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2018高考数学大一轮复习第五章数列课时跟踪检测二十八数列的概念与简单表示法练习文

课时跟踪检测

(二十八)

数列的概念与简单表示法

?一抓基础,多练小题做到眼疾手快 2 3 4 5 1.数列 1, , , , ,…的一个通项公式 an=( 3 5 7 9 A. 2n+1 C. 2n-3 )

n n

B. 2n-1 D. 2n+3

n n

1 2 3 n 解析:选 B 由已知得,数列可写成 , , ,…,故通项为 . 1 3 5 2n-1 2.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=n -2n+2,则数列{an}的通项公式为( A.an=2n-3
?1,n=1, ? C.an=? ?2n-3,n≥2 ?
2

)

B.an=2n+3
?1,n=1, ? D.an=? ?2n+3,n≥2 ?

解析:选 C 当 n=1 时,a1=S1=1,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-3,由于 n=1 时

a1 的值不适合 n≥2 的解析式,故通项公式为选项 C.
1 3.若 a1= ,an=4an-1+1(n≥2),当 an>100 时,n 的最小值为( 2 A.3 C.5 B.4 D.6 )

1 解析:选 C 由 a1= ,an=4an-1+1(n≥2)得, 2

a2=4a1+1=4× +1=3,a3=4a2+1=4×3+1=13, a4=4a3+1=4×13+1=53,a5=4a4+1=4×53+1=213>100.
4.(2016·肇庆三模)已知数列{an}满足 a1=1,an-an-1=n(n≥2),则数列{an}的通项 公式 an=________. 解析:由 an-an-1=n 得 a2-a1=2,

1 2

a3-a2=3,a4-a3=4,…,an-an-1=n,
上面(n-1)个式子相加得

an=1+2+3+…+n= n(n+1).
又 n=1 时也满足此式, 1 所以 an= n(n+1). 2

1 2

1

1 答案: n(n+1) 2 5.(2017·南昌模拟)数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn+Sn-1=2n-1(n≥2),且 S2=3, 则 a1+a3 的值为________. 解析:∵Sn+Sn-1=2n-1(n≥2),令 n=2, 得 S2+S1=3,由 S2=3 得 a1=S1=0, 令 n=3,得 S3+S2=5,所以 S3=2, 则 a3=S3-S2=-1,所以 a1+a3=0+(-1)=-1. 答案:-1 ?二保高考,全练题型做到高考达标 1.数列 0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一个通项公式是 an 等于( ?-1? +1 A. 2 C.cos
n

)

B.cos D.cos


2 2 π

n+1
2

π

n+2

解析:选 D 令 n=1,2,3,…,逐一验证四个选项,易得 D 正确. 2.(2017·福建福州八中质检)已知数列{an}满足 a1=1,an+1=an-2an+1(n∈N ),则
2 *

a2 017=(
A.1

) B.0 D.-2 017
2 2 2

C.2 017

解析:选 A ∵a1=1,∴a2=(a1-1) =0,a3=(a2-1) =1,a4=(a3-1) =0,…,可 知数列{an}是以 2 为周期的数列,∴a2 017=a1=1. 3.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2(an-1),则 an=( A.2n C.2
n

)

B.2n-1 D.2 -1
n

解析:选 C 当 n=1 时,a1=S1=2(a1-1),可得 a1=2,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2an -2an-1,∴an=2an-1,∴数列{an}为等比数列,公比为 2,首项为 2,所以 an=2 . 4 .设曲线 f(x) = x
n+1 n

(n ∈ N ) 在点 (1,1) 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn ,则 ) 1 B. 2 017 1 D. 2 018
n+1

*

x1·x2·x3·x4·…·x2 017=(
2 016 A. 2 017 2 017 C. 2 018 解析:选 D 由 f(x)=x

得 f′(x)=(n+1)x ,切线方程为 y-1=(n+1)(x-1),令

n

n 1 2 2 017 1 y=0 得 xn= ,故 x1·x2·x3·x4·…·x2 017= × ×…× = . n+1 2 3 2 018 2 018
2

5.(2017·衡水中学检测)若数列{an}满足:a1=19,an+1=an-3(n∈N ),则数列{an} 的前 n 项和数值最大时,n 的值为( A.6 C.8 ) B.7 D.9

*

解析:选 B ∵a1=19,an+1-an=-3, ∴数列{an}是以 19 为首项,-3 为公差的等差数列, ∴an=19+(n-1)×(-3)=22-3n. 设{an}的前 k 项和数值最大, 则有?
? ?ak≥0, ?ak+1≤0 ?

k∈N*,∴?

? ?22-3k≥0, ?22-3?k+1?≤0, ?



19 22 ≤k≤ , 3 3
*

∵k∈N ,∴k=7.∴满足条件的 n 的值为 7. 1 1 n-2 6.在数列-1,0, , ,…, 2 ,…中,0.08 是它的第____________项. 9 8 n 解析:令

n-2 2 =0.08,得 2n -25n+50=0, n2

即(2n-5)(n-10)=0. 5 解得 n=10 或 n= (舍去). 2 答案:10 7 .已知数列 {an} 满足 a1 = 1 , an = a n-1 - 1(n>1) ,则 a2 ________(n>1). 解析:由 a1=1,an=an-1-1(n>1),得
2 2 2 a2=a2 1-1=1 -1=0,a3=a2-1=0 -1=-1, 2 2 2 a4=a2 3-1=(-1) -1=0,a5=a4-1=0 -1=-1, 2 2 017

= ________ , |an + an + 1| =

由此可猜想当 n>1,n 为奇数时 an=-1,n 为偶数时 an=0, ∴a2 017=-1,|an+an+1|=1. 答案:-1 1 8.在一个数列中,如果? n∈N ,都有 anan+1an+2=k(k 为常数),那么这个数列叫做等 积数列,k 叫做这个数列的公积.已知数列{an}是等积数列,且 a1=1,a2=2,公积为 8,则
*

a1+a2+a3+…+a12=________.
解析:依题意得数列{an}是周期为 3 的数列,且 a1=1,a2=2,a3=4,因此 a1+a2+a3 +…+a12=4(a1+a2+a3)=4×(1+2+4)=28. 答案:28
3

1 2 1 * 9.已知 Sn 为正项数列{an}的前 n 项和,且满足 Sn= an+ an(n∈N ). 2 2 (1)求 a1,a2,a3,a4 的值; (2)求数列{an}的通项公式. 1 2 1 * 解:(1)由 Sn= an+ an(n∈N ),可得 2 2

a1= a2 1+ a1,解得 a1=1; S2=a1+a2= a2 2+ a2,解得 a2=2;
同理,a3=3,a4=4. 1 2 1 (2)Sn= an+ an,① 2 2 1 2 1 当 n≥2 时,Sn-1= an-1+ an-1,② 2 2 ①-②得(an-an-1-1)(an+an-1)=0. 由于 an+an-1≠0, 所以 an-an-1=1, 又由(1)知 a1=1, 故数列{an}是首项为 1,公差为 1 的等差数列,故 an=n. 10.已知数列{an}的通项公式是 an=n +kn+4. (1)若 k=-5,则数列中有多少项是负数?n 为何值时,an 有最小值?并求出最小值; (2)对于 n∈N ,都有 an+1>an,求实数 k 的取值范围. 解:(1)由 n -5n+4<0, 解得 1<n<4. 因为 n∈N ,所以 n=2,3, 所以数列中有两项是负数,即为 a2,a3.
* 2 * 2

1 2

1 2

1 2

1 2

? 5?2 9 2 因为 an=n -5n+4=?n- ? - , ? 2? 4
由二次函数性质,得当 n=2 或 n=3 时,an 有最小值,其最小值为 a2=a3=-2. (2)由 an+1>an,知该数列是一个递增数列,又因为通项公式 an=n +kn+4,可以看作是
2

k 3 * 关于 n 的二次函数,考虑到 n∈N ,所以- < ,即得 k>-3. 2 2
所以实数 k 的取值范围为(-3,+∞). ?三上台阶,自主选做志在冲刺名校 1.已知数列{an}的通项公式为 an=(-1) ·2n+1,该数列的项排成一个数阵(如图),
n

4

则该数阵中的第 10 行第 3 个数为________.

a1 a2 a 3 a4 a5 a6
…… 解析:由题意可得该数阵中的第 10 行、第 3 个数为数列{an}的第 1+2+3+…+9+3 9×10 48 = +3=48 项,而 a48=(-1) ×96+1=97,故该数阵第 10 行、第 3 个数为 97. 2 答案:97 899 2.(2017·甘肃诊断性考试)已知数列{an}满足 a1= ,an+1=10an+1. 9
? 1? (1)证明数列?an+ ?是等比数列,并求数列{an}的通项公式; 9? ? ? 1 ? 1? 1 ? ?的前 n 项和,求证:Tn< . (2)数列{bn}满足 bn=lg?an+ ?,Tn 为数列? 9? 2 ? ?bnbn+1?

1 9 1? 1 10 ? 证明:(1)由 an+1=10an+1,得 an+1+ =10an+ =10?an+ ?,即 =10. 9? 9 9 1 ? an+ 9

an+1+

? 1? 1 所以数列?an+ ?是等比数列,其中首项为 a1+ =100,公比为 10, 9? 9 ?

1 1 n-1 n+1 n+1 所以 an+ =100×10 =10 ,即 an=10 - . 9 9 1? ? n+1 (2)由(1)知 bn=lg?an+ ?=lg 10 =n+1, 9? ? 即 1

bnbn+1 ?n+1??n+2? n+1 n+2



1



1



1



1 1 1 1 1 1 1 1 1 所以 Tn= - + - +…+ - = - < . 2 3 3 4 n+1 n+2 2 n+2 2

5