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广西南宁市2015年中考数学试题(word解析版)


南宁市 2015 年中考数学试卷
本试卷分第 I 卷和第 II 卷,满分 120 分,考试时间 120 分钟

第 I 卷(选择题,共 36 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分)每小题都给出代号为(A) 、 (B) 、 (C) 、 (D)四
个结论,其中只有一个是正确的.请考生用 2B 铅笔在答题卷上将选定的答案标号涂黑. 1.3 的绝对值是( ). (A)3
.

(B)-3

(C)

1 3

(D) ?

1 3

考点:绝对值. 专题:计算题. 分析:直接根据绝对值的意义求解. 解答:解:|3|=3. 故选 A. 点评:本题考查了绝对值:若 a>0,则|a|=a;若 a=0,则|a|=0;若 a<0,则|a|=﹣a. 2.如图 1 是由四个大小相同的正方体组成的几何体,那么它的主视图是( ).

正面 图 1
.

(A)

(B)

(C)

(D)

考点:简单组合体的三视图. 专题:计算题. 分析:从正面看几何体得到主视图即可.

解答:解:根据题意

的主视图为:



故选 B 点评:此题考查了简单组合体的三视图,主视图是从物体的正面看得到的视图. 3.南宁快速公交(简称:BRT)将在今年底开始动工,预计 2016 年下半年建成并投入试运营,首条 BRT 西起南宁火车站,东至南宁东站,全长约为 11300 米,其中数据 11300 用科学记数法表示为( ). 5 4 3 2 A.0.113×10 B.1.13×10 C.11.3×10 D.113×10 考点:科学记数法—表示较大的数. n 分析:科学记数法的表示形式为 a×10 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时,要看把原数变 成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1 时,n 是正数;当 原数的绝对值<1 时,n 是负数. 4 解答:解:将 11300 用科学记数法表示为:1.13×10 . 故选 B.
.

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点评:此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整 数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值.

n

4.某校男子足球队的年龄分布如图 2 条形图所示,则这些队员年龄的众 数是( ). (A)12 (B)13 (C)14 (D)15 图2 考点:众数;条形统计图. 分析:根据条形统计图找到最高的条形图所表示的年龄数即为众数. 解答:解:观察条形统计图知:为 14 岁的最多,有 8 人, 故众数为 14 岁, 故选 C. 点评:考查了众数的定义及条形统计图的知识,解题的关键是能够读懂条形统计图及了解众数的定义,难 度较小.
.

5.如图 3,一块含 30°角的直角三角板 ABC 的直角顶点 A 在直线 DE 上,且 BC//DE,则∠CAE 等于( ). (A)30° (B)45° (C)60° (D)90°

考点:平行线的性质. 图3 分析:由直角三角板的特点可得:∠ C=30°,然后根据两直线平行内错角相等,即可求∠ CAE 的度数. 解答:解:∵ ∠ C=30°,BC∥ DE, ∴ ∠ CAE=∠ C=30°. 故选 A. 点评:此题考查了平行线的性质,解题的关键是:熟记两直线平行同位角相等;两直线平行内错角相等; 两直线平行同旁内角互补.
.

6.不等式 2 x ? 3 ? 1的解集在数轴上表示为( ).

(A)

(B)

(C)
.

(D)

考点:在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式. 专题:数形结合. 分析:先解不等式得到 x<2,用数轴表示时,不等式的解集在 2 的左边且不含 2,于是可判断 D 选项正确. 解答:解:2x<4, 解得 x<2, 用数轴表示为: 第 2 页 共 17 页

. 故选 D. 点评:本题考查了在数轴上表示不等式的解集:用数轴表示不等式的解集时,要注意“两定”:一是定界点, 一般在数轴上只标出原点和界点即可.定边界点时要注意,点是实心还是空心;二是定方向,定方向的原 则是:“小于向左,大于向右”. 7.如图 4,在△ABC 中,AB=AD=DC, ? B=70°,则 ? C 的度数为( ). (A)35° (B)40° (C)45° (D)50° 图4 考点:等腰三角形的性质. 分析:先根据等腰三角形的性质求出∠ ADB 的度数,再由平角的定义得出∠ ADC 的度数,根据等腰三角形的 性质即可得出结论. 解答:解:∵ △ ABD 中,AB=AD,∠ B=70°, ∴ ∠ B=∠ ADB=70°, ∴ ∠ ADC=180°﹣∠ ADB=110°, ∵ AD=CD, ∴ ∠ C=(180°﹣∠ ADC)÷2=(180°﹣110°)÷2=35°, 故选:A. 点评:本题考查的是等腰三角形的性质,熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键.
.

8.下列运算正确的是( ). (A) 4ab ? 2a ? 2ab (B) (3x ) ? 9 x
2 3 6
3 4 7 (C) a ? a ? a

(D) 6 ? 3 ? 2
.

考点:整式的除法;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方;二次根式的乘除法. 专题:计算题. 分析:A、原式利用单项式除以单项式法则计算得到结果,即可做出判断; B、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果,即可做出判断; C、原式利用单项式乘以单项式法则计算得到结果,即可做出判断; D、原式利用二次根式的除法法则计算得到结果,即可做出判断. 解答:解:A、原式=2b,错误; 6 B、原式=27x ,错误; 7 C、原式=a ,正确; D、原式= ,错误, 故选 C 点评:此题考查了整式的除法,同底数幂的乘法,幂的乘方与积的乘方,以及二次根式的乘除法,熟练掌 握运算法则是解本题的关键. 9.一个正多边形的内角和为 540°,则这个正多边形的每一个外角等于( ). (A)60° (B)72°
.

(C)90°

(D)108°

考点:多边形内角与外角.

第 3 页 共 17 页

分析:首先设此多边形为 n 边形,根据题意得:180(n﹣2)=540,即可求得 n=5,再再由多边形的外角和 等于 360°,即可求得答案. 解答:解:设此多边形为 n 边形, 根据题意得:180(n﹣2)=540, 解得:n=5, ∴ 这个正多边形的每一个外角等于: =72°.

故选 B. 点评:此题考查了多边形的内角和与外角和的知识.注意掌握多边形内角和定理: (n﹣2)?180°,外角和 等于 360°. 10.如图 5,已知经过原点的抛物线 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的对称轴是直线 x ? ?1 下列 结论中:? ab ? 0 ,? a ? b ? c ? 0 ,?当 ? 2 ? x ? 0时,y ? 0 ,正确的个数是( ). (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个 图5

考点:二次函数图象与系数的关系. 分析:① 由抛物线的开口向上,对称轴在 y 轴左侧,判断 a,b 与 0 的关系,得到?ab>0;故① 错误; ② 由 x=1 时,得到 y=a+b+c>0;故② 正确; ③ 根据对称轴和抛物线与 x 轴的一个交点,得到另一个交点,然后根据图象确定答案即可. 解答:解:① ∵ 抛物线的开口向上, ∴ a>0, ∵ 对称轴在 y 轴的左侧, ∴ b>0 ∴ ?ab>0;故① 正确; ② ∵ 观察图象知;当 x=1 时 y=a+b+c>0, ∴ ② 正确; ③ ∵ 抛物线的对称轴为 x=﹣1,与 x 轴交于(0,0) , ∴ 另一个交点为(﹣2,0) , ∴ 当﹣2<x<0 时,y<0;故③ 正确; 故选 D. 点评: 本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系, 会利用对称轴的范围求 2a 与 b 的关系, 以及二次函数与方程之间的转换,根的判别式的熟练运用.
.

11.如图 6,AB 是⊙O 的直径,AB=8,点 M 在⊙O 上,∠MAB=20°,N 是弧 MB 的中点,P 是 直径 AB 上的一动点,若 MN=1,则△PMN 周长的最小值为( ). (A)4 (B)5 (C)6
.

图6

(D)7

考点:轴对称-最短路线问题;圆周角定理. 分析:作 N 关于 AB 的对称点 N′ ,连接 MN′ ,NN′ ,ON′ ,ON,由两点之间线段最短可知 MN′ 与 AB 的交 点 P′ 即为△ PMN 周长的最小时的点, 根据 N 是弧 MB 的中点可知∠ A=∠ NOB=∠ MON=20°, 故可得出∠ MON′ =60°, 故△ MON′ 为等边三角形,由此可得出结论. 第 4 页 共 17 页

解答:解:作 N 关于 AB 的对称点 N′ ,连接 MN′ ,NN′ ,ON′ ,ON. ∵ N 关于 AB 的对称点 N′ , ∴ MN′ 与 AB 的交点 P′ 即为△ PMN 周长的最小时的点, ∵ N 是弧 MB 的中点, ∴ ∠ A=∠ NOB=∠ MON=20°, ∴ ∠ MON′ =60°, ∴ △ MON′ 为等边三角形, ∴ MN′ =OM=4, ∴ △ PMN 周长的最小值为 4+1=5. 故选 B.

点评:本题考查的是轴对称﹣最短路径问题,凡是涉及最短距离的问题,一般要考虑线段的性质定理,结 合本节所学轴对称变换来解决,多数情况要作点关于某直线的对称点. 12.对于两个不相等的实数 a、b,我们规定符号 Max{a,b}表示 a、b 中的较大值,如:Max{2,4}=4,按 照这个规定,方程 Max ?x,? x? ? 2 x ? 1 的解为(
x

). (D) 1 ? 2或 ?1

(A) 1 ? 2

(B) 2 ? 2

(C) 1 ? 2或1 ? 2

考点:解分式方程. 专题:新定义. 分析:根据 x 与﹣x 的大小关系,取 x 与﹣x 中的最大值化简所求方程,求出解即可.
.

解答:解:当 x<﹣x,即 x<0 时,所求方程变形得:﹣x= 去分母得:x +2x+1=0,即 x=﹣1; 当 x>﹣x,即 x>0 时,所求方程变形得:x=
2



,即 x ﹣2x=1,

2

解得:x=1+ 或 x=1﹣ (舍去) , 经检验 x=﹣1 与 x=1+ 都为分式方程的解. 故选 D. 点评: 此题考查了解分式方程, 解分式方程的基本思想是“转化思想”, 把分式方程转化为整式方程求解. 解 分式方程一定注意要验根.

第 II 卷(非选择题,共 84 分) 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分)
13.因式分解: ax ? ay ?
.



考点:因式分解-提公因式法. 专题:因式分解. 分析:观察等式的右边,提取公因式 a 即可求得答案. 第 5 页 共 17 页

解答:解:ax+ay=a(x+y) . 故答案为:a(x+y) . 点评:此题考查了提取公因式法分解因式.解题的关键是注意找准公因式. 14.要使分式

1 有意义,则字母 x 的取值范围是 x ?1
.



考点:分式有意义的条件. 分析:分式有意义,分母不等于零. 解答:解:依题意得 x﹣1≠0,即 x≠1 时,分式 有意义.

故答案是:x≠1. 点评:本题考查了分式有意义的条件.从以下三个方面透彻理解分式的概念: (1)分式无意义?分母为零; (2)分式有意义?分母不为零; (3)分式值为零?分子为零且分母不为零. 15.一个不透明的口袋中有 5 个完全相同的小球,把它们分别标号为 1,2,3,4,5,随机提取一个小球, 则取出的小球标号是奇数的概率是 .

考点:概率公式. 分析:首先判断出 1,2,3,4,5 中的奇数有哪些;然后根据概率公式,用奇数的数量除以 5,求出取出 的小球标号是奇数的概率是多少即可. 解答:解:∵ 1,2,3,4,5 中的奇数有 3 个:1、3、5,
.

∴ 取出的小球标号是奇数的概率是:3÷5= . 故答案为: . 点评: 此题主要考查了概率公式的应用, 要熟练掌握, 解答此题的关键是要明确: 随机事件 A 的概率 P (A) =事件 A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数. 16.如图 7,在正方形 ABCD 的外侧,作等边△ADE,则 ? BED 的度数是 .

图7 考点:正方形的性质;等边三角形的性质. 分析:根据正方形的性质,可得 AB 与 AD 的关系,∠ BAD 的度数,根据等边三角形的性质,可得 AE 与 AD 的关系, ∠ AED 的度数, 根据等腰三角形的性质, 可得∠ AEB 与∠ ABE 的关系, 根据三角形的内角和, 可得∠ AEB 的度数,根据角的和差,可得答案. 解答:解:∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AB=AD,∠ BAD=90°. ∵ 等边三角形 ADE, ∴ AD=AE,∠ DAE=∠ AED=60°. ∠ BAE=∠ BAD+∠ DAE=90°+60°=150°,
.

第 6 页 共 17 页

AB=AE, ∠ AEB=∠ ABE=(180°﹣∠ BAE)÷2=15°, ∠ BED=∠ DAE﹣∠ AEB=60°﹣15°=45°, 故答案为:45°. 点评:本题考查了正方形的性质,先求出∠ BAE 的度数,再求出∠ AEB,最后求出答案. 17.如图 8,点 A 在双曲线 y ? 2 3 ( x ? 0) 上,点 B 在双曲线 y ? k ( x ? 0) 上(点 B 在点 A 的右侧) ,且 AB// x
x

x

轴,若四边形 OABC 是菱形,且 ? AOC=60°,则 k ?

. y A y B

O

C

x

图8

考点:菱形的性质;反比例函数图象上点的坐标特征. 分析:首先根据点 A 在双曲线 y=

.

(x>0)上,设 A 点坐标为(a,

) ,再利用含 30°直角三角形的

性质算出 OA=2a,再利用菱形的性质进而得到 B 点坐标,即可求出 k 的值. 解答:解:因为点 A 在双曲线 y= (x>0)上,设 A 点坐标为(a, ) ,

因为四边形 OABC 是菱形,且∠ AOC=60°, 所以 OA=2a, 可得 B 点坐标为(3a, 可得:k= ) , ,

故答案为: 点评:此题主要考查了待定系数法求反比例函数,关键是根据菱形的性质求出 B 点坐标,即可算出反比例 函数解析式. 18.如图 9,在数轴上,点 A 表示 1,现将点 A 沿 x 轴做如下移动,第一次点 A 向左移动 3 个单位长度到 达点 A1, 第二次将点 A1 向右移动 6 个单位长度到达点 A2, 第三次将点 A2 向左移动 9 个单位长度到达点 A3,按照这种移动规律移动下去,第 n 次移动到点 AN,如果点 AN 与原点的距离不小于 20,那么 n 的最 小值是 .

考点:规律型:图形的变化类;数轴.

图9 第 7 页 共 17 页

.

分析:序号为奇数的点在点 A 的左边,各点所表示的数依次减少 3,序号为偶数的点在点 A 的右侧,各点 所表示的数依次增加 3,于是可得到 A13 表示的数为﹣17﹣3=﹣20,A12 表示的数为 16+3=19,则可判断点 An 与原点的距离不小于 20 时,n 的最小值是 13. 解答:解:第一次点 A 向左移动 3 个单位长度至点 A1,则 A1 表示的数,1﹣3=﹣2﹣2; 第 2 次从点 A1 向右移动 6 个单位长度至点 A2,则 A2 表示的数为﹣2+6=4; 第 3 次从点 A2 向左移动 9 个单位长度至点 A3,则 A3 表示的数为 4﹣9=﹣5; 第 4 次从点 A3 向右移动 12 个单位长度至点 A4,则 A4 表示的数为﹣5+12=7; 第 5 次从点 A4 向左移动 15 个单位长度至点 A5,则 A5 表示的数为 7﹣15=﹣8; …; 则 A7 表示的数为﹣8﹣3=﹣11,A9 表示的数为﹣11﹣3=﹣14,A11 表示的数为﹣14﹣3=﹣17,A13 表示的数 为﹣17﹣3=﹣20, A6 表示的数为 7+3=10,A8 表示的数为 10+3=13,A10 表示的数为 13+3=16,A12 表示的数为 16+3=19, 所以点 An 与原点的距离不小于 20,那么 n 的最小值是 13. 故答案为:13. 点评:本题考查了规律型,认真观察、仔细思考,找出点表示的数的变化规律是解决本题的关键.

考生注意:第三至第八大题为解答题,要求在答题卡上写出解答过程,如果运算结果含有根 号,请保留根号. 三、 (本大题共 2 小题,每小题满分 6 分,共 12 分)
0 19.计算: 2015 ? (?1)2 ? 2 tan45o ? 4 .

考点:实数的运算;零指数幂;特殊角的三角函数值. 专题:计算题. 分析:原式第一项利用零指数幂法则计算,第二项利用乘方的意义化简,第三项利用特殊角的三角函数值 计算,最后一项利用算术平方根定义计算即可得到结果. 解答:解:原式=1+1﹣2×1+2 =2. 点评:此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 1 20.先化简,再求值: (1+ x ) (1- x )+ x ( x +2)-1,其中 x = . 2 考点:整式的混合运算—化简求值. 专题:计算题.
. .

分析:先利用乘法公式展开,再合并得到原式=2x,然后把 x= 代入计算即可. 解答:解:原式=1﹣x +x +2x﹣1 =2x, 当 x= 时,原式=2× =1. 点评:本题考查了整式的混合运算﹣化简求值:先按运算顺序把整式化简,再把对应字母的值代入求整式 的值.有乘方、乘除的混合运算中,要按照先乘方后乘除的顺序运算,其运算顺序和有理数的混合运算顺 序相似.
2 2

四、 (本大题共 2 小题,每小题满分 8 分,共 16 分)
21.如图 10,在平面直角坐标系中,已知 ? ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(-1,1) ,B(-3,1) ,C(-1,4) . 第 8 页 共 17 页

(1)画出△ABC 关于 y 轴对称的; (2)将△ABC 绕着点 B 顺时针旋转 90°后得到△A2BC2,请在图中画出△A2BC2,并求出线段 BC 旋转过程 中所扫过的面积(结果保留 ? ).

图 10 考点:作图-旋转变换;作图-轴对称变换. 专题:作图题.
.

分析: (1)根据题意画出△ ABC 关于 y 轴对称的△ A1B1C1 即可; (2) 根据题意画出△ ABC 绕着点 B 顺时针旋转 90°后得到△ A2BC2, 线段 BC 旋转过程中扫过的面积为扇形 BCC2 的面积,求出即可. 解答:解: (1)如图所示,画出△ ABC 关于 y 轴对称的△ A1B1C1; (2)如图所示,画出△ ABC 绕着点 B 顺时针旋转 90°后得到△ A2BC2, 线段 BC 旋转过程中所扫过得面积 S= = .

点评:此题考查了作图﹣旋转变换,对称轴变换,以及扇形面积,作出正确的图形是解本题的关键. 22.今年 5 月份,某校九年级学生参加了南宁市中考体育考试,为了了解该校九年级(1)班同学的中考 体育情况,对全班学生的中考体育成绩进行了统计,并绘制以下不完整的频数分布表(图 11-1)和扇 形统计图(图 11-2),根据图表中的信息解答下列问题: (1)求全班学生人数和 m 的值; (2)直接写出该班学生的中考体育成绩的中位数落在哪个分数段; 第 9 页 共 17 页

(3)该班中考体育成绩满分(60 分)共有 3 人,其中男生 2 人,女生 1 人,现需从这 3 人中随机选取 2 人到八年级进行经验交流,请用“列表法”或“画树状图法”求出恰好选到一男一女的概率.

图 11-1 考点: 列表法与树状图法; 频数 (率) 分组 分析: (1)利用 C 分数段所占比例 A 出 m 的值; (2)利用中位数的定义得出中位数 B (3)利用列表或画树状图列举出所 C 可得解. D 解答:解: (1)由题意可得:全班 E m=50﹣2﹣5﹣15﹣10=18(人) ; (2)∵ 全班学生人数:50 人, ∴ 第 25 和第 26 个数据的平均数是中位数, ∴ 中位数落在 51﹣56 分数段; (3)如图所示: 将男生分别标记为 A1,A2,女生标记为 B1 A1 A2 A1 (A1,A2) A2 (A2,A1) B1 (B1,A1) (B1,A2) P(一男一女)= = . B1 (A1,B1) (A2,B1) 分数段(分) 频数 36≤x<41 41≤x<46 46≤x<51 51≤x<56 56≤x<61 2 5 15 m 10

图 11-2 分布表;扇形统计图;中位数. 以及其频数求出总数即可,进而得
.

的位置; 有的可能,再根据概率公式计算即 学生人数:15÷30%=50(人) ;

点评:此题主要考查了列表法求概率以及扇形统计图的应用,根据题意利用列表法得出所有情况是解题关 键

五、 (本大题满分 8 分)
23.如图 12,在□ABCD 中,E、F 分别是 AB、DC 边上的点,且 AE=CF, (1)求证:△ADE≌△CBF; (2)若 ? DEB=90°,求证四边形 DEBF 是矩形.

图 12

考点:平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质;矩形的判定. 第 10 页 共 17 页

.

专题:证明题. 分析: (1)由在?ABCD 中,AE=CF,可利用 SAS 判定△ ADE≌ △ CBF. (2)由在?ABCD 中,且 AE=CF,利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,可证得四边形 DEBF 是 平行四边形,又由∠ DEB=90°,可证得四边形 DEBF 是矩形. 解答:证明: (1)∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD=CB,∠ A=∠ C, 在△ ADE 和△ CBF 中, , ∴ △ ADE≌ △ CBF(SAS) . (2)∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB=CD,AB∥ CD, ∵ AE=CF, ∴ BE=DF, ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∵ ∠ DEB=90°, ∴ 四边形 DEBF 是矩形. 点评:此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定以及全等三角形的判定与性质.注意有一个角是 直角的平行四边形是矩形,首先证得四边形 ABCD 是平行四边形是关键.

六、 (本大题满分 10 分)
24.如图 13-1,为美化校园环境,某校计划在一块长为 60 米,宽为 40 米的长方形空地上修建一个长方形 花圃,并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道,设通道宽为 a 米. (1)用含 a 的式子表示花圃的面积; (2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的 3 ,求出此时通道的宽;
8

(3)已知某园林公司修建通道、花圃的造价 y1 (元)、 y2 (元)与修建面积 x(m ) 之间的函数关系 如图 13-2 所示,如果学校决定由该公司承建此项目,并要求修建的通道的宽度不少于 2 米且不超过 10 米,那么通道宽为多少时,修建的通道和花圃的总造价最低,最低总造价为多少元?

2

图 13-1 第 11 页 共 17 页

图 13-2

考点:一次函数的应用;一元二次方程的应用. 分析: (1)用含 a 的式子先表示出花圃的长和宽后利用其矩形面积公式列出式子即可;
.

(2)根据通道所占面积是整个长方形空地面积的 ,列出方程进行计算即可; (3)根据图象,设出通道和花圃的解析式,用待定系数法求解,再根据实际问题写出自变量的取值范围 即可. 解答:解: (1)由图可知,花圃的面积为(40﹣2a) (60﹣2a) ; (2)由已知可列式:60×40﹣(40﹣2a) (60﹣2a)= ×60×40, 解以上式子可得:a1=5,a2=45(舍去) , 答:所以通道的宽为 5 米; (3)设修建的道路和花圃的总造价为 y, 由已知得 y1=40x, y 2= ,

则 y=y1+y2=
2



x 花圃=(40﹣2a) (60﹣2a)=4a ﹣200a+2400; 2 x 通道=60×40﹣(40﹣2a) (60﹣2a)=﹣4a +200a, 当 2≤a≤10,800≤x 花圃≤2016,384≤x 通道≤1600, ∴ 384≤x≤2016, 所以当 x 取 384 时,y 有最小值,最小值为 2040,即总造价最低为 23040 元, 2 当 x=383 时,即通道的面积为 384 时,有﹣4a +200a=384, 解得 a1=2,a2=48(舍去) , 所以当通道宽为 2 米时,修建的通道和花圃的总造价最低为 23040 元. 点评:本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用,解题的关键是表示出花圃的长和宽.

七、 (本大题满分 10 分)
25.如图 14,AB 是⊙O 的直径,C、G 是⊙O 上两点,且 AC = CG,过点 C 的直线 CD ? BG 于点 D,交 BA 的 延长线于点 E,连接 BC,交 OD 于点 F. (1)求证:CD 是⊙O 的切线. (2)若 OF ? 2 ,求 ? E 的度数.
FD 3

(3)连接 AD,在(2)的条件下,若 CD= 3 ,求 AD 的长.
.

图 14

考点:圆的综合题. 分析: (1)如图 1,连接 OC,AC,CG,由圆周角定理得到∠ ABC=∠ CBG,根据同圆的半径相等得到 OC=OB, 于是得到∠ OCB=∠ OBC,等量代换得到∠ OCB=∠ CBG,根据平行线的判定得到 OC∥ BG,即可得到结论;

第 12 页 共 17 页

(2)由 OC∥ BD,得到△ OCF∽ △ BDF,△ EOC∽ △ EBD,得到



,根据直角三角形的性质即

可得到结论; ( 3 )如图 2 ,过 A 作 AH⊥ DE 于 H ,解直角三角形得到 BD=3 , DE=3 AD= = = .

, BE=6 ,在 Rt△ DAH 中,

解答: (1)证明:如图 1,连接 OC,AC,CG, ∵ AC=CG, ∴ ,

∴ ∠ ABC=∠ CBG, ∵ OC=OB, ∴ ∠ OCB=∠ OBC, ∴ ∠ OCB=∠ CBG, ∴ OC∥ BG, ∵ CD⊥ BG, ∴ OC⊥ CD, ∴ CD 是⊙ O 的切线; (2)解:∵ OC∥ BD, ∴ △ OCF∽ △ BDF,△ EOC∽ △ EBD, ∴ ∴ , ,

∵ OA=OB, ∴ AE=OA=OB, ∴ OC= OE, ∵ ∠ ECO=90°, ∴ ∠ E=30°; (3)解:如图 2,过 A 作 AH⊥ DE 于 H, ∵ ∠ E=30° ∴ ∠ EBD=60°, ∴ ∠ CBD= EBD=30°,

∵ CD= , ∴ BD=3,DE=3 ∴ AE= BE=2, ∴ AH=1, ∴ EH= , ∴ DH=2 ,

,BE=6,

第 13 页 共 17 页

在 Rt△ DAH 中,AD=

=

=



点评:本题考查了切线的判定和性质,锐角三角函数,勾股定理相似三角形的判定和性质,圆周角定理, 正确的作出辅助线是解题的关键.

八、(本小题满分 10 分)
26.在平面直角坐标系中,已知 A、B 是抛物线 y ? ax (a ? 0) 上两个不同的点,其中 A 在第二象限,B 在
2

第一象限. (1)如图 15-1 所示,当直线 AB 与 x 轴平行, ? AOB=90°,且 AB=2 时,求此抛物线的解析式和 A、B 两点的横坐标的乘积. (2)如图 15-2 所示,在(1)所求得的抛物线上,当直线 AB 与 x 轴不平行, ? AOB 仍为 90°时,A、 B 两点的横坐标的乘积是否为常数?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由. (3)在(2)的条件下,若直线 y ? ?2 x ? 2 分别交直线 AB,轴于点 P、C,直线 AB 交 y 轴于点 D,且

? BPC= ? OCP,求点 P 的坐标.

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图 15-2 图 15-1 考点:二次函数综合题.

.

分析: (1)如图 1,由 AB 与 x 轴平行,根据抛物线的对称性有 AE=BE=1,由于∠ AOB=90°,得到 OE= AB=1, 求出 A(﹣1,1) 、B(1,1) ,把 x=1 时,y=1 代入 y=ax 得:a=1 得到抛物线的解析式 y=x ,A、B 两点的 横坐标的乘积为 xA?xB=﹣1 ( 2 )如图 2,过 A 作 AM⊥ x 轴于 M ,BN⊥ x 轴于 N 得到∠ AMO=∠ BNO=90°,证出 △ AMO∽ △ BON ,得到 OM?ON=AM?BN,设 A(xA,yA) ,B(xB,yB) ,由于 A(xA,yA) ,B(xB,yB)在 y=x 图象上,得到 yA= yB= ,即可得到结论;
2 2 2 2 2



(3)设 A(m,m ) ,B(n,n ) .作辅助线,证明△ AEO∽ △ OFB,得到 mn=﹣1.再联立直线 m:y=kx+b 与 2 抛物线 y=x 的解析式,由根与系数关系得到:mn=﹣b,所以 b=1;由此得到 OD、CD 的长度,从而得到 PD 的长度;作辅助线,构造 Rt△ PDG,由勾股定理求出点 P 的坐标. 解答: 解: (1)如图 1,∵ AB 与 x 轴平行, 根据抛物线的对称性有 AE=BE=1, ∵ ∠ AOB=90°, ∴ OE= AB=1, ∴ A(﹣1,1) 、B(1,1) , 把 x=1 时,y=1 代入 y=ax 得:a=1, 2 ∴ 抛物线的解析式 y=x , A、B 两点的横坐标的乘积为 xA?xB=﹣1 (2)xA?xB=﹣1 为常数, 如图 2,过 A 作 AM⊥ x 轴于 M,BN⊥ x 轴于 N, ∴ ∠ AMO=∠ BNO=90°, ∴ ∠ MAO+∠ AOM=∠ AOM+∠ BON=90°, ∴ ∠ MAO=∠ BON, ∴ △ AMO∽ △ BON, ∴ ,
2

∴ OM?ON=AM?BN, 设 A(xA,yA) ,B(xB,yB) , 2 ∵ A(xA,yA) ,B(xB,yB)在 y=x 图象上, ∴ ,yA= ,yB=
?

, ,

∴ ﹣xA?xB=yA?yB=

∴ xA?xB=﹣1 为常数; 第 15 页 共 17 页

(3)设 A(m,m ) ,B(n,n ) , 如图 3 所示,过点 A、B 分别作 x 轴的垂线,垂足为 E、F,则易证△ AEO∽ △ OFB. ∴ ,即 ,整理得:mn(mn+1)=0,

2

2

∵ mn≠0,∴ mn+1=0,即 mn=﹣1. 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b,联立 ,得:x ﹣kx﹣b=0.
2

∵ m,n 是方程的两个根,∴ mn=﹣b. ∴ b=1. ∵ 直线 AB 与 y 轴交于点 D,则 OD=1. 易知 C(0,﹣2) ,OC=2,∴ CD=OC+OD=3. ∵ ∠ BPC=∠ OCP,∴ PD=CD=3. 设 P(a,﹣2a﹣2) ,过点 P 作 PG⊥ y 轴于点 G,则 PG=﹣a,GD=OG﹣OD=﹣2a﹣3. 在 Rt△ PDG 中,由勾股定理得:PG +GD =PD , 2 2 2 2 即: (﹣a) +(﹣2a﹣3) =3 ,整理得:5a +12a=0, 解得 a=0(舍去)或 a=﹣ 当 a=﹣ ∴ P(﹣ 时,﹣2a﹣2= , ) . , ,
2 2 2

第 16 页 共 17 页

点评:本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、等腰直角三角形的性质,勾股定理、相似三角形的 判定和性质、一元二次方程等知识点,有一定的难度.第(3)问中,注意根与系数关系的应用.

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