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2014年安徽省高考数学试卷(理科)答案与解析


2014 年安徽省高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的. 1. (5 分) (2014?安徽)设 i 是虚数单位, 表示复数 z 的共轭复数.若 z=1+i,则 +i? = ( ) A.﹣2

B.﹣2i

C .2

D.2i

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 把 z 及 代入 +i? ,然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值.
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解答: 解:∵z=1+i, ∴ ∴ +i? = = . ,

故选:C. 点评: 本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础的计算题. 2. (5 分) (2014?安徽)“x<0”是“ln(x+1)<0”的( ) A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 充要条件. 专题: 计算题;简易逻辑. 分析: 根据不等式的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论. 解答: 解:∵x<0,∴x+1<1,当 x+1>0 时,ln(x+1)<0; ∵ln(x+1)<0,∴0<x+1<1,∴﹣1<x<0,∴x<0, ∴“x<0”是 ln(x+1)<0 的必要不充分条件. 故选:B. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的性质是解决本题的关键,比 较基础.
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3. (5 分) (2014?安徽)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是(



1

A.34

B.55

C.78

D.89

考点: 程序框图;程序框图的三种基本逻辑结构的应用. 专题: 算法和程序框图. 分析: 写出前几次循环的结果,不满足判断框中的条件,退出循环,输出 z 的值. 解答: 解:第一次循环得 z=2,x=1,y=2; 第二次循环得 z=3,x=2,y=3; 第三次循环得 z=5,x=3,y=5; 第四次循环得 z=8,x=5,y=8; 第五次循环得 z=13,x=8,y=13; 第六次循环得 z=21,x=13,y=21; 第七次循环得 z=34,x=21,y=34; 第八次循环得 z=55,x=34,y=55;退出循环,输出 55, 故选 B 点评: 本题考查程序框图中的循环结构,常用的方法是写出前几次循环的结果找规律,属于 一道基础题.
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4. (5 分) (2014?安徽)以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐 标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线 l 的参数方程是 圆 C 的极坐标方程是 ρ=4cosθ,则直线 l 被圆 C 截得的弦长为( A. B.2 C. ) D.2 (t 为参数) ,

考点: 点的极坐标和直角坐标的互化;直线与圆的位置关系;参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 先求出直线和圆的直角坐标方程,求出半径和弦心距,再利用弦长公式求得弦长. 解答: 解:直线 l 的参数方程是 (t 为参数) ,化为普通方程为 x﹣y﹣4=0;
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圆 C 的极坐标方程是 ρ=4cosθ,即 ρ =4ρcosθ,化为直角坐标方程为 x +y =4x, 2 2 即 (x﹣2) +y =4,表示以(2,0)为圆心、半径 r 等于 2 的圆. 弦心距 d= = <r,∴弦长为 2 =2 =2 ,

2

2

2

2

故选:D. 点评: 本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法, 把极坐标方程化为直角坐标方程的方 法,点到直线的距离公式、弦长公式的应用,属于中档题.

5. (5 分) (2014?安徽)x、y 满足约束条件

,若 z=y﹣ax 取得最大值的最

优解不唯一,则实数 a 的值为( A. B. 或﹣1 2或

) C .2 或 1 D.2 或﹣1

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,得到直线 y=ax+z 斜率的 变化,从而求出 a 的取值. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分 ABC) . 由 z=y﹣ax 得 y=ax+z,即直线的截距最大,z 也最大. 若 a=0,此时 y=z,此时,目标函数只在 A 处取得最大值,不满足条件, 若 a>0, 目标函数 y=ax+z 的斜率 k=a>0, 要使 z=y﹣ax 取得最大值的最优解不唯一, 则直线 y=ax+z 与直线 2x﹣y+2=0 平行,此时 a=2, 若 a<0, 目标函数 y=ax+z 的斜率 k=a<0, 要使 z=y﹣ax 取得最大值的最优解不唯一, 则直线 y=ax+z 与直线 x+y﹣2=0,平行,此时 a=﹣1, 综上 a=﹣1 或 a=2, 故选:D
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点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想 是解决此类问题的基本方法.注意要对 a 进行分类讨论,同时需要弄清楚最优解的定 义.

3

6. (5 分) (2014?安徽)设函数 f(x) (x∈R)满足 f(x+π)=f(x)+sinx.当 0≤x<π 时,f (x)=0,则 f( A. )=( B. ) C .0 D. ﹣

考点: 抽象函数及其应用;函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用已知条件,逐步求解表达式的值即可. 解答: 解:∵函数 f(x) (x∈R)满足 f(x+π)=f(x)+sinx.当 0≤x<π 时,f(x)=0,
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∴f( =f( =f( =f( =sin = = .

)=f( )+sin )+sin )+sin +sin +sin +sin +sin



+sin

故选:A. 点评: 本题考查抽象函数的应用,函数值的求法,考查计算能力. 7. (5 分) (2014?安徽)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为( )

A.21+

B.18+

C.21

D.18

4

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 判断几何体的形状,结合三视图的数据,求出几何体的表面积. 解答: 解:由三视图可知,几何体是正方体的棱长为 2,截去两个正三棱锥,侧棱互相垂直, 侧棱长为 1,
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几何体的表面积为:S 正方体﹣2S 棱锥侧+2S 棱锥底 = 故选:A. =21+ .

点评: 本题考查三视图求解几何体的表面积,解题的关键是判断几何体的形状. 8. (5 分) (2014?安徽)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对.其中所成的角为 60° 的共有( ) A.24 对 B.30 对 C.48 对 D.60 对 考点: 排列、组合及简单计数问题;异面直线及其所成的角. 专题: 排列组合. 分析: 利用正方体的面对角线形成的对数,减去不满足题意的对数即可得到结果. 解答: 解:正方体的面对角线共有 12 条,两条为一对,共有 =66 条,
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同一面上的对角线不满足题意,对面的面对角线也不满足题意,一组平行平面共有 6 对不满足题意的直线对数, 不满足题意的共有:3×6=18. 从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对.其中所成的角为 60°的共有:66﹣ 18=48. 故选:C. 点评: 本题考查排列组合的综合应用,逆向思维是解题本题的关键. 9. (5 分) (2014?安徽)若函数 f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为 3,则实数 a 的值为( A.5 或 8 B.﹣1 或 5 C.﹣1 或﹣4 D.﹣4 或 8 )

考点: 带绝对值的函数;函数最值的应用. 专题: 选作题;不等式. 分析: 分类讨论,利用 f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为 3,建立方程,即可求出实数 a 的值. 解答: 解: <﹣1 时,x<﹣ ,f(x)=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1> ﹣1;
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5

﹣ ≤x≤﹣1,f(x)=﹣x﹣1+2x+a=x+a﹣1≥ ﹣1; x>﹣1,f(x)=x+1+2x+a=3x+a+1>a﹣2, ∴ ﹣1=3 或 a﹣2=3, ∴a=8 或 a=5, a=5 时, ﹣1<a﹣2,故舍去; ≥﹣1 时,x<﹣1,f(x)=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1>2﹣a; ﹣1≤x≤﹣ ,f(x)=x+1﹣2x﹣a=﹣x﹣a+1≥﹣ +1; x>﹣ ,f(x)=x+1+2x+a=3x+a+1>﹣ +1, ∴2﹣a=3 或﹣ +1=3, ∴a=﹣1 或 a=﹣4, a=﹣1 时,﹣ +1<2﹣a,故舍去; 综上,a=﹣4 或 8. 故选:D. 点评: 本题主要考查了函数的值域问题.解题过程采用了分类讨论的思想,属于中档题.

10. (5 分) (2014?安徽)在平面直角坐标系 xOy 中.已知向量 、 ,| |=| |=1, ? =0, 点 Q 满足 = ( + ) ,曲线 C={P| = cosθ+ sinθ,0≤θ≤2π},区域 Ω={P|0<r≤| ) C.r≤1<R<3 D.1<r<3<R |≤R,

r<R}.若 C∩Ω 为两段分离的曲线,则( A.1<r<R<3 B.1<r<3≤R

考点: 向量在几何中的应用. 专题: 平面向量及应用;直线与圆. 分析: 不妨令 =(1,0) , =(0,1) ,则 P 点的轨迹为单位圆,Ω={P|(0<r≤|
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|≤R,r<

R}表示的平面区域为:以 Q 点为圆心,内径为 r,外径为 R 的圆环,若 C∩Ω 为两段 分离的曲线,则单位圆与圆环的内外圆均相交,进而根据圆圆相交的充要条件得到答 案. 解答: 解:∵平面直角坐标系 xOy 中.已知向量 、 ,| |=| |=1, ? =0, 不妨令 =(1,0) , =(0,1) , 则 = ( + )=( , ) ,

6

= cosθ+ sinθ=(cosθ,sinθ) , 故 P 点的轨迹为单位圆, Ω={P|(0<r≤| |≤R,r<R}表示的平面区域为:

以 Q 点为圆心,内径为 r,外径为 R 的圆环, 若 C∩Ω 为两段分离的曲线, 则单位圆与圆环的内外圆均相交, 故|OQ|﹣1<r<R<|OQ|+1, ∵|OQ|=2, 故 1<r<R<3, 故选:A 点评: 本题考查的知识点是向量在几何中的应用, 其中根据已知分析出 P 的轨迹及 Ω={P| (0 <r≤| |≤R,r<R}表示的平面区域,是解答的关键.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡相应位置. 11. (5 分) (2014?安徽)若将函数 f(x)=sin(2x+ 象关于 y 轴对称,则 φ 的最小正值是 . )的图象向右平移 φ 个单位,所得图

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得所得图象对应的函数解析式为 y=sin
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(2x+

﹣2φ) ,再根据所得图象关于 y 轴对称可得

﹣2φ=kπ+

,k∈z,由此求得

φ 的最小正值. 解答: 解:将函数 f(x)=sin(2x+

)的图象向右平移 φ 个单位, ]=sin(2x+ ﹣2φ)关于 y 轴对

所得图象对应的函数解析式为 y=sin[2(x﹣φ)+ 称, 则 ﹣2φ=kπ+ . ,k∈z,即 φ=﹣ ﹣

,故 φ 的最小正值为



故答案为:

点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,余弦函数的图象的对称性,属 于中档题. 12. (5 分) (2014?安徽)数列{an}是等差数列,若 a1+1,a3+3,a5+5 构成公比为 q 的等比 数列,则 q= 1 . 考点: 等比数列的通项公式.

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7

专题: 等差数列与等比数列. 分析: 设出等差数列的公差,由 a1+1,a3+3,a5+5 构成公比为 q 的等比数列列式求出公差, 则由 化简得答案.

解答: 解:设等差数列{an}的公差为 d, 由 a1+1,a3+3,a5+5 构成等比数列, 得: 整理得: 即 化简得: (d+1) =0,即 d=﹣1. ∴q= = .
2

, , +5a1+a1+4d.

故答案为:1. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式,考查了等比数列的性质,是基础的计算题.
n

13. (5 分) (2014?安徽)设 a≠0,n 是大于 1 的自然数, (1+ ) 的展开式为 a0+a1x+a2x +…+anx .若点 Ai(i,ai) (i=0,1,2)的位置如图所示,则 a= 3 .
2 n

考点: 二项式定理的应用;二项式系数的性质. 专题: 二项式定理. n 分析: 求出(1+ ) 的展开式的通项为 a2=4,列出方程组,求出 a 的值. n 解答: 解: (1+ ) 的展开式的通项为 由图知,a0=1,a1=3,a2=4, ∴ , ,

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,由图知,a0=1,a1=3,







8

a ﹣3a=0, 解得 a=3, 故答案为:3. 点评: 本题考查解决二项式的特定项问题,关键是求出展开式的通项,属于一道中档题.

2

14. (5 分) (2014?安徽)设 F1,F2 分别是椭圆 E:x +

2

=1(0<b<1)的左、右焦点,过

点 F1 的直线交椭圆 E 于 A、B 两点,若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x 轴,则椭圆 E 的方程为 x+
2

=1 .

考点: 椭圆的标准方程;椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 2 2 2 求出 B(﹣ c,﹣ b ) ,代入椭圆方程,结合 1=b +c ,即可求出椭圆的方程.
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解答: 解:由题意,F1(﹣c,0) ,F2(c,0) ,AF2⊥x 轴,∴|AF2|=b , 2 ∴A 点坐标为(c,b ) , 设 B(x,y) ,则 ∵|AF1|=3|F1B|, 2 ∴(﹣c﹣c,﹣b )=3(x+c,y) ∴B(﹣ c,﹣ b ) ,
2

2

代入椭圆方程可得 ∵1=b +c , ∴b = ,c = , ∴x +
2 2 2 2 2



=1.
2

故答案为:x +

=1.

点评: 本题考查椭圆的方程与性质,考查学生的计算能力,属于中档题.

15. (5 分) (2014?安徽)已知两个不相等的非零向量 , ,两组向量 和 S= ? , + , ? , + ? , + 均由 2 个 和 3 个 排列而成,记 ? + ?









,Smin 表示 S 所有可能取值中的最小值.则下

列命题正确的是 ②④ (写出所有正确命题的编号) . ①S 有 5 个不同的值; ②若 ⊥ ,则 Smin 与| |无关;
9

③若 ∥ ,则 Smin 与| |无关; ④若| |>4| |,则 Smin>0; ⑤若| |=2| |,Smin=8| | ,则 与 的夹角为
2



考点: 命题的真假判断与应用;平行向量与共线向量. 专题: 平面向量及应用;简易逻辑. 分析: 依题意, 可求得 S 有 3 种结果: S1= + + + S3= ? + ? + ? + ? +

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+

, S2=

+ ? + ? +

+



,可判断①错误; + ﹣2 ? ≥ + ﹣

进一步分析有 S1﹣S2=S2﹣S3= 2| |?| |=

≥0,即 S 中最小为 S3;再对②③④⑤逐一分析即可得

答案. 解答: 解:∵xi,yi(i=1,2,3,4,5)均由 2 个 和 3 个 排列而成, ∴S=xiyi 可能情况有三种:①S=2 S 有 3 种结果:S1= S2= + ? + ? + + + + , ,故①错误; + ﹣2| |?| |= ≥0, + +3 + , ;②S= +2 ? +2 ;③S=4 ? + .

S3= ? + ? + ? + ? + ∵S1﹣S2=S2﹣S3= ∴S 中最小为 S3; 若 ⊥ ,则 Smin=S3= +

﹣2 ? ≥

,与| |无关,故②正确; ,与| |有关,故③错误; >﹣4| |?| |+ >﹣ + =0,故

③若 ∥ ,则 Smin=S3=4 ? +

④若| |>4| |,则 Smin=S3=4| |?| |cosθ+ ④正确; ⑤若| |=2| |,Smin=S3=8| | cosθ+4 ∴2cosθ=1,∴θ= 即 与 的夹角为 , .
2

=8



10

综上所述,命题正确的是②④, 故答案为:②④. 点评: 本题考查命题的真假判断与应用, 着重考查平面向量的数量积的综合应用, 考查推理、 分析与运算的综合应用,属于难题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解 答早答题卡上的指定区域. 16. (12 分) (2014?安徽)设△ ABC 的内角为 A、B、C 所对边的长分别是 a、b、c,且 b=3, c=1,A=2B. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求 sin(A+ )的值.

考点: 正弦定理;两角和与差的正弦函数. 专题: 综合题;三角函数的求值. 分析: (Ⅰ)利用正弦定理,可得 a=6cosB,再利用余弦定理,即可求 a 的值;
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(Ⅱ)求出 sinA,cosA,即可求 sin(A+ 解答: 解: (Ⅰ)∵A=2B, ∴a=6cosB, ∴a=6 , ,b=3,

)的值.

∴a=2 ; (Ⅱ)∵a=6cosB, ∴cosB= ∴sinB= , , ,cosA=cos2B=2cos B﹣1=﹣ , (sinA+cosA)= .
2

∴sinA=sin2B= ∴sin(A+ )=

点评: 本题考查余弦定理、考查正弦定理,考查二倍角公式,考查学生的计算能力,属于中 档题. 17. (12 分) (2014?安徽)甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛 完 5 局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为 ,乙获胜 的概率为 ,各局比赛结果相互独立. (Ⅰ)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率; (Ⅱ)记 X 为比赛决胜出胜负时的总局数,求 X 的分布列和均值(数学期望) .
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考点: 离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 专题: 概率与统计. 分析: (1)根据概率的乘法公式,求出对应的概率,即可得到结论. (2)利用离散型随机变量分别求出对应的概率,即可求 X 的分布列;以及均值. 解答: 解:用 A 表示甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的是事件,Ak 表示第 k 局甲获胜,
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Bk 表示第 k 局乙获胜, 则 P(Ak)= ,P(Bk)= ,k=1,2,3,4,5 (Ⅰ)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)=( ) + ×( ) + × × ( )=
2 2 2



(Ⅱ)X 的可能取值为 2,3,4,5. P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)= , P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)= , P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)= ,

P(X=5)=P(A1B2A3B4A5)+P(B1A2B3A4B5)+P(B1A2B3A4A5)+P(A1B2A3B4B5) = = , ,

或者 P(X=5)=1﹣P(X=2)﹣P(X=3)﹣P(X=4)= 故分布列为: X P

2

3

4

5

E(X)=2× +3× +4×

+5×

=



点评: 本题主要考查概率的计算,以及离散型分布列的计算,以及利用期望的计算,考查学 生的计算能力. 18. (12 分) (2014?安徽)设函数 f(x)=1+(1+a)x﹣x ﹣x ,其中 a>0. (Ⅰ)讨论 f(x)在其定义域上的单调性; (Ⅱ)当 x∈[0,1]时,求 f(x)取得最大值和最小值时的 x 的值. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)利用导数判断函数的单调性即可; (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论,讨论两根与 1 的大小关系,判断函数在[0,1]时的单调性, 得出取最值时的 x 的取值. 2 解答: 解: (Ⅰ)f(x)的定义域为(﹣∞,+∞) ,f′(x)=1+a﹣2x﹣3x ,
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2

3

12

由 f′(x)=0,得 x1= ∴由 f′(x)<0 得 x< 由 f′(x)>0 得 故 f(x)在(﹣∞, 在( ,

,x2= ,x> <x< )和( )上单调递增; ;

,x1<x2, ;

,+∞)单调递减,

(Ⅱ)∵a>0,∴x1<0,x2>0, ①当 a≥4 时,x2≥1,由(Ⅰ)知,f(x)在[0,1]上单调递增,∴f(x)在 x=0 和 x=1 处分别取得最小值和最大值. ②当 0<a<4 时,x2<1,由(Ⅰ)知,f(x)在[0,x2]单调递增,在[x2,1]上单调 递减, 因此 f(x)在 x=x2= 处取得最大值,又 f(0)=1,f(1)=a,

∴当 0<a<1 时,f(x)在 x=1 处取得最小值; 当 a=1 时,f(x)在 x=0 和 x=1 处取得最小值; 当 1<a<4 时,f(x)在 x=0 处取得最小值. 点评: 本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值的知识, 考查学生分类讨论思想的运 用能力,属中档题. 19. (13 分) (2014?安徽)如图,已知两条抛物线 E1:y =2p1x(p1>0)和 E2:y =2p2x(p2 >0) ,过原点 O 的两条直线 l1 和 l2,l1 与 E1,E2 分别交于 A1、A2 两点,l2 与 E1、E2 分别 交于 B1、B2 两点. (Ⅰ)证明:A1B1∥A2B2; (Ⅱ)过 O 作直线 l(异于 l1,l2)与 E1、E2 分别交于 C1、C2 两点.记△ A1B1C1 与△ A2B2C2 的面积分别为 S1 与 S2,求 的值.
2 2

13

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 向量与圆锥曲线. 分析: (Ⅰ)由题意设出直线 l1 和 l2 的方程,然后分别和两抛物线联立求得交点坐标,得到
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的坐标,然后由向量共线得答案; (Ⅱ)结合(Ⅰ)可知△ A1B1C1 与△ A2B2C2 的三边平行,进一步得到两三角形相似, 由相似三角形的面积比等于相似比的平方得答案. 解答: (Ⅰ)证明:由题意可知,l1 和 l2 的斜率存在且不为 0, 设 l1:y=k1x,l2:y=k2x. 联立 ,解得 .

联立

,解得



联立

,解得



联立

,解得









, ∴A1B1∥A2B2; (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 A1B1∥A2B2, 同(Ⅰ)可证 B1C1∥B2C2,A1C1∥A2C2. ∴△A1B1C1∽△A2B2C2, 因此 ,









14





点评: 本题是直线与圆锥曲线的综合题,考查了向量共线的坐标表示,训练了三角形的相似 比与面积比的关系,考查了学生的计算能力,是压轴题. 20. (13 分) (2014?安徽)如图,四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,A1A⊥底面 ABCD,四边 形 ABCD 为梯形,AD∥BC,且 AD=2BC,过 A1、C、D 三点的平面记为 α,BB1 与 α 的交 点为 Q. (Ⅰ)证明:Q 为 BB1 的中点; (Ⅱ)求此四棱柱被平面 α 所分成上下两部分的体积之比; (Ⅲ)若 AA1=4,CD=2,梯形 ABCD 的面积为 6,求平面 α 与底面 ABCD 所成二面角的大 小.

考点: 二面角的平面角及求法;棱柱、棱锥、棱台的体积;用空间向量求平面间的夹角. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)证明平面 QBC∥平面 A1D1DA,可得△ QBC∽△A1AD,即可证明 Q 为 BB1 的中点; (Ⅱ)设 BC=a,则 AD=2a,则
ABCD=

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=

=

,VQ﹣

= ahd, 利用 V 棱柱= ahd, 即可求出此四棱柱被平面 α 所分成上、

下两部分的体积之比; (Ⅲ)△ ADC 中, 作 AE⊥DC, 垂足为 E, 连接 A1E, 则 DE⊥平面 AEA1, DE⊥A1E, 可得∠AEA1 为平面 α 与底面 ABCD 所成二面角,求出 S△ ADC=4,AE=4,可得 tan∠AEA1= =1,即可求平面 α 与底面 ABCD 所成二面角的大小.

解答: (Ⅰ)证明:∵四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,四边形 ABCD 为梯形,AD∥BC, ∴平面 QBC∥平面 A1D1DA, ∴平面 A1CD 与面 QBC、平面 A1D1DA 的交线平行,∴QC∥A1D ∴△QBC∽△A1AD, ∴ = ,

∴Q 为 BB1 的中点; (Ⅱ)解:连接 QA,QD,设 AA1=h,梯形 ABCD 的高为 d,四棱柱被平面 α 所分
15

成上、下两部分的体积为 V1,V2, 设 BC=a,则 AD=2a,∴
ABCD=

=

=

,VQ﹣

= ahd, ,

∴V2=

∵V 棱柱= ahd, ∴V1= ahd, ;

∴四棱柱被平面 α 所分成上、下两部分的体积之比

(Ⅲ)解:在△ ADC 中,作 AE⊥DC,垂足为 E,连接 A1E,则 DE⊥平面 AEA1, ∴DE⊥A1E, ∴∠AEA1 为平面 α 与底面 ABCD 所成二面角的平面角, ∵BC∥AD,AD=2BC, ∴S△ ADC=2S△ ABC, ∵梯形 ABCD 的面积为 6,DC=2, ∴S△ ADC=4,AE=4, ∴tan∠AEA1= ∴∠AEA1= , . =1,

∴平面 α 与底面 ABCD 所成二面角的大小为

点评: 本题考查面面平行的性质,考查体积的计算,考查面面角,考查学生分析解决问题的 能力,属于中档题. 21. (13 分) (2014?安徽)设实数 c>0,整数 p>1,n∈N . p (Ⅰ)证明:当 x>﹣1 且 x≠0 时, (1+x) >1+px; (Ⅱ)数列{an}满足 a1> ,an+1= an+ an
1﹣p *

.证明:an>an+1>



16

考点: 不等式的证明;数列与不等式的综合;分析法和综合法. 专题: 函数思想;点列、递归数列与数学归纳法. p 分析: 第(Ⅰ)问中,可构造函数 f(x)=(1+x) ﹣(1+px) ,求导数后利用函数的单调性 求解;
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对第(Ⅱ)问,从 an+1

着手,由 an+1=

an+ an

1﹣p

,将求证式进行等价转化

后即可解决,用相同的方式将 an>an+1 进行转换,设法利用已证结论证明. p p﹣1 p 解答: 证明: (Ⅰ)令 f(x)=(1+x) ﹣(1+px) ,则 f′(x)=p(1+x) ﹣p=p[(1+x)
﹣1

﹣1]. p﹣1 0 ①当﹣1<x<0 时,0<1+x<1,由 p>1 知 p﹣1>0,∴(1+x) <(1+x) =1, p﹣1 ∴(1+x) ﹣1<0,即 f′(x)<0, ∴f(x)在(﹣1,0]上为减函数, ∴f(x)>f(0)=(1+0) ﹣(1+p×0)=0,即(1+x) ﹣(1+px)>0, p ∴(1+x) >1+px. p﹣1 0 ②当 x>0 时,有 1+x>1,得(1+x) >(1+x) =1, ∴f′(x)>0, ∴f(x)在[0,+∞)上为增函数, ∴f(x)>f(0)=0, ∴(1+x) >1+px. p 综合①、②知,当 x>﹣1 且 x≠0 时,都有(1+x) >1+px,得证. (Ⅱ)先证 an+1> ∵an+1= 将 an+ an .
1﹣p p p p

,∴只需证

an+ an

1﹣p





写成 p﹣1 个 相加,上式左边

=



当且仅当

,即

时,上式取“=”号,

当 n=1 时,由题设知

,∴上式“=”号不成立,



an+ an

1﹣p



,即 an+1>



再证 an>an+1. 只需证 an> an+ an
1﹣p

,化简、整理得 an >c,只需证 an>c

p



17

由前知 an+1>

成立,即从数列{an}的第 2 项开始成立, 成立,

又 n=1 时,由题设知



对 n∈N 成立,∴an>an+1.

*

综上知,an>an+1>

,原不等式得证.

点评: 本题是一道压轴题,考查的知识众多,涉及到函数、数列、不等式,利用的方法有分 析法与综合法等,综合性很强,难度较大.

18


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