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高考数学综合能力题30讲第19讲 二次曲线与二次曲线


数学高考综合能力题选讲 19

二次曲线与二次曲线
100080 北京中国人民大学附中 题型预测
高考说明中明确指出: “对于圆锥曲线的内容, 不要求解有关两个二次曲线交点坐标的 问题(两圆的交点除外)”. 但是,在解答某些问题时(如 1990 年全国理科 25 题),难免 会遇到两个二次曲线相切或相交的问题,因此,应该让学生明白:双二次曲线消元后,得到 的方程的判别式与交点个数不等价.其次,有些问题涉及两个二次曲线,但所讨论和研究的 并不是交点,而是它们的某些参量之间的关系,由于涉及到的参量较多,问题往往显得较为 复杂,这类问题要特别加以注意,理清思路,顺藤摸瓜,设计好解题步骤.

梁丽平

范例选讲 例 1.讨论圆 C1 : ? x ? a ? ? y 2 ? 1 与抛物线 C2 : y 2 ? x 的位置关系.
2

讲解:圆 C1 : ? x ? a ? ? y 2 ? 1 是以 ? a, 0 ? 为圆心,1 为半径的圆,从草图不难
2

发现,当 a ? ?1 时,圆与抛物线无公共点;当 a ? ?1时,圆与抛物线相切;当 ?1 ? a ? 1 时, 圆与抛物线相交;而当 a ? 1时,圆与抛物线 的关系则很难从图形上加以判断. 为 此 , 我 们 需 借 助 方 程 组

?? x ? a ?2 ? y 2 ? 1 ? 的解的个数来加以说明. ? 2 ?y ? x ?
把 y 2 ? x 代入 ? x ? a ? ? y 2 ? 1 ,整理得: x 2 ? x ?1 ? 2a ? ? a 2 ? 1 ? 0 (*).
2

此方程的判别式 ? ? 5 ? 4a . 5 5 5 可以看到:当 a ? 时, ? ? 0 ;当 a ? 时, ? ? 0 ;当 a ? 时, ? ? 0 . 4 4 4 5 5 事实上,当 a ? 时,的确有圆与抛物线相切;当 a ? 时,圆与抛物线无公 4 4 5 共点.而当 a ? 时,虽然有方程(*)的 ? ? 0 ,但圆与抛物线却并不总有公共 4 点,也即判别式与方程组解的个数不等价. 造成这种情况的原因实际上是由于:在方程组转化为方程(*)的过程中, 忽略了条件 x ? 0 .事实上,方程组解的个数等于方程(*)的非负解的个数.

综上,圆 C1 : ? x ? a ? ? y 2 ? 1 与抛物线 C2 : y 2 ? x 的位置关系如下:
2

5 时, 圆与抛物线无公共点; a ? ?1时, 当 圆与抛物线相切 (只 4 有一个公共点);当 ?1 ? a ? 1 时,圆与抛物线相交(两个公共点);当 a ? 1 时, 5 圆与抛物线相交 (三个公共点) 当 1 ? a ? 时, ; 圆与抛物线相交 (四个公共点) ; 4 5 当 a ? 时,圆与抛物线相切(两个公共点). 4 点评:双二次曲线的问题,要注意判别式的符号与交点个数并不完全等价.

当 a ? ?1 或 a ?

x2 y 2 3 例 2 . 已 知 椭 圆 C1 : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? , 它 的 离 心 率 为 .直线 3 a b
l : y ? x ? 2 ,它与以原点为圆心,以 C1 的短半轴为半径的圆 O 相切.

(Ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ) 设椭圆 C1 的左焦点为 F , 左准线为 l1 . 动直线 l 2 垂直 l1 于点 P , 线段 PF 的垂直平分线交 l 2 于点 M .试点 M 到圆 O 上的点的最短距离. 讲解:(Ⅰ)∵ ∴b ? 2 . 又∵ 椭圆的离心率为 ∴a ? 3. ∴ 椭圆 C1 的方程为
x2 y 2 ? ? 1. 3 2
3 . 3

直线 l : y ? x ? 2 与以原点为圆心,以 b 为半径的圆相切.

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得:椭圆 C1 的左焦点 F 的坐标为 ? ?1, 0 ? ,左准线 l1 的方程 为: x ? ?3 . 连接 FM ,则 FM ? PM .由抛物线的定义不难知道:点 M 的轨迹为以

F ? ?1, 0 ? 为焦点,以 l1 : x ? ?3 为准线的抛物线,其方程为: y 2 ? 4 ? x ? 2 ? .
所以,点 M 到圆 O 上的点的最短距离,实际上就是抛物线 y 2 ? 4 ? x ? 2 ? 与圆
x 2 ? y 2 ? 2 上的点的最短距离. 下面我们分别从几何和代数的角度来考虑这个问

题. 解法一:首先,如果抛物线上点 A 与圆上点 B 之间距离最小,则 AB 必过圆 心 O.(否则,连接 OB、OA,设 OA 交圆于点 N,则 r +NA=OA<OB+AB = r +AB,即 NA<BA,与 AB 最小矛盾.所以,只需求出圆心 O 到抛物线上点 的最短距离即可.) 在抛物线上任取一点 M(x,y),则

MO ? x2 ? y 2 ? x2 ? 4 ? x ? 2? ?

? x ? 2?

2

?4

由于 x ? ?2 .所以, MO ? 2 (等号当且仅当
x ? ?2 时取得).

所以,上述最短距离为 MO ? r ? 2 ? 2 . 解法二:用纯代数的方法去思考. 设 M ? m 2 ? 2, 2m ? 为 抛 物 线 上 任 意 点 ,
Q

?

2 cos ? , 2 sin ? 为圆上任意点,

?

则 MQ ? m2 ? 2 ? 2 cos ?
2

?

? ? ? 2m ?
2

2 sin ?

?

2

? 2 cos ? ? 4 ? 2m 2 ? ? 4 2m sin ? ? m 4 ? 6

? 2 ? 4 ? 2m2 ? ? 32m2 cos ?? ? ? ? ? m4 ? 6
2

? 2 2m 4 ? 8 cos ?? ? ? ? ? m 4 ? 6

? m 4 ? 6 ? 2 2m 4 ? 8

?

?

m4 ? 4 ? 2

? ? ?2 ? 2 ?
2

2

等号当且仅当抛物线和圆上的两点分别为 M ? ?2, 0 ? 和 Q ? 2, 0 时取得. 点评: 方法二需要较强的代数变形的能力, 充分运用图形的几何性质可以使得问题简化. 例 3.已知双曲线 C1 和椭圆 C 2 有相同的焦
( 点 F1 ? c,0) 和 F2 (c,0) (c ? 0) ,两曲线在第一
F1 O F2 Q y P x

?

?

象限内的交点为 P. 椭圆 C 2 与 y 轴负半轴交于 点 B,且 P、F2、B 三点共线, F2 分有向线段

B

PB 的比为 1:2,又直线 PB 与双曲线 C1 的另一交点为 Q ,若 F2 Q ?

3 . 5

(Ⅰ)求椭圆 C 2 的离心率 (Ⅱ)求双曲线 C1 和椭圆 C 2 的方程.

讲解: (Ⅰ) 要求椭圆 C 2 的离心率,可以先只考虑与椭圆 C 2 有关的条件.注 意到: P、F2、B 三点共线,且 F2 分有向线段 PB 的比为 1:2.所以,若设椭圆 的方程为:
x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? , a 2 b2
3 b? ?3 则点 P 的坐标为 P ? c, ? .代入椭圆方程,可解得椭圆的离心率 e ? . 3 2? ?2

x2 y2 (Ⅱ)由(Ⅰ)可得椭圆的方程为: 2 ? 2 ?1 ,点 P 的坐标为 3c 2c
?3 P ? c, ?2 ? 2 ? c ? .直线 PB 的方程为: y ? 2 ? x ? c ? 2 ? ?

设双曲线的方程为:
?3 ∵ P ? c, ?2 ?

x2 y 2 ? ? 1? m, n ? 0 ? ,则 m2 ? n2 ? c2 . m2 n 2

2 ? c ? 在双曲线上, 2 ? ? ? c2 ?1 2n 2



4 ? c2 ? n2 ?

9c 2

化简得: n2 ?

1 2 3 c .故 m2 ? c 2 . 4 4
4 x2 4 y 2 ? 2 ? 1 ,消去 y,得: c2 c

将直线 PB 的方程代入双曲线方程

20 x2 ? 48xc ? 27c 2 ? 0 .

解得 x1 ?

3 9 c, x2 ? c . 2 10

从而 F2 Q ? 1 ?

? 2?

2

xF2 ? x2 ?

3 3 . c? 10 5

∴ 椭圆方程为

x2 y 2 x2 ? ? 1 ,双曲线方程为 ? y 2 ? 1 . 12 8 3

点评:解答本题,最大的问题在于:所给条件杂乱无序,不知从何入手.为 此,应该理清头绪,层层递进,分步解答.

高考真题 1.(1988年全国高考题)直线L的方程 x ? ?
p ,其中 p ? 0 ;椭圆的中心 2

p ? ? 为 D ? 2 ? , 0 ? ,焦点在x轴上,长半轴长为2,短半轴长为1,它的一个顶点为 2 ? ? ?p ? A ? , 0 ? .问:p在那个范围内取值时,椭圆上有四个不同的点,他们中每一 ?2 ?

个点到点A的距离等于该点到直线L的距离. 2.(1990年全国高考题)设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x轴上,离心率
e? 3 ? 3? ,已知点 P ? 0, ? 到这个椭圆上的点的最远距离是 7 ,求这个椭圆的 2 ? 2?

方程,并求椭圆上到点P的距离等于 7 的点的坐标.

[答案与提示:1. 0 ? p ?

x2 1 ; 2. ? y 2 ? 1, 4 3

1? ? 1? ? ? ? 3, ? ? , ? 3, ? ? ] 2? ? 2? ?


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