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3[1].1不等式与不等关系第一课时


3.1.1

不等关系与不等式

实际生活中

长短
轻 重

大小

高 矮

《铁路旅行常识》
?

随同成人旅行身高1.1~1.5米的儿童, 享受半价客票 ( 以下称儿童票 ) ,超过 1.5米时,应买全价票.每一成人旅客 可免费带一名身高不足 1.1米的儿童, 超过一名时,超过的人数应买儿童 票.

超 过
不 足

?

旅客免费携带品的体积和重量是:每 件物品的外部尺寸长、宽、高之和
不超过 160 厘米,杆状物品不超过 200 厘米,重量不超过20千克……”

不超 过

?

合作讨论, 生成概念
反映不等关系的词语:

超过

不足

不超过
小于 不大于 至少 不小于 不等于

还 有: 大于 大于等于

小于等于 至多

4.文字语言与数学符号之间的转换 文字语言 数学符号 文字语言 数学符号 大于 小于

?
?

至多 至少

大于等于
小于等于

?
?

不少于
不多于

? ?
?

?

在数学中,我们用不等式来表示 不等关系 用不等号将两个解析式连结起来所 构成的式子就叫不等式。

例1 你能用不等式表示下列不等关系吗?

(1)、右图是限速40km/h的路标, 指示司机在前方路段行驶时,应使 汽车的速度v不超过40km/h ,写成 v≤40 不等式是: ____ (2)、某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪 的含量f应不少于2.5%,蛋白质的含量p应不少 于2.3%,用不等式可以表示为 ? f ≥ 2.5% ? ? p ≥ 2.3% (3)设点A与直线a的距离为d,B为直线a上的
任意一点,则|AB| ≥ d。

40

(4)、某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售 出8万本。据市场调查,若单价每提高0.1元销售量 就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价 设为x元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低 于20万元呢? 分析:若杂志的定价为x元,则销售量减少: x ? 2.5 ? 0.2万 本 因此,销售总收入为: 0.1
x ? 2.5 (8 ? ? 0.2)x万 元 用不等式表示为: 0.1 x ? 2.5 (8 ? ? 0.2)x ? 20 0.1

例2、某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截 成500mm和600mm的两种规格。按照生产 的要求,600mm的钢管的数量不能超过 500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有 不等关系的不等式呢? 分析:假设截得500mm的钢管x根,截得 600mm的钢管y根。根据题意,应当有什么 样的不等关系呢? (1)截得两种钢管的总长度不能超过4000mm; (2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm 的钢管数量的3倍; (3)截得两种钢管的数量都不能为负。

上面三个不等关系,是同时成立的关系,要 同时满足的话,可以用下面的不等式组来表 示:

?500x ? 600y ? 4000 ? 3x ? y ? ? ?x ? 0 ?y ? 0 ? ? ? x,y∈N

考虑到实际问题的意义,还应有x,y∈N

练习、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料, 生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐 4吨、硝酸盐18吨;生产1车皮乙种肥料需要 的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨。现有 库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨,在此基础上 进行生产。请用不等式组把此实例中的不等 关系表示出来。 分析:设分别生产 甲.乙两种肥料为 x车皮,y车皮

?4x ? y ? 10 ?18x ? 15y ? 66 ? ? ?x ? 0 ? ?y ? 0

归纳用不等式表示不等关系的 步骤:
1.找反映不等关系的语句

2.列不等式(组 ) (特别要注意 未知量的实际意义)

2. 实数大小的比较
x A O B

如果a-b是正数,则a>b;如果a>b,则a-b为正数;

a ? b ? a ?b ? 0
如果a-b 等于零,则a=b;如果a=b,则a-b 等于零;

a ? b ? a ?b ? 0
如果a-b是负数,则a<b;如果a<b,则a-b为负数.

a ? b ? a ?b ? 0

例1.比较x2-x与x-2的大小. 解:(x2-x)-(x-2) … … … …作差 … … … …变形

= x2-2x +2 = (x-1)2 +1
因为 所以 即 因此 (x-1)2≥0, (x-1)2+1>0,

(x2-x)-(x- 2)>0,… … … …判断符号

x2-x > x-2.
(a+3) (a-5) <

… … … …确定大小

练习:比较(a+3) (a-5) 与 (a+2) (a-4)的大小.

(a+2) (a-4)

小结

1.

建构数学
实际问题:不等关系
抽象 刻画

概括

数学问题:不等式
注意:在解决的时候要先读懂题意,找清不等词所联系 的量,然后用适当的不等号连接起来,对含有多个不等 关系的要用不等式组的形式表示,注意不重不漏。

2.比较两个代数式的大小——作差比较法
作差 →变形→判断符号 →得出结论

变形目的:使变形后的结果易于判断符号.
变形时可采用因式分解、配方等方法


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