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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)选修1-2练习:3.1 第2课时 复数的几何意义]


选修 1-2

第三章

3.1

第 2 课时

一、选择题 → → 1.若OZ=(0,-3),则OZ对应的复数为( A.0 C.-3i [答案] C → [解析] 由OZ=(0,-3),得点 Z 的坐标为(0,-3), → ∴OZ对应的复数为 0-3i=-3i.故选 C. 2.复数 z 与它的模相等的充要条件是( A.z 为纯虚数 C.z 是正实数 [答案] D [解析] ∵z=|z|,∴z 为实数且 z≥0. 3.已知复数 z=(m-3)+(m-1)i 的模等于 2,则实数 m 的值为( A.1 或 3 C.3 [答案] A [解析] 依题意可得 ?m-3?2+?m-1?2=2,解得 m=1 或 3,故选 A. 4.在复平面内,复数 6+5i,-2+3i 对应的点分别为 A、B.若 C 为线段 AB 的中点, 则点 C 对应的复数是( A.4+8i C.2+4i [答案] C [解析] 由题意,得点 A(6,5),B(-2,3).由 C 为线段 AB 的中点,得点 C(2,4), ∴点 C 对应的复数为 2+4i. 5.复数 z=(a2-2a)+(a2-a-2)i 对应的点在虚轴上,则( A.a≠2 或 a≠1 C.a=2 或 a=0 [答案] C [解析] 由题意知 a2-2a=0, 解得 a=0 或 2. B.a≠2 或 a≠-1 D.a=0 ) ) B.8+2i D.4+i B.1 D.2 ) ) B.z 是实数 D.z 是非负实数 )

B.-3 D.3

6.已知平行四边形 OABC,O、A、C 三点对应的复数分别为 0、1+2i、3-2i,则向量 → → AB的模|AB|等于( A. 5 C.4 [答案] D → → [解析] 由于 OABC 是平行四边形,故AB=OC, → → 因此|AB|=|OC|=|3-2i|= 13,故选 D. 二、填空题 7.已知复数 x2-6x+5+(x-2)i 在复平面内的对应点在第三象限,则实数 x 的取值范 围是________. [答案] (1,2) [解析]
?x2-6x+5<0 ? 由已知,得? , ?x-2<0 ?

) B.2 5 D. 13

解得 1<x<2. 8.已知复数 z1=-2+3i 对应点为 Z1,Z2 与 Z1 关于 x 轴对称,Z3 与 Z2 关于直线 y=-x 对称,则 Z3 点对应的复数为 z=________. [答案] 3+2i [解析] Z1(-2,3),Z2(-2,-3),Z3(3,2) ∴z=3+2i. 9.若复数 z=(m2-9)+(m2+2m-3)i 是纯虚数,其中 m∈R,则|z|=________. [答案] 12
?m2+2m-3≠0 ? [解析] 由条件知? 2 , ? ?m -9=0

∴m=3,∴z=12i,∴|z|=12. 三、解答题 10.如果复数 z=(m2+m-1)+(4m2-8m+3)i(m∈R)对应的点在第一象限,求实数 m 的取值范围. [解析] ∵z=(m2+m-1)+(4m2-8m+3)i,
?m2+m-1>0 ? 由题意得? 2 , ?4m -8m+3>0 ?

-1- 5 3 解得 m< 或 m> , 2 2 -1- 5 3 即实数 m 的取值范围是 m< 或 m> . 2 2

一、选择题 11.已知复数 z=(x-1)+(2x-1)i 的模小于 10,则实数 x 的取值范围是( 4 A.- <x<2 5 4 C.x>- 5 [答案] A [解析] 由条件知,(x-1)2+(2x-1)2<10, 4 ∴5x2-6x-8<0,∴- <x<2. 5 12.已知复数 z1=2-ai(a∈R)对应的点在直线 x-3y+4=0 上,则复数 z2=a+2i 对应 的点在( ) B.第二象限 D.第四象限 B.x<2 4 D.x<- 或 x>2 5 )

A.第一象限 C.第三象限 [答案] B

[解析] 复数 z1=2-ai 对应的点为(2,-a),它在直线 x-3y+4=0 上,故 2+3a+4 =0,解得 a=-2,于是复数 z2=-2+2i,它对应的点在第二象限,故选 B. 13.复数 1+cosα+isinα(π<α<2π)的模为( α A.2cos 2 α C.2sin 2 [答案] B [解析] 所求复数的模为 ?1+cosα?2+sin2α= 2+2cosα= π α ∵π<α<2π,∴ < <π, 2 2 α ∴cos <0, 2 ∴ α α 4cos2 =-2cos . 2 2 ) α 4cos2 , 2 )

α B.-2cos 2 α D.-2sin 2

14.已知 0<a<2,复数 z 的实部为 a,虚部为 1,则|z|的取值范围是( A.(1,5) C.(1, 5) [答案] C B.(1,3) D.(1, 3)

[解析] 由已知,得|z|= a2+1. 由 0<a<2,得 0<a2<4, ∴1<a2+1<5. ∴|z|= a2+1∈(1, 5). 故选 C.

二、填空题 15.已知复数 z1=-1+2i、z2=1-i、z3=3-2i,它们所对应的点分别是 A、B、C,若 O C =x O A +y O B (x、y∈R),则 x+y 的值是________. [答案] 5 [解析] 由复数的几何意义可知,







→ → → O C =xOA+yOB,即
3-2i=x(-1+2i)+y(1-i), ∴3-2i=(y-x)+(2x-y)i. 由复数相等可得
? ? ?y-x=3 ?x=1 ? ,解得? . ?2x-y=-2 ? ? ?y=4

∴x+y=5. 16.设(1+i)sinθ-(1+icosθ)对应的点在直线 x+y+1=0 上,则 tanθ 的值为________. [答案] 1 2

[解析] 由题意,得 sinθ-1+sinθ-cosθ+1=0, 1 ∴tanθ= . 2 三、解答题 17.已知 a∈R,则复数 z=(a2-2a+4)-(a2-2a+2)i 所对应的点在复平面的第几象限 内?复数 z 的对应点的轨迹是什么曲线? [解析] a2-2a+4=(a-1)2+3≥3, -(a2-2a+2)=-(a-1)2-1≤-1. 由实部大于 0,虚部小于 0 可知,复数 z 的对应点在复平面的第四象限内. 设 z=x+yi(x,y∈R), 则 x=a2-2a+4,y=-(a2-2a+2). 消去 a2-2a,得 y=-x+2(x≥3). 所以复数 z 的对应点的轨迹是以(3,-1)为端点,-1 为斜率,在第四象限的一条射线.

18. 设 z∈C, 则满足条件|z|=|3+4i|的复数 z 在复平面上对应的点 Z 的集合是什么图形? [解析] 解法一:|z|=|3+4i|得|z|=5. → 这表明向量OZ的长度等于 5,即点 Z 到原点的距离等于 5. 因此,满足条件的点 Z 的集合是以原点 O 为原点,以 5 为半径的圆. 解法二:设 z=x+yi(x、y∈R),则|z|2=x2+y2. ∵|3+4i|=5, ∴由|z|=|3+4i|得 x2+y2=25, ∴点 Z 的集合是以原点为圆心,以 5 为半径的圆.


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