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空间中的垂直问题练习题

空间线线、线面、面面垂直关系练习题
一、填空题 1.给出下列三个命题: ①“直线 a 、 b 为异面直线”的充分非必要条件是“直线 a 、 b 不相交” ; ②“直线 a 垂直于直线 b ”的充分非必要条件是“直线 a 垂直直线 b 在平面 ? 内的射影” ; ③“直线 a 垂直平面 ? ” 的必要非充分条件是“直线 a 垂直于平面 ? 内的无数条直线” 其中所有真命题的序号是 2.如图,正方形 ABCD,P 是正方形平面外的一点,且 PA⊥平面 ABCD 则在△PAB、△PBC、△PCD、△PAD、△PAC 及△PBD 中,为直角三角 形有 个. 3.在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,底面各边都相等,M 是 PC 上的一动点,当点 M 满足 时,平面 MBD⊥平面 PCD. 4.已知三棱锥 S ? ABC 的底面是正三角形,点 A 在侧面 SBC 上的射影 H 是 ?SBC 的垂心,且 SA 的长为定值,则下列关于此三棱锥的命题:① 点 B 在侧面 SAC 上的射影是 ?SAC 的垂心;②三棱锥 S ? ABC 是一个正三棱锥;③三棱锥 S ? ABC 的 体积有最大值;④三棱锥 S ? ABC 的体积有最小值.其中正确命题的序号为 5.如果 a,b 是异面直线,P 是不在 a,b 上的任意一点,下列四个结论: (1)过 P 一定可作直线 L 与 a , b 都相交; (2)过 P 一定可作直线 L 与 a , b 都垂直; (3)过 P 一定可作平面 ? 与 a , b 都平行; (4)过 P 一 定可作直线 L 与 a , b 都平行,其中正确的结论有 6.给出下列命题:①分别和两条异面直线 AB.CD 同时相交的两条直线 AC.BD 一定是异面直线②同 时与两条异面直线垂直的两直线不一定平行③斜线 b 在面α 内的射影为 c,直线 a⊥c,则 a⊥b④有三 个角为直角的四边形是矩形,其中真命题是 . 7.点 P 在直径为 2 的球面上,过 P 作两两垂直的三条弦,若其中一条弦长是另一条弦长的 2 倍,则这三 条弦长之和为最大值是 8.正四面体 ABCD 的棱长为 1,棱 AB//平面 ? ,则正四面体上 的所有点在平面 ? 内的射影构成图形面积的取值范围是 9.直二面角 α- l -β 的棱 l 上有一点 A,在平面 α、β 内各有一 条 射 线 AB , AC 与 l 成 450 , AB ? ? , AC ? ? , 则 ∠BAC= . 10. 四 棱 锥 D ? A B C E 底 面 是 矩 形 , DE ? 面 ABCE , 的

的面积的最大值是 二、解答题 15 . 如 图 , 正 方 形 ABCD 所 在 的 平 面 与 三 角 形 CDE 所 在 的 平 面 交 于 CD , AE ? 平 面 C D E , 且 B . A B? 2 A E (1)求证: AB // 平面 CDE ; (2)求证:平面 ABCD ? 平面 ADE ; A

C

E

16.如图所示,△ABC 为正三角形,EC⊥平面 ABC,BD∥CE,EC=CA=2BD,M 是 EA 的中点. 求证: (1)平面 BDM⊥平面 ECA(2)平面 DEA⊥平面 ECA

D

17.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD ? 平面 ABCD , AB ∥ DC , △PAD 是等边三角形,已 知 BD ? 2 AD ? 8 , AB ? 2DC ? 4 5 . (1)设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD ? 平面 PAD ; (2)求四棱锥 P ? ABCD 的体积. P

M D A C B

DE ? 3, EC ? 1, BC ? 2.G 为 DA 的中点,Q 为 DC 上一点,且 EQ ? 面 DQ GBC ,则 = QC
11.已知边长为 2 3 的正 ?ABC ,点 D, E 分别在边 AB, AC 上,且 DE // BC ,以 DE 为折痕,把 ?ADE 折起至 ?A?DE ,使点 A? 在平面 BCED 上的射影 H 始 ?ADE的面积 终落在 BC 边上,记 S ? ,则 S 的取值范围为 . A?H 2 ? 12. 三棱锥 P ? ABC 中, APB ? ?BPC ? ?CPA ? 90? , M 在△ ABC 内, 点 且 ?MPA ? ?MPB ? 60? ,则 ?MPC 的度数是 13. 如 图 , AD 与 BC 是 四 面 体 ABCD 中 互 相 垂 直 的 棱 , BC ? 2 , 若 AD ? 2c , 且 AB ? BD ? AC ? CD ? 2a ,其中 a 、 c 为常数,则四面体 ABCD 的体积的最 大值是 。 α 14.如图,已知平面 ? ? 平面 ? , A 、 B 是平面 ? 与平面 ? 的交线上的 P CB DA ? ? , CB ? ? , DA ? ? , ? ? ,AD ? 4 ,BC ? 8 , 两个定点, 且 A B AB ? 6 ,在平面 ? 上有一个动点 P ,使得 ?APD ? ?BPC ,则 ?PAB D 1 C β

18.如图1,等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=AD,∠ABC=600,E 是 BC 的中点.如图 2,将△ABE 沿 AE 折起,使二面角 B—AE—C 成直二面角,连结 BC,BD,F 是 CD 的中点,P 是棱 BC 的中点. (1)求证:AE⊥BD; (2)求证:平面 PEF⊥平面 AECD; (3)判断 DE 能否垂直于平面 ABC?并说明理由. B A D A B 图1 C E 图2 P D F E C

19. 如 图 , 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 , D 、 E 分 别 是 棱 BC 、 AB 的 中 点 , 点 F 在 棱 CC1 上 , 已 知

作 BE⊥CD,E为垂足,作 AH⊥BE 于H.求证:AH⊥平面 BCD.

AB ? AC , AA1 ? 3, BC ? CF ? 2 . (1)求证: C1 E ∥平面 ADF; (2)若点 M 在棱 BB1 上,当 BM 为何值时,平面 CAM ⊥平面 ADF?

C D

F

C1

M E A B A1 25 如图3, AB 是圆O的直径,C是圆周上一点, PA ? 平面 ABC.若 AE⊥PC ,E为垂足,F是 PB 上 任意一点,求证:平面 AEF⊥平面 PBC. B1

20.已知正三角形 PAD 所在的平面与直角梯形 ABCD 垂直, AB ? AD , AB // CD ,且 AD ? DC ? 2 , AB ? 4 . (1)求证: AB ? PD ; P (2)求点 C 到平面 PAB 的距离; (3)在线段 PD 上是否存在一点 M ,使得 AM // 平面 PBC . M D H A 21.如图 1,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, M 为 CC1 的中点,AC 交 BD 于点 O,求证: AO ? 平面 MBD. 1 B N C 26.如图, 在空间四边形 SABC 中, SA?平面 ABC, ?ABC = 90?, AN?SB 于 N, AM?SC 于 M。 求证: ①AN?BC; ②SC?平面 ANM

27.在三棱锥 S—ABC 中,SA⊥平面 ABC,平面 SAB⊥平面 SBC.求证:AB⊥BC;

22.如图 2, P 是△ABC 所在平面外的一点,且 PA⊥平面 ABC,平面 PAC⊥平面 PBC.求证:BC⊥平面 PAC.

24.如图2,在三棱锥A-BCD 中,BC=AC,AD=BD,
2

28.如图 9—41,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是矩形,PA=AD=a,M、N 分别是 AB、PC 的中点. (1)求平面 PCD 与平面 ABCD 所成的二面角的大小; (2)求证:平面 MND⊥平面 PCD

(2)若 D 也是圆周上一点,且与 C 分居直径 AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.

29.正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F、M、N 分别是 A1B1、BC、C1D1、B1C1 的中点. (1)求证:平面 MNF⊥平面 ENF. (2)求二面角 M—EF—N 的平面角的正切值.

1 32.ABC—A′B′C′是正三棱柱,底面边长为 a,D,E 分别是 BB′,CC′上的一点,BD= 2 a,EC
=a. (1)求证:平面 ADE⊥平面 ACC′A′; (2)求截面△ADE 的面积.

30.,四棱锥 P—ABCD 的底面是边长为 a 的正方形,PA⊥底面 ABCD,E 为 AB 的中点,且 PA=AB. (1)求证:平面 PCE⊥平面 PCD; (2)求点 A 到平面 PCE 的距离.

31.如图,AB 是圆 O 的直径,C 是圆周上一点,PA⊥平面 ABC. (1)求证:平面 PAC⊥平面 PBC;
3


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