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重庆市七校联考2014-2015学年高一数学下学期期末考试试题 理

2014—2015 学年度第二学期期末七校联考 高一数学试题(理科)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上. 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑. 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卷规定的位置上. 4.考试结束后,将答题卷交回. 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求的。 1.若 a ? b ? 0 ,则( ) A. a ? ab ? b
2 2

B. ac ? bc

C.

1 1 ? a b

D.

a b ? 2 2 c c


2.一个人打靶时连续射击三次,与事件“至多有两次中靶”互斥的事件是( A.至少有两次中靶 B.三次都中靶 C.只有一次中靶 D.三次都不中靶 3.不等式

4 ? x ? 2 的解集是( ) x?2 A. (??,0) ? (2, 4) B. [0, 2) ? [4, ??) C. [2, 4) D. (??, ?2] ? (4, ??)

4.如图,执行其程序框图,则输出 S 的值等于( ) A.15 B.105 C.245 D.945 5.在某样本的频率分布直方图中,共有 7 个小长方形,若第三个

1 小长方形的面积为其他 6 个小长方形的面积和的 ,且样本容 4
量为 100,则第三组数据的频数为( ) A.25 B.0.2 C.0.25 D.20 6.某中学从文、理科实验班中各选 6 名同学去参加复旦大学自 文科 主招生考试,其数学成绩茎叶图如图,其中文科生的成绩的 9 众数为 85,理科生成绩平均数为 81,则 x·y 的值为( ) 5 y A.9 B.20 C.5 D.45 7.由 0、1、2、3、4、5 组成没有重复数字的三位偶数有( ) A.720 个 B.600 个 C. 60 个 D.52 个 8.现有 A、B、C、D 四种玉米种子,其亩产量和方差如下表所示 A B C D

5

第 4 题图

理科 7 0 1 7 8 9

x
1 2

8 0

1

第 6 题图

1

平均亩产量 x(kg )
2

830

890

890 2.5

870 6.0 D.D 种子

方差 s 3.5 3.7 从其中选择一种种子进行量产,最好选择( ) A.A 种子 B.B 种子 C.C 种子

9.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a, b, c ,若 a ? 2, b ? 2,sin B ? cos B ? 2 , 则角 A 的大小为( ) A.60° B.30° C.150° D.45° 10.连续抛掷两次骰子,所得的点数之和能被 3 整除的概率为( )

11 5 D. 6 36 11 . 对 于 实 数 x 和 y , 定 义 运 算 ? : x ? y ? x(1 ? y) , 若 对 任 意 x ? 2 , 不 等 式 ( x ? m) ? x ? m ? 2 都成立,则实数 m 的取值范围是( ) A. [?1, 7] B. (??,3] C. (??, 7] D. (??, ?1] ? [7, ??)
A. B. C. 12.设数列 {an } 满足 a1 ? 0 ,且 2an?1 ? 1 ? an an?1 , bn ?

1 6

1 3

a 1 ? n?1 ,记 n n
D.

Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,则 S100 ? ( 9 1 A. 1 ? B. 10 101

) C.

99 100

1 1 ? 10 101

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上。

?x ? y ?1 ? 0 y ? 13.实数 x, y 满足 ? x ? 0 ,则 z ? 的最小值为_________。 x?4 ?y ? 2 ?
14.函数 f ( x ) 由下表定义:

x 2 5 3 1 4 f ( x) 1 2 3 4 5 若 a0 ? 1, an?1 ? f (an ), n ? 0,1, 2,?, 则 a2016 ? __________。 a a a 15.对于数列 {an } ,若满足 a1 , 2 , 3 ,?, n ,? 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,则 a1 a2 an?1 a9 ? _________。
16.已知△ABC 的一个内角为 120°,并且三边长度构成以首项为 3 的等差数列,则△ABC 的最小角的正弦值为___________。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 10 分) 已知两个具有线性相关关系的变量 x, y 的测量数据如下: 1 2 3 6 2 3 5 6 通过最小二乘法求其线性回归方程,并预报当变量 x 为 14 时,变量 y 的值.

x
y

( 注:线性回归方程 y ? bx ? a ,其中 b ?

? x y ? nx ? y
i ?1 i i

n

?x
i ?1

n

2 i

? nx

2

, a ? y ? bx )

2

18. (本小题 12 分) 设数列{an}是公比大于 1 的等比数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 S3 ? 7 , 且 a1 ? 3,3a2 , a3 ? 4 构成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列 {an ? log2 an }(n ? N ? ) 的前 n 项和 Tn .

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ? x ? b 的图象过点(2,1) ,若不等式 f ( x) ? x2 ? x ? 5 的解集为 A, 且 A ? (??, a] . (1)求 a 的取值范围; (2)解不等式

x 2 ? (a ? 3) x ? 2a ? 3 ? 1. f ( x)

20. (本小题满分 12 分) 设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c,且 a ? c ? b ? 6 c ,b sin A ? 4 . (1)求边长 a ; (2)若△ABC 的面积 S=10,求 cosC 的值.
2 2 2

21. (本小题满分 12 分) 在以 O 为圆心,1 为半径的圆上均匀、依次分布有六点,分别记为:A、B、C、D、E、 F. (1)点 P 是圆 O 上运动的任意一点,试求 | PA |? 1 的概率; (2)在 A、B、C、D、E、F 六点中选择不同的三点构成三角形,其面积记为 S,
3

试求 S ?

3 3 和S ? 的概率。 2 4

22. (本小题满分 12 分) 已知数列{an}为等比数列, 其前 n 项和为 Sn, 且 S1, S2 的等差中项为 S3, 若 8(a1 ? a3 ) ? ?5 . (1)求数列[an]的通项公式; ( 2 ) 记 Rn ?|

1 2 3 n |? | | ? | |? ? ?| , | 对于任意的 n ? 2 , n? N? ,不等式 a1 a2 a3 a n

2 恒成立,求实数 m 的取值范围。 m( Rn ? n? 1) ? (n ? 1)

4

2014—2015 学年度第二学期期末七校联考 高一数学(理科)参考答案 1—6 CBADDB 13. ? 7—12 14. 1 15. 2
36

DCBBCA 16.

2 3

3 3 14
(2 分)

17. 由图象数据可得: x ? 3, y ? 4

?x y ?x
i ?1 i ?1 4 i 2 i
4

4

i

? 1? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 5 ? 6 ? 6 ? 59

? 1 ? 4 ? 9 ? 36 ? 50
i i

b?

? x y ? 4x ? y
i ?1

?x
i ?1

4

2 i

? 4x

2

?

59 ? 4 ? 3 ? 4 11 ? 50 ? 4 ? 9 14

(6 分)

a ? y ? bx ? 4 ?


11 23 ?3 ? 14 14
(8 分) (10 分) (4 分) (6 分) (8 分) (12 分)

11 23 x? 14 14 11 23 177 ?14 ? ? 当 x ? 14, y ? 14 14 14 ?a1 ? a2 ? a3 ? 7 18.(1) ? 又q ? 1, 得a1 ? 1, q ? 2 ?a1 ? 3 ? a3 ? 4 ? 6a2
其线性回归方程为: y ?

?an ? 2n?1 (n ? N ? )
(2) log2 an ? log2 2n?1 ? n ?1

Tn ?

1 ? 2n n(1 ? n ? 1) n2 ? ? 2n ? 1 ? 1? 2 2 2

19.(1)依题意,可得 b=3

f ( x) ? x2 ? x ? 5即? x ? 3 ? x2 ? x ? 5,即x2 ? 2x ? 8 ? 0 ? A ? [?4, 2] ? (??, a],? a ? 2 为所求。
(2)

(4 分)

x 2 ? (a ? 2) x ? 2a x 2 ? (a ? 3) x ? 2a ? 3 ?0 ?1 即 x ?3 f ( x) 由(1)知 a ? 2 当 a ? 2 时,不等式的解集为 (3, ??) ; 当 2 ? a ? 3 时,不等式的解集为 (2, a) ? (3, ??) ; 当 a ? 3 时,不等式的解集为 (2,3) ? (3, ??) ; 当 a ? 3 ,不等式的解集为 (2,3) ? (a, ??)
2 2 2

(8 分)

(12 分) (2 分)

20. (1) cos B ?

a ?c ?b 6c 3 ? ? ,? a cos B ? 3 2ac 2ac a a cos B sin A cos B cos B 3 ? ? ? 又 b sin A ? 4,? b sin A sin B sin A sin B 4

5

4 3 ? sin B ? , cos B ? ,? a ? 5 5 5 1 1 4 (2) S ? 10 ? ac sin B ? ? 5c ? ,? c ? 5 2 2 5 2 2 2 b ? a ? c ? 2ac cos B ? 20,?b ? 2 5

(6 分) (8 分) (10 分) (12 分)

a 2 ? b2 ? c 2 5 ? 2ab 5 21.(1) 设事件 A ,则动点则沿 B→C→D→E→F 运动均满足题意, :| PA | ? 1 1 2 ? 2? ?1 2 则 P( A1 ) ? 3 ? 2? ?1 3 ? cos C ?
分)

(6

3 (2)从六个点中任选三个不同的点构成一个三角形,共有 C6 ? 20 种不同的选法。

3 的为有一个角为 30? 的 RT△(如△ADF),不同的选法种数为 6×2=12 种。 2 3 12 3 (10 分) ? P( S ? )? ? 2 20 5 3 的为顶角为 120? 的等腰三角形(如△ABC),不同的选法种数为 6 种。 S? 4 3 6 3 (12 分) ? P( S ? )? ? 4 20 10 1 ? ,可得a1 ? q ? ? ?2S3 ? S1 ? S2 22.(1)依题意 ? 2 ? 8( a ? a ) ? ? 5 ? 1 3
其中 S ?

1 ? an ? (? ) n (n ? N ? ) 2 (2) Rn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? ?? n ? 2n

(4 分)

?2Rn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ?? (n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1

? Rn ? 21 ? 22 ? ? ? 2n ? n ? 2n?1 ? Rn ? n ? 2n ?1 ? 2n ?1 ? 2 ?n ? 2, n ? N ?不等式m(Rn ? n ?1) ? (n ?1)2 恒成立
即 m(n ? 2n?1 ? 2n?1 ? 2 ? n ?1) ? (n ?1)2 即m ?

(6 分)

n ?1 (n ? 2, n ? N ? ) 恒成立 (8 分) 2n ?1 ? 1 n ?1 n n ?1 (2 ? n) ? 2n?1 ? 1 记 f (n) ? n?1 , f (n ? 1) ? f (n) ? n?2 ? n?1 ? n?2 ?0 2 ?1 2 ? 1 2 ? 1 (2 ?1) ? (2n?1 ?1) ? f (n) 单调递减。 (10 分) 2 ?1 1 1 ? ∴ f (n) ? f (2) ? 3 ∴ m? 2 ?1 7 7 2 ∴ 不等式 m( Rn ? n ? 1) ? (n ?1) ?n ? 2, n ? N ? 恒成立的实数 m 的取值范围为

6

1 [ , ??) 7

(12 分)

7