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1.1 集合的基本概念与运算(学生版)


1.1 集合的基本概念与运算(学生版)
一、课前小测摸底细
1.【课本典型习题,P12 第 3 题】设集合 A ? x ( x ? a )( x ? 3) ? 0, a ? R , B ? x ( x ? 4)( x ? 1) ? 0 ,求

?

?

?

?

A B, A B.
2.【2014 高考新课标,理 1】已知集合 A ? x | x 2 ? 2x ? 3 ? 0 , B ? ?x | ?2 ? x ? 2?,则 A ? B ? ( A. [ ?2,?1] B. [?1,2) C.. [ ?1,1] D. [1,2)

?

?



3.【甘肃省张掖市 2014 届高三第三次诊断考试数学(理) 】若 A ? x | 2 ? 2 x ? 16, x ? Z ,

?

?

B ? {x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0} ,则 A ? B 中元素个数为(
A.0 B.1 C.2

) . D.3

4. 【基础经典试题】 集合 M= 集合 N= 则M {y | y=x 2-, 1 x ? R} , {x | y= 9 ? x2,x ? R} , A. {t | 0 ? t ? 3}

N 等于(

)

1 ? t ? 3} B. {t | -

C. {(- 2,1),( 2,1)?

D. ?

5.【改编自 2012 年江西卷理科】若集合 A =- { 1,1},B=?0,2? ,则集合 {z | z=x+y,x ? A,y ? B} 中的 元素的非空子集个数为 A.7 B.6 ( ) C.5 D.4

二、课中考点全掌握
考点 1 集合的概念

【题组全面展示】
【1-1】 下列集合表示同一集合的是( A. M= ?3,2? ,N= ? 2,3? C. M=?4,5?,N=?5,4? )

?

?

?

?

{( x,y) | x+y= 1},N= { y | x+y= 1} B. M=
D. M=?1,2?,N= ?1,2?

?

?
)

【1-2】已知 A ={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},若 1∈A,则实数 a 构成的集合 B 的元素个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 【1-3】已知集合 A={x|x2+mx+4=0}为空集,则实数 m 的取值范围是( A.(-4,4) B.[-4,4] C.(-2,2) D.[-2,2] )

【1-4】若 a,b ? R ,集合 {1,a ? b, a? ? ?0,

b ,b? ,求 b ? a 的值________. a

【综合点评】首先要明确集合中元素的类型,是点集还是数集或者是其他类型的集合,同时要注意根据元

素和集合的关系列方程和不等式,并根据集合元素的性质决定取舍,其中往往会涉及分类讨论思想方法的 运用.

【基础知识重温】

4、集合的表示常见的有四种方法. (1)自然语言描述法:用自然的文字语言描述。如:英才中学的所有团员组成一个集合。 (2)列举法:把集合中的元素一一列举出来,元素之间用逗号隔开,然后用一个花括号全部括上。如:

{0,1, 2,3}
(3)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在花括号内表示集合的方法。它的一般格式为

{x | P( x)} ,“|”前是集合 元素的一般形式,“|”后是集合元素的公共属性。如 {x | x2 ? 2x ? 3 ? 0} 、

{x | y ? x2 ? 2x ? 3} 、 { y | y ? x2 ? 2 x ? 3} 、 {( x, y) | y ? x2 ? 2 x ? 3} 。
(4)Venn 图法:如:

3 1 7
5、常见的特殊集合: (1)非负整数集(即自然数集)N(包括零) (2)正整 数集 N*或 N 括负整数、零和正整数) (4) 有理数集 Q (5)实数集 R
?

5

( 3)整数集 Z (包

6、集合的分类: (1)有限集:含有有限个元素的集合。(2)无限集:含有无限个元素的集合。(3)空 集 :不含任何元素的集合

【方法规律技巧】
1.注意集合中元素的性质——互异性的应用,解答时注意检验.

2.注意描述法给出的集合的元素,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合 的类型,是数集、点集还是其他集合.如{y|y=2x},{x|y=2x},{(x,y)|y=2x}表示不同的集合.

【新题变式探究】
【变式一】下面各个集合的意义是否相同,为什么?

{x | x=0}, ?0? , {( x,y) | x=0,y ? R} {a+b | a ? P,b ? Q} . 【变式二】 设 P、 Q 为两个非空集合, 定义集合 P+Q= 若 P=?5 2 0 ,
则 P+Q 中元素的个数是( A.9 B.8 ) C.7 D.6

6 2 , 1 Q=? ?,

?,

【综合点评】与集合有关的新概念问题:明确集合中元素的特点和元素的产生过程,构造出符合要求的情 景,再进行新概念的集合运算.

考点 2

集合间的基本关系

[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

【题组全面展示】
【2-1】已知集合 A={1,3,a},B={1,a2-a+1},且 B?A,则 a=________. 【2-2】设集合 M= {x | x=5-4a+a2,a ? R}, N= { y | y=4b2+4b+2,b ? R} ,则下列关系中正确的是 ( ) A. M = N B. M ? ? N C. M ? N D. M ? N

【2-3】若集合 P={x|x2+x-6=0},S={x|ax+1=0},且 S?P,则由 a 的可取值组成的集合________. 【2-4】已知集合 M ? ? x x ?

? ?

k? ? ? ? k? ? ? ? , k ? Z ? ,集合 N ? ? x x ? ? , k ? Z ? ,则( 4 4 8 4 ? ? ?
C. N ? M D. M
*

)

A. M

N ??

B. M ? N

N?N
)

【2-5】设集合 P= {( x,y) | x+y ? 4,x,y ? N } ,则集合 P 的非空子集个数是( A.2 B.3 C.7 D.8

【综合点评】(1)在解决两个数集关系问 题时,合理运用数轴分析与求解可避免出错.在解含有参数的不等 式(或方程)时,要对参数进行分类讨论,分类时要遵循“不重不漏”的原则,然后对于每一类情况都要给出 问题的解答. (2)对于两集合 A,B,当 A?B 时,别忘记 A=? 的情况.

【基础知识重温】
1、子集
[来源:Zxxk.Com]

对于两个 集合 A 与 B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们就说集合 A 包含于集合 B,或 集合 B 包含集合 A,也说集合 A 是集合 B 的子集。记为 A ? B 或 B ? A .
[来源:学|科|网]

2、真子集 对于两个集合 A 与 B,如果 A ? B ,且集合 B 中至少有一个元素不属于集合 A,则称集合 A 是集合 B 的真 子集。记为 A ? B . ? 3、空集 是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集. 4、若一个集合含有 n 个元素,则子集个数为 2 个,真 子集个数为 2 ? 1 .
n n

【方法规律技巧】1.判断两集合的关系常用两种方法:一是化简集合,从表达式中寻找两集合间的关系;二 是 用列举法表示各集合,从元素中寻找关系. 2.已知两集合间的关系求参数时,关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系,进而转化为参数满足的 关系,解决这类问题常常运用数轴、Venn 图帮助分析.

【新题变式探究】
{m | - 1 ? m ? 0}, Q= 【变式 1】设集合 P= {m | mx2+4mx-4 ? 0 对任意实数 x 恒成立,且 m ? R} ,则
下列关系中成立的是( )

【变式 2】若集 合 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},且 B?A,则 m 的可取值组成的集合为_____. 【综合点评】有些集合是可以化简的,如果先化简再研究其关系并进行运算,易于解决.同时要注意数形 结合思想和分类讨论思想的应用.集合运算常用的数形结合形式有数轴、坐标系和 Venn 图,可使问题变得 简单明了.

考点 3

集合间的运算

【题组全面展示】
【3-1】设集合 A ? ?( x, y )

? ? ? ?

? x2 y 2 ? ? ? 1? , B= {( x,y) | y=3x } ,则 A B 的 子集的个数是( 4 16 ? ?
C.2 D.1
2

)

[来源:Z_xx_k.Com]

A.4

B.3

【3-2】设全集 I ? ?0,1,2,3? , A ? {x ? I | x ? mx ? 0} ,若 CI A ? ?1, 2? ,则实数 m ? ( A.3 B.-3 C.2 D.-2



+?) 【3-3】已知全集 U ? R ,集合 A ? ?1,2, ,则图中阴影部分所表示的集合为( 3, 4,5? , B=[3,

)

1, 2} A. {0,

1} , C. {1, 2} B. {0,

1 D. {}

【3-4】已知集合 A ? {x | ?2 ? x ? 7} , B ? {x | m ? 1 ? x ? 2m ? 1} ,且 B ? ? ,若 A B ? A ,则实数 m 的

取值范围是( A. ? 3 ? m ? 4

) B. ? 3 ? m ? 4 C. 2 ? m ? 4 D. 2 ? m ? 4

【3-5】已知集合 A、B 均为全集 U ? ?1, 2,3, 4? 的子集,且 CU ( A B) ? ?4? , B ? ?1,2? ,则 A CU B 等于
( ) B. ?4? C. ?3, 4? D. ?

A. ?3?

【综合点评】(1) CU ( A Venn 图要熟悉.

B) ? CU A CU B , CU ( A B) ? CU A CU B 在一些题目中很有用.另外对于

(2)对于以 不等式形式给出的数集,利用数轴是不错的解题方法.

【基础知识重温】
1、交集的定义:一般地,由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合叫做 A、B 的交集. 记作 A∩B(读 作”A 交 B”),即 A∩B={x|x∈ A,且 x∈ B}. 2、并集的定义:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做 A、B 的并集。记 作:A∪ B(读作”A 并 B”),即 A∪ B={x|x∈ A,或 x∈ B}. 3、交集与并集的性质

A

A ? A, A ? ? ? , A B ? B

A ,A

A ? A , A ? ? A, A B ? B

A.

4、全集与补集 (1)全集:如果集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。通常 用 U 来表示. (2)补集:设 U 是一个集合,A 是 U 的一个子集,由 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合,叫做 U 中 子集 A 的补集。 记作: CU A ? {x | x ?U 且x ? A} 5、补集的性质 .

[来源:Z。xx。k.Com]

CU (CU A) ? A , CUU ? ? , CU ? ? U .

6、重要结论

A B ? A ? A ? B , A B ? A ? B ? A , CU ( A B) ? CU A CU B , CU ( A B) ? CU A CU B .
【方法规律技巧】集合的基本运算包括集合间的交、并、补集运算,解决此类运算问题一般应注意以下几 点:一是看元素组成.集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决运算问题的前提.二是 对集合化简.有些集合是可以化简的,如果先化简再研究 其关系并进行运算,可使问题变得简单明了,易 于解决.三是注意数形结合思想的应用.集合运算常用的数形结合形式有数轴、坐标系和 Venn 图.

【新题变式探究】
【变式一】设集合 A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0}. (1)若 A

B=?2? ,求实数 a 的值;

(2)若 A∪B=A,求实数 a 的取值范围. 【变式二】已知非空集合 M 和 N ,规定 M ? N ? x x ? M 且x ? N ,那么 M ? ? M ? N ? 等于( A. M

?

?



N

B. M

N

C. M

D. N

【综合点评】(1) 在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问 题直观化.一般地,集合元 素离散时用 Venn 图表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时注意端点值的取舍. (2)在解决有关 A∩B=?,A?B 等集合问题时,往往忽略空集的情况,一定先考虑 ? 是否成立,以防漏解, 另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用. (3)在新给出的运算法则的前提下,将题目中的条件转化成符合新的运算法则的形式,是解答此类问题的 关键

三、易错试题常警惕
= {x || x-a |? 1,x ? R} , B= {x | 1 ? x ? 5,x ? R} ,若 A ? 易错典例 1:设集合 A ? B
围为________. 温馨提示:利用数轴处理集合的交集、并集、补集运算时,要注意端点是实心还是空心,在含有参数时, 要注意验证区间端点是否符合题意.
2 易错典例 2:设集合 A ? x | x ? a , B ? ? x | x ? 2? ,若 A

,则 a 的取值范

?

?

B ? A ,则实数 a 的取值范围是_______.

温馨提示:在 A ? B,A

B=B,A B=A,A B= 中容易忽视集合 A ? ? 这一情况,预防出现错误

的方法是要注意分类讨论. 【变式一】如果 A ? {x | ax﹣ax ? 1 <0} ? ? ,则实数 a 的取值范围为(
2



A.0<a<4

B.0≤a≤4

C.0<a≤4

D.0≤a≤4

2 2 2 2 【变式二】若集合 A ? ( x, y ) x ? y ? 16 , B ? ( x, y ) x ? ( y ? 2) ? a ? 1 ,且 A B ? B ,则 a 的取

?

?

?

?

值范围是( A. a ? 1

) B. a ? 5 C. 1 ? a ? 5 D. a ? 5


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