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2013年高三数学(人教A版)寒假作业专题系列


专题训练 1
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题中只有一项符合题目要求)
1、若对任意 x,有 f′(x)=4x3,f(1)=-1,则此函数为 A.f(x)=x4 B.f(x)=x4-2 C.f(x)=x4+1 D.f(x)=x4+2 2、设函数 f ( x) ? x 2 ? 6x ,则 f (x) 在 x ? 0 处的切线斜率为 (A)0 (B)-1 (C)3 (D)-6 ( B. x ? 1 为 f ( x ) 的极小值点 D. x ? ?1 为 f ( x ) 的极小值点 ( B. (0,+∞) D. (-3,1) ) ) ( )





3 设函数 f ( x) ? xe x ,则 A. x ? 1 为 f ( x ) 的极大值点 C. x ? ?1 为 f ( x ) 的极大值点 4. 函数 y=(3-x2)ex 的单调递增区是 A.(-∞,0) C. (-∞,-3)和(1,+∞)
5 . (2012 新课标理)已知函数

f ( x) ?

1 ;则 y ? f ( x) 的图像大致为 ln( x ? 1) ? x
y y





y y
1 O 1 1

1

x

1

O 1 x B. C.

O 1 x

x

O 1 A.
6 . 设 a>0,b>0.

D. ( )

A.若 2a ? 2a ? 2b ? 3b ,则 a>b C.若 2a ? 2a ? 2b ? 3b ,则 a>b

B.若 2a ? 2a ? 2b ? 3b ,则 a<b D.若 2a ? 2a ? 2b ? 3b ,则 a<b

7、 已知函数 f ( x ) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? a 2 ? 7a 在 x ? 1 处取得极大值 10,则 A. ?

a 的值为( b



2 3

B. ? 2

C. ? 2 或 ?

2 3

D. 不存在 ( )

8 . 函数 f ( x) ? x ? A. (?1,1)

1 的单调递减区间是 x B. (?1, 0) ?(0,1) C. (?1, 0) , (0,1)

D. (??, ?1) , (1, ??)

9、 已知函数 f ? (x), g? (x) 分别是二次函数 f(x) 和三次函数 g(x) 的导函数,它们在同一坐标系下的图象如 图所示,设函数 h(x) ? f(x) ? g(x) ,则( )
1

A. h(1) ? h(0) ? h(?1) C. h(0) ? h(?1) ? h(1)

B. h(1) ? h(?1) ? h(0) D. h(0) ? h(1) ? h(?1)

1 3 ? 4? 10.曲线 y= x +x 在点?1, ?处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 3 ? 3? 1 2 1 2 A. B. C. D. 9 9 3 3

(

)

11 、 定 义 方 程 f ( x) ? f '( x) 的 实 数 根 x0 叫 做 函 数 f ( x ) 的 “ 新 驻 点 ” , 若 函 数

g ( x) ? x, h( x) ? ln( x ?1), ?( x) ? x33 ?1 的“新驻点”分别为 ? , ? , ? ,则 ? , ? , ? 的大小关系为 ( x) ? x ?1
A. ? ? ? ? ? B. ? ? ? ? ? C. ? ? ? ? ? D.





? ?? ??
)

π 1 12.函数 f(x)=sinx+2xf′( ),f′(x)为 f(x)的导函数,令 a=- ,b=log32,则下列关系正确的是( 3 2 A.f(a)>f(b) B.f(a)<f(b) C.f(a)=f(b) D.f(|a|)<f(b)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上)
13.已知曲线 y ? x2 ?1 在 x ? x0 点处的切线与曲线 y ? 1 ? x3 在 x ? x0 点处的切线互相平行,则 x0 的值 为
3



14、曲线 y ? x ? x ? 3 在点 ?1,3? 处的切线方程为___________________. 15.设 a ? 0 .若曲线 y ?
3

x 与直线 x ? a, y ? 0 所围成封闭图形的面积为 a 2 ,则 a ? ______.


16、函数 f ? x ? ? ax ? 3x ? 1 对于 x?? ?1,1? 总有 f ? x ? ≥0 成立,则 a =

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) a 17、已知函数 f ?x ? ? x 2 ? ( x ? 0, a ? R) x (1)判断函数 f ?x ? 的奇偶性; (2)若 f ?x ? 在区间 ?2,??? 是增函数,求实数 a 的取值范围。

2

18、设函数 f ( x) ? ln( x ? a) ? x2 ,若当 x ? ?1 时, f ( x) 取得极值,求 a 的值,并讨论 f ( x) 的单 调性;

19、 (设 f ( x) ? a ln x ? (Ⅰ) 求 a 的值;

1 3 ? x ? 1, 其中 a ? R ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线垂直于 y 轴. 2x 2

(Ⅱ)求函数 f ( x) 的极值.

20、设 f ( x) ? ae x ?

1 ? b(a ? 0) 。 ae x 3 x ;求 a , b 的值; 2

(I)设曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 的切线方程为 y ? (II)求 f ( x) 在 [0, ??) 上的最小值。

3

21、已知 a 是实数,函数 f ?x? ? 2ax2 ? 2x ? 3 ? a ,如果函数 y ? f ?x ? 在区间 ?? 1,1?上有零点, 求 a 的取值范围.

22、如图,建立平面直角坐标系 xoy , x 轴在地平面上, y 轴垂直于地平面,单位长度为 1 千米.某 炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程 y ? kx ?
1 (1 ? k 2 ) x2 (k ? 0) 表示的曲线上,其中 k 20

与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高 度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不超过多少时,炮弹 可以击中它?请说明理由.

4

专题训练 2
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.)
1、在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11=

( D.176 ( D. ??



A.58
2.已知

B.88

C.143

?an ? 为等比数列, a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ?
B. 5 C. ??



A. 7

3、已知{an}为等差数列,其公差为-2,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项,Sn 为{an}的前 n 项和,n∈N*,则 S10

的值为( (A). -110 (C). 90

) (B). -90 (D). 110 ) D.31

4、设 Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和,若 a2 ? 1, a4 ? 5 ,则 S5 等于( A.7 B.15 C.30

5.夏季高山上气温从山脚起每升高 100 m 降低 0.7 ℃,已知山顶的气温是 14.1 ℃,山脚的气温是 26 ℃. 那么,此山相对于山脚的高度是( ) A.1500 m B.1600 m C.1700 m D.1800 m 6、 公差不为零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a4 是 a3与a7 的等比中项,S8 ? 32 , S10 等于( 若 则 A.18
7 .公比为 3



B.24

C.60

D.90 ( D. ? ) )

2 等比数列 {an } 的各项都是正数,且 a3a11 ? 16 ,则
B. 5 C. ?

A. 4

8、 已知数列{ an }, 若点 (n, an ) ( n ? N * ) 在经过点 (5,3) 的定直 l l 上, 则数列{ an }的前 9 项和 S9 =( A. 9 B. 10 C. 18
2 2

D.27 )

x y 9.若 m,n,m+n 成等差数列,m,n,m· 成等比数列,则椭圆 + =1 的离心率为( n m n 1 2 3 3 A. B. C. D. 2 2 2 3

10. 满足 a1 ? 1,log 2 an?1 ? log 2 an ?1( n ?N*) , 它的前 n 项和为 Sn , 则满足 Sn ? 1025 的最小 n 值是 ( A.9 B.10 C.11 D.12



1 2 1 2 3 1 2 3 4 5 11.已知数列 1, , , , , , , , , ,?,则 是此数列中的( ) 2 1 3 2 1 4 3 2 1 6 A.第 48 项 B.第 49 项 C.第 50 项 D.第 51 项
12 . 定义在 (??,0) ? (0, ??) 上的函数 f ( x ) ,如果对于任意给定的等比数列

?an ?,? f (an )? 仍是等比数列,

则称 f ( x ) 为“保等比数列函数”.现有定义在 (??,0) ? (0, ??) 上的如下函数:
2 x ① f ( x) ? x ;② f ( x) ? 2 ;③ f ( x) ? | x | ;④ f ( x) ? ln | x | .

5

则其中是“保等比数列函数”的 f ( x ) 的序号为 A.①② B.③④ C.①③ D.②④





二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上)
13、设数列 ?an ? ,?bn ? 都是等差数列,若 a1 ? b1 ? 7, a3 ? b3 ? 21 ,则 a5 ? b5 ? _________
14.在数列 {an } 中, a1 ?

1 , S n 为数列 {an } 的前项和且 S n ? n(2n ? 1)an ,则 S n ? 3

;

2 15.已知递增的等差数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , a3 ? a2 ? 4 ,则 an ? _____________

16.数列 ?an ? 的通项公式 an ? n cos

n? ? 1 ,前 n 项和为 Sn ,则 S2012 ? ___________. 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) 【广东省肇庆市 2012 届高三第一次模拟理】已知数列 {an } 是一个等差数列,且

a2 ? 1 , a5 ? ?5 .
(I)求 {an } 的通项 an ; (II)设 cn ?

5 ? an c , bn ? 2 n ,求 T ? log2 b1 ? log2 b2 ? log2 b3 ? ? ? log2 bn 的值。 2

18.(本小题满分 12 分)已知等差数列 {an } 前三项的和为 ?3 ,前三项的积为 8 . (Ⅰ)求等差数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 a 2 , a3 , a1 成等比数列,求数列 {| an |} 的前 n 项和.

6

19 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 { an } 是 等 差 数 列 , 其 前 n 项 和 为 Sn ,{ bn } 是 等 比 数 列 , 且

a1 = b1 =2 , a4 +b4 =27 , S4 ? b4 =10 .
(Ⅰ)求数列{ an }与{ bn }的通项公式; (Ⅱ)记 Tn =anb1 +an?1b2 +?+anb1 , n ? N+ ,证明 Tn +12= ? 2an +10bn (n ? N+ ) .

20.(本小题满分 12 分) 已知 {an } 是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3 a6 ? 55, a2 ? a7 ? 16 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式: (Ⅱ)等比数列 {bn } 满足: b1 ? a1 , b2 ? a2 ? 1 ,若数列 cn ? an ? bn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 S n .

7

21.(本小题满分 12 分)某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学,该商场向他提供了三种付酬方案:第一 种,每天支付 38 元;第二种,第一天付 4 元,第二天付 8 元,第三天付 12 元,依此类推;第三种, 第一天付 0.4 元,以后每天支付的薪酬是前一天薪酬的 2 倍,1:作时间为 n 天. (I)工作 n 天,记三种付费方式薪酬总金额依次为 An,Bn,Cn,写出 An,Bn,Cn 关于 n 的表达式; (II)如果 n=10,你会选择哪种方式领取报酬?

22.(本小题满分 12 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 2Sn ? an?1 ? 2n?1 ? 1 , n? N* ,且 a1 、a2 ? 5 、a 3 成 等差数列. (Ⅰ)求 a1 的值;(Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ)证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 3 ? ?? ? ? . a1 a2 an 2

8

专题训练 3
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题中只有一项符合题目要求) 1、若角 ? 的终边经过点 P(1,-2),则 tan 2 ? 的值为( ) A.

4 3

B.

2 3

C.

1 2


D.-

4 3

2、 (sin 22.5? ? cos 22.5?)2 的值为( A. 1 ?

2 2

B. 1 ?

2 2

C. 2 ? 1

D.2 )

3、设 ? ? R ,则“ ? =0 ”是“ f (x)= cos (x+? ) (x ? R ) 为偶函数”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4、下列函数中,周期是 ? ,又是偶函数的是 ( ) A.y=sinx B.y=cosx C.y=sin2x D.y=cos2x

5 .已知 sin ? ? cos ?

? 2 , ? ?(0,π ),则 tan ? =
B. ?
2





A. ? 1

2 2

C.

2 2

D.1

6.设 tan ? , tan ? 是方程 x ? 3x ? 2 ? 0 的两个根,则 tan(? ? ? ) 的值为





A. ?3
2

B. ?1
2 2

C.1

D.3 ( D.不能确定. )

7.在 ?ABC 中,若 sin A ? sin B ? sin C ,则 ?ABC 的形状是

A.锐角三角形.

B.直角三角形. )

C.钝角三角形.

8、函数 f ( x) ? 3sin 2x ? cos 2x ( A.在 ( ? C.在 ( ?

?

?

, ? ) 单调递减 B.在 ( , ) 单调递增 3 6 6 3 , 0) 单调递减
D. f ( x ) 在 (0,

?

? ?

?

6

6

) 单调递增

9、函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( 其中 A ? 0, ? ? ) 的图象如图所示,为了得到 g ( x) ? sin 2 x 的图象,则只需将 ?
2

f (x) 的图象
(A)向右平移 ? 个长度单位
6

(B)向右平移 ? 个长度单位
3

(C)向左平移 ? 个长度单位
6

(D)向左平移 ? 个长度单位
3

10.甲船在岛 A 的正南 B 处,以 4 km/h 的速度向正北航行,AB=10 km,同时乙船自岛 A 出发以 6 km/h 的速度向北偏东 60° 的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间为( ) 150 15 A. min B. h C.21.5 min D.2.15 h 7 7
9

11.如图,在△ ABC 中, D 是边 AC 上的点,且 AB ? AD, 2 AB ? 3BD, BC ? 2BD ,则 sin C 的值为

A.

3 3 6 3

B.

3 6 6 6

C.

D.

12、给出以下 4 个命题: ①函数 y ? sin 4 x ? cos4 x 的最小正周期是 ? ; ②终边在 y 轴上的角的集合是 {? | ? ? ③把函数 y ? 3sin ? 2 x ?

k? , k ? Z} ; 2

? ?

??

? ? 的图象向右平移 6 个单位得到函数 y ? 3sin 2 x 的图象; 3?

④函数 y ? sin ? x ?

? ?

??

? 在区间 [0, ? ] 上是减函数. 2?
( B.2 ) C.3 D.4

其中真命题的个数是 A.1 13、若 sin ? ? ?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上)

4 , tan ? ? 0 ,则 cos ? ? 5

.

? ?? 4 ? 14、设 ? 为锐角,若 cos ? ? ? ? ? ,则 sin( 2a ? ) 的值为____. 6? 5 12 ?
15.设△ ABC 的内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c . 若 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ab ,则角 C ? _________. 16.已知函数 f ( x) ?| 1 ? 3 sin 2 x | ,若 f (2 x ? a) ? f (2 x ? a) 恒成立,则实数 a 的最小正值为

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

?? ? 17.(本小题满分 10 分)已知函数 f ? x ? ? 2cos ? ? x ? ? (其中 ? ? 0 x? R )的最小正周期为 10? . 6? ?
(Ⅰ)求 ? 的值;

? ?? (Ⅱ)设 ? 、 ? ? ?0, ? , ? 2?

5 ? 6 ? f ? 5? ? ? ? ? ? , 3 ? 5 ?

5 ? 16 ? f ? 5? ? ? ? ? ,求 cos ?? ? ? ? 的值. 6 ? 17 ?

10

18.(本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , C ?

?
3

, b ? 5 , ?ABC 的面积为

10 3 .
(Ⅰ)求 a , c 的值; (Ⅱ)求 sin ? A ?

? ?

??

? 的值. 6?

19.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中 ,已知 AB ? AC ? 3BA? BC . (1)求证: tan B ? 3tan A ; (2)若 cos C ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

5 ,求 A 的值. 5

20. (本小题满分 12 分)已知向量 m ? (sin x,1), n ? ( 3 A cos x, 值为 6. (Ⅰ)求 A ;

??

?

?? ? A cos 2 x)( A ? 0) ,函数 f ( x) ? m ? n 的最大 3

? 1 个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍, 2 12 5? ] 上的值域. 纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图象.求 g ( x) 在 [0, 24
(Ⅱ)将函数 y ? f ( x) 的图象向左平移

11

21.(本小题满分 12 分)在某海岸 A 处,发现北偏东 30 ? 方向,距离 A 处 3 ? 1) mile 的 B 处有一艘走私 n ( 船在 A 处北偏西 15? 的方向,距离 A 处 6 n mile 的 C 处的缉私船奉命以 5 3 n mile/h 的速度追截走私船. 此时,走私船正以 5 n mile/h 的速度从 B 处按照北偏东 30 ? 方向逃窜,问缉私船至少经过多长时间可以追 上走私船,并指出缉私船航行方向.

C ·

·B

15 ?
30 ?

A

22.(本小题满分 12 分) 已 知 向 量

? ? a = ? cos ? x ? sin ? x,sin ? x ? ,b= ? cos ? x ? sin ? x,2 3 cos ? x

?

?









? ? ?1 ? f ? x ? =a? +? ? x ? R ? 的图像关于直线 x =π 对称,其中 ?,? 为常数,且 ? ? ? ,1? b ?2 ?
(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最小正周期; 【版权归锦元数学工作室,不得转载】 (2)若 y=f ? x ? 的图像经过点 ?

? 3? ? ?? ? ,0 ? ,求函数 f ? x ? 在区间 ?0, ? 上的取值范围。 ? 5 ? ?4 ?

12

专题训练 4
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.)
1、 采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查,为此将他们随机编号为 1,2,,960,分组后在第一组

采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32 人中,编号落入区间 ?1, 450? 的人做问卷 A ,编号 落入区间 ? 451,750? 的人做问卷 B ,其余的人做问卷 C .则抽到的人中,做问卷 B 的人数为 ( )

A.7 B.9 C.10 D.15 2 .从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所 示),设甲乙两组数据的平均数分别为 x甲 , x乙 ,中位数分别为 m甲 , m乙 ,则 ( A. x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙 B. x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙 C. x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙 D. x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙 3、通过随机询问 110 名性别不同的行人,对过马路是愿意走斑马线还是愿意走人行天桥进行抽样调查, 得到如下的列联表: )

由K ?
2

n(ad ? bc)2 ,算得 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

附表:

参照附表,得到的正确结论是( ) A.有 99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关” B.有 99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别无关” C.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“选择过马路的方式与性别有关” D.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“选择过马路的方式与性别无关”
4、样本(x1,x2,xn)的平均数为 x,样本(y1,y2,,yn)的平均数为 y( x ?

y) .若样本(x1,x2,xn,y1,y2,,yn)的平均数
) D.不能确定

1 z ? ax ? (1 ? a) y ,其中 0<α < ,则 n,m 的大小关系为( 2
A.n<m B.n>m C.n=m
13

5.在第 29 届北京奥运会上,中国健儿取得了 51 金、21 银、28 铜的好成绩,稳居金牌榜榜首,由此许多 人认为中国进入了世界体育强国之列, 也有许多人持反对意见, 有网友为此进行了调查, 在参加调查的 2548 名男性中有 1560 名持反对意见, 2452 名女性中有 1200 名持反对意见, 在运用这些数据说明性别对判断“中 国进入了世界体育强国之列”是否有关系时,用什么方法最有说服力( ) A.平均数与方差 B.回归直线方程 C.独立性检验 D.概率 6、 辆汽车经过某一雷达地区, 200 时速频率分布直方图如图所示, 则时速超过 60km/h 的汽车数量为 ( )

第 8 题图

(A)65 辆 (B)76 辆(C)88 辆 (D)辆 95 7、在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形,领边长分别等于线段 AC,CB 的长,则该矩形 2 面积小于 32cm 的概率为 ( ) A.

1 6

B.

1 3

C.

2 3

D.

4 5


8、如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P,则点 P 恰好取自阴影部分的概率为(

1 A. 4

1 B. 5

1 C. 6

1 D. 7

? 9、在△ ABC 中, ?ABC ? 60 , AB ? 2 , BC ? 6 ,在 BC 上任取一点 D ,使△ ABD 为钝角三角形的

概率为 A.

1 6

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

10.在 2012 年 3 月 15 日,某市物价部门对本市的 5 家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查,5 家商场的售价 x 元和销售量 y 件之间的一组数据如下表所示: 9 9.5 10 10.5 11 价格 x 11 10 8 6 5 销售量 y
^

由散点图可知,销售量 y 与价格 x 之间有较好的线性相关关系,其线性回归直线方程是:y=-3.2 x
^

+a(参考公式:回归方程y=bx+a,a= y -b x ),则 a=( A.-24 11、设不等式组 ? 2 的概率是 B.35.6 C.40.5 D.40

)

?0 ? x ? 2 表示的平面区域为 D. 在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于 ?0 ? y ? 2
( )

12、 (2012 上海理)设 10 ? x1

? x2 ? x3 ? x4 ? 104 , x5 ? 105 . 随机变量 ?1 取值 x1 、 x2 、 x3 、 x4 、 x5 的概
x1 ? x2 2

率均为 0.2,随机变量 ?2 取值



x 2 ? x3 2



x3 ? x 4 2



x 4 ? x5 2



x5 ? x1 2

的概率也为 0.2. 若记 D?1 、 D?2 分

14

别为 ? 1 、 ?2 的方差,则 ( A. D?1 > D?2 .

) C. D?1 < D?2 .

B. D?1 = D?2 .

D. D?1 与 D?2 的大小关系与 x1 、 x2 、 x3 、 x4 的取值有关.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上)
13 . 某地区有小学 150 所,中学 75 所,大学 25 所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 30 所学校对学

生进行视力调査,应从小学中抽取_______所学校,中学中抽取_____所学校. 14 . 某班 50 名学生在一次百米测试中, 成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间, 将测试结果分成五组:每一组

?13,14) ;第二组 ?14,15),…,第五组

?17,18? .右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图若成绩大于或等
于 14 秒且小于 16 秒认为良好, 则该班在这次百米测试中成绩良好的人数 是__________. 15 .将一颗骰子掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为 m, 第二次出现的点数为 n.向量 p =(m,n), q = (3,6),则向量 p 与 q 共线的概 率为
[



]

2 16、如果随机变量ξ ~N ( ? 1, ? ),且 P( ?3 ? ? ? ?1 )=0.4,则 P( ? ? 1 )=

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. (本小题满分 10 分)某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图 4 所示,其中成绩分组区间 是: ? 40,50 ? 、 ?50,60 ? 、 ?60,70 ? 、 ?70,80 ? 、 ?80,90 ? 、 ?90,100? . (Ⅰ)求图中 x 的值; (Ⅱ)从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人,该 2 人中成绩在 90 分以上(含 90 分)的人数记为 ? ,求 ? 的数学期望.

15

18. 一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有 1,2,3,4 四个数字,现随机投掷两次,正四面体面朝下 的数字分别为 x1 , x2 ,记 ? ? ( x1 ? 3)2 ? ( x2 ? 3)2 . (1)分别求出 ? 取得最 大 值和最小值时的概率; (2)求 ? 的分布列及数学期望.

19.(本小题满分 12 分)近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物 和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市 三类垃圾箱中总计 1000 吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨): “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 (1)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (2)试估计生活垃圾投放错误的概率; (3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为 a, b, c ,其中

a ? 0 , a ? b ? c ? 600 .当数据 a, b, c 的方差 S 2 最大时,写出 a, b, c 的值(结论不要求证明),并求此时

S 2 的值.
(注:方差 s 2 ? [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? ? ? ( xn ? x)2 ] ,其中 x 为 x1 , x2 ,? xn 的平均数)

1 n

16

20.(本小题满分 12 分) 空气质量指数 PM2.5 (单位: ? g / m3 )表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个值越高,就代 表空气污染越严重:

PM2.5 日均浓度
空气质量级别 空气质量类别

0 ? 35
一级 优

35 ? 75
二级 良

75 ? 115
三级 轻度污染

115 ? 150
四级 中度污染

150 ? 250
五级 重度污染

? 250
六级 严重污染

某市 2012 年 3 月 8 日— 4 月 7 日( 30 天)对空气质量指数 PM2.5 进行监测,获得数据后得到如下条 形图: (Ⅰ)估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率; (Ⅱ)在上述 30 个监测数据中任取 2 个,设 X 为空气质量类别为优的天数,求 X 的分布列.

17

21.(本小题满分 12 分) 如图,一个圆形游戏转盘被分成 6 个均匀的扇形区域.用力旋转转盘,转盘停止 转动时,箭头 A 所指区域的数字就是每次游戏所得的分数(箭头指向两个区域的 边界时重新转动) 且箭头 A 指向每个区域的可能性都是相等的. , 在一次家庭抽奖 5 的活动中,要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘,得 A 3 分情况记为 (a, b) (假设儿童和成人的得分互不影响,且每个家庭只能参加一次活 2 动) . (Ⅰ)求某个家庭得分为 (5,3) 的概率? (Ⅱ)若游戏规定:一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和,且得分大于等 于 8 的家庭可以获得一份奖品.请问某个家庭获奖的概率为多少? (Ⅲ)若共有 5 个家庭参加家庭抽奖活动.在(Ⅱ)的条件下,记获奖的家庭数为 X ,求 X 的分布列及 数学期望. 3 5 2

18

22. (本小题满分 12 分) 2012 北京理) ( 近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、
可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了 该市三类垃圾箱中总计 1000 吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨): “厨余垃圾”箱 厨余垃圾 可回收物 其他垃圾 400 30 20 “可回收物”箱 100 240 20 “其他垃圾”箱 100 30 60

(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (2)试估计生活垃圾投放错误的概率; (3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为 a, b, c ,其中

a ? 0 , a ? b ? c ? 600 .
当数据 a, b, c 的方差 S 最大时,写出 a, b, c 的值(结论不要求证明),并求此时 S 的值. (注:方差 s 2 ? [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? ? ? ( xn ? x)2 ] ,其中 x 为 x1 , x2 ,? xn 的平均数)
2 2

1 n

19

专题训练 5
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题中只有一项符合题目要求)
1、一个几何体的三视图形状都相同,大小均等,那么这个几何体不可以是( A.球 B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱 )

2、一个正方体的展开图如图所示,A、B、C、D 为原正方体的顶点,则在原来的正方体中
A C B

D

A. AB // CD

B. AB 与 CD 相交

C. AB ? CD

D. AB 与 CD 所成的角为 60 ? ( )

3 .已知空间三条直线 l、m、n. 若 l 与 m 异面,且 l 与 n 异面,则

A. m 与 n 异面. C. m 与 n 平行.

B. m 与 n 相交. D. m 与 n 异面、相交、平行均有可能. ( )

4.某几何体的三视图如图 1 所示,它的体积为 A. 12? B. 45? C. 57? D. 81?
5 .正四棱锥 S - ABCD 的侧棱长为

2 ,底面边长为 3 , E 为 SA
) D、90° ( )

中点,则异面直线 BE 与 SC 所成的角是( A、30° B、45° C、60°

6、若 ? , ? , ? 是三个互不重合的平面, l 是一条直线,则下列命题中正确的是 A.若 ? ? ? , l ? ? , 则l / /? C.若 l与? , ? 的所成角相等,则 ? / / ? B.若 l ? ? , l / / ? , 则? ? ?

D.若 l 上有两个点到α 的距离相等,则 l / /?
B1
A 1

7、如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C 1 中,侧棱垂直于底面,底面是边长为 2 的正三角形, 侧棱长为 3,则 BB1 与平面 AB1C 1 所成的角为( )

C1

B
20

A

C

A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2
( )

8、某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是 A. 28 ? 6 5 B. 30 ? 6 5 C. 56 ? 12 5 D. 60 ? 12 5 9、一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为( A. )

5 3 3

B.

4 3 3

C.

5 3 6

D. 3 )

10.圆台上、下底面面积分别是 π、4π,侧面积是 6π,这个圆台的体积是( 2 3 7 3 7 3 A、 π B、2 3π C、 π D、 π 3 6 3

11、如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC ? A1B1C1 , CA ? CC1 ? 2CB ,则直线 BC1 与直线 AB1 夹角 的余弦值为 ( )

12、在三棱锥 P-ABC 中,PA=PB=PC= 3 ,侧棱 PA 与底面 ABC 所成的角 为 60°,则该三棱锥外接球的体积为 (A) ? (B)

? 3

(C)4 ?

(D)

4? 3

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 13、已知长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为 1 、 2 、 3 ,则这个长方体的外接球的表面积 为 .

14、某型号冰淇淋上半部分是半球,下关部分是圆锥,其正视图如图所示,则该型号冰淇淋的体积等 于 。

15、某几何体的三视图如图所示,则它的体积是___

21

16. 已知正三棱锥 P ? ABC,点 P,A,B,C 都在半径为 3 的求面上,若 PA,PB,PC 两两互相垂直,则球心到截面

ABC 的距离为________.
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) (2012 广东理)如图 5 所示,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA ? 平 面 ABCD ,点 E 在线段 PC 上, PC ? 平面 BDE . (Ⅰ)证明: BD ? 平面 PAC ; (Ⅱ)若 PA?1 , AD ? 2 ,求二面角 B ? PC ? A 的正切值.

18 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? A B C D中 , PA 丄 平 面 A B C D, AC 丄 AD , AB 丄

BC , ?ABC =450 , PA=AD =2 , AC =1 .
(Ⅰ)证明 PC 丄 AD ; (Ⅱ)求二面角 A ? PC ? D 的正弦值;
P
0 (Ⅲ)设 E 为棱 PA 上的点,满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 30 ,求 AE 的长.

B A C

D

22

19.(本小题满分 12 分) 已知四棱锥 P-ABCD 的三视图如下图所示,E 是侧棱 PC 上的动点. (1)求四棱锥 P-ABCD 的体积; (2)是否不论点 E 在何位置,都有 BD⊥AE?证明你的结论; (3)若点 E 为 PC 的中点,求二面角 D-AE-B 的大小.

23

20.(本小题满分 12 分) 如图,在多面体 ABCDEFG 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,平面 ABG、平面 ADF、平面 CDE 都与平面 ABCD 垂直,且ΔABG, ΔADF, ΔCDE 都是正三角形.
(I) 求证: AC// EF ; (II) 求多面体 ABCDEFG 的体积.

24

21.(本小题满分 12 分) 如图所示的多面体,它的正视图为直角三角形,侧视图为正三角形,俯视图为正方形(尺寸如图所示) ,E 为 VB 的中点. (1)求证:VD∥平面 EAC; (2)求二面角 A—VB—D 的余弦值.
[来

25

22.(本小题满分 12 分) 如图 1, ?ACB ? 45? , BC ? 3 ,过动点 A 作 AD ? BC ,垂足 D 在线段 BC 上且异于点

B,连接 AB,沿 AD 将△ ABD 折起,使 ?BDC ? 90? (如图 2 所示).
(Ⅰ)当 BD 的长为多少时,三棱锥 A ? BCD 的体积最大; (Ⅱ)当三棱锥 A ? BCD 的体积最大时,设点 E , M 分别为棱 BC , AC 的中点,试在 棱 CD 上确定一点 N ,使得 EN ? BM ,并求 EN 与平面 BMN 所成角的大小. A A M

B

D 图1

C B

D

. · E

C

图2

26

专题训练 6
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.)
1、已知圆 C : x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 , l 过点 P(3, 0) 的直线,则 ( )

A. l 与 C 相交 B. l 与 C 相切 C. l 与 C 相离 D.以上三个选项均有可能 2 .设 a ? R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3 .直线 x+y-1=0 被圆(x+1) +y =3 截得的弦长等于
2 2



A.

2

B. 2

C.2 2

D. 4

x2 y 2 5 4、双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 ,实轴长 4,则双曲线的焦距等于 a b 2
A. 2 5 B. 4 5 C. 2 3
2





D. 4 3

5、等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线 y

? 16x 的准线交于 A, B 两点, AB ? 4 3 ;
( )

则 C 的实轴长为 A. 2
6.已知双曲线 C :

B. 2 2

C. ?

D. ?

x2 y2 =1 的焦距为 10 ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,则 C 的方程为 a2 b2
B.





A.

x2 y2 =1 20 5

x2 y2 =1 5 20

C.

x2 y2 =1 80 20

D.

x2 y2 =1 20 80

7、设椭圆

x2 y 2 + = 1(a > b > 0) 的左、右焦点分别为 F1 、F2 , A 是椭圆上的一点, AF2 ^ AF1 ,原点 O a 2 b2
1 OF1 ,则椭圆的离心率为( 2
B、 3 - 1 C、 )

到直线 AF1 的距离为

A、

1 3

2 2

D、 2 - 1

27

9、直线 3x + y - 2 3 = 0 与圆 O : x2 + y 2 = 4 交于 A 、 B 两点,则 OA?OB A、2 B、-2 C、4 D、-4

??? ??? ? ?





10、若圆 C: x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 关于直线 2ax ? by ? 6 ? 0 对称,则由点 ( a, b) 向圆所作的切线长的 最小值是( A. 2 ) D.6

B. 3 C. 4

11.过点 P(x,y)的直线分别与 x 轴和 y 轴的正半轴交于 A、B 两点,点 Q 与点 P 关于 y 轴对称,O 为坐标 → → → → 原点,若BP=2PA且OQ· =1,则点 P 的轨迹方程是( AB ) 3 2 3 2 A.3x2+ y =1(x>0,y>0) B.3x2- y =1(x>0,y>0) 2 2 3 2 3 2 C. x -3y2=1(x>0,y>0) D. x +3y2=1(x>0,y>0) 2 2 12、 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心学率为 .双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的渐近线与椭圆 C 有四个交 2 a b 2
( )

点,以这四个焦点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆 C 的方程为 A.

x2 y 2 ? ?1 8 2

B.

x2 y 2 ? ?1 12 6

C.

x2 y 2 ? ?1 16 4

D.

x2 y 2 ? ?1 20 5

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 13.点 P(2 , ? 1) 为圆 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 25 的弦的中点,则该弦所在直线的方程是__ __;
14、椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是 F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等 a 2 b2

比数列,则此椭圆的离心率为_______________.
15、在直角坐标系 xoy 中,直线 l 过抛物线 y
2

? 4x 的焦点 F,且与该抛物线相较于 A、B 两点,其中点 A 在 x

轴上方,若直线 l 的倾斜角为 60°,则△OAF 的面积为________. 16、设双曲线的一个焦点为 F ,虚轴的一个端点为 B ,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直,那么 此双曲线的离心率为 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)已知圆 C1 的圆心在坐标原点 O ,且恰好与直线 l1 : x ? y ? 2 2 ? 0 相切.
(Ⅰ) 求圆的标准方程; (Ⅱ)设点 A( x0, y0 ) 为圆上任意一点, AN ? x 轴于 N ,若动点 Q 满足

??? ? ??? ? ???? OQ ? mOA ? nON ,(其中 m ? n ? 1, m, n ? 0, m 为常数),试求动点 Q 的轨迹方程 C2 ;

28

18. (本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C : 椭圆 C 上的点到点 Q ? 0,2 ? 的距离的最大值为 3.

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率 e ? a2 b2

2 且 3

19.(本小题满分 12 分)已知曲线 C: (5 ? m) x2 ? (m ? 2) y 2 ? 8(m ? R) (1)若曲线 C 是焦点在 x 轴的椭圆,求 m 的范围; (2)设 m ? 4 ,曲线 C 与 y 轴的交点为 A,B(点 A 位于点 B 的上方),直线 y ? kx ? 4 与曲线 C 交于不同的 两点 M,N,直线 y ? 1 与直线 BM 交于点 G 求证:A,G,N 三点共线.

29

20.(本小题满分 12 分)已知点 P 是圆 F1: ( x ? 3) ? y ? 16 上任意一点,点 F2 与点 F1 关于原点对称.
2 2

线段 PF2 的中垂线与 PF1 交于 M 点. (1)求点M的轨迹C的方程; (2)设轨迹C与x轴的两个左右交点分别为A,B,点K是轨迹C上异于A,B的任意一点,KH⊥x轴, H为垂足,延长HK到点Q使得HK=KQ,连结AQ延长交过B且垂直于x轴的直线l于点D,N为DB的中点.试 判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系.

21.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O,焦点在 y 轴上,离心率 e ?

2 ,椭圆上 2

的点到焦点的最短距离为 1 ?

2 , 直线 l 与 y 轴交于点 (0,)与椭圆 C 交于相异两点 A、, AP ? 3PB. P m , B 且 2

(1)求椭圆方程; (2)求 m 的取值范围.

30

22. (本小题满分 12 分)已知焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 (0,1) , 且离心率为

3 , Q 为椭圆 C 的左顶点. Ⅰ) ( 2

求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)已知过点 (? , 0) 的直线 l 与椭圆 C 交于 A , B 两点.(ⅰ)若直线 l 垂直于 x 轴,求 ?AQB 的大小;(ⅱ)若直线 l 与 x 轴不垂直,是否存在直线 l 使得 ?QAB 为等腰三角形?如果存 在,求出直线 l 的方程;如果不存在,请说明理由.

6 5

31


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