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建水二中引用云南师大附中2013届高考适应性月考卷(六)理科数学


云南师大附中 2013 届高考适应性月考卷(六) 理科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 A ? x | y ? A. ?
a b c d

?

1? x

2

? , B ? ? y | y ? 2 ? ,则 A ? ( C
x

U

B) =

B. ? ? 1, 0 ?
? a d ? b c ,复数 z 满足

C. ? ? 1, 0 ?
z i 1 i

D. ? 0 ,1 ?

2.定义运算

? 1 ? i ,则复数 z 的共轭复数是

A. 2 ? i B. 2 ? i 3.下列说法中,错误的是

C. ? 2 ? i

D. ? 2 ? i

A.命题“若 a ? A ,则 b ? B ”的否命题是“若 a ? A ,则 b ? B ” B.命题“存在实数 x ,使 x ? x ? 0 ”的否定是“对所有的实数 x , x ? x ? 0
2 2

C.命题“若 a m ? b m ,则 a ? b “的逆命题是真命题
2 2

D.已知 x ? R ,则 x ?

1 2

是 2 x ? x ? 1 ? 0 的充分不必要条件
2

4 . 在 △ A B C 中 , 点 E 是 AB 的 中 点 , 点 F 是 A C 的 中 点 , BF 交 C E 于 点 G , 若
???? ??? ? AG? x AE ? ???? y A ,则 x ? y 的值是 F

A.

3 2

B.

2 3

C.

4 3

D.1

5.已知 ? , ? 是两个不同的平面, m , n 是两条不同的直线,给出下列命题 ①若 m ? ? , n ? ? , m ∥ ? , n ∥ ? ,则 ? ∥ ? ; ②若 ? ? ? ? m , n ∥ m , n ? ? , n ? ? ,则 n ∥ ? , n ∥ ? ; ③若 m ? ? , n ∥ m , n ? ? ,则 ? ? ? ; ④若 ? ? ? , m ? ? ,则 m ? ? ;
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⑤若 ? ∥ ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ∥ n . 其中真命题的个数是 A.4
? ?
2

B.3

C.2

D.1

6.若 d ? ( ? 1, m ? 1)( m ? R ) 是直线 l 的一个方向向量,则直线 l 的倾斜角 ? 的范围是 A. ? 0 , ? ?
? ?
4? ? ? ?

B. ? 0 ,
? ?

? ?

? 4?

?? ? ? ? ,? ? ? 2 ? ? 3? ? ,? ? ? 4 ? ?

C. ? 0 ,
?

?

D. ? 0 ,
2 3

? ?
4? ?

?

7.一个正四面体的体积为

2 ,它的三视图中俯视图如图 1 所示,左

视图是一个三角形,则这个三角形的面积是 A. 2 2 8.设函数 f ( x ) ? s in ( x ? B. 3
7? 4 ) ? cos( x ? 3? 4

C. 2
) ,则

D.

2 6 3

A. y ? f ( x ) 的最小正周期是 ? ,其图像关于 x ? ?

?
4

对称
?
4

B. y ? f ( x ) 的最小正周期是 2 ? ,其图像关于 x ? ? C. y ? f ( x ) 的最小正周期是 ? ,其图像关于 x ?
?
2

对称

对称
?
2

D. y ? f ( x ) 的最小正周期是 2 ? ,其图像关于 x ?
? ? 1? ?

对称

9.关于 x 的不等式 x ? lo g a x ? 0 在 ? 0 , ? 上恒成立,则 a 的取值范围是 2
2

A. ? 0 ,
? ? 1

?

1 ? ? 16 ?

B. ? 0 ,
? ?1

?

1 ? ? ? ? 1, ? ? ? 16 ?

C. ?

? ,1 ? ? 16 ?
2

D. ?

? ,1 ? ? ? 1, 2 ? ?2 ?

10.如果函数 f ( x ) ? | x | ? a ? x ? A. ? 0,1 ?

2 ( a ? 0 ) 没有零点,则 a 的取值范围是

B. ? 0 ,1 ? ? ? 2 , ? ? ? C. ? 0,1 ? ? ? 2 , ? ? ? D. ? 0 , 2 ? ? ? 2 , ? ? ?
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11.已知点 P ( a , b ) 与点 Q (1, 0 ) 在直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 的两侧,则下列说法中正确的序号是 ① 2 a ? 3b ? 1 ? 0 ; ② a ? 0 时,
b a

有最小值,无最大值;
b a ?1
2

③ a ? 0 且 a ? 1 , b ? 0 时,

的取值范围为 ? ? ? , ?
?

?

1? ?2 ? ? ? ? , ?? ? ; 3? ?3 ?

④存在正实数 M ,使 a ? b ? M .
2

A.①④ 12.椭圆 C :
x a
2 2

B.③④
? y b
2 2

C.②③

D.②③④

???? ????? ? ? 1( a ? b ? 0 ) 的两个焦点为 F1 , F 2 , M 为椭圆上一点,且 M F1 ? M F 2 的

2 2 最大值的取值范围是 ? c , 2 c ? ,其中 c 的椭圆的半焦距,则椭圆的离心率取值范围是 ? ?

A. ?

?1

? ,1 ? ?2 ?

B. ?

?

? ,1 ? ? ? 2 ? 2

C. ? ,

?1 1 ? ? ?3 2 ?

D. ?

?

3

,

? 3

2? ? 2 ?

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)
注意事项:用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上.
13.如图 2,程序运行后,输出的结果 S 为
2 2


2

14.已知直线 y ? x ? 2 与圆 x ? y ? 4 x ? 3 ? 0 及抛物线 y ? 8 x 的四个交 点从上而下依次为 A 、B 、C 、D 四点, | A B | ? | C D | = 则 .

15.已知函数 y ? f ( x ) 的图像是折线段 A B C ,其中 A (0 , 0 ) , B (1,1) ,
C ( 2, 0 ) , 则 函 数 y ? x f ( x) ( 0 ? x ? 2 ) 图 像 与 x 轴 围 成 的 图 形 的 面 积 的

i=1 WHILE i<8 S=2*i+3 i=i+2 WEND PRINT S END

是 16.已知 f ( x ) ?


1 1? x

,各项均为正数的数列 ? a n ? 满足 a 1 ? 1 , a n ? 2 ? f ( a n ) ,若 a 2 0 1 0 ? a 2 0 1 2 , .

则数列 ? a n ? 的前六项和等于

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步
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骤.
17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? A s in ( ? x ? ? )( x ? R , ? ? 0 , 0 ? ? ? 图 3 所示. (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)函数 y ? f (x) 的图像向右平移
?
4
y ? g ( x ) 的图像,求 y ? g ( x ) 的单调递增区间.

?
2

) 的部分图像如

y
1
?
?
6
12

个单位得到

O

x

18. (本小题满分 12 分)如图 4,在长方形 A B C D 中, A B ? 1 , B C ? 2 , E 是 A D 的中点,将 △ A B E 沿直线 B E 翻折成 A ? B E ,使 A? 平 面 A? B E ⊥ 平 面 B C D E , F 为 A E D A ? C 的中点. E D ?B E ; (1)求证: D F ∥平面 A F (2)求直线 A ? C 与平面 B C D E 所成 角的正切值; B C (3)求三棱锥 F ? A ? B E 的体积. C B 19. (本小题满分 12 分)某苗圃基地 为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况,从两块中各随机抽取 10 株树苗,分 别测出它们的高度如下表(单位:cm) . 甲 乙 19 10 20 26 21 30 23 30 25 34 29 37 32 44 33 46 37 46 41 47

(1)用茎叶图表示上述两组数据,并分别求出从两块地中抽取的树苗高度的平均数和中位数; (2)绿化部门分配这 20 株树苗的栽种任务,小王在株高大于 35cm 的 7 株树苗中随机选种 2 株, 则小王选种的树苗至少有一株来自甲地的概率是多少? (3)现苗圃基地将甲、乙两块地的树苗合在一块,按高度分成 A 、 B 两个等级.某市绿化部门 下属的 2 个单位计划购买甲、 乙两地种植的树苗. 已知每个单位购买 A 等级或 B 等级树苗的费用 均为 5 万元,且每个单位对每个等级树苗买和不买的可能性均等,求该市绿化部门此次采购所需 奖金总额 Z 的分布列及数学期望 E ( Z ) .
x a
2

2 2

20. (本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 x O y 中,双曲线

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 的右顶点

与抛物线 y ? 2 p x ( p ? 0 ) 的焦点重合,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交点坐标为
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? ? 2 , ?1? . ?? ? ? 2 ? ?

(1)求双曲线的标准方程; (2)设斜率为 k (| k |? 证: O P ? O Q . 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? e ? a x , a ? R .
x

2 ) 的直线 l 交双曲线于 P 、 Q 两点,若直线 l 与圆 x ? y ? 1 相切,求
2 2

(1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若对任意的实数 x ? 0 , f ( x ) ? 0 恒成立,试确定 a 的取值范围;
x (3)当 a ? ? 1 时,是否存在实数 x 0 ? ?1, e ? ,使曲线 C : g ( x ) ? e ln x ? f ( x ) 在 x ? x 0 处的切线

与 x 轴平行?若存在,求出 x 0 的值,若不存在,请说明理由. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时 请写清题号. 22. (本小题满分 10 分) 【选修 4-1:几何选讲】 如图 5,已知 A B ? A C , A C 为圆 O 的直径, B C 与圆 O 交于点 D , D E ? A B ,连 C E 交圆 O 于F . A (1)求证: D E 为圆 O 的切线; (2)求证: A E ? B E ? E F ? C E . E F 23. (本小题满分 10 分) 【选修 4-4:坐标系与参 数方程】 已知圆 O 1 与圆 O 2 的极坐标方程分别为 ? ? 2 ,
? ? 2 2 ? c o s (? ?
2

C

D

B

?
4

) ? 2.

(1)把圆 O 1 与圆 O 2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求两圆公共弦的长. 24. (本小题满分 10 分) 【选修 4-5:不等式选讲】 设 f ( x ) ?| x ? 1 | ? | x ? 2 | . (1)若不等式 f ( x ) ? a 的解集为 ? ? ? ,1 ? ,求 a 的值; (2)若 g ( x ) ?
1 f (x) ? m

的定义域为 R ,求实数 m 的取值范围.

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云南师大附中 2013 届高考适应性月考卷(六) 理科数学参考答案
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 【解析】 1 C 2 A 3 C 4 C 5 C 6 B 7 C 8 B 9 C 10 B 11 B 12 D

1. A

? { x | ? 1 ≤ x ≤ 1} , B ? { y | y ? 0}
1 ? 2i i

,? ? U B

? { y | y ≤ 0}

,故 A ?

( ? U B ) ? [ ? 1, 0 ] .

2.由题可得 z i ? i ? 1 ? i ,?

z ?

? 2?i

,则复数 z 的共轭复数是 2 ? i .
? b

3.A、B、D 选项都是正确的,选项 C 的逆命题是“若 a 为当 m
?0

,则 a m 2

? bm

2

” ,它是错误的,因

时, a m 2

? bm

2

.

4.由题可得点 G 是 △ A B C 的重心,设 BC 边的中点为 D, 则 AG
???? ? ? ???? ???? 2 ???? 2 1 ??? 1 ???? A D ? ? ( A B ? A C ) ? (2 A E ? 2 A F ) 3 3 2 3

,?

x ? y ?

2 3

,?

x? y ?

4 3

.

5.只有②③是正确的. 6.直线 l 的斜率 k
π? ?π ? ? 2 ? 1 ? m ≤ 1 ,? tan ? ≤ 1, ? ? ? ? 0 , ? ? ? , π? 4? ? 2 ? ?

.

7.设正四面体的棱长为 a, 则体积 V
?a ? 2

?

1 3

?

1 2

?a?

3 2

a?

6 3

a ?

2 12

a ?
3

2 3

2



,而正四面体的左视图为一个三角形,如图 1 所示,
?2? 2 ? 2

? S ?

1 2

.

图1

8.

7 ? 3 ? π? π? ? ? ? ? f ( x ) ? sin ? x ? π ? ? c o s ? x ? π ? ? sin ? x ? ? ? c o s ? x ? ? 4 ? 4 ? 4? 4? ? ? ? ?

? sin x co s

π 4

? co s x sin

π 4

? co s x co s

π 4

? sin x sin

π 4

?

2 (sin x ? co s x )

π? ? ? 2 s in ? x ? ? 4? ?

,故最小正周期是 2 π .

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令x

?

π 4

? kπ ?

π 2

,

则x

? kπ ?

3 4

π

为函数 y

? f (x)

的对称轴方程. 当 k
? ? 1? 2? ?

? ? 1 时, x ? ?

π 4

. 的下方,

9. 由题意得 x 2

? lo g a x

在 x ? ? 0,
?
y = lo g a x

?

1? 2? ?

上恒成立, 故在 x ? ? 0 ,
?1 ?2 , 1? ? 4?

上y
1

? x 的 图 象 在 y = lo g a x
2

由图象知 0 < a <1 . 当 10.
f ( x ) ?| x | ? a? x
2

的图象过点 ?
a? x
2

时, a = ,函数

16

,故 a ? ?

? 1 ? 16

? , 1? ?

时满足题意.
? a ? x
2

?

2 ? 0

,即

?

2?| x|

f (x)

没有零点,则 y



图象与 y
y ?

?

2 ? | x | 的图象没有交点.

如图 2,

a? x

2

? x ? y ? a ( y ≥ 0)
2 2


a

它表示以 (0 ,
y ?

0)

为圆心,半径为

的上半圆, 的一条折线,
图2

2 ? | x | 的图象是端点为 (0 ,

2)

当上半圆与 y

?

2 ? | x | 相切时, a ? 1 ;

当上半圆经过点 (0 ,

2)

时,

a ?

2, ? a ? 2



若两图象没有交点,则 0 ? 11.①由于点 P ( a , ②a ③ ④
? 0

a ? 1或 a > 2

.
0

b)
?

与点 Q (1,
b?0 a ?0

0)

在直线 2 x ? 3 y +1= 0 的两侧,则 2 a ? 3 b +1 ?
b)



时,
?

b a

可看作点 P ( a ,
b)

与原点的斜率,由图可知无最值;
0)

b a ?1
2

b?0 a ?1
2

可看作点 P ( a ,
2

与点 (1,

的斜率,由图可知
b)

1? ?2 ? ? ? ? ?? , ? ? ? ? , +? ? 3? ?3 a ?1 ? ?

b



a ?b

?

( a ? 0 ) ? (b ? 0 )

2

可看作点 P ( a ,
13 13

与原点的距离,而原点到直线的距离为

0 ? 0 ?1 4?9

?

13 13

,故存在正实数 M
???? ?

?

,使

a ?b
2

2

? M

.

12.设 M

( x0 , y 0 )

,则 M F1

????? ? ( ? c ? x 0 , ? y 0 ), M F 2 ? ( c ? x 0 , ? y 0 )



2 2 2 ???? ????? ? ? x0 ? ? b ? 2 c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ? M F1 ? M F 2 ? x 0 ? c ? y 0 ? x 0 ? c ? b ? 1 ? 2 ? ? ? 1 ? 2 ? x 0 ? c ? b ? 2 x 0 ? c ? b . a ? ? a ? a ?

? x0 ? [ ? a , a ]
2 2

,? 当 x 0
2

? ?a

时, M F1 ? M F 2 有最大值 b 2 ,
2 2 2 2 2

???? ????? ?

? c ≤ b ≤ 2c ,

? c ≤ a ? c ≤ 2 c , ? 2 c ≤ a ≤ 3c ,
2 2

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?

1 3



c a

2 2



1

? 3 , , ?e? ? 2 ? 3

2? ? 2 ?

.

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 题号 答案 13 17 14 14 15 1 16
9 5 ? 4 6

【解析】

13. i 从 1 开始,依次取 3,5,7,9.故输出 S 14.如图 3 所示,圆的方程可化为 ( x ? 抛物线的焦点 F ( 2, 由?
? y ? x ? 2, ? y ? 8 x,
2

? 2 ? 7 ? 3 ? 17

.

2 ) ? y ? 1,
2 2

0)

,准线 x

? ?2.

得 x2

? 12 x ? 4 ? 0 ,
图3

设直线与抛物线交于 A ( x A , 则 xA
? xD ? 12

y A ), D ( x D , y D ) ,

. ,

A B ? C D ? ( A F ? B F ) ? ( D F ? C F ) ? ( A F ? 1) ? ( D F ? 1) ? A F ? D F ? 2

由抛物线的定义得 故

A F ? x A ? 2, D F ? x D ? 2

, .

AB ? C D ? ( AF ? D F ) ? 2 ? x A ? xD ? 2 ? 14
2

15.

? x , 0 ≤ x ? 1, ? x , 0 ≤ x ? 1, ? ? y ? xf ( x ) ? ? y ? f (x) ? ? 2 ? 2 x ? x , 1 ≤ x ≤ 2, ? 2 ? x, 1 ≤ x ≤ 2, ? ? 2 x ? ??x ? ? 3 0 ? 3 ?
3 1 3 2

?S ?

?

1

x dx ? 0
2

?

2 1

( 2 x ? x )d x ?
2

x

?1.
1

16.? a 1

? 1, a n ? 2 ? f ( a n ), ? a 3 ? f ( a 1 ) ?

1 1 ? a1

?

1 2

, a5 ? f ( a3 ) ?

1 1 ? a3

?

2 3

.

? a 2010 ? a 2012

,? a 2 0 1 2

?

1 1 ? a 2010

? a 2010 , ? a 2010 ?

5 ?1 2



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? a 2010 ?

1 1 ? a 2008

?

5 ?1 2

, ? a 2008 ?

5 ?1 2

, 同 理 : a 2006 = a 2004 = ? = a 2 =

5 ?1 2



? a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? a 5 ? a 6 ? 1 ?

1 2

?

2 3

?

5 ?1 2

?3?

9 5 ? 4 6

.

三、解答题(共 70 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)?
?
3 4 T ? 11 12 π? π 6 π 6 ? 3 4 ?? ? π 2 π, ? T ? π

,? ?

?

2π T

? 2 π 2

.
π 6

图象过点 ?



? , A? ?6 ?

,? 2 ? .
A sin

? 2 kπ , ? 0 ? ? ?

, ?? ?



π? ? ? f ( x ) ? A sin ? 2 x ? ? 6? ?

又图象过点 (0,

1)

,?

π 6

? 1, ? A ? 2



π? ? ? f ( x ) ? 2 s in ? 2 x ? ? . 6? ?

???????????????????????(6 分)

(Ⅱ) g ( x )
π 2
? y ? g (x)

? ? π? π? π? ? ? 2 s in ? 2 ? x ? ? ? ? ? 2 s in ? 2 x ? ? 4? 6? 3? ? ? ?
π 3 ≤ 2 kπ ? π 2

.
5π 12

由 2 kπ

?

≤ 2x ?

得 kπ
? ? ?

?

π 12

≤ x ≤ kπ ?

, ????????????(12 分)

的单调递增区间是 ? k π

π 12

, kπ ?

5π ? 12 ? ?

.

18. (本小题满分 12 分) 如图 4, (Ⅰ)证明:取 A ? B 的中点 G,连接 FG,EG,
?

F、G 分别是 A ? C 、 A ? B 的中点,
1 2 BC

? FG

,又 D E

1 2

BC



? FG

DE

,? 四边形 DEGF 为平行四边形, , ,

图4

? D F // E G

又 DF
?

? 平 面 A ?B E , E G ? 平 面 A ?B E

DF // 平 面 A ? B E .

??????????????????????????(4 分)
? BE

(Ⅱ)解:取 BE 的中点 H,连接 A ? H , H C ,则 A ? H

, ,

? 平 面 A ?B E ? 平 面 B C D E , 平 面 A ?B E ? 平 面 B C D E = B E , ? A ?H ? 平 面 B C D E

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? ? A ?C H 为 A ?C 与 平 面 B C D E 所 成 角 ,
? 2 ? 2 2 5 2 ? ? ? 2 ? 2? ?2? ? ? 2 ? ? 2 2 2 ? ?
2

在△BCH 中,由余弦定理得 C H
A ?H CH 5 5

2

, 又 A ?H

?

2 2



? ta n ? A ? C H =

?

.

???????????????????????(8 分)
? BE

(Ⅲ)解:过点 D 作 D M
在 R t △DME 中, D M
?

于点 M,易证 D M
2 2 .

? 平 面 A ?B E



? D E ? sin 4 5 ? ?

DF // 平 面 A ? B E ,? F 到平面 A ? B E 的距离即为 D 到平面 A ? B E 的距离,
1 3 ? 1 2 ?1?1? 2 2 ? 2 12

? V F ? A ?B E ? V D ? A ?B E ?

.

??????????????(12 分)

另解: V F ? A ?B E

? V A?? BEC ? V F ? BEC

.(其他解法酌情给分)

19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)茎叶图表示为图 5. 甲地树苗高度平均数 =
19 ? 20 ? 21 ? 23 ? 25 ? 29 ? 32 ? 33 ? 37 ? 41 10 ? 2 8 (c m )



图5

乙地树苗高度平均数= 甲地树苗高度中位数= 乙地树苗高度中位数=

10 ? 26 ? 30 ? 30 ? 34 ? 37 ? 44 ? 46 ? 46 ? 47 10 25 ? 29 2 34 ? 37 2 ? 3 5 .5 (c m ) ? 2 7 (c m )

? 3 5 (c m ) ,

, , ???????????????(4 分)

(Ⅱ)? 都来自乙地的概率为:

C5

2 2

?

10 21
10 21


11 21

C7
?

至少有一株来自甲地的概率为:1 ?

=

.

???????????????(8 分)

(Ⅲ)Z 的可能取值为 0,5,10,15,20,
设 Z=5 y ,则 Y
1? ? ~ B ? 4, ? 2? ?
4


4

1 0 ? 1 ? P (Z ? 0) = C 4 ? ? ? 16 ?2?
4

1 ?1? , P ( Z ? 5) = C 14 ? ? ? 4 ?2?
4



P (Z ? 10)

=C2 ? 4

3 ?1? ? ? 2? 8 ?

, P (Z

? 1 5)

=C3 ? 4

1 ?1? ? ? 2? 4 ?



164598643.doc-第 10 页 (共 15 页)

P (Z ? 20)

=C4 ? 4

1 ?1? ? ? 16 ?2?

4



Z 的分布列为: Z P 0
1 16

5
1 4

10
3 8

15
1 4

20
1 16

? E (Z )

=5 E ( y ) =10. ????(12 分)

故该市绿化部门此次采购所需资金总额 Z 的数学期望为 10 万元. 20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) ?
p 2
?

? ?

2 2

, ? p ?

2


? ? ,0 ? ? ? 2 ? 2 ? ?

抛物线 y 2

? 2 px( p ? 0)

的焦点为 ? ?



?a ?

2 2

,又双曲线的一条渐近线过点 ? ? ?
? y ? 1.
2

? , ? 1? ? 2 ? 2

,?

b a

?

2, ? b ? 1.

故双曲线的标准方程为 2 x 2 (Ⅱ)设直线 l : y
?
? kx ? b
b k
? y ? kx ? b, ?2x ? y
2 2

??????????????????(4 分)

.
? 1, ? b ? k
2 2

直线 l 与圆相切,?

?1,

2

?1

由?

?1

消去 y 得: (2 ? k 2 ) x 2

? 2 kbx ? b ? 1 ? 0
2

.

设 P ( x1 , 则 x1

y1 ), Q ( x 2 , y 2 )


?1 ? b 2?k
2

? x2 ?

2 kb 2?k
2

, x1 x 2 ?

2



??? ???? ? 2 2 ? O P ? O Q ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? x1 x 2 ? ( kx1 ? b )( kx 2 ? b ) ? (1 ? k ) x1 x 2 ? kb ( x1 ? x 2 ) ? b

?

(1 ? k )( ? 1 ? b )
2 2

2?k

2

?

2k b 2?k

2

2 2

?b ?
2

?1 ? b ? k
2

2

2?k

2

, ??????????????(12 分)

??? ???? ? 2 2 ? b ? k ? 1 , ? O P ? O Q ? 0, ? O P ? O Q

.

164598643.doc-第 11 页 (共 15 页)

21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) 当a≥
0
x f ?( x ) ? e ? a


f ( x )在 R 上 是 增 函 数

时,

f ?( x ) ? 0

,?



当 a < 0 时,令 则

x f ? ( x ) ? e ? a = 0, 则 x = ln ( ? a )

, ?????(4 分) .

f ( x ) 在 ( - ? , ln ( ? a )) 上 是 减 函 数 , 在 (ln ( ? a ),+ ? ) 上 是 增 函 数 .

(Ⅱ)

f ( x ) ? e ? a x ? 0 在 x ? (0, + ? )上 恒 成 立 ? a > ?
x

e

x

在 x ? (0, + ? )上 恒 成 立

x

令 k ( x )=

?

e

x

, ? k ? ( x )= ?

e x?e
x

x

x

x

2

=

e (1 ? x )
x

x

2



当 x >1 时, k ? ( x ) ? 0 ;当 0 < x <1 时, k ? ( x ) > 0 ,
? k ( x ) 在 (0 , 1) 上 是 增 函 数 , 在 (1 ,+ ? ) 上 是 减 函 数

,

? k ( x ) m ax = k (1)= ? e ,

? a> ? e

.

????????????????????????????(8 分)
e ln x ? e ? x , 定 义 域 为 (0, ? ? )
x x

(Ⅲ) g ( x ) ?
? g ?( x ) ? e
x

,
.

x

?1 ? x x x ? e ln x ? e ? 1 ? ? ? ln x ? 1 ? e ? 1 x ? ?

若曲线 C: g ( x ) ? 则 g ?( x 0 ) ? 令 h(x) ?
1 x
0

e ln x ? f ( x )
x

在x

? x0

处的切线与 x 轴平行,

, x 0 ? [1,

e]

有实数根.
1 x
2

? ln x ? 1, 则 h ? ( x ) ? ?

?

1 x

=

x ?1 x
2

, .

? h ( x ) 在 (0 , 1 ) 上 是 减 函 数 , 在 (1 ,+ ? ) 上 是 增 函 数

? x 0 ? [1, e ]

,? h ( x ) ≥

h (1) ? 0, 又 e > 0
x

, ,

?1 ? x ? 当 x 0 ? [1, e ] 时 , g ? ( x ) ? ? ? ln x ? 1 ? e ? 1> 0 x ? ?
? g ?( x ) ? 0

在 x 0 ? [1,

e]

上无实数根, 满足题意. ?????????????????(12 分)

故不存在实数 x 0 ? [1,

e]

22. (本小题满分 10 分) 【选修 4—1:几何证明选讲】
164598643.doc-第 12 页 (共 15 页)

证明: (Ⅰ)如图 6,连接 O D ,
? AC

AD ,

为圆 O 的直径,?

AD ? BC .

又?

AB ? AC , ? ?CAD ? ?BAD.

? OA ? OD,
图6

? ? C AD ? ? O D A, ? ? BAD ? ? O D A,
? O D // A B .

???????????????????????????(4 分) ,? O D
? DE,

? DE ? AB
? DE

为圆 O 的切线.

???????????????????????(6 分)
? AB

(Ⅱ)? 在 R t △ A D B 中, D E
? DE
2



? AE ? BE.

???????????????????????(8 分)
? EF ? CE

? DE

为圆 O 的切线,? D E 2



? AE ? BE ? EF ? CE.

???????????????????????(10 分)

23. (本小题满分 10 分) 【选修 4—4:坐标系与参数方程】 解: (Ⅰ)圆 O 1 可化为: x 2 圆 O 2 可化为: ? 2
2 2

? y ? 4
2

, ,

?2

π π? ? 2 ? ? c o s ? c o s ? sin ? sin ? ? 2 4 4? ?

? x ? y ? 2 x ? 2 y ? 2 ? 0.
? x ? y ? 4, ?
2 2

???????????????????????(5 分)

(Ⅱ)联立 ?

? x ? y ? 2 x ? 2 y ? 2 ? 0, ?
2 2

两式相减得 x ?
?

y ?1? 0

,即为公共弦所在的直线方程, 的距离为 d
4? 1 2 ? ? 1 2 r ?d
2 2

圆心 O 1 (0 ,

0 ) 到直线 x ? y ? 1 ? 0

?

2 2



故两圆公共弦的长为 2

? 2

14

.

???????????(10 分)

24. (本小题满分 10 分) 【选修 4—5:不等式选讲】
? ? 3, x ? ? 1, ? f ( x ) ? ? 2 x ? 1, ? 1 ≤ x ≤ 2 , 其图象如图 ? 3, x ? 2 , ?

解: (Ⅰ)

7:

164598643.doc-第 13 页 (共 15 页)

由图可知当 x=1 时,y=1, 故 a =1 . ??????????????(5 分)
f (x) ? m ? 0 在 R

(Ⅱ)由题意得 即

上恒成立,

图7

f (x) ? m ? 0 在 R

上无实数解, ,? ? m <
? 3或 ? m > 3

即y

? f (x) 的 图 象 与 y = ? m 无 交 点



? m >3

或m<

? 3.

??????????????????????????(10 分)

云南师大附中 2013 届高考适应性月考卷(六) ·双向细 目表 文科数学
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 题型 选择题 选择题 选择题 选择题 选择题 选择题 选择题 选择题 选择题 选择题 选择题 选择题 填空题 填空题 填空题 填空题 解答题 分值 5分 5分 5分 5分 5分 5分 5分 5分 5分 5分 5分 5分 5分 5分 5分 5分 12 分 试题内容 集合 复数 简易逻辑 平面向量 立体几何 解析几何 立体几何 三角函数 不等式 函数 线性规划 圆锥曲线 算法 解析几何 函数 数列 三角函数
164598643.doc-第 14 页 (共 15 页)

难易程度 易 易 易 易 易 中 中 中 中 中 难 难 易 易 中 难 易

备注

18 19 20 21 22 23 24

解答题 解答题 解答题 解答题 解答题 解答题 解答题 达成

12 分 12 分 12 分 12 分 10 分 10 分 10 分 优秀率 5%

立体几何 概率 圆锥曲线 导数应用 平面几何 参数方程 不等式 及格率 60%

易 中 中 难 中 中 中 平均分 90~100

命题 思想

目标

1. 检查双基的掌握情况,常规解题方法. 2. 突出体现数形结合、分类讨论、特值思想.

164598643.doc-第 15 页 (共 15 页)


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