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成都七中15级高一数学半期考试试卷


高 2015 级高一上期半期考试数学试题
时间:120 分钟 满分:150 分 BBDAC BADCD CC

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求. (1) 已知全集 U ? R , 集合 A ? ??2, ?1,0,1? 和 B ? ? y y ? 2k ?1, k ? Z? 的关系的韦恩 (Venn) 图如图所示,则阴影部分所表示的集合的元素共有 (A)3 个 (2)不等式 (B)2 个 (C)1 个 (D)0 个

x ? 0 的解集为 2x ?1
(B) ( ?

(A) (? ,0)

1 2

1 ,0 ] 2

(C) ? ? , ?? ?

? 1 ? 2

? ?

(D) (0,??)

(0, +?) (3)下列函数中,在 R 上是偶 函数,且在 上为单调递增函数的是
(A) y ? x3 (B) y ?

1 x2

(C) y ? ? x 2 ? 1

(D) y ? 2

x

(4)函数 f ( x) ? 2 x ? 8 ? log3 x 的零点一定位于区间 (A) (3, 4) (B) (5,6) (C) (1, 2) (D) (2,3)

(5)已知 x ? 20.5 , y ? log5 2, z ? log5 0.7 ,则 x, y , z 的大小关系为 (A) x ? y ? z (B) z ? x ? y (C) z ? y ? x (D) y ? z ? x

(6) 今有一组实验数据如右表, 现准备 用下列函数中的一个模拟这组数据满足 的规律,其中最接近的一个是 (A) y ? log2 t (B) y ?

t
y

2.0 1.5

3.0 4.04

4.0 7.5

5.1 12

6.0 18.01

t 2 ?1 2

(C) y ? ?

?1? ? ?2?

t

(D) y ? 2t ?

5 2

(7) 已知函数 f ( x) ? x ? (k ?1) x ? 3 为 (??, ??) 上的偶函数, 则函数 g ( x) ? log? x ? k
2

的大致图象是

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Y

Y

-1
O 1

-2
2 X

O 1

2

X

(A)
Y

(B)
Y

-2 -1 O 1

2

X

O

1

2

X

(C)

(D)

(8)若指数函数 f ( x) ? a x (a ? 0且a ? 1) 的部分对应值如右表 所示,则下列表述中,正确的是

x
f ( x)

-2 0.592

(A) 0 ? a ? 1 (B) f ( x) ? a x (a ? 0且a ? 1) 的反函数为 g ( x) ? ? loga x (a ? 0且a ? 1) (C) h( x) ? a x
2

?2 x

的单调递增区间为 ? ??,1?

(D) F ( x) ? a x ? a 的图象不过第二象限

?(c ? 1)2 x ,( x ? 1) (9)已知函数 f ( x) ? ? 的单调递增区间为 ? ??, ??? ,则实数 c 的取 ?(4 ? c) x ? 3,( x ? 1)
值范围是 (A) ?1,4 ? (B) ? 3,4 ? (C) ?3,4 ? (D) ?1,3?

(10)已知 a ? b (a、b ? R ) 是关于 x 的方程 x2 ? (k ?1) x ? k 2 ? 0 两个根,则以下结论正 确的是 (A) k 的取值范围为 (?1,3) (B)若 a, b ? (??,0) ,则 k 的取值范围为 (??,1) (C) ab ? 2(a ? b) 的取值范围是 (?2, ?

11 ) 9

(D)若 a ? ?1 ? b ,则 k 的取值范围为 (?1,0)

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(11)已知在 R 上的奇函数 f ( x) ,当 x ? (0, ??) 时, f ( x) ?

2x ,下列说法错误 的是 .. 2x ? 1

(A) f (?1) ? ? , f (0) ? 0

2 3

(B) x ? (??,0) 时, f ( x) ? ?

1 2 ?1
x

(C)若 y ? f ( x) ? ? 在 R 上存在零点,则 ? ? ? ?1, ? ? (D) y ? f ( x) 在区间 ? ?1,0? 上不是单调递减函数

? ?

1? ?1 ? ? ,1? {0} 2? ?2 ?

(12) 设函数 y ? f ( x) 的定义域为 D ,值域为 B ,如果存在函数 x ? g (t ) ,使得函数

y ? f ( g (t )) 的值域仍然是 B ,那么称函数 x ? g (t ) 是函数 y ? f ( x) 的一个等值域变换.
有下列说法: ①若 f ( x) ? 2 x ? b, x ? R , 则 x ? g (t ) 不是 f ( x ) 的一个等值域变换; x ? t 2 ? 2t ? 3, t ? R ,
2 ② f ( x) ? x ( x ? R) , x ? log 3 t ? 1 ,(t ? R ) ,则 x ? g (t ) 是 f ( x ) 的一个等值域变换;

?

?

③若 f ( x) ? x2 ? x ? 1, x ? R ,x ? g (t ) ? 2t , t ? R , 则 x ? g (t ) 是 f ( x ) 的一个等值域变换;
t ?t ④设 f ( x) ? log2 x ( x ? 0) ,若 x ? g (t ) ? 5 ? 5 ? m 是 y ? f ( x) 的一个等值域变换,且

函数 f ( g (t )) 的定义域为 R ,则 m 的取值范围是 m ? ?2 . 在上述说法中,正确说法的个数为 (A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4 个

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.答案填在答题卡上. (13)幂函数 f ( x) = x ( a 为常数)的图象过点 (4, 2) ,那么 f (16) 的值为
a

4



( 14 )某同学用 “ 二分法求方程 lg x ? 2 ? x 的近似解 ” 时,设 f ( x) ? lg x ? x ? 2 ,算得

f (1) ? 0, f (2) ? 0 ,则下一个有零点的区间是 1.5-2



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(15) 设 f 是由集合 A ? {x | x ? N, 且1 ? x ? 26} 到 B ? {a, b, c,

, z}(即 26 个英文字母

按照字母表顺序排列)的映射,集合 B 中的任何

A ???? ?? ?B 8999999999999999 1 ?????? ?a 8999999999999999 2 ?????? ?b 8999999999999999 3 ?????? ?c 8999999999999999 4 ?8999999999999999 ????? ?d


一个元素在 A 中也只有唯一的元素与之对应,

其对应法则如右图所示(依次对齐) ;

又知函数 g ( x) ? ?

?log 2 (32 ? x) (22 ? x ? 32) ? x?4 (0 ? x ? 22)

26 ?????? ?z 8999999999999999

若 f ( x1 ) , f ? g(20)? , f ? g( x2 )? , f ? g (9)? 所表示的字母依次排列组成的英文单词为

exam ,则 x1 ? x2 =

35



(16)已知函数 f ( x) ? 2? x?1 ? 3, x ? R , g ( x) ? ?

? f ( x ? 1) ? 2, ?1 ? x ? 0 ,有下列说法: ? g ( x ? 1) ? k , x ? 0

2 ①不等式 f ( x) ? 0 的解集是 (??, ?1 ? log2 3) ; ②若关于 x 的方程 f ( x) ? 8 f ( x) ? m ? 0

有实数解,则 m ? ?16 ;③ 当 k ? 0 时,若 g ( x) ? m 有解,则 m 的取值范围为 ? 0, ?? ? ; 若 g ( x) ? m 恒成立,则 m 的取值范围为 ?1, ?? ? ;④ 若 k ? 2 ,则函数 h( x) ? g ( x) ? 2 x 在 区间 [0, n](n ? N*) 上有 n ? 1 个零点. 其中你认为正确的所有说法的序号是 134 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分)求下列各式的值: (Ⅰ) (2a (Ⅱ)
?3

? b ) ? (a ?1b) ? 3 b5 ? a ?4 ;

?

2 3

2b*b 1.5

1 lg 25 ? lg 2 ? lg 10 ? log 2 9 ? log 3 2 ? eln 2 . 2

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(18) (本小题满分 12 分) 已知集合 A ? x | ? x ? (a ? 1) ? ? x ? (2a ? 1) ? ? 0 (Ⅰ)若 A ? {x |1 ? x ? 5} ,求 a 的值; (Ⅱ)若 2 ?
a

?

? , B ? ?x | ?1 ? x ? 3? .

2 [0,1]U{-2}

1 且 A ? B ,求实数 a 的取值范围. 4

(19) (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ?

x?a 是定义在 ? ?1, b? 上的奇函数. x ? (b ? 1) x ? 1
2

(Ⅰ)求 a , b 的值; a=0.b=1 (Ⅱ)用单调性定义证明: f ( x ) 在 ? ?1, b? 上为单调递增函数.

(20) (本小题满分 12 分)

心理学家发现,学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间,上课开 始时,学生的兴趣激增,中间有一段不太长的时间,学生的兴趣保持较理想的状态,随后 学生的注意力开始分散,并趋于稳定.分析结果和实验表明,设提出和讲述概念的时间为 x (单位:分) ,学生的接受能力为 f ( x ) ( ( f ( x) 值越大,表示接受能力越强) ,

? 1 2 ?? 10 ( x ? 26 x ? 440) (0 ? x ? 10) ? ? (10 ? x ? 15) f ( x) ? ? 60 ? ?3x ? 105 (15 ? x ? 25) ? (25 ? x ? 40) ? ? 30
(Ⅰ)试比较开讲后第 5 分钟、第 20 分钟、第 35 分钟,学生的接受能力的大小; 开讲后第 5 分钟、第 20 分钟、第 35 分钟. (Ⅱ)开讲后多少分钟,学生的接受能力最强?能维持多少时间? 1015 ,并能维持 5 分钟
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开讲后

(Ⅲ)若一个数学难题,需要讲述 12 分钟时间,试探求:老师能否在学生接受能力一 直保持在至少为 56 的状态下讲述完这个难题? 受能力和时间状态下讲述完这个难题 (21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a x , g ( x) ? a2 x ? m ,其中 m ? 0 , a ? 0且a ? 1 .当 x ?? ?1,1? 时, 老师不能在所需的接

y ? f ( x) 的最大值与最小值之和为
(Ⅰ)求 a 的值;

5 . 2

2 或 0.5

(Ⅱ) 若 a ? 1, 记函数 h( x) ? g ( x) ? 2mf ( x) , 求当 x ??0,1? 时 h( x) 的最小值 H (m) ; (Ⅲ)若 a ? 1 ,且不等式

f ( x) ? mg ( x) ? 1 在 x ??0,1? 恒成立,求 m 的取值范围. f ( x)

(22) (本小题满分 14 分) 已知集合 M ? ? f (x) y ? f (x)

? ,其元素 f ( x) 须同时满足下列三个条件:①定义域为
x? y ) ;③当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 . 1 ? xy

( ?1,1) ;②对于任意的 x, y ? ( ?1,1) ,均有 f ( x) ? f ( y) ? f (

(Ⅰ)若函数 f ( x ) ? M ,证明: y ? f ( x) 在定义域上为奇函数;

1? x ,判断是否有 h( x) ? M ,说明理由; 1? x 1 1 (Ⅲ)若 f ( x ) ? M 且 f (? ) ? 1 ,求函数 y ? f ( x) ? 的所有零点. 2 2
(Ⅱ)若函数 h( x) ? ln

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