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天津市近五年高考试卷知识点总结(理数)


天津近五年高考数学(理)知识点分类及分布
一 复数
选择题 5 分,简单,占 3.3%。
(2009 年天津理)i 是虚数单位, (A)1+2i (B)-1-2i

5i = 2?i
(D)-1+2i

(C)1-2i

(2010 年天津理)i 是虚数单位,复数 (A)1+i (B)5+5i (C)-5-5i

?1 ? 3i ? 1 ? 2i

(D)-1-i

(2011 年天津理)已知 i 是虚数单位,复数 A2?i B2?i C ?1 ? 2i

1 ? 3i = 1? i





D ?1 ? 2i ( )

(2012 年天津理)复数 z ? (A) 2 ? i (B) 2 ? i

7?i = 3?i
(C) ?2 ? i

(D) ?2 ? i .

(2013 年天津理)(9) 已知 a, b∈R, i 是虚数单位. 若(a + i)(1 + i) = bi, 则 a + bi =

二 线性规划
?x ? y ? 3 ? (2009 年天津理) (2)设变量 x,y 满足约束条件:? x ? y ? ?1 .则目标函数 z ? 2 x ? 3 y 的 ?2 x ? y ? 3 ?
最小值为 (A)6 (B)7 (C)8 (D)23

( 2013 年 天 津 理 ) (2) 设 变 量 x, y 满 足 约 束 条 件
?3 x ? y ? 6 ? 0, ? ? x ? y ? 2 ? 0, 则目标函数 z = y-2x 的最小值为 ? y ? 3 ? 0, ?

(A) -7 (C) 1

(B) -4 (D) 2

三 程序框图
选择题 5 分,简单,占 3.3%。
1

(2009 年天津理) (5)阅读右图的程序框图,则输出的 S= A. 26 B. 35 C. 40 D. 57

(2010 年天津理) (4)阅读右边的程序框图,若输出 s 的值为-7, 则判断框内可填写 (A)i<3? (C)i<5? (B)i<4? (D)i<6?

(2011 年天津理)3.阅读右边的程序框图,运行相应的程序, 则输出 i 的值为 A.3 B.4 C.5 D.6

(2012 年天津理) (5)阅读右边的程序框图,运行相应的程序, ? 25 当输入 x 的值为 时,输出 x 的值为 (A) ?1 (B) 1 (C) 3 (D) 9

2

四 对数、指数比较大小
(2011 年天津理) 7.已知 a ? 5log2 3.4 , b ? 5log4 3.6 , c ? ? ? A. a ? b ? c B. b ? a ? c

?1? ?5?

log3 0.3

,则
D. c ? a ? b

C. a ? c ? b

五 集合与逻辑
选择题,填空题,10 分,简单,占 6.6%。
(2009 理) (3)命题“存在 x0 ? R, 2 (A)不存在 x0 ? R, 2 0 >0
x x0

? 0”的否定是
x0

(B)存在 x0 ? R, 2

?0
x

(C)对任意的 x ?R, 2 ? 0
x

(D)对任意的 x ? R, 2 >0

(2010 理) (3)命题“若 f(x)是奇函数,则 f(-x)是奇函数”的否命题是 (A)若 f(x) 是偶函数,则 f(-x)是偶函数 (B)若 f(x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数 (C)若 f(-x)是奇函数,则 f(x)是奇函数 (D)若 f(-x)不是奇函数,则 f(x)不是奇函数 (2010 理)(9)设集合 A= ?x || x ? a |? 1, x ? R? , B ? ?x || x ? b |? 2, x ? R?. 若 A ? B,则实数 a,b 必满足 (A) | a ? b |? 3 (C) | a ? b |? 3 (B) | a ? b |? 3 (D) | a ? b |? 3

(2011 理) (2)设 x, y ? R, 则“ x ? 2 且 y ? 2 ”是“ x2 ? y 2 ? 4 ”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 (2011 理) (9)已知集合 B.必要而不充分条件 D.即不充分也不必要条件

1 ? ? A ? ? x ? R | x ? 3 ? x ? 4 ? 9? , B ? ? x ? R | x ? 4t ? ? 6, t ? (0, ??) ? ,则集合 t ? ?
A ? B =________.
(2012 理) (2)设 ? ? R ,则“ ? ? 0 ”是“ f ? x ? ? cos ? x ? ? ?? x ? R ? 为偶函数”的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(2013 理) (1)已知集合 A = {x∈R| |x|≤2}, A = {x∈R| x≤1}, 则 A ? B ?
3

(A) (??, 2]

(B) [1,2]

(C) [-2,2]
1 1 , 则其体积缩小到原来的 ; 2 8 1 相切. 2

(D) [-2,1]

(2013 理)(4) 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的

②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等; ③直线 x + y + 1 = 0 与圆 x2 ? y 2 ? 其中真命题的序号是: (A) ①②③ (C) ②③

(B) ①② (D) ②③

六 三视图
选择题 5 分,简单,占 3.3%。
(2009 年理 12)如图是一个几何体的三视图,若它的体积是 3 3 ,则 a ? _______

(2010 年理 12)一个几何体的三视图如图 这个几何体的体积为

所示, 则

(2011 年理 10) .一个几何体的三视图如右图所示(单 位: m ) ,则该几何体的体积为__________ m
3

4

(2012 年理)―个几何体的三视图如图所示(单位: m ),则该几何体的体积为

m3 .

七 平面向量
选择题 5 分,简单,占 3.3%。
( 2009 年 天 津 理 ) (15) 在 四 边 形 ABCD 中 , AB = DC = ( 1 , 1 ),

??? ?

????

? ? ? 1 ??? 1 ??? 3 ??? ??? ? BA ? ??? ? BC ? ??? ? BD ,则四边形 ABCD 的面积是 BA BC BD
( 2010 年 天 津 理 )( 15 ) 如 图 , 在 ? ABC 中 ,

A D ?

??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? A, B BC ? 3 BD , AD ? 1 ,则 AC ?AD ?

.

AD // BC , ?ADC ? 90 , AD ? 2, BC ? 1 , (2011 年天津理)14. 已知直角梯形 ABCD 中,
0

P 是腰 DC 上的动点,则 PA ? 3PB 的最小值为____________

??? ?

??? ?

5

(2012 年天津理) (7)已知△ABC 为等边三角形, AB =2 ,设点 P,Q 满足 AP=? AB ,

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 3 AQ=(1 ? ? ) AC , ? ? R ,若 BQ ? CP = ? ,则 ? = 2
(A)

1 2

(B)

1? 2 2

(C)

1 ? 10 2

(D)

?3 ? 2 2 2

(2013 年天津理)(12) 在平行四边形 ABCD 中, AD = 1, ?BAD ? 60? , E 为 CD 的中点. 若 ???? ??? ? AD· BE ? 1 , 则 AB 的长为 .

八 直线与圆的方程
选择题 5 分,简单,占 3.3%。
(2009 年天津理)(14)若圆 x2 ? y 2 ? 4 与圆 x2 ? y 2 ? 2ay ? 6 ? 0 (a>0)的公共弦的长 为 2 3 ,则 a

? ___________。
?x ? 1? t (t 为参数) ,直线 l2 的方程为 ? y ? 1 ? 3t

(2009 年天津理)(13) 设直线 l1 的参数方程为 ? y=3x+4 则 l1 与 l2 的距离为_______ (2010 年天津理) (13)已知圆 C 的圆心是直线 ? 与直线 x+y+3=0 相切,则圆 C 的方程为

? x ? 1, 与 x 轴的交点,且圆 C (t为参数) ? y ? 1? t

n? R, (2012 年天津理) (8) 设m, 若直线 (m ? 1) x+(n ? 1) y ? 2=0 与圆 (x ? 1) +(y ?1) =1
2 2

相切,则 m +n 的取值范围是 (A) [1 ? 3,1+ 3] (C) [2 ? 2 2,2+2 2] (B) ( ? ?,1 ? 3] ? [1+ 3,+?) (D) ( ? ?,2 ? 2 2] ? [2+2 2,+?)

? ?? 2013 年天津理)(11) 已知圆的极坐标方程为 ? ? 4cos? , 圆心为 C, 点 P 的极坐标为 ? 4, ? , ? 3? 则|CP| = .

九 圆的几何性质
填空题 5 分,简单,占 3.3%。
(2010 年天津理) (14)如图,四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形,延长 AB 和 DC 相交于点 P,若

PB 1 PC 1 BC = , = ,则 的值为 PA 2 PD 3 AD
6

(2011 年天津理)12.如图,已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F , E 是 AB 延长线上 一点,且 DF ? CF ? 2, AF : FB : BE ? 4: 2:1. 若 CE 与圆相切,则线段 CE 的长为

__________ (2012 年天津理) (13)如图,已知 AB 和 AC 是圆的两条弦.过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D,过点 C 作 BD 的平行线与圆相 交于点E, 与 AB 相交于点 F,AF =3 ,FB =1 ,EF = 的长为 .

3 , 则线段 CD 2

(2013 年天津理) (13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且 BD//AC. 过点 A 做 圆的切线与 DB 的延长线交于点 E, AD 与 BC 交于点 F. 若 AB = AC, AE = 6, BD = 5, 则线段 CF 的长为 .

十 二项式定理
选择题 5 分,简单,占 3.3%。
? x 2 ? 2 (2011 年理)在 ? ? 2 ? x? ? 的二项展开式中, x 的系数为 ? ? 15 15 3 A. ? B. C. ? 4 8 4
6

D.

3 8

1? ? (2012 年理)(5)在 ? 2 x 2 ? ? 的二项展开式中,的 x 系数为 x? ?
(A)10 (B)-10 (C)40
6

5

(D)-40 .

1 ? ? (2013 年理)(10) ? x ? ? x? ?

的二项展开式中的常数项为

十一 三角函数
选择题、解答题,简单,18 分,12%。
7

(2009 年天津理)在⊿ABC 中,BC= 5 ,AC=3,sinC=2sinA

?? ? (Ⅰ) 求 AB 的值;(Ⅱ) 求 sin ? 2 A ? ? 的值 4? ?
(2010 年天津理) 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2 ? b2 ? 3bc , sin C ? 2 3 sin B ,则 A=(A) 30 0 (B) 60 0 (C) 1200 (D) 1500 (2010 年天津理)已知函数 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x ?1( x ? R)

? ?? (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期及在区间 ?0, ? 上的最大值和最小值; ? 2?
6 ?? ? ? (Ⅱ)若 f ( x0 ) ? , x0 ? ? , ? ,求 cos 2 x0 的值。 5 ?4 2?
(2011 年天津理) 在△ ABC 中, D 是边 AC 上的点,且 AB ? AD,2 AB ? 3BD, BC ? 2BD ,则 sin C 的值

为 A.
3 3

B.

3 6

C.

6 3

D.

6 6

(2011 年天津理)

? 已知函数 f ( x) ? tan(2 x ? ), 4
(Ⅰ)求 f ( x) 的定义域与最小正周期;

? ? ?? (II)设 ? ? ? 0, ? ,若 f ( ) ? 2 cos 2? , 求 ? 的大小. 2 ? 4?
(2012 年天津理) 在△ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c. 已知 8b=5c, C=2B, 则 cosC= ( )

8

A

7 25

B?

7 25

C?

7 25

D

24 25

(2012 年天津理)

?? ?? ? ? 已知函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? 2cos 2 x ? 1 ? x ? R? 3? 3? ? ?
(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最小正周期;
? ? ?? (Ⅱ)求函数 f ? x ? 在区间 ? ? , ? 上的最大值和最小值. ? 4 4?

(2012 年天津理)(16)(本小题满分 13 分 在 △ABC 中,内角 A,B,C 所对的分别是 a,b,c。已知 a=2.c= 2 ,cosA= 2 . 4

д (I)求 sinC 和 b 的值;(II)求 cos(2A+ )的值。 3
(2013 年天津理)(6) 在△ABC 中, ?ABC ? , AB ? 2, BC ? 3, 则 sin?BAC =
4
10 10 (B) 10 5 (2013 年天津理)(15) (本小题满分 13 分)

?

(A)

(C)

3 10 10

(D)

5 5

?? ? 已知函数 f ( x) ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 6sin x cos x ? 2 cos 2 x ? 1, x ? R . 4? ? (Ⅰ) 求 f(x)的最小正周期; ? ?? (Ⅱ) 求 f(x)在区间 ?0, ? 上的最大值和最小值. ? 2?

十二 立体几何
解答题,简单,13 分,8.6%
(2009 年理 19)如图,在五面体 ABCDEF 中, FA ? 平 面 ABCD , AD//BC//FE , AB ? AD , M 为 EC 的 中 点 , AF=AB=BC=FE=

1 AD 2

(Ⅰ)求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小; (Ⅱ)证明平面 AMD ? 平面 CDE; (Ⅲ)求二面角 A-CD-E 的余弦值。

E 、 F 分别是棱 BC , CC1 (2010 理)如图,在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
上的点, CF ? AB ? 2CE , AB : AD : AA1 ? 1: 2 : 4
9

(1) 求异面直线 EF 与 A 1 D 所成角的余弦值; (2) 证明 AF ? 平面

A1ED

(3) 求二面角 A1 ? ED ? F 的正弦值。

(2011 年理)如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,

H 是正方形 AA1B1B 的中心, AA 1B 1B ,且 C1H ? 5. 1 ? 2 2 , C1 H ? 平面 AA
(Ⅰ )求异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值 (Ⅱ )求二面角 A ? AC 1 1 ?B 1 的正弦值;

MN ? 平面 A1B1C ,求线段 BM (Ⅲ)设 N 为棱 B1C1 的中点,点 M 在平面 AA 1B 1B 内,

长. (2012 理)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA 丄平面 ABCD , AC 丄 AD , AB 丄 BC ,

?ABC =450 , PA=AD =2 , AC =1 .
(Ⅰ)证明 PC 丄 AD ; (Ⅱ)求二面角 A ? PC ? D 的正弦值; (Ⅲ)设 E 为棱 PA 上的点,满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 30 , 求 AE 的长. (2013 理)(17) (本小题满分 13 分) 如图, 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, 侧棱 A1A⊥底面 ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E 为棱 AA1 的中点. (Ⅰ) 证明 B1C1⊥CE; (Ⅱ) 求二面角 B1-CE-C1 的正弦值. (Ⅲ) 设点 M 在线段 C1E 上, 且直线 AM 与平面 ADD1A1
0

10

所成角的正弦值为

2 , 求线段 AM 的长. 6

十三 概率、统计与排列组合
填空题,解答题,简单,18 分,12%
(2009 理)在 10 件产品中,有 3 件一等品,4 件二等品,3 件三等品。从这 10 件产品中任 取 3 件,求: (Ⅰ) 取出的 3 件产品中一等品件数 X 的分布列和数学期望; (Ⅱ) 取出的 3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。 (2009 理)用数字 0,1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和 百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个(用数字作答)

(2010 年理)某射手每次射击击中目标的概率是

2 ,且各次射击的结果互不影响。 3

(Ⅰ)假设这名射手射击 5 次,求恰有 2 次击中目标的概率 (Ⅱ)假设这名射手射击 5 次,求有 3 次连续击中目标。另外 2 次未击中目标的概率; (Ⅲ)假设这名射手射击 3 次,每次射击,击中目标得 1 分,未击中目标得 0 分,在 3 次射 击中,若有 2 次连续击中,而另外 1 次未击中,则额外加 1 分;若 3 次全击中,则额外加 3 分,记 ? 为射手射击 3 次后的总的分数,求 ? 的分布列。 (2010 年理)甲、乙两人在 10 天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图,中间一列的 数字表示零件个数的十位数,两边的数字表示零件个数的个位数,则这 10 天甲、乙两人日 加工零件的平均数分别为 和 。

(2010 年理) 如图,用四种不同颜色给图中的 A,B,C,D,E,F 六个点涂色, 要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同 的涂色方法用 (A)288 种 (B)264 种 (C)240 种 (D)168 种 (2011 年理) 学校游园活动有这样一个游戏项目: 甲箱子里装有 3 个白球、 2 个黑球,乙箱子里装有 1 个白球、2 个黑球,这些球除颜色外完全相同,
11

每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球,若摸出的白球不少于 2 个,则获奖. (每次游 戏结束后将球放回原箱) (Ⅰ)求在 1 次游戏中, (i)摸出 3 个白球的概率; (ii)获奖的概率; (Ⅱ)求在 2 次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E ( X ) . (2012 年理)现有 4 个人去参加娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为 增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数 为 1 或 2 的人去参加甲游戏,掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏. (1)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率; (2)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率; (3)用 X,Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数,记 ξ =|X-Y|,求随机变量 ξ 的分布列与数学期望 Eξ . (2012 年理)(9)某地区有小学 150 所,中学 75 所,大学 25 所. 现采用分层抽样的方法 从这些学校中抽取 30 所学校对学生进行视力调査, 应从小学中抽取 所学校, 中学中 抽取 所学校. (2013 年理)(16) (本小题满分 13 分) 一个盒子里装有 7 张卡片, 其中有红色卡片 4 张, 编号分别为 1, 2, 3, 4; 白色卡片 3 张, 编号 分别为 2, 3, 4. 从盒子中任取 4 张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同). (Ⅰ) 求取出的 4 张卡片中, 含有编号为 3 的卡片的概率. (Ⅱ) 再取出的 4 张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为 X, 求随机变量 X 的分布列和数学期 望.

十四 圆锥曲线
选择题或填空题,解答题,19 分,12.7%
(2009 理) (9)设抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点为 F,过点 M( 3 ,0)的直线与抛物线相交于 A, B 两点,与抛物线的准线相交于 C, BF =2,则 ? BCF 与 ? ACF 的面积之比

S?BCF = S?ACF

(A)

4 5

(B)

2 3

(C)

4 7

(D)

1 2

(2009 理) (21) (本小题满分 14 分)

x2 y 2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F 1 (?c,0)和F 2 (c,0)(c ? 0) ,过点 a b

E(

a2 , 0) 的直线与椭圆相交与 A, B 两点,且 F1 A / / F2 B, F1 A ? 2 F2 B 。 c
(Ⅰ)求椭圆的离心率; (Ⅱ)求直线 AB 的斜率;

12

(Ⅲ)设点 C 与点 A 关于坐标原点对称, 直线 F2 B 上有一点 H (m, n)(m ? 0) 在 ? AFC 1 的外接圆上,求

n 的值 m

(2010 理) (5)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程是 y= 3x ,它的一个 a 2 b2

焦点在抛物线 y 2 ? 24 x 的准线上,则双曲线的方程为

x2 y 2 ? ?1 (A) 36 108
(C)

(B)

x2 y 2 ? ?1 9 27
x2 y 2 ? ?1 27 9

x2 y2 ? ?1 108 36

(D)

(2010 理) (20) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 为 4。 (1) 求椭圆的方程; (2) 设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A, B ,已知点 A 的坐标为( ? a, 0 ) ,点

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? , 连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积 2 a b 2

??? ? ??? ? Q(0, y0 ) 在线段 AB 的垂直平分线上,且 QA? QB ? 4 ,求 y0 的值
(2011 理)11.已知抛物线 C 的参数方程为 ?
2

? x ? 8t 2 , ? y ? 8t .

( t 为参数)若斜率为 1 的直线经过

2 2 抛物线 C 的焦点,且与圆 ? x ? 4 ? ? y ? r (r ? 0) 相切,则 r =________.

(2011 理)18. (本小题满分 13 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P (a, b) (a ? b ? 0) 为

x2 y 2 动点, F1 , F2 分别为椭圆 2 ? 2 ? 1 的左右焦点.已知△ F 1PF 2 为等腰三角形. a b (Ⅰ)求椭圆的离心率 e ; ???? ? ???? ? M 是直线 PF2 上的点, (Ⅱ) 设直线 PF2 与椭圆相交于 A, B 两点, 满足 AM ? BM ? ?2 , 求点 M 的轨迹方程.
(2012 理) (12)己知抛物线的参数方程为 ?

? x =2 pt 2 , ? y =2 pt ,

( t 为参数) ,其中 p >0 ,焦点为 F ,

准线为 l ,过抛物线上一点 M 作的垂线,垂足为 E ,若 |EF |=|MF | ,点 M 的横坐标是 3, 则 p= .
13

(2012 理) (19) (本小题满分 14 分)设椭圆

x2 y 2 + =1 (a >b>0) 的左、右顶点分别为 A, a 2 b2

B,点 P 在椭圆上且异于 A,B 两点, O 为坐标原点. (Ⅰ)若直线 AP 与 BP 的斜率之积为 ?

1 ,求椭圆的离心率; 2

(Ⅱ)若 |AP|=|OA| ,证明直线 OP 的斜率 k 满足 |k|> 3 . (2012 理) (5) 已知双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的 2 a b

准线分别交于 A, B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为 2, △AOB 的面积为 3 , 则 p = (A) 1 (B)
3 2

(C) 2

(D) 3

(2013 理)(18) (本小题满分 13 分)
3 x2 y 2 , 过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F, 离心率为 2 3 a b 4 3 截得的线段长为 . 3 (Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设 A, B 分别为椭圆的左右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点. 若

设椭圆

???? ??? ? ???? ??? ? AC· DB ? AD· CB ? 8 , 求 k 的值.

十五 数列
选择题或填空题,解答题,19 分,12.7%
(2009 年理)已知等差数列{ an }的公差为 d(d ? 0) ,等比数列{ bn }的公比为 q(q>1) 。设

Sn ? a1b1 ? a2b2 ? ...... ? anbn , Tn = a1b1 - a2b2 +?..+(-1 ) n ?1 anbn ,n? N ?
(Ⅰ)若 a1 = b1 = 1,d=2,q=3,求 S3 的值; (Ⅱ)若 b1 =1,证明 (1 ? q) S2 n ? (1 ? q)T2 n ? (Ⅲ) 若正整数 n 满足 2 ? n ? q, 设 k1 , k ., 2 ,.

2dq(1 ? q 2n ) , n ? N* 1 ? q2

kn和 , 1l,. .,2 l 12. . ln是 , ,,n 的两个不同的排

列, c1 ? ak1 b1 ? ak2 b2 ? ... ? akn bn , c2 ? al1 b1 ? al2 b2 ? ... ? aln bn 证明 c1 ? c2 。 (2010 年理)已知 ?an ? 是首项为 1 的等比数列, s n 是 ?an ? 的前 n 项和,且 9s3 ? s6 ,则数

14

列?

?1? ? 的前 5 项和为 ? an ?
(A)

15 或5 8

(B)

31 或5 16

( C)

31 16

(D)

15 8

(2011 理) .已知 ?an ? 为等差数列,其公差为-2,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项, Sn 为

?an ? 的前 n 项和, n ? N * ,则 S10 的值为
A.-110 C.90 B.-90 D.110

(2011 理) 已知数列 {an } 与 {bn } 满足:bn an ? an ?1 ? bn ?1an ? 2 ? 0, bn ? 且 a1 ? 2, a2 ? 4 . (Ⅰ )求 a3 , a4 , a5 的值; (Ⅱ )设 cn ? a2n?1 ? a2n?1 , n ? N * ,证明: ?cn ? 是等比数列; (III)设 Sk ? a2 ? a4 ???? ? a2k , k ? N * , 证明:

3 ? (?1)n * , n?N , 2

?a
k ?1

4n

Sk
k

7 ? (n ? N * ) . 6

(2012 理) 已知 {an } 是等差数列, 其前 n 项和为 S n , 且 a1 ? b1 ? 2 , ?bn? 是等比数列,

a4 ? b4 ? 27 , S4 ? b4 ? 10
(1)求数列 {an } 与 ?bn? 的通项公式; (2)记 Tn ? anb1 ? an?1b2 ? ...a1bn 证明: Tn ? 12 ? 2an ? 10bn
(2013 理)(19) (本小题满分 14 分) 已知首项为
3 的等比数列 {an } 不是递减数列, 其前 n 项和为 Sn (n ? N *) , 且 S3 + a3, S5 + a5, S4 2

+ a4 成等差数列. (Ⅰ) 求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 设 Tn ? Sn ?
1 (n ? N *) , 求数列 {Tn } 的最大项的值与最小项的值. Sn

十六 函数与导数
15

选择题、填空题、解答题,中等或难,24 分,16%。
(2009 理) (4)设函数 f ( x) ?

1 x ? ln x( x ? 0), 则 y ? f ( x) 3

1 e 1 B. 在区间 ( ,1), (1, e) 内均无零点。 e 1 C. 在区间 ( ,1) 内有零点,在区间 (1, e) 内无零点。 e 1 D. 在区间 ( ,1) 内无零点,在区间 (1, e) 内有零点。 e
A. 在区间 ( ,1), (1, e) 内均有零点。

? x 2 ? 4 x, x ? 0 ? (2009 理) (8)已知函数 f ( x) ? ? 若 f (2 ? a2 ) ? f (a), 则实数 a 的取值范围 2 4 x ? x , x ? 0 ? ?
是 A (??, ?1) ? (2, ??) B (?1, 2) C (?2,1) D (??, ?2) ? (1, ??)

(2009 理) (20) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x2 ? ax ? 2a2 ? 3a)e x ( x ? R), 其中 a ? R (Ⅰ)当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ( x)在点(1, f (1)) 处的切线的斜率; (Ⅱ)当 a ?

2 时,求函数 f ( x ) 的单调区间与极值。 3
x

(2010 理) (2)函数 f(x)= 2 ? 3 x 的零点所在的一个区间是 (A)(-2,-1)(B)(-1,0)(C)(0,1)(D)(1,2)

(2010 理) (8)若函数 f(x)= ?log (? x), x ? 0 ,若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是 1

?log 2 x, x ? 0, ? ? ?
2

(A) (-1,0)∪(0,1) (C) (-1,0)∪(1,+∞) ( 2010 理 ) ( 16 ) 设 函 数

(B) (-∞,-1)∪(1,+∞) (D) (-∞,-1)∪(0,1)

f ( x? )

2

? x

, 1 对 任 意 x ? ? , ?? ? ,

?2 ?3

? ?

?x? f ? ? ? 4m2 f ( x) ? f ( x ? 1) ? 4 f (m) 恒成立,则实数 m 的取值范围是 ?m?
(2010 理) (21) (本小题满分 14 分)
16

.

已知函数 f ( x) ? xc? x ( x ? R) (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间和极值; (Ⅱ)已知函数 y ? g ( x) 的图象与函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 1 对称,证明当 x ? 1 时, f ( x) ? g ( x) (Ⅲ)如果 x1 ? x2 ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,证明 x1 ? x2 ? 2 ( 2011 理 ) 8 . 对 实 数 a 和 b , 定 义 运 算 “ ? ” : a ?b ? ?

, ? b ?1 , ?aa . ?b, a ? b ?1

设函数

f ( x) ? ? x 2 ? 2 ? ? ? x ? x 2 ? , x ? R. 若函数 y ? f ( x) ? c 的图像与 x 轴恰有两个公共点,
则实数 c 的取值范围是 A. ? ??, ?2? ? ? ?1, ?

? ?

3? 2? ? ?

B. ? ??, ?2? ? ? ?1, ?

? ?

3? ? 4? ? ?

C. ? ?1, ? ? ? , ?? ? (2011 理)19. (本小题满分 14 分)

? ?

1? 4?

?1 ?4

D. ? ?1, ? ? ? ? , ?? ?

? ?

3? 4?

?1 ?4

已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ln x ? ax 2 , x ? 0. ( f ( x ) 的图像连续不断) (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间;

1 3 时,证明:存在 x0 ? (2, ??) ,使 f ( x0 ) ? f ( ) ; 8 2 (Ⅲ)若存在均属于区间 ?1,3? 的 ? , ? ,且 ? ? ? ? 1,使 f (? ) ? f ( ? ) ,证明
(Ⅱ)当 a ?

ln 3 ? ln 2 ln 2 ?a? . 5 3
(2012 理) (4)函数 f (x)=2 +x ? 2 在区间 (0,1) 内的零点个数是
x 3

(A)0

(B)1

(C)2

(D)3

(2012 理) (14)已知函数 y =

|x 2 ? 1| 的图象与函数 y =kx ? 2 的图象恰有两个交点,则实数 x ?1
.

k 的取值范围是

(2012 理) (20) (本小题满分 14 分) 已知函数 f (x)=x ? ln (x+a) 的最小值为 0 , 其中 a >0 . (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若对任意的 x ? [0,+?) ,有 f (x) ? kx 成立,求实数 k 的最小值;
2

17

(Ⅲ)证明

? 2i ? 1 ? ln (2n+1)<2 (n ? N
i =1

n

2

*

).

(2013 理)(7) 函数 f ( x) ? 2 x | log 0.5 x | ?1 的零点个数为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (2013 理)(8) 已知函数 f ( x) ? x(1 ? a | x |) . 设关于 x 的不等式 f ( x ? a) ? f ( x) 的解集为 A,
? 1 1? 若 ? ? , ? ? A , 则实数 a 的取值范围是 ? 2 2?

?1? 5 ? (A) ? ? 2 ,0 ? ? ? ? ?1? 5 ? ? 1? 3 ? (C) ? ? 2 ,0 ? ??? ? 0, 2 ? ? ? ? ? ?
(2013 理)(14) 设 a + b = 2, b>0, 则当 a = (2013 理)(20) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ln x .

?1? 3 ? (B) ? ? 2 ,0 ? ? ? ? ? 1? 5 ? (D) ? ? ? ??, 2 ? ? ?
时,
1 |a| ? 取得最小值. 2| a| b

(Ⅰ) 求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ) 证明: 对任意的 t>0, 存在唯一的 s, 使 t ? f ( s ) . (Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的 s 关于 t 的函数为 s ? g (t ) , 证明: 当 t >e 2 时, 有
2 ln g (t ) 1 ? ? . 5 ln t 2

18


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