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山东省东营市第一中学2016届高三上学期期中考试数学(文)试题含答案


保密★启用前 类型:A

试卷

2015—2016 学年第一学期期中考试 高三文科数学试题
注意事项: 1.本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷为选择题,第Ⅱ卷为非选择题,考试时间为 120 分钟, 满分 150 分. 2.把选择题选出的答案标号涂在答题卡上. 3.第Ⅱ卷用黑色签字笔在答题纸规定的位置作答,否则不予评分.

第Ⅰ卷

选择题(共 50 分)

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.

x2 1.函数 y ? ? lg ? 2 x ? 1? 的定义域是 ( 2? x
A. ? ?



? 1 ? , ?? ? ? 2 ?

B. ? ?

? 1 ? ,2? ? 2 ?

C. ? ?

? 1 1? , ? ? 2 2?

D. ? ??, ?

? ?

1? ? 2?

2.要得到 y ? sin 2 x ? cos2 x 的图象,只需将 y ? 2 sin 2x 的图象( A.向左平移



? 个单位 4

B.向左平移

? 个单位 8
? 个单位 8


C.向右平移

? 个单位 4

D.向右平移

3.若数列 ?an ?的通项公式是 an ? (?1) (3n ? 2) ,则 a1 ? a2 ? ?a10 ? (
n

A.-12

B.12

C.-15

D.15

4.已知非零向量 a , b 满足 b ? 4 a ,且 a ? (2a ? b) ,则 a 与 b 的夹角为(



A.

? 3

B.

? 2

C.

2? 3

D.

5? 6

5.设等差数列 ?an ?的前 n 项和为 S n .若 a1 ? ?11, a4 ? a6 ? ?6 ,则当 S n 取最小值时,

n ?(
A.6

) B.7 C.8 D.9

6.已知 ? 为第四象限角, sin ? ? cos? ?

3 ,则 cos 2? = ( 3
5 3 5 9



A.

5 3

B.

5 9

C. ?

D. ?

7. 如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 2 ,点 E 为 BC 的中点,点 F 在边 CD 上,若

AB ? AF ? 2 ,则 AE ? BF ? (
A.3 B.2



C. 3

D. 2

8 .在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a , b , c , S 表示 ?ABC 的面积,若

a cos B ? b cos A ? c sin C , 且 S ?
A.30° B.45°

1 2 (b ? c 2 ? a 2 ) ,则 ?B ? ( 4
D.90°



C. 60°

9.设 f ( x) 是一个三次函数, f ' ( x) 为其导函数,如图所示是函数 y ? xf ' ( x) 的图像的一部 分,则 f ( x) 的极大值与极小值分别为( A. f (1) 与 f (?1) C. f (?2) 与 f ( 2) )

B. f (?1) 与 f (1) D. f ( 2) 与 f (?2)

10.设 f ( x) 与 g ( x) 是定义在同一区间 ? a, b? 上的两个函数,若对任意的 x ? ? a, b? ,都有

| f ( x) ? g ( x) |? 1 ,则称 f ( x) 和 g ( x) 在 ? a, b? 上是 “ 密切函数 ” , ? a, b? 称为 “ 密切区
间”.设 f ( x) ? x2 ? 3x ? 4 与 g ( x) ? 2 x ? 3 在 ? a, b? 上 是“密切函数”,则它的“密切区 间”可以是 ( A. [1, 4] )

B. [2, 4]

C. [2,3]

D. [3, 4]

第Ⅱ卷

非选择题(共 100 分)

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.设单位向量 e1 , e2 ,满足 e1 ? ee ? ?

1 ,则 e1 ? 2e2 ? 2




12.已知 f ( x) ? x 2 ? 2 xf ?(1) ,则 f ?(0) ?

?e x ?1 , x ? 1, ? 13.设函数 f ( x) ? ? 1 ,则使得 f ( x) ? 2 成立的 x 的取值范围是 3 ? ? x , x ? 1,



2 14.已知各项不为 0 的等差数列 ?an ?满足 2a3 ? a7 ? 2a11 ? 0 ,数列 ?bn ? 是等比数列,且

b7 ? a7 ,则 b6 b8 ?
15.给出下列命题: ①函数 y ? cos(



2 ? x ? ) 是奇函数; 3 2 3 ; 2

②存在实数 ? ,使得 sin ? ? cos ? ?

③若 ? , ? 是第一象限角,且 ? ? ? ,则 tan? ? tan ? ; ④x ?

?
8

是函数 y ? sin( 2 x ?

5? ) 的一条对称轴; 4

⑤函数 y ? sin( 2 x ? 其中正确的序号为

?

?? ? ) 的图象关于点 ? ,0 ? 成中心对称图形. 3 ? 12 ?


三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

、 c 分 别 是 角 A、B、C 的 对 边 , 且 16 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 ?ABC 中 , a、 b

co sB b ?? . co sC 2a ? c
(1)求角 B 的大小; (2)若 b ? 3 ,求 ?ABC 面积的最大值.

17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos x ?
2

1 ,x?R . 2

(1)求函数 f ( x) 的最小值和最小正周期;

、 C 的对边分别为 a、b、c ,且 c ? 3, f (C )? 0,若向量 ( 2 )已知 ?ABC 内角 A、 B

m ? (1,sin A) 与 n ? (2,sin B) 共线,求 a、b 的值.

18. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ?的公差 d ? 0 , 前 n 项和为 Sn . 若 a1 ? 6 , 且 a2 , a7 , a22 成等比数列. (1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)设数列 ?

?1? 1 3 ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: ? Tn ? . 6 8 ? Sn ?

19 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 数 列 ?an ? 各 项 均 为 正 数 , 其 前 n 项 和 Sn 满 足 ( n ? N? ) . 4Sn ? an2 ? 2 an ?1 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足: bn ? an ? 2
an ?1 2



求数列 ?bn ? 的前 n 项和 ?n .

x2 y2 20. (本小题满分 13 分)已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1、F2 , a b
离心率为

3 ,过点 F2 的直线交椭圆 C 于 A、B 两点,且 ?AF1 B 的周长为 4 3 . 3

(1)求椭圆 C 的标准方程;

0,?2) (2)若过定点 M( 的动直线 l 与椭圆 C 相交 P,Q 两点,求 ?OPQ 的面积的最大值
( O 为坐标原点) ,并求此时直线 l 的方程.

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? (a ? ) x ? ln x . (a? R )
2

1 2

(1)当 a ? 0 时,求 f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; (2)若在区间(1,+∞)上,函数 f ( x) 的图象恒在直线 y ? 2ax 下方,求 a 的取值范围; (3)设 g ( x) ? f ( x) ? 2ax , h( x) ? x ? 2bx ?
2

2 19 .当 a ? 时,若对于任意 x1 ? (0,2) , 6 3

存在 x2 ? [1,2] ,使 g ( x1 ) ? h( x2 ) ,求实数 b 的取值范围.

2015—2016 学年第一学期期中考试 高三文科数学试题答案
B BD C A A DB C C 11. 3 2 16.(1) B= π. 3 12. -4 (2) 13. ? ??,8? 14. 16 15. ①④

3 3 4

17.(1) f ( x ) 的最小值为 ?2 ,最小正周期为 ? . (2) ?

?a ? 3 . ?b ? 2 3

18. (1) an ? 4n ? 2(n ? N * ) .

3 1 1 1 ? ( ? ). 8 4 n ?1 n ? 2 3 1 1 ? ? 0 ,所以 Tn ? . 因为 8 n ?1 n ? 2 1 1 1 1 ? ) ? 0 ,即 ?Tn ?是递增数列,所以 Tn ? T1 ? . 因为 Tn?1 ? Tn ? ( 6 4 n ?1 n ? 3 1 3 所以 ? Tn ? . 6 8
(2) Tn = 19. (1) an ? 2n ? 1 (2) bn ? an ? 2 20.(1)
an -1 2

? (2n ?1) ? 2n?1 ?Tn ? 3 ? (2n ? 3) ? 2n .

x2 y 2 6 ? ? 1 (2) S max ? , y ? ? 2x ? 2 3 2 2

21. (1) y ? ?

1 2
1 2
2

(2)令 g ( x) ? f ( x) ? 2ax ? (a ? ) x ? 2ax ? ln x ,则 g ( x) 的定义域为(0,+∞). 在区间(1,+∞)上,函数 f ( x) 的图象恒在直线 y ? 2ax 下方等价于 g ( x) ? 0 在区间(1, +∞)上恒成立.

g ?( x) ? (2a ? 1) x ? 2a ?
①若 a ?

1 (2a ? 1) x 2 ? 2ax ? 1 ( x ? 1)[(2a ? 1) x ? 1] ? ? x x x ①

1 1 ,令 g ?( x) ? 0 ,得极值点 x1 ? 1 , x2 ? 2 2a ? 1 1 当 x2 ? x1 ? 1 ,即 ? a ? 1 时,在( 0 ,1)上有 g ?( x) ? 0 ,在(1, x2 )上有 g ?( x) ? 0 ,在 2
( x 2 , +∞) 上有 g ?( x) ? 0 ,此时 g ( x) 在区间 ( x 2 , +∞) 上是增函数,并且在该区间上有

g ( x) ∈( g ( x2 ) , ? ? ),不合题意;
当 x2 ? x1 ? 1 ,即 a ? 1 时,同理可知, g ( x) 在区间(1, ? ? )上,有

g ( x) ∈( g (1) , ? ? ),也不合题意;
② 若a ?

1 ,则有 2a ? 1 ? 0 ,此时在区间(1,+∞)上恒有 g ?( x) ? 0 , 2

从而 g ( x) 在区间(1,+∞)上是减函数; 要使 g ( x) ? 0 在此区间上恒成立,只须满足 g (1) ? ? a ? 范围是[ ?

1 1 ? 0 ? a ? ? ,由此求得 a 的 2 2

1 1 , ]. 2 2 1 1 , ]时,函数 f ( x) 的图象恒在直线 y ? 2ax 下方. 2 2

综合①②可知,当 a ∈[ ? (3)当 a ?

2 时,由(Ⅱ)中①知 g ( x) 在( 0 ,1)上是增函数,在(1,2)上是减函数,所以 3 7 对任意 x1 ? (0,2) ,都有 g ( x1 ) ? g (1) ? ? , 6 19 7 2 ? ? ,即存在 又已知存在 x2 ? [1,2] , 使 g ( x1 ) ? h( x2 ) ,即存在 x2 ? [1,2] , 使 x ? 2bx ? 6 6 13 13 x2 ? [1,2] , 2bx ? x 2 ? ,即存在 x2 ? [1,2] ,使 2b ? x ? . 3x 3 13 25 16 16 8 ? [ , ]( x ? [1,2]) ,所以 2b ? ,解得 b ? ,所以实数 b 的取值范围 因为 y ? x ? 3 3x 6 3 3 8 是 ( ?? , ] . 3


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