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2018届山东省实验中学高三第二次诊断性考试理科数学试题及答案 精品

山东省实验中学 2018 级第二次诊断性考试 数学试题(理科) 2018.11

说明:试题分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题) 两部分,第 I 卷为第 1 页至第 2 页,第 II 卷为第 3 页至第 4 页,试题答案请用 2B 铅笔或 0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定 位置上,书写在试题上的答案无效。考试时间 120 分钟。 第 I 卷(共 50 分) 一、选择题(本题包括 10 小题,每小题 5 分,共 50 分, 每小题只有一个选项 符合题意) ......
设集合 A ? ?x x ? 2, x ? R? , B ? ?y | y ? ? x 1.
2

,?1 ? x ? 2 , 则CR ? A ? B ?等于

?

A.R C. ?? ?,? 1? ? ?2,? ? ?
若f ( x ) ? 2. log
2

B. ?? ?,? 2? ? ?0,? ?? D.○
1 , 则f ( x)的定义域为 1 ( 2 x ? 1)

1 (? ,0) A. 2 1 (? ,2) D. 2

1 (? ,??) B. 2

1 (? ,0) ? (0,??) C. 2

3.下列函数中,既是偶函数,又在区间( 0, 3)内是增 函数的是 A. y ? 2
x

? 2? x

B. y ? cos x

C. y ? log 0.5 x

D. y ? x ? x

?1

已知 4. sin ? ? cos ? ?

4 ? (0 ? ? ? ), 则sin ? ? cos ?的值为 3 4

A.

2 3

B.

?

2 3

1 C. 3

D.

?

1 3

5.已知命题 p:在△ABC 中, “C>B”是“sinC>sinB”的

充分不必要条件;命题 q: “a>b”是“ac >bc ”的充分不必要 条件,则下列选项中正确的是 A.p 真 q 假 “p∧q”为真 6.将函数 y ? sin 2 x ?
3 cos 2 x 的图象沿

2

2

B.p 假 q 真

C.“p∨q”为假

D.

x 轴向左平移 ? 个单位

后,得到一个偶函数的图象,则 ? 的最小值为
?
? ?

A. 12

B. 6

C. 4

5? D. 12

已知f ( x) ? 3 sin x ? ?x, 命题p : ?x ? (0, ), f ( x) ? 0, 则 2 7. p是假命题; ?p : ?x ? (0, ), f ( x) ? 0 2 A. p是假命题; ?p : ?x0 ? (0, ), f ( x0 ) ? 0 2 B. p是真命题; ?p : ?x ? (0, ), f ( x) ? 0 2 C. p是真命题; ?p : ?x0 ? (0, ), f ( x0 ) ? 0 2 D.

?

?

?

?

?

8. 已 知 f(x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 当
f ( x) ? x 2 ? 2 x ,若 f (2 ? a 2 ) ? f (a) ,则实数

x?0

时,

a 的取值范围是 C.(-1,2)

A. (??,?1) ? (2,??) D. (??,?2) ? (1,??) 9.△ABC 中,
A?

B.(-2,1)

?
3

, BC ? 3

,则△ABC 的周长为

?? ? 4 3 sin ? B ? ? ? 3 3? ? A.

?? ? 4 3 sin ? B ? ? ? 3 6? ? B.

?? ? 6 sin ? B ? ? ? 3 C. ? 3 ?

?? ? 6 sin ? B ? ? ? 3 D. ? 6 ?

10.已知 y=f(x)是奇函数,且满足 f(x+2)+3f(-x)=0,当 x ?[0,2]时,f(x)=x -2x,则当 x ?[-4,-2]时,f(x)的最小值为 A.-1 B.
? 1 3
2

C.

?

1 9

1 D. 9

第 II 卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a , b , c, 且 a=15,b=10,A=60°,则 cosB= 。

12. 。

? x 2 , x ? [ 0,1] ? e ( e为自然对数的底数),则 f ( x ) d 的值为 设f ( x) ? ? 1 ? 0 , x ( 1 , e ] ? ? ?x

13. 若 曲 线 C1:y=3x -ax -6x 在 x=1 处 的 切 线 与 曲 线 C2:y=e 在 x=1 上 的 切 线 互 相 垂 直 , 则 实 数 a 的 值 为 。 14.若函数 f(x)=a (a>0,a≠1)在[-2,1]的最大值为 4,
x x

4

3

2

最小值为 m,则实数 m 的值为



15.对于函数 f(x)=x|x|+px+q,现给出四个命题: ①q=0 时,f(x)为奇函数; ②y=f(x)的图象关于(0,q)对称; ③p=0,q>0 时,方程 f(x)=0 有且只有一个实数根; ④方程 f(x)=0 至多有两个实数根。 其中正确命题的序号为 。

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16.(本小题满分 12 分) 已知函数
f ( x) ? 3 ?x 1 sin ?x ? sin 2 ? (? ? 0) 2 2 2 的最小正周期为 ? 。

(I)求 ? 的值及函数 f ( x) 的单调递增区间;
x ? [0, ] 2 时,求函数 f ( x) 的取值范围。 (II)当

?

17.(本小题满分 12 分) 已知命题 p:方程 2 x 2 ? ax ? a 2 ? 0 在[-1,1]上有解,命题 q: 只有一个实数 x0 满足不等式 x0
2

? 2ax0 ? 2a ? 0 ,若命题“ p ? q ”是

假命题,求实数 a 的取值范围。

18.(本小题满分 12 分)
已知f ( x) ? x1nx, g ( x) ? x3 ? ax 2 ? x ? 2 。

(I)求函数 f(x)的单调区间; (II)对一切的 x ? (0,??),2 f ( x) ? g ?( x) ? 2 恒成立,求实数 a 的 取值范围。 19.(本小题满分 12 分)
cos B ? 4 ,b ? 2 5

设△ ABC 的内角 A , B , C 所对的边长分别为 a,b,c , 且 。 (I)当 A=30°时,求 a 的值; (II)当△ABC 的面积为 3 时,求 a+c 的值。

20.(本小题满分 13 分) 已知函数 f(x)=e -ax=1(a>0,e 为自然对数的底数)。 (I)求函数 f(x)的最小值; (II)若 f(x)≥0 对任意的 x ?R 恒成立,求实数 a 的值。
x

21.(本小题满分 14 分) 已知函数
f ( x) ? a1nx ? a ?1 2 x ?1 2 。

1 1 当a ? ? 时, 求f ( x)在区间[ , e]上的最值; 2 e ( I)

(II)讨论函数 f(x)的单调性; (III)当-1<a<0 时,有 f ? x ? ? 1 ? a ln ? ?a ? 恒成立,求 a 的取
2

值范围。

山东省实验中学 2018 级第二次诊断性考试 数学答案(理科) 1-10 11.
6 3

2018.11

BCABC 12.
4 3

ADBDC 13.
1 3e

14.1/2 或 1/16

15.①②③

16 . 解 : (Ⅰ)
? ? sin(? x ? ) 4 6

f ( x) ?

3 1 ? cos ? x 1 sin ? x ? ? 2 2 2

?

3 1 sin ? x ? cos ? x 2 2


f ( x)



最 小 正 周 期 为 ? , 所 ………………………………………6 分 ??2 所以 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) . 由 2 k ? ? ? ? 2 x ? ? ? 2 k ? ? ? , k ? Z ,得 k ? ? ? ? x ? k ? ? ? .
2 6 2 3 6
6





所 以 函 数 [ k ? ? ? , k ? ? ? ], k ? Z
3 6

f ( x)

的 单 调 递 增 区 间 为 ……………………8 分
6 6 6

(Ⅱ)因为 x ? [0, ? ] ,所以 2 x ? ? ? [ ? , 7? ] ,
2 所以 ? 1 ? sin(2 x ? ? ) ? 1 2 6
? [0, ] 2

所 以 函 数 [ ? 1 ,1 ]
2

f ( x)



上 的 取 值 范 围 是

………………………………………12 分

17.









p











a ? 1或 ? a ? 1? a ? 2 . 2

………………………………………4 分

又 “ 只 有 一 个 实 数 x0 满 足 x02 ? 2ax0 ? 2a ? 0 ” , 即 抛 物 线 y ? x 2 ? 2ax ? 2a 与 x 轴只有一个交点,∴ ? ? 4a 2 ? 8a ? 0 ,∴ a ? 0 或 a ? 2. ∴ 当 命 题 q 为 真 命 题 时 , a?0 或 a ? 2. ………………………………………8 分 ∴命题“p ∨ q”为真命题时, a ? 2 . ∵命题“p ∨ q”为假命 题,∴ a ? 2 或 a ? ?2 . 即 的 取 值 范 围 为 a …………………………………… (??, ?2) (2, ??) . …12 分

1? 18.(Ⅰ) f ' ( x) ? ln x ? 1, 令f ' ?x ? ? 0, 解得0 ? x ? 1 ,? f ( x)单调递减区间是? ? 0, ?; e ? e?

1 ?1 ? 令f ' ? x ? ? 0, 解得x ? ,? f ( x)单调递增区间是? ,?? ?; e ?e ?

…………………

……4 分 (Ⅱ)由题意: 2 x ln x ? 3x 2 ? 2ax ? 1 ? 2 即 2 x ln x ? 3x 2 ? 2ax ? 1 可 得 ? x ? ?0,?? ? 3 1 ………………………6 a ? ln x ? x ?
2 2x

分 设 h?x ? ? ln x ? 3x ?
2

1 , 2x

则 1 3 h ' ?x ? ? ? ?
x 2

?x ? 1??3x ? 1? 1 ?? 2 2x 2x 2
3

……………

…………8 分 令 h ' ?x ? ? 0 ,得 x ? 1, x ? ? 1 (舍)
0 ? x ?1 x ?1 当 时 , ; 当 h ' ?x ? ? 0 时, h ' ? x ? ? 0 ………………………10 分 ? a ? ?2 . ? 当 x ? 1 时, h? x ? 取得最大值, h? x ? max =-2 ?a 的 取 值 范 围 是 ?? 2,?? ? . ………………… ……12 分 4 3 19 .(1)因为 cos B= ,所以 sin B= . 5 5 a b a 10 由正弦定理 = ,可得 = ,所以 a= sin A sin B sin 30° 3 5 . ………………………4 分 3 1 3 (2)因为△ABC 的面积 S= ac·sin B,sin B= , 2 5 3 所 以 ac = 3 , ac = 10 10. …………………… …7 分

由余弦定理得 b =a +c -2accos B, 8 2 2 2 2 2 2 得 4 = a + c - ac = a + c - 16 , 即 a + c = 5 20. ………………………10 分 2 2 所以(a+c) -2ac=20,(a+c) =40. 所以 a+c= 2 10. …………… …………12 分 x ? 20.(1)由题意 a , ? 0 ,f () x ? e ? a
x 由 f? 得 x?lna. () x? e ?? a0

2

2

2

当x ? ( ? ? , l n) a时,

时, f ?(x)?0. f ?(x )?0;当 x ? ( l n, a ? ? )

∴ f ( x ) 在 (? ? ,l na )单调递减,在 ( l na ,? ? )单调递增. 即 f ( x ) 在 x?lna处取得极小值,且为最小值,
l n a 其最小值为 f ( l n a ) ? e ?? a l n aa 1 ? ?? a l n a 1 .

(6 分)

(2) f (x)≥ )m ≥ 0. 0对任意的 x ?R 恒成立,即在 x ?R 上, f (x in 由(1) ,设 g ,所以 g(a)≥ ( a ) ? a ? aa l n ? 1 . 0.
? 由g 得 a ? 1. ( a ) ? 1 ? l n a ? 1 ? ? l n a ? 0

∴ g ( a ) 在区间 (0,1) 上单调递增,在区间 (1, ??) 上单调递减, ∴ g ( a ) 在 a ? 1 处取得极大值 g(1 ) ?0. 因此 g(a)≥ 0的解为 a ? 1 ,∴ a ? 1 . 分) 21. 解 : ( Ⅰ ) 当 ∴ f ?( x) ? ? 1 ? x ? x
2x 2
2

( 13

1 a?? 2

时 ,

1 x2 f ( x) ? ? ln x ? ?1 2 4



?1 . 2x
f ?( x) ? 0

∵ f ( x) 的 定 义 域 为 (0,??) , ∴ 由 x ? 1 . ---------------------------2 分



∴ f ( x) 在区间 [ 1 , e] 上的最值只可能在 f (1), f ( 1 ), f (e) 取到,
e e


f ( x) max

5 1 3 1 1 e2 f (1) ? , f ( ) ? ? 2 , f (e) ? ? 4 e 2 4e 2 4 2 1 e 5 ? f (e) ? ? , f ( x) min ? f (1) ? .--4 分 2 4 4
2



(Ⅱ) f ?( x) ? (a ? 1) x
x

?a

,x ? (0, ??) .

①当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 时, f ?( x) ? 0,? f ( x) 在 (0,??) 单调递减; -------------5 分 ② 当 a ? 0 时 , f ?( x) ? 0,? f ( x) 在 (0,??) 单 调 递 增 ; ----------------6 分 ③当 ? 1 ? a ? 0 时,由 (舍去) ∴
f ( x)
f ?( x) ? 0 得 x 2 ?

?a ,? x ? a ?1

?a a ?1

或x??

?a a ?1



(

?a ,??) a ?1

单调递增,在

(0,

?a ) a ?1

上单调递减;

--------------------8 分 综上,当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0,??) 单调递增; 当 ? 1 ? a ? 0 时, f ( x) 在 (
?a ?a ,??) 单调递增,在 (0, ) 上单调 a ?1 a ?1
(0,??)

递减. 当 a ? ?1 时 , f ( x) 在 -----------------------10 分

单 调 递 减 ;
f( ?a ) a ?1 ?a a f( ) ? 1 ? ln(?a) a ?1 2

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 ? 1 ? a ? 0 时, f min ( x) ? 即 原 不 等 式 等 价 于

---------------------------12 分
?a a ? 1 ?a a ? ? ? 1 ? 1 ? ln(? a) 整理得 ln(a ? 1) ? ?1 a ?1 2 a ?1 2 ∴ a ? 1 ? 1, ------13 分 又∵ ? 1 ? a ? 0 ,所以 a 的取值范围 e 1 ? 为? ? ? 1, 0 ? .-----14 分 ?e ?

即 a ln

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