新高中数学第三章数学归纳法与贝努利不等式3-1数学归纳法原理学案新人教B版选修4_5

新高中数学第三章数学归纳法与贝努利不等式 3-1 数学归纳法 原理学案新人教 B 版选修 4_5 数学归纳法原理
[对应学生用书P40]

[读教材·填要点] 1.数学归纳法原理 对于由归纳法得到的某些与自然数有关的命题 p(n),可以用以下两个步骤来证明它的 正确性: (1)证明当 n 取初始值 n0(例如 n0=0,n0=1 等)时命题成立; (2)假设当 n=k(k 为自然数,且 k≥n0)时命题正确,证明当 n=k+1 时命题也正确. 在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于从初始值 n0 开始的所有自然数都正确. 2.数学归纳法的基本过程

[小问题·大思维] 1.在数学归纳法中,n0 一定等于 0 吗? 提示:不一定.n0 是适合命题的自然数中的最小值,有时是 n0=0 或 n0=1,有时 n0 值 也比较大,而不一定是从 0 开始取值. 2.数学归纳法的适用范围是什么? 提示:数学归纳法的适用范围仅限于与自然数有关的数学命题的证明. 3.数学归纳法中的两步的作用是什么? 提示:在数学归纳法中的第一步“验证 n=n0 时,命题成立”,是归纳奠基、是推理证 明的基础.第二步是归纳递推,保证了推理的延续性,证明了这一步,就可以断定这个命题 对于 n 取第一个值 n0 后面的所有自然数也都成立.

[对应学生用书P40]

1 / 10

用数学归纳法证明恒等式

1 1 1 1 1 1 1 1 [例 1] 用数学归纳法证明: 1- + - +…+ - = + +…+ (n∈N 2 3 4 2n-1 2n n+1 n+2 2n


). [思路点拨] 本题考查数学归纳法在证明恒等式中的应用, 解答本题需要注意等式的左

边有 2n 项,右边有 n 项,由 k 到 k+1 时,左边增加两项,右边增加一项,而且左、右两边 的首项不同,因此由“n=k”到“n=k+1”时,要注意项的合并. 1 1 1 [精解详析] (1)当 n=1 时,左边=1- = ,右边= ,命题成立. 2 2 2 (2)假设当 n=k(k≥1,且 k∈N+)时命题成立,即有 1 1 1 1 1 1- + - +…+ - 2 3 4 2k-1 2k = 1

k+1 k+2



1

1 +…+ . 2k

则当 n=k+1 时, 1 1 1 1 1 1 1 左边=1- + - +…+ - + - 2 3 4 2k-1 2k 2k+1 2k+2 = = 1

k+1 k+2



1

1 1 1 +…+ + - 2k 2k+1 2k+2

1 1 1 1 + +…+ + , k+2 k+3 2k+1 2k+2

从而可知,当 n=k+1 时,命题亦成立. 由(1)(2)可知,命题对一切正整数 n 均成立.

(1)用数学归纳法证明代数恒等式的关键有两点:一是准确表述 n=n0 时命题的形式, 二是准确把握由 n=k 到 n=k+1 时,命题结构的变化特点. (2)应用数学归纳法时的常见问题 ①第一步中的验证,对于有些问题验证的并不是 n=0,有时需验证 n=1,n=2. ②对 n=k+1 时式子的项数以及 n=k 与 n=k+1 的关系的正确分析是应用数学归纳法 成功证明问题的保障. ③“假设 n=k 时命题成立,利用这一假设证明 n=k+1 时命题成立”,这是应用数学

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归纳法证明问题的核心环节, 对待这一推导过程决不可含糊不清, 推导的步骤要完整、 严谨、 规范.

1.用数学归纳法证明:对任意的 n∈N+, 1 1 + +…+ 1×3 3×5 1

n-

n+



n . 2n+1

1 1 1 1 证明:(1)当 n=1 时,左边= = ,右边= = ,左边=右边,等式成立. 1×3 3 2×1+1 3 (2)假设当 n=k(k∈N+且 k≥1)时等式成立, 1 1 即有 + +…+ 1×3 3×5 则当 n = k + 1 时, + 2k+1 = = 1

k-

k+



, 2k+1 1

k

1 1 + +…+ 1×3 3×5

k-

k+



1

k+

k+



k

1

k+ k k+ k+
2

k+
+1 k+

2k +3k+1 k+ k+

k+1 = = 2k+3

k+1 , k+ + 1

所以当 n=k+1 时,等式也成立. 由(1)(2)可知,对一切 n∈N+等式都成立.

用数学归纳法证明整除问题

[例 2] 求证:二项式 x -y (n∈N+)能被 x+y 整除. [思路点拨] 本题考查数学归纳法在证明整除问题中的应用,解答本题需要设法将 x -y 进行分解因式得出 x+y,由于直接分解有困难,故采用数学归纳法证明. [精解详析] (1)当 n=1 时,x -y =(x+y)(x-y), ∴能被 x+y 整除. (2)假设 n=k(k≥1,且 k∈N+)时,
2 2 2n 2n

2n

2n

x2k-y2k 能被 x+y 整除,
当 n=k+1 时, 即x
2k+2

-y

2k+2

=x ·x -x y +x y -y ·y

2

2k

2 2k

2 2k

2

2k

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=x (x -y )+y (x -y ). ∵x -y 与 x -y 都能被 x+y 整除, ∴x (x -y )+y (x -y )能被 x+y 整除. 即 n=k+1 时,x
2k+2 2 2k 2k 2k 2 2 2k 2k 2 2

2

2k

2k

2k

2

2

-y

2k+2

能被 x+y 整除.

由(1)(2)可知,对任意的正整数 n 命题均成立.

利用数学归纳法证明整除问题时, 关键是整理出除数因式与商数因式积的形式, 这就往 往要涉及到“添项”与“减项”等变形技巧,例如,在本例中,对 x
2 2k 2 2k 2k+2

-y

2k+2

进行拼凑,即

减去 x y 再加上 x y ,然后重新组合,目的是拼凑出 n=k 时的归纳假设,剩余部分仍能被

x+y 整除.

2.求证:n +(n+1) +(n+2) 能被 9 整除. 证明:(1)当 n=1 时,1 +(1+1) +(1+2) =36,能被 9 整除,命题成立. (2)假设 n=k 时,命题成立,即
3 3 3

3

3

3

k3+(k+1)3+(k+2)3 能被 9 整除.
当 n=k+1 时,(k+1) +(k+2) +(k+3)
3 3 3 2 2 3 3 3

=(k+1) +(k+2) +k +3k ·3+3k·3 +3 =k +(k+1) +(k+2) +9(k +3k+3).
3 3 3 2

3

由归纳假设, 上式中 k +(k+1) +(k+2) 能被 9 整除, 又 9(k +3k+3)也能被 9 整除. 故 n=k+1 时命题也成立. 由(1)(2)可知,对任意 n∈N 命题成立. 用数学归纳法证明几何命题
*

3

3

3

2

[例 3] 平面上有 n(n≥2,且 n∈N+)条直线,其中任意两条直线不平行,任意三条不 过同一点, 求证:这 n 条直线被分成 f(n)=n . [思路点拨] 本题考查数学归纳法在证明几何命题中的应用,解答本题应搞清交点随 n 的变化而变化的规律,然后采用数学归纳法证明. [精解详析] (1)当 n=2 时, ∵符合条件的两直线被分成 4 段, 又 f(2)=2 =4.∴当 n=2 时,命题成立.
2 2

4 / 10

(2)假设当 n=k(k≥2 且 k∈N+)时命题成立,就是该平面内满足 题设的任何 k 条直线被分成 f(k)=k 段,则当 n=k+1 时,任取其中 一条直线记为 l,如图,剩下的 k 条直线为 l1,l2,…,lk.由归纳假 设知,它们被分为 f(k)=k 段. 由于 l 与这 k 条直线均相交且任意三条不过同一点,所以直线 l 被 l1,l2,l3,…,lk 分为 k+1 段,同时 l 把 l1,l2,…,lk 中每条直线上的某一段一分为二,其增加 k 段. ∴f(k+1)=f(k)+k+1+k =k +2k+1=(k+1) . ∴当 n=k+1 时,命题成立. 由(1)(2)可知,命题对一切 n∈N+且 n≥2 成立.
2 2 2 2

对于几何问题的证明, 可以从有限情形中归纳出一般变化规律, 或者说体会出是怎么变 化的,然后再去证明,也可以采用递推的办法.利用数学归纳法证明几何问题时,关键是正 确分析由 n=k 到 n=k+1 时几何图形的变化规律.

1 3.证明:凸 n 边形的对角线的条数 f(n)= n·(n-3)(n≥4). 2 1 证明:(1)n=4 时,f(4)= ·4·(4-3)=2,四边形有两条对角线,命题成立. 2 1 (2)假设 n=k 时命题成立,即凸 k 边形的对角线的条数 f(k)= k(k-3)(k≥4). 2 当 n=k+1 时,凸 k+1 边形是在 k 边形基础上增加了一边,增加了一个顶点 Ak+1,增 加的对角线条数是顶点 Ak+1 与不相邻顶点连线再加上原 k 边形的一边 A1Ak,共增加的对角线 条数为(k+1-3)+1=k-1.

f(k+1)= k(k-3)+k-1= (k2-k-2)
1 1 = (k+1)(k-2)= (k+1)[(k+1)-3]. 2 2 故 n=k+1 时由(1)、(2)可知,对于 n≥4,n∈N+公式成立.

1 2

1 2

[对应学生用书 P42]

5 / 10

一、选择题 1.用数学归纳法证明“1+2+2 +…+2 时等式成立,则当 n=k+1 时应得到( A.1+2+2 +…+2
2 2 2

n-1

=2 -1(n∈N+)”的过程中,第二步 n=k

n

) -1
k+1

k-2

+2

k-1

=2
k

k+1

B.1+2+2 +…+2 +2 C.1+2+2 +…+2 D.1+2+2 +…+2
2 2

k

k+1

=2 -1+2 =2
k+1

k-1

+2

k+1

-1

k-1

+2 =2

k

k+1

-1
n-1

解析:由条件知,左边是从 2 2 一直到 2 为 1+2+2 +…+2 答案:D
2

0, 1

都是连续的,因此当 n=k+1 时,左边应

k-1

+2 ,而右边应为 2

k

k+1

-1.

2.用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)… ·(n+n)=2 ×1×3…(2n-1)时,从“k 到 k +1”左边需增乘的代数式是( A.2k+1 C.2(2k+1) ) 2k+1 B. k+1 2k+2 D. k+1

n

解析:当 n=k+1 时,左边=(k+1+1)(k+1+2)… ·(k+1+k+1)=(k+1)·(k+ 2)·(k+3)…(k+k)· 答案:C 3.某个命题与正整数 n 有关,如果当 n=k(k∈N+)时命题成立,那么可推得当 n=k+1 时,命题也成立.现已知当 n=5 时该命题不成立,那么可推得( A.当 n=6 时该命题不成立 B.当 n=6 时该命题成立 C.当 n=4 时该命题不成立 D.当 n=4 时该命题成立 解析:与“如果当 n=k(k∈N+)时命题成立,那么可推得当 n=k+1 时命题也成立”等 价的命题为“如果当 n=k+1 时命题不成立,则当 n=k(k∈N+)时,命题也不成立”. 故知当 n=5 时,该命题不成立,可推得当 n=4 时该命题不成立. 答案:C 1 1 1 127 4.用数学归纳法证明不等式 1+ + +…+ n-1> (n∈N+)成立,其初始值至少应取 2 4 2 64 )

k+ k+1

k+

=(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)·2(2k+1).

6 / 10

(

) A.7 C.9 B.8 D.10

1 1- n 2 1 1 1 1 解析:左边=1+ + +…+ n-1= =2- n-1, 2 4 2 1 2 1- 2 代入验证可知 n 的最小值是 8. 答案:B 二、填空题 1 1 1 5.设 f(n)=1+ + +…+ (n∈N+),则 f(n+1)-f(n)等于________. 2 3 3n-1 1 1 1 1 1 1 1 解析:因为 f(n)=1+ + +…+ ,所以 f(n+1)=1+ + +…+ + + 2 3 3n-1 2 3 3n-1 3n 1 1 1 1 1 + .所以 f(n+1)-f(n)= + + . 3n+1 3n+2 3n 3n+1 3n+2 1 1 1 答案: + + 3n 3n+1 3n+2 6.设平面内有 n 条直线(n≥2),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过 同一点.若用 f(n)表示这 n 条直线交点的个数,则 f(4)=________;当 n>4 时,f(n)= ________(用 n 表示). 解析:f(2)=0,f(3)=2,f(4)=5,f(5)=9,每增加一条直线,交点增加的个数等于 原来直线的条数. 所以 f(3)-f(2)=2,f(4)-f(3)=3,f(5)-f(4)=4,…,f(n)-f(n-1)=n-1. 累加,得 f(n)-f(2)=2+3+4+…+(n-1) = 2+

n-
2

(n-2).

1 所以 f(n)= (n+1)(n-2). 2 答案:5 1 (n+1)(n-2) 2 1 1 1 1 + - +…+ = 2 3 4 n+1

7.已知 n 为正偶数,用数学归纳法证明 1- 2?

? 1 + 1 +…+ 1 ?时,若已假设 n=k(k≥2,且 k 为偶数)时命题为真,则还需要用归 2n? ?n+2 n+4 ?

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纳假设再证 n=________时等式成立. 解析:n=k(k≥2,且 k 为偶数)的下一个偶数为 k+2,根据数学归纳法的步骤可知.再 证 n=k+2. 答案:k+2 1 1 2n+1 8.用数学归纳法证明 +cos α +cos 3α +…+cos(2n-1)α = ·sin 2 sin α 2 α ·cos 2n-1 α (α ≠nπ , n∈N), 在验证 n=1 等式成立时, 左边计算所得的项是________. 2

解析:由等式的特点知: 1 当 n=1 时,左边从第一项起,一直加到 cos(2n-1)α ,故左边计算所得的项是 +cos 2 α . 1 答案: +cos α 2 三、解答题 9.用数学归纳法证明: 1 1 + +…+ 1×2 3×4 1

n-

n n+1 n+2



1



1

+…+

1

n+n

.

1 1 1 证明:(1)当 n=1 时,左边= = ,右边= ,等式成立. 1×2 2 2 (2)假设当 n=k 时,等式成立,即 1 1 + +…+ 1×2 3×4 1 1 + +…+ 1×2 3×4 = = = = 1 1 k- 1 1 1 1 + +…+ ,则当 n=k+1 时, k k+1 k+2 2k = + 1 1

k-

k k+

k+ k+

k+

k+1 k+2



1

1 +…+ + 2k

1 ? 1 1 1 ? 1 1 - + +…+ +? ?+ k+2 k+3 2k ?2k+1 2k+2? k+1 1 1 1 1 1 + +…+ + + k+2 k+3 2k 2k+1 2k+2 1 k+ 1 + +1 k+ , 1 +…+ +2 k+ + +k

k+

1 + k+

8 / 10

即当 n=k+1 时,等式成立. 根据(1)(2)可知,对一切 n∈N+,等式成立. 10.用数学归纳法证明对于整数 n≥0,An=11
2

n+2

+12

2n+1

能被 133 整除.

证明:(1)当 n=0 时,A0=11 +12=133 能被 133 整除. (2)假设 n=k 时,Ak=11 当 n=k+1 时,
k+2

+12

2k+1

能被 133 整除.

Ak+1=11k+3+122k+3=11·11k+2+122·122k+1
=11·11
k+2

+11·12 +12
2k+1

2k+1

+(12 -11)·12
2k+1

2

2k+1

=11·(11

k+2

)+133·12

.

∴n=k+1 时,命题也成立. 根据(1)、(2),对于任意整数 n≥0,命题都成立. 11.将正整数作如下分组:(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),(11,12,13,14,15), (16,17,18,19,20,21),…,分别计算各组包含的正整数的和如下,试猜测 S1+S3+S5+…+

S2n-1 的结果,并用数学归纳法证明. S1=1, S2=2+3=5, S3=4+5+6=15, S4=7+8+9+10=34, S5=11+12+13+14+15=65, S6=16+17+18+19+20+21=111,
解:由题意知,当 n=1 时,S1=1=1 ; 当 n=2 时,S1+S3=16=2 ; 当 n=3 时,S1+S3+S5=81+3 ; 当 n=4 时,S1+S3+S5+S7=256=4 . 猜想:S1+S3+S5+…+S2n-1=n . 下面用数学归纳法证明: (1)当 n=1 时,S1=1=1 ,等式成立. (2)假设当 n=k(k≥2,k∈N+)时等式成立,即 S1+S3+S5+…+S2k-1=k , 那么,当 n=k+1 时,
4 4 4 4 4 4 4

S1+S3+S5+…+S2k+1
=k +[(2k +k+1)+(2k +k+2)+…+(2k +k+2k+1)]
4 2 2 2

9 / 10

=k +(2k+1)(2k +2k+1) =k +4k +6k +4k+1 =(k+1) , 这就是说,当 n=k+1 时,等式也成立. 根据(1)和(2),可知对于任意的 n∈(N+,S1+S3+S5+…+S2n-1=n 都成立.
4 4 4 3 2

4

2

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