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三视图历年高考真题


2010 年高考题
一、选择题 1(2010 陕西文) 8.若某空间几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积是 (A)2 (C) [B] (B)1 (D)

2 3

1 3 1 ? 1? 2 ? 2 ? 1 2

如图,该立体图形为直三棱柱所以其体积为

2.(2010 安徽文) (9)一个几何体的三视图如图,该几 何体的表面积是 (A)372 (C)292 (B)360 (D)280

【解析】该几何体由两个长方体组合而成,其表面积等 于下面长方体的全面积加上面长方体的 4 个侧面积之和

S ? 2(10 ? 8 ? 10 ? 2 ? 8 ? 2) ? 2(6 ? 8 ? 8 ? 2) ? 360 .
3.(2010 重庆文) (9)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 (A)只有 1 个 (C)恰有 4 个 (B)恰有 3 个 (D)有无穷多个

【解析】放在正方体中研究,显然,线段 OO1 、EF、FG、GH、 HE 的中点到两垂直异面直线 AB、CD 的距离都相等, 所以排除 A、B、C,选 D 亦可在四 条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线 AB、CD 的距离相等 4.(2010 浙江文) (8)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积 是

(A)

352 3 cm 3

(B)

320 cm 3

(C)

224 3 cm 3

(D)

160 3 cm 3

【解析】选 B 5.(2010 广东理)6.如图 1,△ ABC 为三角形, AA? // BB? // CC ? , CC ? ⊥平面 ABC 且 3 AA? =

3 BB? = CC ? =AB,则多面体△ABC - A?B?C ? 的正视图(也称主视图)是 2

【答案】D 6.(2010 福建文)3.若一个底面是正三角形的三棱柱 的正视图如图所示,则其侧面积等于 ( A. 3 C. 2 3 B.2 D.6 )

三棱柱是以底面边长为 2,高为 1 的正三棱柱,选 D. 7.(2010 广东文)

8.(2010 全国卷 1 文) (12)已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点,若 AB=CD=2, 则四面体 ABCD 的体积的最大值为 (A)

2 3 3

(B)

4 3 3

(C) 2 3

(D)

8 3 3

【解析】过 CD 作平面 PCD,使 AB⊥平面 PCD,交 AB 与 P,设点 P 到 CD 的距离为 h ,则有

1 1 2 V四面体ABCD ? ? 2 ? ? 2 ? h ? h ,当直径通过 AB 与 CD 的中点时, hmax ? 2 22 ? 12 ? 2 3 , 3 2 3
故 Vmax ?

4 3 3

二、填空题 1.(2010 上海文)6.已知四棱椎 P ? ABCD 的底面是边长为 6 的正方形,侧棱 PA ? 底 面 ABCD ,且 PA ? 8 ,则该四棱椎的体积是 【答案】96 【解析】考查棱锥体积公式 V ? 。

1 ? 36 ? 8 ? 96 3
2

2.(2010 湖南文)13.图 2 中的三个直角三角形是一个体积为 20cm 的几何体的三视图, 则 h= cm

【答案】4 3.(2010 浙江理) (12)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体 积是___________ cm . 解析:图为一四棱台和长方体的组合体的三视图,由卷中 所给公式计算得体积为 144, 4.(2010 天津文) (12)一个几何体的三视图如图所示, 则这个几何体的体积为 。
3

由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形,则正视图和俯 视图可知该几何体的高为 1,结合三个试图可知该几何体 是底面为直角梯形的直四棱柱,所以该几何题的体积为

1 (1+2) ? 2 ? 1=3 2
5.(2010 天津理) (12)一个几何体的三视图如图所示, 则这个几何体的体积为 【解析】 由三视图可知, 该几何体为一个底面边长为 1, 高为 2 的正四棱柱与一个底面边长为 2,高为 1 的正四 棱锥组成的组合体,因为正巳灵珠的体积为 2,正四棱

锥的体积为 ? 4 ? 1 ? 三、解答题

1 3

4 4 10 ,所以该几何体的体积 V=2+ = 3 3 3

1.(2010 陕西文)18.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是矩形 PA⊥平面 ABCD,AP=AB,BP=BC=2,E,F 分别是 PB,PC 的中点. (Ⅰ)证明:EF∥平面 PAD; (Ⅱ)求三棱锥 E—ABC 的体积 V. 解 (Ⅰ)在△PBC 中,E,F 分别是 PB,PC 的中点,∴EF∥BC. 又 BC∥AD,∴EF∥AD,又∵AD ? 平面 PAD,EF ? 平面 PAD, ∴EF∥平面 PAD. (Ⅱ)连接 AE,AC,EC,过 E 作 EG∥PA 交 AB 于点 G,则 BG⊥平面 ABCD,且 EG=

1 PA. 2

在△PAB 中,AD=AB, ? PAB°,BP=2,∴AP=AB= 2 ,EG=

2 . 2

∴S△ABC=

1 1 1 1 2 1 AB·BC= × 2 ×2= 2 ,∴VE-ABC= S△ABC·EG= × 2 × = . 2 2 3 3 2 3

2.(2010 安徽文)19.(本小题满分 13 分) 如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是 正 方 形 , AB=2EF=2 ,

EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°,BF=FC,H 为 BC 的中点, (Ⅰ)求证:FH∥平面 EDB; (Ⅱ)求证:AC⊥平面 EDB; (Ⅲ)求四面体 B—DEF 的体积; 【解题指导】 (3)证明 BF⊥平面 CDEF,得 BF 为四面体 B-DEF 的高,进而求体积.

(1)证:设AC与BD交于点G,则G为AC的中点,连EG , GH,由于H 为BC的中点,故 1 GH / / AB, 2 1 又EF / / AB,?四边形EFGH 为平行四边形 2 ? EG / / FH,而EG ? 平面EDB, ? FH / / 平面EDB

2005—2008 年高考题
一、选择题 1.(2008 广东)将正三棱柱截去三个角(如图 1 所示 A,B,C 分别是 △GHI 三边的中 点)得到几何体如图 2,则该几何体按图 2 所示方向的侧视图(或称左视图)为( H B A I C G 侧视 D F 图1 答案 A 2.(2008 山东)下图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 A.9π B.10π C.11π D.12π E F 图2 B A C B E A. B. B )

B

B

E

D

E

E C.

E D.

【解析】考查三视图与几何体的表面积。从三 视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组 合而成的,其表面及为

S ? 4? ?12 ? ? ?12 ? 2 ? 2? ?1? 3 ? 12? .
3. (2007 陕西理?6) 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上, 其中底面的三 个顶点在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是( A.
3 3 4

)答案 B D.
3 12

B.

3 3

C.

3 4

4.(2006 安徽)表面积为 2 3 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的 体积为 A. 答案 A

2 ? 3

B. ?

1 3

C.

2 ? 3

D.

2 2 ? 3 3a 2 ? 2 3 知, 4

【解析】此正八面体是每个面的边长均为 a 的正三角形,所以由 8 ?

a ? 1 ,则此球的直径为 2 ,故选 A。
5.(2006 福建)已知正方体外接球的体积是

32 ? ,那么正方体的棱长等于( 3
C.



A.2 2

B.

2 3 3

4 2 3

D.

4 3 3

【解析】 正方体外接球的体积是

32 ?, 则外接球的半径 R=2, 正方体的对角线的长为 4, 3

棱长等于

4 3 ,选 D. 3
) D. 1∶9

6.(2006 山东卷)正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( A. 1∶ 3 B. 1∶3 C. 1∶3 3

【解析】 设正方体的棱长为 a, 则它的内切球的半径为

1 3 a, 它的外接球的半径为 a, 2 2

故所求的比为 1∶3 3 ,选 C. 7.(2005 全国卷Ⅰ)一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为 ? ,则球的表面 积为 ( A. 8 2? 答案 B 8.(2005 全国卷Ⅰ)如图,在多面体 ABCDEF 中,已知 ABCD 是边长为 1 的正方形, 且 ?ADE 、?BCF 均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为 A. C. ( ) ) B. 8? C. 4 2? D. 4?

2 3
4 3

B. D.

3 3
3 2

二、填空题 1.(2008 海南、宁夏文)一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面。已知该六棱 柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的高为 3 ,底面周长为 3,那么这个球的体积 为________ 【解析】∵正六边形周长为3,得边长为

1 ,故其主对角线为1,从而球的直径 2
4 ?. 3

2R ?

? 3?

2

? 12 ? 2

∴R ?1

∴球的体积 V ?

2.(2007 全国Ⅱ理?15)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2 cm 的球面上。如果正 四棱柱的底面边长为 1 cm,那么该棱柱的表面积为 cm2. 答案

2? 4 2

3.(2006 辽宁)如图,半径为 2 的半球内有一内接正六棱锥 P ? ABCDEF ,则此正六 棱锥的侧面积是________.

P 【解析】显然正六棱锥 P ? ABCDEF 的底面的外接圆是 球的一个大圆,于是可求得底面边长为 2 ,又正六棱锥 C B A F D E

P ? ABCDEF 的高依题意可得为 2,依此可求得 6 7 .

2012 高考真题
一、选择题 1.【2012 新课标理 7】如图,网格纸上小正方形的边长为 1 , 粗线画出的是某几何体的三视图, 则此几何体的体积为 ( )

( A) 6

(B) 9

(C ) ??

( D) ??

2. 【2012 湖南理 3】 某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示, 则该几何体的俯视图不可能是

3.【2012 湖北理 4】已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
8π 3

A. C.

B . 3π D. 6π

10 π 3

4.【2012 广东理 6】某几何体的三视图如图所 示,它的体积为 A. 12π B.45π C. 57π D. 81π

5.【2012 福建理 4】一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不 可以是

A.球 B.三棱锥 C.正方形 D.圆柱 6.【2012 高考真题北京理 7】某三棱锥的三 视图如图所示, 该三梭锥的表面积是 ( ) A. 28+6 5 C. 56+ 12 5 B. 30+6 5 D. 60+12 5

8.(2011 浙江理 3)若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是

9.(2011 全国新课标理 6) 。在一个几何体的三视图中,正视图与俯视图如右图所示,则 相应的侧视图可以为 ( )

11.(广东理 7)如图,某几何体的正视图(主视图)是平行四边形, 侧视图 和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为 A. 6 3 B. 9 3 C. 12 3 D. 18 3

侧视图 12.(湖南理 3)设图 1 是某几何体的三视图,则该 几何体的体积为

俯视图

9 ? ? 12 A. 2

9 ? ? 18 B. 2

C. 9? ? 42

D. 36? ? 18 图如图

14.(安徽理 6)一个空间几何体的三视 所示,则该几何体的表面积为 (A)48 (C)48+8 ?? (B)32+8 ?? (D)80

15. (辽宁理 15) 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等, 体积为 2 3 它的三视图中的俯视图如右图所示,左视图是一个矩形,则这矩 形的面积是 A.4 B. 2 3 C.2 D.

3

二、填空题
14.【2012 高考真题浙江理 11】已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三 棱锥的体积等于________cm3.

2.【2012 高考真题辽宁理 13】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 ______________。

3. 【2012 高考真题安徽理 12】 某几何体的三视图如图所示, 该几何体的表面积是 _____ .

4.【2012 高考真题天津理 10】一个几何体的三视图如图所示(单位:m) ,则该几何体

的体积为_________m3. 5.(天津理 10)一个几何体的三视图如右图所示(单位: m ) ,则该几何体的体积为

__________ m

3

参考答案 一、选择题
1. 【解析】由三视图可知,该几何体是三棱锥,底面是俯视图,高为 3 ,所以几何体的 体积为 V ?

1 1 ? ? 6 ? 3 ? 3 ? 9 ,选 B. 3 2

2, 【解析】本题是组合体的三视图问题,由几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示知, 原图下面图为圆柱或直四棱柱,上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱,A,B, C都可能是该几何体的俯视图,D不可能是该几何体的俯视图,因为它的正视图上面应 为 矩形. 3.【解析】显然有三视图我们易知原几何体为 一个圆柱体的一部分,并且有正视图知 是一个 1/2 的圆柱体,底面圆的半径为 1,圆柱体的高为 6,则知所求几何体体积为原体 积的一半为 3π .选 B. 4、 【解析】该几何体的上部是一个圆锥,下部是一个圆柱,根据三视图中的数量关系, 可得 V ? V圆锥 ? V圆柱 ?

1 ? ? ? 32 ? 52 - 32 ? ? ? 32 ? 5 ? 57? .故选 C. 3

5.【答案】D. 6.【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥,如图 所示,图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出 的长度,黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。本题 所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和,利用垂直关系和三

角形面积公式,可得: S底 ? 10 , S后 ? 10 , S右 ? 10 , S左 ? 6 5 ,因此该几何体表面 积 S ? S底 ? S后 ? S右 ? S左 ? 30 ? 6 5 ,故选 B。 7.【答案】A B 12.【答案】B 8.【答案】D 13【答案】C 9.【答案】D 14.【答案】C 10【答案】A 15.【答案】B 11【答案】

二、填空题
1.【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角形,右侧面也是一直角三角形.故
1 1 体积等于 ? 3 ?1? 2 ? ? 1 . 2 3 2.【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱,其中长

方体的长、宽、高分别为 4、3、1,圆柱的底面直径为 2,所以该几何体的表面积为 长方体的表面积加圆柱的侧面积再减去圆柱的底面积,即为

2(3 ? 4 ? 4 ?1 ? 3 ?1) ? 2? ?1?1 ? 2? ? 38
3.【解析】该几何体是底面是直角梯形,高为 4 的直四棱柱, 几何体的表面积是 S ? 2 ? 4.【答案】 18 ? 9? 5.【答案】 6 ? ? 2013 高考真题 一、选择题 1 1. (2013 年高考重庆卷(文) )某几何体的三视图如题(8)所示,则该几何体的表面积

1 ? (2 ? 5) ? 4 ? (2 ? 5 ? 4 ? 42 ? (5 ? 2) 2 ) ? 4 ? 92 . 2



A. 180

B. 200

C. 220

D. 240

32 已知正四棱锥

ABCD ? A1B1C1D1中,AA1 ? 2 AB, 则CD与平面BDC1所成角的
2 )A. 3 1 3 2 B. 3 C. 3 D. 3

正弦值等于



3 4. (2013 年高考四川卷(文) )一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是 A.棱柱 B.棱台 C.圆柱 D.圆台

5 . (2013 年高考浙江卷(文) )已知某几何体的三视图 (单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是 A.108cm B.100 cm C.92cm3 D.84cm3 6. ( 2013 年 高 考 北 京 卷 ( 文 ) )如图,在正方体

ABCD ? A1 B1C1 D1 中 , P 为对角线 BD1 的三等分点 ,则 P
到各顶点的距离的不同取值有

D1 A1
D P A
A.3 个 B.4 个

C1 B1
C
B
C.5 个 D.6 个
2 1 正视图 1 侧视图

74 . (2013 年高考广东卷(文) )某三棱锥的三视图如图 2 所示,则该三棱锥的体积是

1 A. 6

1 B. 3

2 C. 3

D. 1

俯视图 图 2

5 8. (2013 年高考湖南(文) )已知正方体的棱长为 1,其俯视图是一个面积为 1 的正 方形,侧视图是一个面积为 2 的矩形,则该正方体的正视图的面积等于______

3 A. 2

2 ?1 B.1 C. 2

D. 2

96. (2013 年高考辽宁卷(文) )已知三棱柱

ABC ? A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球

AA ? 12 ,则球 O 的半径为 面上,若 AB ? 3,AC ? 4 , AB ? AC , 1
13 3 17 A. 2 B. 2 10 C. 2 D. 3 10
107. (2013 年高考山东卷(文 ) )一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主) 视图如右图所示该四棱锥侧面积和体积分别是

A. 4 5,8

4 5,
B.

8 3

4( 5 ? 1),
C.

8 3

D.8,8


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