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高中数学北师大版选修4-4同步配套课件:第一章 §1 平面直角坐标系


§ 1 第 一 章 平 面 直 角 坐 标 系 理解教 材新知 考点一 把握热 点考向 考点二 考点三 应用创 新演练 § 1 平面直角坐标系 [自主学习] 1.平面直角坐标系与曲线方程 (1)平面直角坐标系中点和有序实数对的关系:在平面直 角坐标系中,点和 有序实数对是一一对应的. (2)平面直角坐标系中曲线与方程的关系: 曲线可看作是 满足某些条件的点 的集合或轨迹, 在平面 直角坐标系中,如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x,y) =0 的实数解建立了如下的关系: ①曲线 C 上的 点的坐标 都是方程 f(x, y)=0 的 解 ; ②以方程 f(x, y)=0 的 解为坐标的点 都在曲线 C 上. 那么,方程 f(x,y)=0 叫作曲线 C 的方程,曲线 C 叫作方程 f(x,y)=0 的曲线. (3)一些常见曲线的方程: ①直线的方程: ax+by+c=0 ; ②圆的方程:圆心为(a,b),半径为 r 的圆的方程为 (x-a)2+(y-b)2=r2; ③椭圆的方程:中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长为 2a, x2 y2 + =1 短轴长为 2b 的椭圆方程为 a2 b2 ; ④双曲线的方程:中心在原点,焦点在 x 轴上,实轴长为 x2 y2 2- 2=1 2a,虚轴长为 2b 的双曲线方程为 a b ; ⑤抛物线的方程:顶点在原点,以 x 轴为对称轴,开口向 2 p y 右,焦点到顶点距离为 的抛物线方程为 =2px . 2 2.平面直角坐标系中的伸缩变换 在平面直角坐标系中进行伸缩变换,即 改变 x 轴 或 y 轴 的单位长度 ,将会对图形产生影响. [合作探究] 1.如何根据题设条件建立适当的平面直角坐标系? 提示:①如果图形有对称中心,选对称中心为坐标原点; ②如果图形有对称轴,选对称轴为坐标轴; ③使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上; ④如果是圆锥曲线,所建立的平面直角坐标系应使曲线方 程为标准方程. 2. 平面直角坐标系中的伸缩变换可以改变图形的形状, 那平移变换呢? 提示:平移变换仅改变图形的位置,不改变它的形状、 大小. 平面直角坐标系中曲线方程的确定与应用 [例 1] (1)已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 3 轴上,离心率为 ,且 G 上一点到 G 的两个焦点的距离之 2 和为 12,求椭圆 G 的方程. (2)在边长为 2 的正△ABC 中,若 P 为△ABC 内一点, 且|PA|2=|PB|2+|PC|2,求点 P 的轨迹方程,并画出方程所 表示的曲线. [思路点拨] 本题是曲线方程的确定与应用问题,考查 建立平面直角坐标系、数形结合思想、曲线方程的求法及分 析推理、计算化简技能、技巧等.解答此题中(1)需要根据已 知条件用待定系数法求解;(2)需要先建立平面直角坐标系, 写出各点的坐标,用直接法求解,再根据方程判定曲线类型 画出其表示的曲线. [精解详析] (1)由已知设椭圆方程为 x2 y2 + =1(a>b>0), a2 b2 c 3 则 2a=12,知 a=6.又离心率 e=a= ,故 c=3 3. 2 ∴b2=a2-c2=36-27=9. x2 y2 ∴椭圆的标准方程为 + =1. 36 9 (2)以 BC 所在直线为 x 轴,BC 的中点为原点,BC 的中 垂线为 y 轴建立平面直角坐标系,设 P(x,y)是轨迹上任意一 点,又|BC|=2,∴B(-1,0),C(1,0),则 A(0, 3); ∵|PA|2=

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