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江西省吉安一中2014届高三12月第二次段考数学理试题 Word版含答案

江西省吉安一中 2013-2014 学年上学期高三第二次段考 数学试卷(理科)
(考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分。)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一个选项是符合题目要求的)

1. 复数 z ? a ? bi (a, b ? R) 的虚部记作 Im (z) ? b ,则 Im?? 1 ?? ? (

)

?2?i?

A. 1

B. 2

C. ? 1

D. ? 1

3

5

3

5

2. 函数 y ? 1? x ln x 的定义域是( )

A. (0,1)

B. [0,1)

C. (0,1]

D. [0,1]

3. 已知等差数列?an ?满足 a2 ? a4 ? 4, a3 ? a5 ? 10 ,则它的前 10 项和 S10 ? ( )

A. 85

B. 135

C. 95

D. 23

4. 为了了解吉安市高三学生的身体发育情况,抽查了该地区 100 名年龄为 17.5—18 岁的

男生体重(kg),得到频率分布直方图如下:

根据上图可得这 100 名学生中,体重在[56.5,64.5]的学生人数是( )

A. 20

B. 30

C. 40

D. 50

5.( x ? 2 )6 的展开式中常数项是( ) x

A. -160 B. -20

C. 20

6. 下图中阴影部分区域的面积 S=( )

D. 160

A. 2 ?1

B. 2 ?1

?
C.
4

7.

函数 y ?

ex ? e?x ex ? e?x

的图像大致为(



?
D.
8

8. 已知直线 l1 与直线 l2 : 3x ? 4y ? 6 ? 0 平行且与圆: x2 ? y2 ? 2 y ? 0 相切,则直线 l1
的方程是( )

A. 3x ? 4y ?1 ? 0

B. 3x ? 4y ?1 ? 0 或 3x ? 4y ? 9 ? 0

C. 3x ? 4y ? 9 ? 0

B. 3x ? 4y ?1 ? 0 或 3x ? 4y ? 9 ? 0

?3x ? y ? 6 ? 0 9. 设 x,y 满足约束条件 ??x ? y ? 2 ? 0 ,若目标函数 z ? ax ? by(a>0,b>0)的最大
??x ? 0, y ? 0

值为 12,则 ab 的取值范围是( )

A. (0, 3 ] 2

B. (0, 3 ) 2

C. [ 3 , ? ? ) 2

D. (0, ? ? )

10. 对于任意两个正整数 m,n,定义某种运算“※”如下:当 m,n 都为正偶数或正奇

数时,m※n=m+n;当 m,n 中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m※n=mn,则在此定

? ? 义下,集合 M ? ?a, b?a ※ b ? 12, a ? N *, b ? N * 中的元素个数是( )

A. 10 个

B. 15 个

C. 16 个

D. 18 个

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。)

11. 若 tan(? ??) ? 2 ,则 sin 2? ?



12. 如下图,在四边形 ABCD 中,DC ? 1 AB ,E 为 BC 的中点,且 AE =x﹒ AB + y ? AD , 3

则 3x-2y=



13.

已知函数

f (x) ?

1 x3 2

?3 2

x ,则函数 f(x)过.点(2,1)的切线方程为



14. 在经济学中,函数 f(x)的边际函数 Mf(x)定义为 Mf (x) ? f (x ?1) ? f (x) ,某公

司每月生产 x 台某种产品的收入为 R(x)元,成本为 C(x)元,且 R(x)=3000x-20x2, C(x)=600x+4000(x∈N*),现已知该公司每月生产该产品不超过 100 台,(利润=收入

-成本),则利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差为

元。

15. 将含有 3n 个正整数的集合 M 分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合 A、B、

C,其中 A=?a1, a2 , ?, an?,B=?b1, b2 , ?, bn?,C=?c1, c2 , ?, cn?,若 A、B、C 中的元

素满足条件: c1 ? c2 ? ? ? cn , ak ? bk ? ck ,k=1,2,…,n,则称 M 为“完并集合”。

(1)若 M={1,x,3,4,5,6}为“完并集合”,则 x 的一个可能值为



(写出一个即可)

(2)对于“完并集会”,M={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,l2}在所有符

合条件的集合 C 中,其元素乘积最小的集合是



三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分。解答应写出必要的文字说明,证明过程及演算 步骤)
16. (本小题满分 12 分),在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,向量
m ? (cos(A ? B), sin(A ? B)) ,向量 n ? (cosB, ? sin B) ,且 m ? n ? ? 4 5
(Ⅰ)求 sinA 的值;

(Ⅱ)若 a=9,b=5,求向量 BC 在 BA 方向上的投影。

17. (本小题满分 12 分)正项数列?an ?的前 n 项和 Sn 满足:

Sn2 ? (n2 ? n)Sn ? (n2 ? n ?1) ? 0
(1)求数列?an ?的通项公式;

(2)令 bn

?

n ?1 (n ? 2)2 an2

,数列?bn ?的前

n 项和为 Tn,

证明:对于任意的

n∈N*且

n≥2,都有

Tn

?

T1

?

13 576

18. (本小题满分 12 分)某市 A,B,C,D 四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生

人数如下表所示:

中学

A

B

C

D

人数

30

40

20

10

为了了解参加考试的学生的学习状况,该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四

所中学的学生当中随机抽取 50 名参加问卷调查。

(1)问 A,B,C,D 四所中学各抽取多少名学生?

(2)从参加问卷调查的 50 名学生中随机抽取两名学生,求这两名学生来自同一所中学

的概率;

(3)在参加问卷调查的 50 名学生中,从来自 A,C 两所中学的学生当中随机抽取两名

学生,用? 表示抽得 A 中学的学生人数,求? 的分布列。

19. (本小题满分 12 分)

已知 m∈R,直线 l: mx ? (m2 ?1) y ? 4m 和圆 C: x2 ? y2 ? 8x ? 4 y ?16 ? 0 。

(1)求直线 l 斜率的取值范围;
(2)直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为 1 的两段圆弧?请说明理由。 2
20. (本小题满分 13 分)对于函数 y ? f (x) (x∈D,D 为函数的定义域),若同时满足

下列条件:①f(x)在定义域内单调递增或单调递减;②存在区间[a,b] ? D ,使 f(x)在

[a,b]上的值域是[a,b]。那么把 y ? f (x) (x∈D)称为闭函数。

(1)求闭函数 y=-x 3 符合条件②的区间[a,b];

(2)判断函数 f (x) ? 3 x ? 1 (x ? (0, ? ?))是否为闭函数?并说明理由。 4x
(3)若 f (x) ? k ? x ? 2 是闭函数,求实数 k 的取值范围。 21. (本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=1? ln x (0<x<2)
2?x
(1)是否存在点 M(a,b),使得函数 y=f(x)的图像上任意一点 P 关于点 M 对称的 点 Q 也在函数 y=f(x)的图像上?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由;

? (2)定义 Sn

? 2n?1 f ( i ) ? i?1 n

f

(1)? n

f

(2) ??? n

f

(

2n ? n

1)

,其中

n

?

N

*

,求

S

2014



(3)在(2)的条件下,令 Sn ?1 ? 2an ,若不等式 2an ? (an )m ? 1 对 ?n ? N * 且 n≥2
恒成立,求实数 m 的取值范围.

8. D 解析:圆 x2+y2+2y=0 的圆心为(0,-1),半径为 r=1,因为直线 l1∥l2,所以,设
直线 l1 的方程为 3x+4y+c=0,由题意得 3? 0 ? 4? (?1) ? c ? 1? c ? ?1或c ? 9 32 ? 42
所以,直线 l1 的方程为 3x+4y-1=0 或 3x+4y+9=0,故选 D。 9. A
解析:画出不等式的不面区域,由图可知,目标函数过 A 点时,取得最大值,A 点坐标 为(4,6),所以 4a+6b=12,即 2a+3b=6
?6 ? 2a ? 3b ? 2 6ab ,所以 0 ? ab ? 3 2

10. B 解析:从定义出发,抓住 a,b 的奇偶性对 12 实行分拆是解决本题的关键,当 a,b 同
奇偶时,根据 m※n=m+n 将 12 分拆两个同奇偶数的和,当 a,b 一奇一偶时,根据 m※n =mn 将 12 分拆一个奇数与一个偶数的积,再算其组数即可。
若 a,b 同奇偶,有 12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6,前面的每种可以 交换位置,最后一种只有一个点(6,6),这时有 2×5+1=11;
若 a,b 一奇一偶,有 12=1×12=3×4,每种可以交换位置,这时有 2×2=4; ∴共有 11+4=15 个,故选 B。

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分。解答应写出必要的文字说明,证明过程及演算

步骤)

16. 解:(1)由 m ? n ? ? 4 ,得 cos(A ? B) cosB ? sin(A ? B)sin B ? ? 4

5

5

?cos[(A ? B) ? B] ? ? 4 ,?cos A ? ? 4

5

5

?0 ? A ? ? ?sin A ? 1? cos2 A ? 1? (? 4)2 ? 3 55

(2)由正弦定理,有 a ? b sin A sin B

?sin

B

?

b sin

A

?

5?

3 5

?

1

a

93

? a ? b, ? A ? B, ?cos B ? 1? sin2 B ? 1? (1)2 ? 2 2

3

3

故向量 BC 在 BA 方向上的投影为 a cos B ? 9 ? 2 2 ? 6 2 3
? ? 17. (1)解:由已知得 Sn ? (n2 ? n ?1) (Sn ?1) ? 0
由于?an ?是正项数列,所以 Sn ? 0, Sn ? n2 ? n ?1
于是 a1 ? S1 ? 3 , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? n ? (n ?1)2 ?(n ?1) ? 2n

综上,数列

?an

?的通项

an



?3, n ??2n,

?1 n?

2

(2)证明:当

n

?

2 时,由 bn

?

(n

n ?1 ? 2)2an2

得 bn

?

n ?1 4n2 (n ? 2)2

1 ?1

?

16

? ?

n2

1?

?

(n

?

2)2

? ?

Tn ? T1 ? b2 ? b3 ? b4 ??? bn?1 ? bn

?

1 16

?

? ? ?

1 22

?

1 42

?

1 32

?

1 52

?

1 42

?

1 62

???

(n

1 ?1)2

?

1 (n ?1)2

?

1 n2

?

1 (n ? 2)2

? ? ?

1 ?1 1 1

1?

?

16

?

? ?

22

?

32

?

(n ?1)2

?

(n ? 2)2

? ?

1 1 1 13 ? 16 ? ( 22 ? 32 ) ? 576

18. 解:由题意知,四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为 100 名,抽取的
样本容量与总体个数的比值为 50 ? 1 。 100 2
∴应从 A、B、C、D 四所中学抽取的学生人数分别为 15,20,10,5 (2)设“从 50 名学生中随机抽取两名学生,这两名学生来自同一所中学”为事件 M,
从 50 名学生中随机抽取两名学生的取法共有 C520 ? 1225 种,来自同一所中学的取法共有
C125 ? C220 ? C120 ? C52 ? 350
?P?M ? ? 350 ? 2 。
1225 7 答:从 50 名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为 2 。
7
(3)由(1)知,50 名学生中,来自 A,C 两所中学的学生人数分别为 15,10。
依题意得,? 的可能取值为 0,1,2,

P(?

? 0)

?

C120 C225

?

3, 20

P(?

?1) ?

C115C110 C225

?

1, 2

P(?

? 2) ?

C125 C225

?

7 20

∴ ? 的分布列为:

?

012

P

317

20 2 20

19.

解:(1)直线

l

的方程可化为

y

?

m m2 ?1

x

?

4m m2 ?1



于是直线

l

的斜率

k

?

m m2 ?1



因为 m ? 1 (m2 ?1) , 2

所以

k

?

m m2 ?1 ?

1 ,当且仅当 2

m

? 1 时等号成立。

所以直线

l

的斜率

k

的取值范围是

????

1 2

,

1? 2 ??



(2)不能。
由(1)知直线 l 的方程为: y ? k(x ? 4) ,其中 k ? 1 。 2
圆 C 的方程可化为 (x ? 4)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 ,

所以圆 C 的圆心为 C(4,-2),半径 r=2。

于是圆心 C 到直线 l 的距离 d ? 2 1? k2

(6 分) (7 分)

由 k ? 1 ,得 d ? 4 ? 1,即 d ? r 。

2

5

2

所以若直线 l 与圆 C 相交,则圆 C 截直线 l 所得的弦所对的圆心角小于 2? 。 3

故直线 l 不能将圆 C 分割成弧长的比值为 1 的两段弧。 2

(12 分)

?b ? ?a3

20.

(1)由 y

?

?

x3

在[a,b]上为减函数,得

? ?a

? ?b3



??a ? b

可得 a=-1,b =1,∴所求区间是[-1,1]。

(3 分)

(2)? f (x) ? 3 x ? 1 4x

?

f '(x) ?

3? 4

1 x2

?

3x2 ? 4 x2

?

3(x ?

2 3 )(x ? 3 x2

2 3) 3

可见在 x ?(0, ? ?) 时, f '(x) ? 0 和 f '(x) ? 0 都不恒成立,

可得 f (x) 在 (0, ? ?) 不是增函数也不是减函数,所以 f (x) 不是闭函数。(6 分)

(3)? f (x) ? k ? x ? 2 在定义域[?2, ? ?) 上递增

设函数符合条件②的区间为[a,b],则

??a ?

?

k

?

a?2 ,故 a,b 是方程 x ? k ?

x?2

??b ? k ? b ? 2

的两个实根。

?x2 ? (2k ?1)x ? k 2 ? 2 ? 2

(方法一)命题等价于

? ?

x

?

?2

有两个不等实根。

? ?

x

?

k

(10 分)



k

?

?2 时,

?????(22kk2??11)?2

?2, ? 4(k

2

??22 ? 2(2k ?1) ?

? 2) k2 ?

? 2

0, 解得 ? 0。

k

?

?

9 4

,? k (?

9 4

,

? 2];(12 分)

??



k

?

?2

时,

?????(22kk2??11)?2

k ?

4(k

2

?

2)

?

0

,这时,k 无解。

??k 2 ? (2k ?1)k ? k 2 ? 2 ? 0 ??

所以 k 的取值范围是 (? 9 , ? 2) 4

(方法二)

(13 分) (14 分)

命题等价于 u(x) ? x ? k (x ? ?2) 的图像与 v(x) ? x ? 2 的图像有两个公共点。(10
分)

当 u(x) ? x ? k (x ? ?2) 与 v(x) ? x ? 2 图像相切时,

令 v'(x) ? 1 ? 1 得 x ? ? 7 ,代入 v(x) ? x ? 2 得 y ? 1 ,即切点为 ?? ? 7 , 1 ??

2 x?2

4

2

? 4 2?

此时 ? k ? 1 ? (? 7) ? 9 2 44

当 u(x) ? x ? k (x ? ?2) 过点(-2,0)时 ? k ? 2

由图可知 2 ? ?k ? 9 ,所以 k 的取值范围是 (? 9 , ? 2)

4

4

21. (1)假设存在点 M(a,b),使得函数 y=f(x)的图像上任意一点 P 关于点 M 对称

的点 Q 也在函数 y=f(x)的图像上,则函数 y=f(x)图像的对称中心为 M(a,b)。

由 f (x) ? f (2a ? x) ? 2b ,得1? ln x ?1? ln 2a ? x ? 2b ,

2?x

2 ? 2a ? x



2?

2b

? ln

?

? x2 ? 2ax x2 ? 2ax ? 4 ?

4a

?

0



?x ?(0,

2)

恒成立,所以

?2 ??4

? ?

2b 4a

? 0, ? 0,

解得

?a ? 1, ??b ? 1。
所以存在点 M(1,1),使得函数 y=f(x)的图像上任意一点 P 关于点 M 对称的点 Q 也在函数 y=f(x)的图像上。

(2)由(1)得 f (x) ? f (2 ? x) ? 2 (0 ? x ? 2) 。

令 x ? i ,则 f ( i ) ? f (2 ? i ) ? 2 (i ? 1, 2, ?, 2n ?1) 。

n

n

n

因为 Sn

?

f

(1)? n

f (2)??? n

f (2 ?

2) ? n

f

(2 ?

1) n

①,

所以 Sn

?

f

(2 ?

1)? n

f (2 ?

2) ??? n

f (2)? n

f

(1) n

②,

由①+②得 2Sn ? 2(2n ?1) ,所以 Sn ? 2n ?1 (n ? N *)

所以 S2014 ? 2 ? 2014 ?1 ? 4027 。

(3)由(2)得

Sn

?

2n

?1

(n ?

N*)

,所以 an

?

Sn ?1 2

?

n

(n ? N *)

因为当 n ? N*

且n

?

2 时, 2an

? (an )m

?1?

2n

? nm

?1?

n ln n

?

?

m ln 2



所以当 n ? N* 且 n ? 2 时,不等式 n ? ? m 恒成立 ? ?? n ?? ? ? m

ln n ln 2

? ln n ?min ln 2

设 g(x) ? x ln x

(x

?

0)

,则

g'(x)

?

ln x ?1 (ln x)2



当 0 ? x ? e 时, g'(x) ? 0 , g(x) 在 (0, e) 上单调递减;

当 x ? e 时, g'(x) ? 0 , g(x) 在 (e, ? ?) 上单调递增;

因为 g(2) ? g(3) ? 2 ? 3 ? ln 9 ? ln 8 ? 0 ,所以 g(2) ? g(3) , ln 2 ln 3 ln 2? ln 3

所以当

n

?

N*



n

?

2

时, [ g (n)]m in

?

g(3)

?

3 ln 3



由 [ g (n)]m in

?

?

m ln 2

,得

3 ln 3

?

m ln 2

,解得

m

?

?

3ln 2 ln 3



所以实数 m 的取值范围是 (? 3ln 2 , ? ?) 。 ln 3


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