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汕头市金山中学2011届高一上学期期末考试(数学)


汕头市金山中学 10—11 学年高一第一学期期末考试
数 学 试 题
参考公式:锥体的体积 V ?

1 Sh 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合要求的.填在答题卷指定的位置。 1.在平面直角坐标系中,集合 C ? {( x, y) y ? x} 表示直线 y ? x 上的所有点,从这个角度 看,若有集合 D ? ?( x, y ) ? A. C ? D

? ? ? ?

? ? ? ,则集合 C 、 D 之间有什么关系? ? x ? y ? 2? ? ?y ? x
2 2

B. D ? C

C. C ? D

D. D ? C

2.下列四种说法,不正确的是 ... A.每一条直线都有倾斜角 B.过点 P (a, b) 平行于直线 Ax ? By ? C ? 0 的直线方程为 A( x ? a) ? B( y ? b) ? 0 C.过点 M (0,1) 斜率为 1 的直线仅有 1 条 D.经过点 Q (0, b) 的直线都可以表示为 y ? kx ? b
3 3 .设 f ( x) ? x ? x ? 5 , 用二分法 求方程 x ? x ? 5 ? 0 的 近似解的 过程中得 f (1) ? 0 ,
3

f (2) ? 0 , f (1.5) ? 0 ,则据此可得该方程的有解区间是
A. (1,1.5) B. (1.5,2) C. (2,1.5) D.不能确定

4.在某物理实验中,测得变量 x 和变量 y 之间的几组对应数据,如下表

x
y

0.50

0.99

2.01

3.98

? 0.99

0.01

0.98

2.00

则对 x 、 y 最合适的拟合函数是 A. y ? 2
x

B. y ? x ? 1
2

C. y ? 2 x ? 2

D. y ? log2 x

5.设 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列命题正确的是 A.若 l ? m , m ? ? ,则 l ? ? B.若 l ? ? , l //m ,则 m ? ? l //? , m ? ? ,则 l //m C.若 D.若 l //? , m//? ,则 l //m 6. 下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是

1

A. ①② B. ② ④ C. ①③ D . ①④ 7.如下左图,在边长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E 是棱 AB 上一点,M 是棱 D1C1 上一 点,则三棱锥 E ? MCD 的体积是 A.

1 2

B.

D1 M

.
B1
E

1 3

C.

1 6

D. 无法计算

C1

A1
D
A

.

C
B

第7题

8.已知四棱锥 P-ABCD 的三视图如下左图所示 ,则该四棱锥的侧面积为

2 1 B. C. 2 ? 5 D. 3 ? 5 3 3 9. 已知 A(5,?1) , B(1,1) , C (2,3) ,则:① ?ABC ? 90? ;② k BC ? 2 ;③ ?ABC 面积为 5,
A. 则上述三个结论中正确的有几个? A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个

f (a) ? f (b) ? 0(a ? b) ,若 10. 若函数 y ? f (x) 满足 f (? x) ? f ( x), 当 a, b ? (??,0] 时总有 a ?b f ( m ? 1) ? f (2) ,则实数 m 的取值范围是 A. ? 3 ? m ? 1 B. m ? ?3 或 m ? 1 C. ? 3 ? m ? 1 D. m ? ?3 或 m ? 1
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.填在答卷指定的位置。 11.直线 x ? 3 y ? 0 的倾斜角大小是(***) 12. 直线 x ? y ? 1 与圆 x ? y ? 4x ? 10y ? 13 ? 0 的位置关系为(***) (填相交,相切,相离之一)
2 2

2 0 13. 2 ? 0.15 , .3 ? 0.09 , xy 与 0 的大小关系为 若 则 (***) 14. 如图,在平面直角坐标系 xoy 中,设三角形 ABC 的顶点分
x y

y A F P E x B O C

, 别为 A(0, a), B(b,0), C (c,0) , P0 ) p 在线段 AO 上的一点 点 ( (异
于端点) ,这里 a, b, c, p 均为非零实数,设直线 BP, CP 分别与 边 AC, AB 交于点 E, F , 某同学已正确求得直线 OE 的方程为 ? 1 ? 1 ? x ? ? 1 ? 1 ? y ? 0 , ? ? ? ? ? ? ?b c? ? p a?
2

请你完成直线 OF 的方程: (***) x ? ? ?

? 1 1? ? ?y ? 0。 ? ? p a?

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.填 在答题卷指定的位置。 15. (本题满分 12 分)如图,矩形 ABCD 的两条对角线相

y

0) 交于点 M (2, ,AB 边所在直线的方程为 x ? 3 y ? 6 ? 0 点 T (?11) 在 AD 边所在直线上. ,
⑴求 AD 边所在直线的方程; ⑵求矩形 ABCD 外接圆的方程。 (写成标准式)

C
T D M

O
A

B

x

16. (本题满分 14 分)
? 如 图 , 在 四 棱 锥 O ? A B C D , 底 面 A B C D是 边 长 为 2 的 菱 形 , ?ABC ? 60 , 中

OA ? 底面ABCD , OA ? 2 , M 为 OA 的中点,P 为 CD 的中点。
⑴求证: CD ? 平面 MAP; ⑵求证: MP // 平面 OBC; ⑶求三棱锥 M-PAD 的体积。
O

M

A

D P

B
x

C

17. (本题满分 12 分)已知 f ( x) ? ln(e ? a) 是定义域为 R 的奇函数, g ( x) ? ?f ( x) 。 ⑴求实数 a 的值; ⑵若 g ( x) ? x log2 x 在 x ? [2,3] 上恒成立,求 ? 的取值范围。 18. (本题满分 14 分)某厂生产某种零件,每个零件的成本为 40 元,出厂单价定为 60 元, 该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过 100 个时,每多订购一个,订购的全部 零件出厂单价就降低 0.02 元,但实际出厂单价不能低于 51 元。 ⑴当一次订购量为多少时,零件的实际出厂价恰降为 51 元? ⑵设一次订购量为 x 个 ,该厂获得的利润为 P 元,写出函 数 P ? f (x) 的表达式,并求当销售商一次订购 500 个零件 时,该厂获得的利润是多少元?

P E

19. (本题满分 14 分)如图,四棱锥 P -ABCD 的底面是矩

D
3

C

A

B

形,侧面 PAD 是正三角形, 且侧面 PAD⊥底面 ABCD,E 为侧棱 PD 的中点。 ⑴求证:PB//平面 EAC; ⑵若 AD=2AB=2,求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正切值; ⑶当

AD 为何值时,PB⊥AC ? AB

20. (本题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知⊙ C1 : ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 和 ⊙ C 2 : ( x ? 5) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 ⑴若直线 l 过点 O(0,0) ,且被⊙ C1 截得的弦 长为 2 3 ,求直线 l 的方程; ⑵设 P 为平面上的点, 满足: 过点 P 的任意互相垂直的直线 l1 和 l 2 , 只要 l1 和 l 2 与⊙ C1 和 ⊙ C 2 分别相交,必有直线 l1 被⊙ C1 截得的弦长与直线 l 2 被⊙ C 2 截得的弦长相等,试求所 有满足条件的点 P 的坐标; ⑶将⑵的直线 l1 和 l 2 互相垂直改为直线 l1 和 l 2 所成的角为 60 ? ,其余条件不变,直接写 出所有这样的点 P 的坐标。 (直线与直线所成的角与两条异面直线所成的角类似,只取较小 的角度。 )

金山中学高一(上)期末考数学试题参考答案 一、 选择题(本大题共 10 小题,每 小题 5 分,满分 50 分) 题号 答案 1 B 2 D 3 B 4 D
4

5 B

6 B

7 C

8 C

9 D

10 C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11._________

? _________; 6

12._________ 相离________;

13.________ xy ? 0 ________; 三、解答题 15. (本题满分 12 分)

14.________

1 1 ? ________; c b
y

解: (I)因为 AB 边所在直线的方程为 x ? 3 y ? 6 ? 0 , 且 AD 与 AB 垂直,所以直线 AD 的斜率为 ?3 .

C
T D
A

, 又因为点 T ( ?11) 在直线 AD 上,
所以 AD 边所在直线的方程为 y ? 1 ? ?3( x ? 1) .

M B

x

3x ? y ? 2 ? 0 .
(II)由 ?

┄┄┄┄┄┄┄┄6 分

? x ? 3 y ? 6 ? 0, ? 解得点 A 的坐标为 (0, 2) , ?3x ? y ? 2 = 0

0) 因为矩形 ABCD 两条对角线的交点为 M (2, .所以 M 为矩形 ABCD 外接圆的圆心.
又 AM ?

(2 ? 0) 2 ? (0 ? 2) 2 ? 2 2 .
2 2

从而矩形 ABCD 外接圆的方程为 ( x ? 2) ? y ? 8 . 16. (本题满分 14 分) (Ⅰ)证:? OA ? 平面 ABCD ? OA ? CD

┄┄┄┄┄┄┄┄12 分
O

? 四边形 ABCD 这菱形且 ?ABC ? 60?
? ?ACD 为正三角形,? AP ? CD 又 OA ? AP ? A ?CD ? 平面 MAP;………… 5 分
(Ⅱ)证:设 N 为线段 OB 的中点,连结 MN、CN, 则 MN // AB , 且 MN ?
N

M

A

D P

1 AB , ? MN // CP 且 2

B

C

MN ? CP , ? 四边形 MNCP 为平行四边形,? MP//CN ? MP // 平面 OBC;…………10 分
(Ⅲ)解:? OA ? CD ? 2 ? AP ? 3, PD ? 1, MA ? 1 ,

1 1 3 ?VM ?PAD ? ? ? 1 ? 3 ? 1 ? ………… 14 分 3 2 6

5

17. (本题满分 12 分) 解:(Ⅰ) 函数 f ( x) ? ln(e x ? a) 是定义域为 R 的奇函数, 令 f (0) ? 0 ,即 ln(1 ? a ) ? 0 ,得 a ? 0 , ┄┄┄┄┄┄┄┄4 分

对于函数 f ( x) ? ln(e x ) ? x ,显然有 f (? x) ? ? f ( x) ,函数 f ( x) ? x 是奇函数. 所求实数 a 的值为 0. ┄┄┄┄┄┄┄┄6 分

(Ⅱ) f ( x) ? x , g ( x) ? ?x ,则 ?x ? x log2 x 在 x ? [ 2 , 3] 上恒成立,即

? ? log2 x 在 x ? [ 2 , 3] 上恒成立,

┄┄┄┄┄┄┄┄8 分

∵函数 y ? log2 x 在 x ? [ 2 , 3] 上的最小值为 log2 2 ? 1 , ┄┄┄┄┄11 分 ∴? ?1. 18. (本题满分 14 分) ┄┄┄┄┄┄┄┄12 分

解: (Ⅰ)设一次订购量为 x0 个时,每个零件的实际出厂价恰好降为 51 元时. 则 ( x0 ? 100) ? 0.02 ? 60 ? 51 ,得 x0 ? 550 . ┄┄┄┄┄┄┄┄4 分

因此,当一次订购量为 550 个时,每个零件的实际出厂价恰好降为 51 元. (Ⅱ)当 0 ? x ? 100 时, p ? (60 ? 40) x ? 20 x ; ┄┄┄┄┄┄┄┄6 分 当 100 ? x ? 550 时, p ? {[60 ? 0.02( x ? 100)] ? 40}x ? 22 x ? 当 x ? 550 时, P ? (51 ? 40) x ? 11x

x2 ┄┄8 分 50

0 ? x ? 100 ?20 x, ? 2 x ? 所以, P ? f ( x) ? ?22 x ? , 100 ? x ? 550, ( x ? N ) ┄┄┄┄┄┄┄10 分 50 ? x ? 550 ?11x, ?
5002 ? 6000 元. ┄┄┄┄┄┄┄┄12 分 50 因此,当销售商一次订购 500 个零件时,该厂获得的利润是 6000 元.┄┄┄14 分 19. (本题满分 14 分) 解: (1)连结 BD 交 AC 于 O ,连结 EO, P 因为 O、E 分别为 BD、PD 的中点, 所以 EO//PB, ……2 分
当 x ? 500 时, P ? 22 ? 500 ?

E0 ? 平面EAC, PB ? 平面EAC ,所以 PB//平面 EAC。…4 分
(2)设 N 为 AD 中点,连接 PN,则 PN ? AD ........5 分 又面 PAD⊥底面 ABCD,所以,PN⊥底面 ABCD……………6 分 所以 ?PBN 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角,…………7 分 又 AD=2AB=2,则 PN= 3, NB ?

E D C

2,

………8 分

A

B

6

所以 tan ?PBN =

3 2

?

6 6 ,即 PB 与平面 ABCD 所成角正切为值 。。。 分 。。。9 2 2

(3)由(2)知,NB 为 PB 在面 ABCD 上的射影,要使 PB⊥AC,需且只需 NB⊥AC。。10 分 。

1 , 2 由 ?ANB ? ?BAC ,得 Rt?NAB ∽ Rt?CBA ,………………………………………11 分
在矩形 ABCD 中,设 AD=1,AB=x, AN ?

AN AB 1 2 ? ? AB 2 ? AN ? BC ? x 2 ? 解之得: x ? , ……………………13 分 AB BC 2 2
所以,当

AD ? 2 时,PB⊥AC。 AB

…………………………14 分

20. (本题满分 14 分) 解:(1)当直线 l 的斜率不存在时,显然不符合题意; 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为: y ? kx ,即 kx ? y ? 0 由垂径定理,得:圆心 C1 到直线 l 的距离 d ? 42 ? ( 结合点到直线距离公式,得: 解得: k ? 0 或 k ? ?

2 3 2 ) ? 1, 2

3k ? 1 k 2 ?1

?1

3 4

3 x ,即 y ? 0 或 3x ? 4 y ? 0 ………………4 分 4 (2) 方法一:从形入手。由题意知任意的互相垂直的 l1 和 l 2 均使所截得的弦长相等,我们 考虑特殊情况,当互相垂直的 l1 和 l 2 分别过⊙ C1 、⊙ C 2 的圆心时,此时的 ?PC1C2 时等 腰直角三角形,可以解得这样的点 P 的坐标分别为 (1,5) 、 (1,?3) , ………………6 分
求直线 l 的方程为: y ? 0 或 y ? ? 下面对这两点加以检验。 ①当 P 为 (1,5) 时,根据题意斜率必然存在,设:

1 l 2 : y ? 5 ? ? ( x ? 1) k 4k ? 4 4k ? 4 点 C1 到 l1 的距离为 d1 ? ,点 C 2 到 l 2 的距离为 d 2 ? ,所以 d1 ? d 2 , k 2 ?1 k 2 ?1

l1 : y ? 5 ? k ( x ? 1) ,

有两圆半径相等,所以 2 4 ? d1 ? 2 4 ? d 2 ,即直线 l1 被⊙ C1 截得的弦长与直线 l 2 被
2 2

⊙ C 2 截得的弦长相等。

同理可以检验, (1,?3) 也满足题意。

………………12 分

方法二: 设点 P 坐标为 (m, n) ,直线 l1 、 l2 的方程分别为:

1 y ? n ? k ( x ? m), y ? n ? ? ( x ? m) ,即: kx ? y ? n ? km ? 0 , x ? ky ? kn ? m ? 0 k
因为直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,两圆半径相等。由垂径 定理,得:圆心 C1 到直线 l1 与 C2 直线 l2 的距离相等,
7

故有:

? 3k ? 1 ? n ? km

k 2 ?1 k 2 ?1 化简得: ? 3k ? 1 ? n ? km ? 5 ? k ? kn ? m 或 ? 3k ? 1 ? n ? km ? ?(5 ? k ? kn ? m) 即: (4 ? m ? n)k ? (6 ? m ? n) ? 0 ,或 (2 ? m ? n)k ? (?4 ? m ? n) ? 0 ?4 ? m ? n ? 0 ?2 ? m ? n ? 0 关于 k 的方程有无穷多解,有: ? 或? ?6 ? m ? n ? 0 ?? 4 ? m ? n ? 0 解之得:点 P 坐标为 (1,5) 或 (1,?3) 。
又检验当斜率不存在时,对题意不影响。 ………………12 分

?

5 ? k ? kn ? m

⑶有四个点,它们的坐标分别为: (1,1 ? 4 3 ) 、 (1,1 ? 4 3) 、 (1,1 ?

4 4 3 ) 、 (1,1 ? 3) 3 3

………………14 分

8


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