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2016


2016-2017 学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算高效测评 新人教 A 版选修 1-2

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.设复数 z=(3-4i)(1+2i)(i 是虚数单位),则复数 z 的虚部为( A.-2 C.-2i B.2 D.2i )

解析: 由 z=(3-4i)(1+2i)=11+2i,所以复数 z 的虚部为 2. 答案: B 2.已知复数 z=i(1+i)(i 为虚数单位),则复数 z 在复平面上所对应的点位于( A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限 )

解析: 因为 z=i(1+i)=-1+i,所以 z 在复平面上对应的点位于第二象限. 答案: B 5i 3.复数 =( 1-2i A.2-i C.-2+i 解析: ) B.1-2i D.-1+2i

5i 5i?1+2i? 5i-10 = = =-2+i. 1-2i ?1-2i??1+2i? 5

答案: C 2 4.下面是关于复数 z= 的四个命题: -1+i

p1:|z|=2; p3:z 的共轭复数为 1+i;
其中的真命题为( A.p2,p3 C.p2,p4 )

p2:z2=2i; p4:z 的虚部为-1.

B.p1,p2 D.p3,p4

解析: 利用复数的有关概念以及复数的运算求解. 2 2 2 ∵z= =-1-i,∴|z|= ?-1? +?-1? = 2, -1+i ∴p1 是假命题; ∵z =(-1-i) =2i,∴p2 是真命题;
2 2

1

∵ z =-1+i,∴p3 是假命题; ∵z 的虚部为-1,∴p4 是真命题. 其中的真命题共有 2 个:p2,p4. 答案: C 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.复数 z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位),则 z 的共轭复数 z 为________. 解析: 利用复数的运算求 z,进而得到 z . 由(z-3)(2-i)=5,得 z= ∴ z =5-i. 答案: 5-i 6.若(1+i)(2+i)=a+bi,其中 a,b∈R,i 为虚数单位,则 a+b=________. 解析: 利用复数相等的充要条件求解. ∵a+bi=(1+i)(2+i)=1+3i,∴a=1,b=3,∴a+b=4. 答案: 4 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.计算:(1)i
2 009

5 5?2+i? 5?2+i? +3= +3= +3=5+i, 2-i ?2-i??2+i? 5

+( 2+ 2i) -?
8

? 2 ?50 -2 3+i ; ? + ?1+i? 1+2 3i

5i (2) +(2+i)·(1-i). -1+2i 解析: =?? (1)i
2 009

=i

4×502+ 1

? 2 ?50 8 2 4 4 4 =i,( 2+ 2i) =[2(1+i) ] =(4i) =4 =256,? ? ?1+i?

-2 3+i i?1+2 3i? ?? 2 ?2?25 ? 2 ?25 25 = =i, ? ? =?2i? =(-i) =-i, ??1+i? ? ? ? 1+2 3i 1+2 3i 所以原式=i+256+i+i=256+3i. 5i?-1-2i? (2)原式= +3-i 5 =i(-1-2i)+3-i=-i+2+3-i=5-2i. 8.已知 z=1+i,a,b 为实数. (1)若 ω =z +3 z -4,求|ω |; (2)若
2

z2+az+b =1-i,求 a,b 的值. z2-z+1
2

解析: (1)ω =(1+i) +3(1-i)-4=-1-i,

2

所以|ω |= 2. ?a+b?+?a+2?i (2)由条件,得 =1-i, i 所以(a+b)+(a+2)i=1+i, 所以?
? ?a+b=1, ? ?a+2=1,

解得?

? ?a=-1, ? ?b=2.

5 9.(10 分)满足 z+ 是实数, 且 z+3 的实部与虚部是相反数的虚数 z 是否存在?若存在,

z

求出虚数 z,若不存在,请说明理由. 解析: 存在. 设虚数 z=x+yi(x,y∈R,且 y≠0).

z+ =x+yi+ z x+yi
=x+ 5y ? 5x ? +?y- 2 2?i. x2+y2 ? x +y ?

5

5

5y ? ?y- 2 2=0 由已知得? x +y ? ?x+3=-y ∵y≠0, ∴?
?x +y =5 ? ? ?x+y=-3 ? ?x=-1 ?y=-2 ?
2 2




? ?x=-2 ?y=-1 ?

解得?

或?

.

∴存在虚数 z=-1-2i 或 z=-2-i 满足以上条件.

3


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