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广东省佛山一中09-10学年高一上学期期中试题(数学答案)

2009 学年度上学期期中考试高一级数学科试题参考答案
座位号:

一、选择题(每小题 5 分,共 50 分):CDBAC 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)
x ?1
2

CDADC

11.

8 [ 0, ] 3 .12.

.

13.

(??,1)

?10t , (0 ? t ? 0.1) ? y ? ?? 1 ? t ?0.1 ?? ? (t ? 0.1) ?? 16 ? .14.(I) ;(II)0.6 .

三.解答题:本大题 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本题满分 12 分)
(1)解:原式

? log 3

4?8 ? log 3 9 ? 2 32 9 ……6 分

(2)解:要使原函数有意义,必须满足:

? 原函数定义域为(6,12)………..12 分
16. (本题满分 12 分) 解: (1)当 a ? ?1 时,

?12 ? x ? 0 ?x ? 3 ? 0 ? ? ?x ? 3 ? 1 ? x 2 ? x ? 30 ? 0 ? ,……9 分? 6 ? x ? 12 ……11 分

f ?x? ? x 2 ? 2x ? 2 ? ?x ? 1? ? 1 , x ? ?? 5,5?……2 分
2

x ∴ ? 1 时, f ?x ? 的最小值为 1;……………………4 分 x ? ?5 时, f ?x ? 的最大值为 37.………………6 分
(2)函数 f ?x? ? ?x ? a? ? 2 ? a 2 图象的对称轴为 x ? ?a ,抛物线开口向上…….8 分
2

? ∵f ?x ? 在区间 ?? 5,5? 上是单调函数,∴ a ? ?5 或 ? a ? 5 …………………11 分
故 a 的取值范围是 (??,?5] ? [5 ,??) …………….12 分 17. (本题满分 14 分) 解:(1)当 0 ? t ? 1 时,

f (t ) ?

1 3 2 ? t ? 3t ? t ; 2 2 ………….3 分

(2)当 1 ? t ? 2 时,

f (t ) ?

1 1 3 2 ? 2 ? 3 ? (2 ? t ) ? 3 (2 ? t ) ? ? t ? 2 3t ? 3; 2 2 2 ….7 分

(3) 当 t ? 2 时, 综上:

f (t ) ?

1 ? 2 ? 3 ? 3; 2 ……..10 分

? 3 2 ? t , (0 ? t ? 1) ? 2 ? 3 2 f (t ) ? ?? t ? 2 3t ? 3 , (1 ? t ? 2) ? 2 ? 3 , (t ? 2) ? ? ……. 14 分
18. (本题满分 14 分) 解:(1)设 x ? (?1,0) 则 ? x ? (0,1)

? ∵ x ? R, f (? x) ? ? f ( x), 且 x ? (0,1) 时, ? x ? (?1,0) 时,有

f ( x) ?

2x , 4x ?1

f ( x) ? ? f (? x) ? ?

2?x 2x ?? x 4?x ? 1 4 ? 1 …..3 分

在 f (? x) ? ? f ( x) 中,令 x ? 0, f (?0) ? ? f (0) ? f (0) ? 0. …5 分 综上:当 x ? (?1,1) 时,有:

? 2x , x ? (0,1) ? x 4 ?1 ? ? 2x f ( x ) ? ?? x , x ? ( ?1,0) ? 4 ?1 ?0, x ? ?0? ? ? …………………………………..7 分
(2) f (x) 在(0,1)上是减函数. ………………….8 分 证明:设 0 ? x1 ? x2 ? 1 则

x2 ? x1 ? 0,0 ? x1 ? x2 ? 2,? 2 x1 ? x2 ? 1,2 x2 ? 2 x1 , …….10 分

? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?
? f ( x2 ) ? f ( x1 )

2 x2 2 x1 (2 x1 ? 2 x2 )(2 x1 ? x2 ? 1) ? x1 ? ?0 4 x2 ? 1 4 ? 1 (4 x1 ? 1)(4 x2 ? 1) …………13 分

? f (x) 在(0,1)上是减函数………… 14 分
19. (本题满分 14 分) 解: (1)设每月用气量为 x 立方米,支付费用为 y 元,根据题意,得

(0 ? x ? A) ?3 ? C y?? ?3 ? ( B( x ? A) ? C ( x ? A)

(1) …………………………4 分 (2)

由题设知,A>4,0<C≤5,因此 3+C≤8 从表格中可以看出第二、三月份的费用均大于 8 元。 故用气量 25 立方米、35 立方米均应大于最低额 A 立方米,从而将 x=25,x=35 代入(2)得

?3 ? C ? 4 ? ?3 ? B (25 ? A) ? C ? 14 ?3 ? B (35 ? A) ? C ? 19 ? ?A ? 5 ? ? B ? 0 .5 ?C ? 1 ?

……………………6 分

解得:

………8 分

(2)由(1)得 y ? ?

?4 (0 ? x ? 5) ………………………10 分 ?0.5 x ? 1.5 ( x ? 5)

把 x=35 代入,得 y=16.5…………………………………………11 分 答:4 月份煤气应付 16.5 元。…………………………………12 分 20. (本题满分 14 分) 解: (1)∵ t ? 1 ? x ? 1 ? x , ∴要使 t 有意义,必须 1 ? x ? 0 且 1 ? x ? 0 ,即 ? 1 ? x ? 1 ∵ t 2 ? 2 ? 2 1 ? x 2 ? [2,4] ,且 t ? 0 ……① 由①得: 1 ? x ?
2

∴ t 的取值范围是 [ 2 ,2] 。

1 2 1 1 t ? 1 ,∴ m(t ) ? a ( t 2 ? 1) ? t ? at 2 ? t ? a , t ? [ 2 ,2] 。 2 2 2 1 2 at ? t ? a , t ? [ 2 ,2] 的最大值, 2

……………………………………………………………………………………………5 分 (2)由题意知 g (a ) 即为函数 m(t ) ? ∵直线 t ? ?

1 1 2 是抛物线 m(t ) ? at ? t ? a 的对称轴,∴可分以下几种情况进行讨论: a 2 (i)当 a ? 0 时,函数 y ? m(t ) , t ? [ 2 ,2] 的图象是开口向上的抛物线的一段, 1 由 t ? ? ? 0 知 m(t ) 在 t ? [ 2 ,2] 上单调递增,故 g (a ) ? m(2) ? a ? 2 ;…………6 分 a (ii)当 a ? 0 时, m(t ) ? t , t ? [ 2 ,2] ,有 g (a ) =2;………………….7 分
(iii)当 a ? 0 时, ,函数 y ? m(t ) , t ? [ 2 ,2] 的图象是开口向下的抛物线的一段,

1 ? (0, 2 ] 即 a ? ? a 1 若 t ? ? ? ( 2 ,2] 即 a ? (? a
若t ? ?

2 时, g (a ) ? m( 2 ) ? 2 , 2 1 1 2 1 ,? ] 时, g (a) ? m(? ) ? ?a ? , a 2a 2 2

若t ? ?

1 1 ? (2,??) 即 a ? (? ,0) 时, g (a) ? m(2) ? a ? 2 。……………………9 分 a 2

综上所述,有

1 (a ? ? ) 2 2 1 , (? ? a ? ? ) 。……………………………………………10 分 2 2 2 , (a ? ? ) 2 1 1 1 1 (3)情形 1:当 a ? ?2 时 ? ? ,此时 g (a) ? 2 , g ( ) ? ? 2 a 2 a a ,
由2?

? ? a?2 ? 1 ? g (a) = ?? a ? 2a ? ? 2 ? ?

1 2 ,与 a<-2 矛盾。 ? 2解得a ? ?1 ? a 2
1 1 a 2 1 1 ? ? ? 时,此时 g (a) ? 2 , g ( ) ? ? ? a a 2 2 a 2

情形 2:当 ?2 ? a ? ? 2 ?

1 a 2 ? ? ? 解得, a ? ? 2 与 a ? ? 2 矛盾。 a 2
情形 3:当 ? 2 ? a ? ?

1 1 2 2 时,此时 g (a) ? 2 ? g ( ) , ? 2? ?? a a 2 2

所以 ? 2 ? a ? ?

2 , 2

情形 4:当 ?

1 1 2 1 , ? a ? ? 时, ?2 ? ? ? 2 ,此时 g (a ) ? ?a ? a 2a 2 2

1 1 2 2 g ( ) ? 2 ?a ? 矛盾。 ? 2, 解得a ? ? , 与a ? ? a 2a 2 2

1 1 1 ? a ? 0 时, ? ?2 ,此时 g(a)=a+2, g ( ) ? 2 2 a a 1 由 a ? 2 ? 2 解得 a ? 2 ? 2, 与a ? ? 矛盾。 2 1 1 1 情形 6:当 a>0 时, ? 0 ,此时 g(a)=a+2, g ( ) ? ? 2 a a a 1 由 a ? 2 ? ? 2解得a ? ?1 ,由 a>0 得 a=1. a 1 综上,满足 g ( a ) ? g ( ) 的所有实数 a
情形 5:当 ?

a 的取值范围是:

[ ? 2 ,?

2 ]??? 1 2 ………………………14 分


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