论.其具体 步骤是: (1)通过条件求得数列中的前几项; (2)观察数列的前几项, 寻求项的规律, 猜测数列的通项公式.

题型二

几何中的归纳推理

【例题 2】 根据下图中线段的排列规则, 试猜想第 8 个图形中线段的条数 为 .

解析: 分别求出前 4 个图形中线段的数目, 并加以归纳, 发现规律, 得出猜想.图形 ①~④中线段的条数分别为 1, 13, 5, 29.因为 1=22-3, 3-3, 5=2 13=24-3, 29=25-3, 因此 可猜想第 8 个图形中线段的条数应为 28+1-3=509. 答案: 509 反思: 图形中的数列问题也是一类考查归纳推理的热点问题, 归纳的途径有两条: 一是按每个图形中单位图形( 要考查的几何元素, 如本题中的线段) 的数目来归 纳; 二是按图形变化的特点来归纳.

题型三
【例题 3】 请用类比推理完成下表:
平面 三角形两边之和大于第三边 三角形的面积等于任意一边的长度与这边 上高的乘积的一半 三角形的面积等于其内切圆半径与三角形 周长的乘积的一半

类比推理的应用

空间 三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个 面的面积 三棱锥的体积等于任意一个面的面积与该 面上的高的乘积的三分之一

解析: 本题由前两组类比可得到如下信息: ①平面中的三角形与空间中的三棱锥 是类比对象; ②三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对象; ③三角形 边上的高与三棱锥面上的高是类比对象; ④三角形的面积与三棱锥的体积是类 比对象; ⑤三角形的面积公式中的“二分之一”与三棱锥的体积公式中的“三分 之一”是类比对象. 由以上可知:

答案: 三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一 反思: 类比推理的基本原则是根据当前问题的需要, 选择恰当的类比对象, 可以 从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手, 由平面中相关结论类比得到 空间中的相关结论. 平面图形与空间图形类比如下:
平面图形 点 线 圆 三角形 线线角 边长 周长 面积 … 空间图形 线 面 球 四面体 二面角 面积 表面积 体积 …

题型四

易错辨析

【例题 4】 已知 a1, 1, 1, 2, 2, 2 都是非零实数, b c a b c 不等式 a1x2+b1x+c1<0, 2x2+b2x+c2<0 的解集分别为 M, 则“ a1 ? b1 ? c1 ”是“M=N” a N,

a2

b2

c2

成立的 充分也不必要”) .

条件( 选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不

错解: a1 ? b1 ? c1 , 由 知两个方程 a1x2+b1x+c1=0 和 a2x2+b2x+c2=0 同解, 故两个

a2

b2

c2

不等式 a1x2+b1x+c1<0 和 a2x2+b2x+c2<0 同解, 即“ a1 ? b1 ? c1 ”是“M=N”成立

a2

b2

c2

的充要条件.故填: 充要. 错因分析: 类比推理是不严格的推理, 所得的结论正确与否有待于进一步证明. 解题时若直接使用类比所得的结论进行推理则容易出现错误.错解中将方程的 同解原理类比到不等式中, 忽略了等式与不等式的本质区别.

正解: a1 ? b1 ? c1 时, 当 可取 a1=b1=c1=1, 2=b2=c2=-1, a 则得 M=? , N=R, 即由

a2 b2 c2 “ a1 ? b1 ? c1 ”不能推得“M=N”; a2 b2 c2

当 M=N=? 时, 可取 a1=b1=c1=1, 2=1, 2=2, 2=3, a1 ? b1 ? c1 , a b c 则 即由

a2

b2

c2

“M=N”不能推得“ a1 ? b1 ? c1 ”.

a2

b2

c2

综上可知“ a1 ? b1 ? c1 ”是“M=N”成立的既不充分也不必要条件.故填:

a2

b2

c2

既不充分也不必要. 反思: 本题的错解误将类比所得的结论作为推理依据, 从而得到错误的结论.因 此在用类比推理求解问题时, 关键在于准确确定类比物, 建立类比项.如果不抓 住类比的本质及规律则会出现错误的推广.

1 数列 5, 17, x, 9, 33, …中的 x 等于( A.47 答案: B 2 下列类比推理恰当的是( ) B.65

) C.63 D.128

解析: 2+1, 3+1, 5=2 9=2 17=24+1, 33=25+1, 猜想 x=26+1=65.

A.把 a( b+c) loga( 与 x+y) 类比, 则有 loga( x+y) =logax+logay B.把 a( b+c) sin( 与 x+y) 类比, 则有 sin( x+y) =sin x+sin y
n n C.把( n 与( ab) a+b) 类比, 则有( a+b) =an+bn

D.把 a( b+c) a·b+c) 与 ( 类比, 则有 a·b+c) b+a· ( =a· c 答案: D

3 如图( 是第七届国际数学教育大会( 甲) 简称 ICME 7) 的会徽图案, 会徽的主 体图案是由如图( 的一连串直角三角形演化而成的, 乙) 其中 OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1, 如果把图( 中的直角三角形依此规律继续作下 乙) 去, OA1, 2, OAn, 记 OA …, …的长度构成数列{an}, 则此数列{an}的通项公式为 an= .

图( 甲)

图( 乙)

解析: 根据 OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1 和图( 中的各直角三角形, 乙) 由勾股定理, 可得
2 a1=OA1=1, 2=OA2= OA12 ? A1 A2 ? 12 ? 12 ? 2 , 3=OA3= a a
2 …, OA2 ? A2 A32 ? ( 2) 2 ? 12 ? 3 ,

故可归纳推测出 an= n . 答案: n

4(2012 东北四校一模) 给出下列不等 式: 1 ? 1 >1, 1 ? 1 +…+ 1 ? 3 , 1 ? 1 +…+ 1 >2, 1 ? 1 +…+ 1+ 1+ 1+ 1+

2 3 2 3 2 3 7 2 1 5 , 则按此规律可猜想第 n 个不等式为 ? …, 31 2 n ?1 答案: 1 ? 1 +…+ 1 1+ ? 2 3 2n ?1 ? 1 2

15

2

3

.