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江西省吉安一中2014届高三12月第二次段考数学理试题 Word版含答案

江西省吉安一中 2013-2014 学年上学期高三第二次段考 数学试卷(理科)
(考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分。 )

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一个选项是符合题目要求的) 1. 复数 z ? a ? bi (a, b ? R) 的虚部记作 Im ( z ) ? b ,则 Im?

? 1 ? ??( ? 2?i ?

)

A.

1 3

B.

2 5

C. ? )

1 3

D. ?

1 5

2. 函数 y ? 1 ? x ln x 的定义域是( A. (0,1) B. [0,1)

C. (0,1]

D. [0,1] )

3. 已知等差数列 ?a n ?满足 a2 ? a4 ? 4, a3 ? a5 ? 10 ,则它的前 10 项和 S10 ? ( A. 85 B. 135 C. 95 D. 23

4. 为了了解吉安市高三学生的身体发育情况,抽查了该地区 100 名年龄为 17.5—18 岁的 男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下:

根据上图可得这 100 名学生中,体重在[56.5,64.5]的学生人数是( A. 20 5.( x ? B. 30 C. 40 ) D. 50



2 6 ) 的展开式中常数项是( x
B. -20 C. 20

A. -160

D. 160 )

6. 下图中阴影部分区域的面积 S=(

A.

2 ?1

B.

2 ?1


C.

? 4

D.

? 8

e x ? e? x 7. 函数 y ? x 的图像大致为( e ? e?x

8. 已知直线 l1 与直线 l 2 : 3x ? 4 y ? 6 ? 0 平行且与圆: x ? y ? 2 y ? 0 相切,则直线 l1
2 2

的方程是(

) B. 3x ? 4 y ? 1 ? 0 或 3x ? 4 y ? 9 ? 0 B. 3x ? 4 y ? 1 ? 0 或 3x ? 4 y ? 9 ? 0

A. 3x ? 4 y ? 1 ? 0 C. 3x ? 4 y ? 9 ? 0

?3 x ? y ? 6 ? 0 ? 9. 设 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,若目标函数 z ? ax ? by (a>0,b>0)的最大 ? x ? 0, y ? 0 ?
值为 12,则 ab 的取值范围是( A. (0, )

3 ] 2

B. (0,

3 ) 2

C. [

3 , ??) 2

D. (0, ? ? )

10. 对于任意两个正整数 m,n,定义某种运算“※”如下:当 m,n 都为正偶数或正奇 数时,m※n=m+n;当 m,n 中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m※n=mn,则在此定
* * 义下,集合 M ? ?a, b ? a ※ b ? 12, a ? N , b ? N 中的元素个数是(

?

?



A. 10 个

B. 15 个

C. 16 个

D. 18 个

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 )

11. 若 tan(? ? ? ) ? 2 ,则 sin 2? ?



DC ? 12. 如下图, 在四边形 ABCD 中,
则 3x-2y= 。

1 E 为 BC 的中点, 且 AE =x﹒ AB + y ? AD , AB , 3

13. 已知函数 f ( x) ?

1 3 3 点(2,1)的切线方程为 x ? x ,则函数 f(x)过 . 2 2



14. 在经济学中,函数 f(x)的边际函数 Mf(x)定义为 Mf ( x) ? f ( x ? 1) ? f ( x) ,某公 司每月生产 x 台某种产品的收入为 R(x)元,成本为 C(x)元,且 R(x)=3000x-20x2, C(x)=600x+4000(x∈N*) ,现已知该公司每月生产该产品不超过 100 台, (利润=收入 -成本) ,则利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差为 元。

15. 将含有 3n 个正整数的集合 M 分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合 A、 B、 C,其中 A= ?a1 , a2 , ?, an ? ,B= ?b1 , b2 , ?, bn ?,C= ?c1 , c2 , ?, cn ?,若 A、B、C 中的元 素满足条件: c1 ? c2 ? ? ? cn , ak ? bk ? ck ,k=1,2,?,n,则称 M 为“完并集合” 。 (1)若 M={1,x,3,4,5,6}为“完并集合” ,则 x 的一个可能值为 (写出一个即可) (2)对于“完并集会” ,M={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,l2}在所有符 合条件的集合 C 中,其元素乘积最小的集合是 。 。

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分。解答应写出必要的文字说明,证明过程及演算 步骤) 16. (本小题满分 12 分) ,在△ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,向量

m ? (cos(A ? B), sin(A ? B)) ,向量 n ? (cos B, ? sin B) ,且 m ? n ? ?
(Ⅰ)求 sinA 的值;

4 5

(Ⅱ)若 a=9,b=5,求向量 BC 在 BA 方向上的投影。 17. (本小题满分 12 分)正项数列 ?a n ?的前 n 项和 Sn 满足:

S n ? (n 2 ? n) S n ? (n 2 ? n ? 1) ? 0
(1)求数列 ?a n ?的通项公式; (2)令 bn ?

2

n ?1 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn, 2 (n ? 2) 2 an

证明:对于任意的 n∈N*且 n≥2,都有 Tn ? T1 ?

13 576

18. (本小题满分 12 分)某市 A,B,C,D 四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生 人数如下表所示: 中学 人数 A 30 B 40 C 20 D 10

为了了解参加考试的学生的学习状况, 该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四 所中学的学生当中随机抽取 50 名参加问卷调查。 (1)问 A,B,C,D 四所中学各抽取多少名学生? (2) 从参加问卷调查的 50 名学生中随机抽取两名学生, 求这两名学生来自同一所中学 的概率; (3)在参加问卷调查的 50 名学生中,从来自 A,C 两所中学的学生当中随机抽取两名 学生,用 ? 表示抽得 A 中学的学生人数,求 ? 的分布列。 19. (本小题满分 12 分) 已知 m∈R,直线 l: mx ? (m ? 1) y ? 4m 和圆 C: x ? y ? 8 x ? 4 y ? 16 ? 0 。
2 2 2

(1)求直线 l 斜率的取值范围; (2)直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为

1 的两段圆弧?请说明理由。 2

20. (本小题满分 13 分)对于函数 y ? f ( x) (x∈D,D 为函数的定义域) ,若同时满足 下列条件:①f(x)在定义域内单调递增或单调递减;②存在区间[a,b] ? D ,使 f(x)在 [a,b]上的值域是[a,b]。那么把 y ? f ( x) (x∈D)称为闭函数。 (1)求闭函数 y=-x 3 符合条件②的区间[a,b];

(2)判断函数 f ( x) ? (3)若 f ( x) ? k ?

3 1 x ? ( x ? (0, ? ?)) 是否为闭函数?并说明理由。 4 x

x ? 2 是闭函数,求实数 k 的取值范围。

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f(x)= 1 ? ln

x (0<x<2) 2? x

(1)是否存在点 M(a,b) ,使得函数 y=f(x)的图像上任意一点 P 关于点 M 对称的 点 Q 也在函数 y=f(x)的图像上?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由; (2)定义 S n ?
2 n ?1 i ?1

? f (n) ? f (n) ? f (n) ??? f (

i

1

2

2n ? 1 ) ,其中 n ? N * ,求 S 2014 ; n
a m

* (3)在(2)的条件下,令 S n ? 1 ? 2an ,若不等式 2 n ? (an ) ? 1 对 ?n ? N 且 n≥2

恒成立,求实数 m 的取值范围.

8. D 解析:圆 x2+y2+2y=0 的圆心为(0,-1) ,半径为 r=1,因为直线 l1∥l2,所以,设 直线 l1 的方程为 3x+4y+c=0,由题意得

3 ? 0 ? 4 ? (?1) ? c 32 ? 4 2

? 1 ? c ? ?1或c ? 9

所以,直线 l1 的方程为 3x+4y-1=0 或 3x+4y+9=0,故选 D。 9. A 解析:画出不等式的不面区域,由图可知,目标函数过 A 点时,取得最大值,A 点坐标 为(4,6) ,所以 4a+6b=12,即 2a+3b=6

? 6 ? 2a ? 3b ? 2 6ab ,所以 0 ? ab ?

3 2

10. B 解析:从定义出发,抓住 a,b 的奇偶性对 12 实行分拆是解决本题的关键,当 a,b 同 奇偶时,根据 m※n=m+n 将 12 分拆两个同奇偶数的和,当 a,b 一奇一偶时,根据 m※n =mn 将 12 分拆一个奇数与一个偶数的积,再算其组数即可。 若 a,b 同奇偶,有 12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6,前面的每种可以 交换位置,最后一种只有一个点(6,6) ,这时有 2×5+1=11; 若 a,b 一奇一偶,有 12=1×12=3×4,每种可以交换位置,这时有 2×2=4; ∴共有 11+4=15 个,故选 B。

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分。解答应写出必要的文字说明,证明过程及演算 步骤) 16. 解: (1)由 m ? n ? ?

4 4 ,得 cos(A ? B) cos B ? sin(A ? B) sin B ? ? 5 5 4 4 ? cos[(A ? B) ? B] ? ? ,? cos A ? ? 5 5
4 3 ? sin A ? 1 ? cos2 A ? 1 ? (? ) 2 ? 5 5

?0 ? A ? ?

(2)由正弦定理,有

a b ? sin A sin B 3 5? b sin A 5 ?1 ? sin B ? ? a 9 3

1 2 2 ? a ? b, ? A ? B, ? cos B ? 1 ? sin 2 B ? 1 ? ( ) 2 ? 3 3
故向量 BC 在 BA 方向上的投影为 a cos B ? 9 ?

2 2 ?6 2 3

17. (1)解:由已知得 S n ? (n ? n ? 1) ( S n ? 1) ? 0
2

?

?

由于 ?a n ?是正项数列,所以 S n ? 0, S n ? n ? n ? 1
2

于是 a1 ? S1 ? 3 , 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? n ? n ? (n ? 1) ?(n ? 1) ? 2n
2 2

综上,数列 ?a n ?的通项 an = ?

?3, n ? 1 ? 2 n, n ? 2

(2)证明:当 n ? 2 时,由 bn ?

n ?1 2 (n ? 2) 2 an

得 bn ?

n ?1 1 ?1 1 ? ? ? 2? 2 4n (n ? 2) 16 ? n (n ? 2) 2 ? ?
2

Tn ? T1 ? b2 ? b3 ? b4 ? ? ? bn?1 ? bn
? 1 ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ??? ? ? 2? 2 2 16 ? 2 4 3 5 4 6 (n ? 1) (n ? 1) n (n ? 2) 2 ? ? 1 ?1 1 1 1 ? ?? 2 ? 2 ? ? 2 16 ? 2 3 (n ? 1) (n ? 2) 2 ? ?

?

?

1 1 1 13 ?( 2 ? 2 ) ? 16 2 3 576

18. 解:由题意知,四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为 100 名,抽取的 样本容量与总体个数的比值为

50 1 ? 。 100 2

∴应从 A、B、C、D 四所中学抽取的学生人数分别为 15,20,10,5 (2)设“从 50 名学生中随机抽取两名学生,这两名学生来自同一所中学”为事件 M, 从 50 名学生中随机抽取两名学生的取法共有 C50 ? 1225 种,来自同一所中学的取法共有
2 2 2 2 C15 ? C20 ? C10 ? C52 ? 350

? P?M ? ?

350 2 ? 。 1225 7
2 。 7

答:从 50 名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为

(3)由(1)知,50 名学生中,来自 A,C 两所中学的学生人数分别为 15,10。 依题意得, ? 的可能取值为 0,1,2,

P(? ? 0) ?

2 C10 3 ? , 2 C25 20

P(? ? 1) ?

1 1 C15 C10 1 ? , 2 C25 2

P(? ? 2) ?

2 C15 7 ? 2 C25 20

∴ ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3 20

1 2

7 20

19. 解: (1)直线 l 的方程可化为 y ? 于是直线 l 的斜率 k ? 因为 m ? 所以 k ?

m 4m , x? 2 m ?1 m ?1
2

m 。 m ?1
2

1 2 (m ? 1) , 2
m m ?1
2

?

1 ,当且仅当 m ? 1 时等号成立。 2
? 1 1? , ?。 ? 2 2?
(6 分) (7 分)

所以直线 l 的斜率 k 的取值范围是 ?? (2)不能。

由(1)知直线 l 的方程为: y ? k ( x ? 4) ,其中 k ? 圆 C 的方程可化为 ( x ? 4) ? ( y ? 2) ? 4 ,
2 2

1 。 2

所以圆 C 的圆心为 C(4,-2) ,半径 r=2。 于是圆心 C 到直线 l 的距离 d ?

2 1? k 2

由k ?

4 1 r ,得 d ? ? 1 ,即 d ? 。 2 2 5

所以若直线 l 与圆 C 相交,则圆 C 截直线 l 所得的弦所对的圆心角小于

2? 。 3
(12 分)

1 的两段弧。 2 ?b ? ?a 3 ? 3 3 20. (1)由 y ? ? x 在[a,b]上为减函数,得 ?a ? ?b , ?a ? b ?
故直线 l 不能将圆 C 分割成弧长的比值为 可得 a=-1,b =1,∴所求区间是[-1,1]。

(3 分)

3 1 (2)? f ( x) ? x ? 4 x

3 1 3x 2 ? 4 ? f ' ( x) ? ? 2 ? ? 4 x x2

3( x ?

2 3 2 3 )( x ? ) 3 3 x2

可见在 x ? (0, ? ?) 时, f ' ( x) ? 0 和 f ' ( x) ? 0 都不恒成立, 可得 f ( x) 在 (0, ? ?) 不是增函数也不是减函数,所以 f ( x) 不是闭函数。 (6 分) (3)? f ( x) ? k ?

x ? 2 在定义域 [?2, ? ?) 上递增

设函数符合条件②的区间为[a, b], 则? 的两个实根。

? ?a ? k ? a ? 2 ? ?b ? k ? b ? 2

, 故 a, b 是方程 x ? k ?

x?2

? x 2 ? (2k ? 1) x ? k 2 ? 2 ? 2 ? (方法一)命题等价于 ? x ? ?2 有两个不等实根。 ?x ? k ?

(10 分)

? 2k ? 1 ? 2 ? ?2, ? 9 9 ? 2 2 当 k ? ?2 时, ?( 2k ? 1) ? 4( k ? 2) ? 0, 解得 k ? ? ,? k (? , ? 2] ; (12 分) 4 4 ?2 2 ? 2( 2k ? 1) ? k 2 ? 2 ? 0。 ? ? ? ? 2k ? 1 ? 2 ?k ? ? 2 2 当 k ? ?2 时, ?( 2k ? 1) ? 4( k ? 2) ? 0 ,这时,k 无解。 ?k 2 ? ( 2k ? 1) k ? k 2 ? 2 ? 0 ? ? ?
所以 k 的取值范围是 (? , ? 2) (方法二) 命题等价于 u( x) ? x ? k ( x ? ?2) 的图像与 v( x) ? 分) 当 u( x) ? x ? k ( x ? ?2) 与 v( x) ? 令 v' ( x) ? 此时 ? k ?

(13 分)

9 4

(14 分)

x ? 2 的图像有两个公共点。 (10

x ? 2 图像相切时,

1 7 1 ? 7 1? ? 1 得 x ? ? ,代入 v( x) ? x ? 2 得 y ? ,即切点为 ? ? , ? 4 2 2 x?2 ? 4 2?

1 7 9 ? (? ) ? 2 4 4

当 u( x) ? x ? k ( x ? ?2) 过点(-2,0)时 ? k ? 2 由图可知 2 ? ? k ?

9 9 ,所以 k 的取值范围是 (? , ? 2) 4 4

21. (1)假设存在点 M(a,b) ,使得函数 y=f(x)的图像上任意一点 P 关于点 M 对称 的点 Q 也在函数 y=f(x)的图像上,则函数 y=f(x)图像的对称中心为 M(a,b) 。 由 f ( x) ? f (2a ? x) ? 2b ,得 1 ? ln 即 2 ? 2b ? ln

x 2a ? x ? 1 ? ln ? 2b , 2? x 2 ? 2a ? x

?2 ? 2b ? 0, ? x 2 ? 2ax ? 0 对 ?x ? (0, 2) 恒成立,所以 ? 解得 2 ? x ? 2ax ? 4 ? 4a ?4 ? 4a ? 0,

?a ? 1, ? ?b ? 1。
所以存在点 M(1,1) ,使得函数 y=f(x)的图像上任意一点 P 关于点 M 对称的点 Q 也在函数 y=f(x)的图像上。 (2)由(1)得 f ( x) ? f (2 ? x) ? 2 (0 ? x ? 2) 。

i i i ,则 f ( ) ? f (2 ? ) ? 2 (i ? 1, 2, ?, 2n ? 1) 。 n n n 1 2 2 1 因为 S n ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f (2 ? ) ? f (2 ? ) n n n n 1 2 2 1 所以 S n ? f (2 ? ) ? f (2 ? ) ? ? ? f ( ) ? f ( ) n n n n
令x? 由①+②得 2S n ? 2(2n ? 1) ,所以 S n ? 2n ? 1 所以 S 2014 ? 2 ? 2014 ? 1 ? 4027 。 (3)由(2)得 S n ? 2n ? 1 (n ? N ) ,所以 an ?
*

①, ②,

(n ? N * )

Sn ? 1 ?n 2
m

(n ? N * )

因为当 n ? N 且 n ? 2 时, 2 n ? (an ) ? 1 ? 2 ? n ? 1 ?
*

a

m

n

n m 。 ?? ln n ln 2

所以当 n ? N 且 n ? 2 时,不等式
*

m n m ? n ? 恒成立 ? ? ?? ? ?? ln 2 ln n ln 2 ? ln n ? min

设 g ( x) ?

ln x ? 1 x 。 ( x ? 0) ,则 g ' ( x) ? (ln x) 2 ln x

当 0 ? x ? e 时, g ' ( x) ? 0 , g ( x) 在 (0, e) 上单调递减; 当 x ? e 时, g ' ( x) ? 0 , g ( x) 在 (e, ? ?) 上单调递增;

2 3 ln 9 ? ln 8 ? ? ? 0 ,所以 g (2) ? g (3) , ln 2 ln 3 ln 2 ? ln 3 3 * 所以当 n ? N 且 n ? 2 时, [ g (n)]min ? g (3) ? 。 ln 3 m 3 m 3 ln 2 由 [ g (n)]min ? ? ,得 ,解得 m ? ? 。 ? ln 2 ln 3 ln 2 ln 3 3 ln 2 所以实数 m 的取值范围是 (? , ? ?) 。 ln 3
因为 g (2) ? g (3) ?


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