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2015赢在高考第一轮复习数学 课后作业4


第二章
第1讲

函数

函数的概念及表示、函数的定义域

基础巩固

1.下列函数中,与函数 y=x 相同的函数是(

)

A.y=

x2 x

B.y=( x)2 D.y=2 2 x
x2

C.y=lg 10x 答案:C

解析:因 y= x =x(x≠0),y=( x)2=x(x≥0), y=lg 10x=x(x∈ R), y=2 2 x =x(x>0),故选 C. 2.下列图象中,可表示函数 y=f(x)的图象的是( )

答案:D 解析:根据函数的定义,任意一个自变量 x 只能有唯一的 y 值与之对应,故 A,B,C 都不是函 数图象,D 符合,所以选 D. 3.已知函数 f(x)= A.1 答案:B 解析:根据题意,由 f(1)=f(-1),可得 a=1-(-1)=2,故选 B. 4.定义 x? y=x3-y,则 h? (h? h)的解析式是( A.-h C.h B.0 D.h3 1 ) 1-x,x ≤ 0, 若 f(1)=f(-1),则 a 的值等于( ax ,x > 0, B.2 C.3 D.4 )

答案:C 解析:由定义得 h? h=h3-h,h? (h? h)=h? (h3-h)=h3-(h3-h)=h. 5.下列函数中,与函数 y= 3 定义域相同的函数为(
x 1

)

A.y=x C.y=xex 答案:D

1

B.y= x D.y=

x

x x

解析:函数 y= 3 的定义域为{x|x≠0},选项 A 中由 sin x≠0?x≠kπ,k∈ Z,故 A 不对;选项 B 中
x

1

x>0,故 B 不对;选项 C 中 x∈ R,故 C 不对;选项 D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确 定方法可知定义域为{x|x≠0}. 6.若函数 f(x)对于任意实数 x 恒有 2f(x)-f(-x)=3x+1,则 f(x)=( A.x-1 C.2x+1 答案:B 解析:由题意知 2f(x)-f(-x)=3x+1.① 将①中 x 换为-x,则有 2f(-x)-f(x)=-3x+1.② ①× 2+②,得 3f(x)=3x+3, 即 f(x)=x+1. 7.设 f:A→B 是从集合 A 到集合 B 的映射,其中 A=B={(x,y)|x∈ R,y∈ R},f:(x,y)→(x+y,x-y). 那么 A 中元素(1,3)的象是 答案:(4,-2) (2,-1) 解析:当 x=1,y=3 时,x+y=4,x-y=-2, 故 A 中元素(1,3)的象是(4,-2). 令 x + y = 1, x = 2, 由此解得 y = -1. x-y = 3, 2 ;B 中元素(1,3)的原象是 . B.x+1 D.3x+3 )

故 B 中元素(1,3)的原象是(2,-1). 8.已知 f x- x =x2+x2 ,则函数 f(3)= 答案:11 解析:∵ f x- x =x2+x2 = x- x +2, ∴ f(x)=x2+2.故 f(3)=32+2=11. 9.已知函数 f(x)= 答案:(-1,3) 解析:由题意知,f(1)=2+1=3,f(f(1))=f(3)=32+6a,若 f(f(1))>3a2,则 9+6a>3a2,即 a2-2a-3<0,解 得-1<a<3. 10.已知 f(x)是二次函数,若 f(0)=0,且 f(x+1)=f(x)+x+1,求函数 f(x)的解析式. 解:设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),∵ f(0)=0, ∴ c=0,即 f(x)=ax2+bx. 又∵ f(x+1)=f(x)+x+1, ∴ a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1. ∴ (2a+b)x+a+b=(b+1)x+1. ∴ 2a + b = b + 1, a + b = 1, a = 2, b = 2.
1 1 1 1 1 1 1 2 1 1

.

x 2 + 2ax,x ≥ 2, 若 f(f(1))>3a2,则 a 的取值范围是 2x + 1,x < 2,

.

解得

∴ f(x)=2x2+2x. 11.记函数 f(x)=lg(2x-3)的定义域为集合 M,函数 g(x)= 1- x-1的定义域为集合 N,求: (1)集合 M,N; (2)集合 M∩N,M∪ N. 解:(1)M={x|2x-3>0}= x x > 2 , 3
3 2

N= x 1- x-1 ≥ 0 ={x|x≥3 或 x<1}; (2)M∩N={x|x≥3},M∪ N= x x < 1 或 x > 2 . 1 + x ,x > 1, 12.已知函数 f(x)= x 2 + 1,-1 ≤ x ≤ 1, 2x + 3,x < -1. (1)求 f 11 2-1 1 3

2

,f{f[f(-2)]}的值;

(2)求 f(3x-1); (3)若 f(a)=2,求 a. 解:f(x)为分段函数,应分段求解. (1)∵ 11 2-1 3

=1-( 2+1)=- 2<-1,

∴ f(- 2)=-2 2+3. 又∵ f(-2)=-1,f[f(-2)]=f(-1)=2, ∴ f{f[f(-2)]}=1+2 = 2. (2)若 3x-1>1, 即 x>3, 则 f(3x-1)=1+3x-1 = 3x-1. 若-1≤3x-1≤1, 即 0≤x≤3, 则 f(3x-1)=(3x-1)2+1=9x2-6x+2. 若 3x-1<-1,即 x<0, 则 f(3x-1)=2(3x-1)+3=6x+1. 4
2 1 3x 2 1 3

3x 3x-1

故 f(3x-1)= 9x 2 -6x + 2,0 ≤ x ≤ 2 , 3 6x + 1,x < 0. (3)∵ f(a)=2,∴ a>1 或-1≤a≤1. 当 a>1 时,有 1+a = 2,则 a=2. 当-1≤a≤1 时,a2+1=2,则 a=±2 . 故 a=2 或±2 .
拓展延伸
2 3 2 1 3 3

,x > 3 ,

2

13.已知函数 f(x)=x2-1,g(x)= (1)求 f(g(2))和 g(f(2))的值;

x-1,x > 0, 2-x,x < 0.

(2)求 f(g(x))和 g(f(x))的解析式. 解:(1)∵ g(2)=1, ∴ f(g(2))=f(1)=0, ∵ f(2)=3, ∴ g(f(2))=g(3)=2. (2)∵ f(g(x))=(g(x))2-1 (x-1)2 -1,x > 0, = (2-x)2 -1,x < 0, ∴ f(g(x))= ∵ g(f(x))= = x 2 -2x,x > 0, x 2 -4x + 3,x < 0. f(x)-1,f(x) > 0, 2-f(x),f(x) < 0

(x 2 -1)-1,x 2 -1 > 0, 2-(x 2 -1),x 2 -1 < 0, x 2 -2,x > 1 或 x < -1, 3-x 2 ,-1 < < 1.

∴ g(f(x))=

5


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