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2013高三数学测试


2013 年高三数学试题卷(文科)
注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答.答题前,请在答题卷的规 定处填写学校、姓名、考号、科目等指定内容,并正确涂黑相关标记; 2.本试题卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 6 页,全卷满 分 150 分,考试时间 120 分钟.

参考公式: 球的表面积公式
S ? 4? R
2

V ?

1 3

Sh



, 高.

其中 R 表示球的半径. 球的体积公式
V ? 4 3

其中 S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的

棱台的体积公式
?R
3


V ?

1 3

h( S 1 ?

S1S2 ? S2 )



其中 R 表示球的半径. 棱柱的体积公式
V ? Sh

h 其中 S 1 , S 2 分别表示棱台的上、 下底面积,



表示棱台的高. 如果事件 A,B 互斥,那么
P ( A ? B ) ? P ( A) ? P (B )

其中 S 表示棱柱的底面积, h 表示棱 柱的高. 棱锥的体积公式



2013 年高三

数学试题卷

文科

第 1 页(共 6 页)

第 I 卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设集合 A A.1 2.在复平面内,复数 A.第一象限 3.若 log 1 ( 1 ?
2

?

? 1, 2 , 3? , B
B.2
i 1? i

?

? 1 , 3 , 9? , x ?

A

且 x ? B ,则 x ? D.9

C.3

对应的点位于 C.第三象限 D.第四象限

B.第二象限
1 2

x ) ? log

x

,则
1 2

A. 0 ?

x ?1

B. x
f (x) ? a
x

?

C. 0

? x ?

1 2

D.

1 2

? x ? 1

4.对于指数函数

, a “

? 1 ”是“ f ( x )

在 R 上单调”的

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5.在正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点,则构成的四边形是梯形的概率为 A.
1 5

B.
,m

2 5

C.

1 6

D. , l // ? , m 且? 且l
? ?
? m

1 8

6.已知直线 l A. ? C. m
? ? // ?

与平面 ? , ? , ? ,满足 ?
// ?
? m

?? ? l

??

,m

? ?

,则必有

且m 且l

B. ? D. ?

// ? ? ?

7.某几何体的三视图如图所示,其中 三角形的三边长与圆的直径均为 2, 则该几何体的体积为 A. C.
32 ? 3 4? 3 3 π 3 π

B. D.

32 ? 8 3 4? 3 3 3

3

π

正视图

侧视图

π

俯视图

(第 7 题)

2013 年高三

数学试题卷

文科

第 2 页(共 6 页)

8.函数 y

? sin ? x ( ? ? 0 ) 的部分图象如图所示,点 A

、 B 是最高点,点 C 是最低点.若

△ ABC 是直角三角形,则 ? 的值为
y

A

B

A. C.

?
2

B.

?
4

?
3

O

x

D. ?
C
(第 8 题)

9.设 F 是双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a , b ? 0)

的左焦点,C 是其右顶点,过 F 作 x 轴的垂线与双

曲线交于 A 、 B 两点,若△ ABC 是钝角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是 A. ( 1 , 2 ) C. ( 1 , 1 ?
2)

B. ( 1 ? D. ( 2 , ?
? 2 b ? 1 ,则 a
2

2, ? ?)

?)
? 1 ab

10.已知正实数 a,b 满足 a A.
7 2

? 4b

2

的最小值为 D.
17 2

B.4

C.

161 36

非选择题部分(共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.设数列 { a n } 满足 a 1
?1

, a n?1

? an ? 3

,则 a 5

?





12.一个样本数据按从小到大的顺序依次排列为 2001,2004,2009, x ,2015,2016, 2019,2020,中位数为 2014,则 x = 13.已知两非零向量 a , b 满足 | a |?
2


? b |? 1

. ,则向量 a 与 b 夹角的最大值是 ▲ .

,| a

2013 年高三

数学试题卷

文科

第 3 页(共 6 页)

14.某程序框图如图所示,则运行结果为 15.在△ ABC 中, sin
A ? cos A ? 2 2


? 4


开始

, AC

, AB

? 5


i ?1

则△ ABC 的面积是




?x ? 2 ? | y ? 2 |? x

s ? 0

16.在平面直角坐标系中,不等式组 ? 平面区域的面积是 ▲ .
? y
2

表示的
s ? s? 1 i
9 4

i ? i?1

17.已知点 A ( ? 3 , 0 ) 和圆 O : x 2

? 9

, AB 是圆 O 的

s ?

?





直径, M 和 N 是 AB 的三等分点, P (异于 A , B ) 是圆 O 上的动点, PD
? AB

输出 i

于 D , PE
?

? ? ED ( ? ? 0 )



结束

直线 PA 与 BE 交于 C ,则当 ?
| CM | ? | CN | 为定值.



时,

(第 14 题)

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本题满分 14 分) 在△ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,满足 (Ⅰ)求角 C ; (Ⅱ)求
a? b c
a ? c b ? sin A ? sin B sin A ? sin C



的取值范围.

19. (本题满分 14 分) 已知数列 ? a n ? 中, a 1 (Ⅰ)记 b n
? an ? 1 ? 2

, a n?1

? 3a n ? 2



,求证:数列 ? b n ? 为等比数列;

(Ⅱ)求数列 ? na n ? 的前 n 项和 S n .

2013 年高三

数学试题卷

文科

第 4 页(共 6 页)

20. (本题满分 15 分) 如图,在△ ABC 中, ? C
E
? 90 ?

, AC

? BC ? 3 a

,点 P 在 AB 上, PE

// BC

交 AC 于

, PF

// AC

交 BC 于 F .沿 PE 将△ APE 翻折成△ A' PE ,使平面 A' PE
?

?

平面 ABC ;

沿 PF 将△ BPF 翻折成△ B ' PF ,使平面 B ' PF (Ⅰ)求证: B ' C (Ⅱ)若 AP
//

平面 ABC .

平面 A' PE ; ,求二面角 A ' ? PC
? E

? 2 PB

的平面角的正切值.

C

E

A

A'

B' F P F B B

C

E

A

P

(第 20 题)

21. (本题满分 15 分) 已知函数 (Ⅰ)若 a
f (x) ? a 2
? 1 ,求函数 f ( x )

x

2

? 2 x ? ( a ? 4 ) ln x

,a

? 0



的极值;

(Ⅱ)若函数

f (x)

在 ( 1 , 2 ) 上有极值,求 a 的取值范围.

2013 年高三

数学试题卷

文科

第 5 页(共 6 页)

22. (本题满分 14 分) 如图,已知抛物线 C 1
: x
2

? 2 py

的焦点在抛物线 C 2

: y ?

1 2

x

2

?1

上.

(Ⅰ)求抛物线 C 1 的方程及其准线方程; (Ⅱ) 过抛物线 C 1 上的动点 P 作抛物线 C 2 的两条切线 PM 、 , 切点为 M 、 . PN N 若
PM

、 PN 的斜率乘积为 m ,且 m

? [ 2 , 4 ] ,求 | OP |

的取值范围.
C
2

y

C1
M

N P
O

x

(第 22 题)

2013 年高三

数学试题卷

文科

第 6 页(共 6 页)

2013 年高三教学测试(二)
文科数学 参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分) 1.B; 6.D; 2.A; 7.C; 3.C; 8.A;
a ? 2b ? 2 1 ab 1 8 )? 17 2

4.A; 9.D;
2 ab ? ab ? 1 ab ? 2b ? 1 2 1 8

5.B; 10.D.
? 2b ? 1 2

第 10 题提示:因为 1 ? 因为 a 2
? 4b
2

,当且仅当 a ,所以

时取等号.又
1 t

?

1 ab

? 2a ? (2b) ?

? 4 ab ?

.令 t .

? ab

f (t ) ? 4t ?

在 (0,

1 8

]

单调

递减,所以

f ( t ) min ? f (

.此时 a

二、填空题(本大题共 7 小题,每题 4 分,共 28 分) 11.13; 15.
5 2 ? 5 6 2

12.2013; ;

13. 30 ? ; 16.4;
1 1? ? y0 )

14.5; 17.
1 8
y0 x0 ? 3 ( x ? 3)

. ?①

第 17 题提示:设 P ( x 0 , y 0 ) ,则 E ( x 0 ,
1 BE : y ? 1? ? y0 ( x ? 3)

, PA

: y ?

x0 ? 3
2

?②
x
2

由①②得 y 2
y
2

?

y0

2 2

( ? ? 1 )( x 0 ? 9 )
9 1? ? ? 1

(x

2

? 9) ,

将 y 0 ? 9 ? x 0 代入,得
2

?

9

9 1? ?

? 1 .由 9 ?

,得到 ?

?

1 8



三、解答题(本大题共 5 小题,第 18、19、22 题各 14 分,20、21 题各 15 分,共 72 分) 18. (本题满分 14 分) 在△ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,满足 (Ⅰ)求角 C ; (Ⅱ)求
a? b c a ? c b ? sin A ? sin B sin A ? sin C



的取值范围.

2013 年高三

数学试题卷

文科

第 7 页(共 6 页)

解: (Ⅰ)

a ? c b

?
a

sin A ? sin B sin A ? sin C
2

?

a ? b a ? c

,化简得 a ? b ? ab ? c ,
2 2 2

?4 分 ?7 分

所以 cos (Ⅱ)

C ?

? b ? c 2 ab

2

2

?

1 2 ?

,C
2 3

?

?
3


2? 3 ? A )] ? 2 s i n A ? (

a? b c

?

si n ?si n A B si n C

[sin A ? sin(

?
6

)



?11 分

因为 A ? ( 0 ,
a ? b c

2? 3

)

,A

?

?
6

?(

?
6

,

5? 6

) ,所以 sin( A ?

?
6

)? (

1 2

,1 ] .

故,

的取值范围是 ( 1 , 2 ] .

?14 分

19. (本题满分 14 分) 已知数列 ? a n ? 中, a 1 (Ⅰ)记 b n
? an ? 1 ? 2

, a n?1

? 3a n ? 2



,求证:数列 ? b n ? 为等比数列;

(Ⅱ)求数列 ? na n ? 的前 n 项和 S n . 解: (Ⅰ)由 a n ? 1 因为 b n 又 b1
? 3an ? 2

,可知 a n ? 1
? 3 bn

? 1 ? 3(a n ? 1)

. …4 分

? an ? 1

,所以 b n ? 1 ,



? a1 ? 1 ? 3

所以数列 ? b n ? 是以 3 为首项,以 3 为公比的等比数列. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 a n 所以 S n 其中 1 ? 记 Tn
2

…6 分
n

? 1 ? 3 , an ? 3
n

n

n

?1

,所以 na n

? n3 ? n

. …9 分

? ( 3 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 3 ) ? (1 ? 2 ? ? ? n )

2??n ?
2

n ? n 2

2

? 3? 2?3 ?? ? n?3

n


n n?1

3Tn ? 3 ? 2 ? 3 ? ? ? ( n ? 1 ) ? 3 ? n ? 3

2

3


文科 第 8 页(共 6 页)

2013 年高三

数学试题卷

两式相减得 ?
Tn ? 2n ? 1 4
?

2Tn ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? n ? 3
n?1

2

n

n?1

?

3? 3

n?1

? 2

? n?3

n?1

…13 分

?3

?

3 4

所以 S n

2n ? 1 4

?3

n?1

?

2n ? 2n ? 3 4

2

…14 分

20. (本题满分 15 分) 如图,在△ ABC 中, ? C
E
? 90 ?

, AC

? BC ? 3 a

,点 P 在 AB 上, PE

// BC

交 AC 于

, PF

// AC

交 BC 于 F .沿 PE 将△ APE 翻折成△ A' PE ,使平面 A' PE
?

?

平面 ABC ;

沿 PF 将△ BPF 翻折成△ B ' PF ,使平面 B ' PF (Ⅰ)求证: B ' C (Ⅱ)若 AP
C
//

平面 ABC .

平面 A' PE ; ,求二面角 A ' ? PC
A
? E

? 2 PB

的平面角的正切值.
A'

E

B' F P F B B

C

E

A

P

(第 20 题)

解: (Ⅰ)因为 FC

// PE

, FC

?

平面 A' PE ,所以 FC
? PE

//

平面 A' PE .
?
//

因为平面 A' PE 同理, B ' F
?

?

平面 PEC ,且 A ' E

,所以 A' E ,从而 B ' F

平面 ABC . 平面 A' PE .

?2 分 ?4 分 ?6 分

平面 ABC ,所以 B ' F
//

// A ' E //

所以平面 B ' CF (Ⅱ)因为 AC

平面 A' PE ,从而 B ' C , AP
? 2 BP

平面 A' PE .

? BC ? 3 a


文科 第 9 页(共 6 页)

2013 年高三

数学试题卷

所以 CE

? a

, EA? ?
? PC

2a

, PE

? 2a

, PC

?

5a



?8 分

过 E 作 EM

,垂足为 M,连结 A ? M .
A'

B'

C
M

E A

F P B

(第 20 题)

由(Ⅰ)知 A ' E 所以 PC

? 平面 ABC

,可得 A ? E
? PC

? PC



? 面 A ? EM

,所以 A ? M


? E

所以 ? A' ME 即为所求二面角 A ' ? PC 在 Rt△ PCE 中,求得 EM 所以 tan ?
? A?E EM ? 2a 2 5 5a ?
? 2 5 5 a

的平面角,可记为 ? .

…12 分

, …15 分

5



21. (本题满分 15 分) 已知函数 (Ⅰ)若 a
f (x) ? a 2
? 1 ,求函数 f ( x )

x

2

? 2 x ? ( a ? 4 ) ln x

,a

? 0



的极值;

(Ⅱ)若函数 解: (Ⅰ)若 a
?1

f (x)

在 ( 1 , 2 ) 上有极值,求 a 的取值范围.
f (x) ? 1 2 x
2

,则
3 x ?

? 2 x ? 3 ln x

. . . …2 分 …4 分

f '(x) ? x ? 2 ?

x

2

? 2x ? 3 x

?

( x ? 3 )( x ? 1 ) x

当 x ? ( 0 , 3 ) 时,

f '( x) ? 0

;当 x ? ( 3 , ?? ) 时,

f '( x ) ? 0

2013 年高三

数学试题卷

文科 第 10 页(共 6 页)

所以函数有极小值 (II) 记 h( x )

f (3) ? ?

3 2

? 3 ln 3
ax
2

,无极大值.
( x ? 0) .

…6 分

f ' ( x ) ? ax ? 2 ?

a ? 4 x

?

? 2x ? a ? 4 x

? ax

2

? 2x ? a ? 4


0

若 f ( x ) 在 ( 1 , 2 ) 上有极值,则 h ( x ) ? 由 ax 2 所以 a
? 2x ? a ? 4 ? 0

有两个不等根且在 ( 1 , 2 ) 上有根. …8 分

得a( x 2
2

? 1) ? 2( x ? 2 ) ,

?

2( x ? 2 ) x
2

? 1

? ( x ? 2) ?

5 x ? 2
8 5 ,3 )


? 4

…10 分

因为 x

? 2 ? ( 3 , 4 ) ,所以 a ? (
8 5


0

…14 分 无重根.
8 5 , 3) .

经检验当 a ? (

,3 )

时,方程 h ( x ) ?

故函数 f ( x ) 在 ( 1 , 2 ) 上有极值时 a 的取值范围为 (

…15 分

22. (本题满分 14 分) 如图,已知抛物线 C 1
: x
2

? 2 py

的焦点在抛物线 C 2

: y ?

1 2

x

2

?1

上.

(Ⅰ)求抛物线 C 1 的方程及其准线方程;
PN N 若 (Ⅱ) 过抛物线 C 1 上的动点 P 作抛物线 C 2 的两条切线 PM 、 , 切点为 M 、 . PM

、 PN 的斜率乘积为 m ,且 m
C C1

? [ 2 , 4 ] ,求 | OP |

的取值范围.

2

y

M

N P
O

x

2013 年高三

数学试题卷 文科 第 11 页(共 6 页) (第 22 题)

解: (Ⅰ) C 1 的焦点为 F ( 0 , 所以
p 2 ? 0?1

p 2

)



?2 分 ?4 分 ?6 分
? t
2



p ? 2



故 C 1 的方程为 x

2

? 4 y ,其准线方程为 y ? ? 1 .
? k ( x ? 2t )

(Ⅱ)任取点 P ( 2 t , t 2 ) ,设过点 P 的 C 2 的切线方程为 y
? y ? t 2 ? k ( x ? 2t) ? 由? ,得 x 2 ? 2 kx ? 4 tk ? 2 t 2 ? 2 ? 0 1 2 y ? x ? 1 ? 2 ?





由?

? ? 2 k ? ? 4 ( 4 tk ? 2 t
2

2

? 2) ? 0

,化简得 k 2

? 4 tk ? 2 t

2

? 2 ? 0,

…9 分

记 PM 因为 m

, PN

斜率分别为 k 1 , k 2 ,则 m
2

? k1k 2 ? 2t

2

? 2

, …12 分

? [ 2 , 4 ] ,所以 t ? [ 2 , 3 ]
2

所以 OP 所以 OP

? 4t ? t

2

4

? ( t ? 2 ) ? 4 ? [ 12 , 21 ] ,
2 2

? [2

3,

21 ] .

…14 分

2013 年高三

数学试题卷

文科 第 12 页(共 6 页)


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