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【名师一号】(学习方略)2015-2016学年高中数学 1.1.1正弦定理课件 新人教A版必修5


第一部分

第一章

解三角形

§1.1

算法与程序框图

第一课时

正弦定理

课前预习目标

课堂互动探究

课前预习目标
梳理知识 夯实基础

自学导引 1.了解正弦定理的推导过程. 2.掌握正弦定理并能解一些简单的三角形度量问题.

课前热身 1.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的 ____________的比相等,即____________. 2.解三角形:一般地,把三角形的三个角A,B,C和它 们的对边a,b,c叫做三角形的____________,已知三角形的 几个元素求其他元素的过程叫做________.

自 我 校 对

1.正弦

a b c = = sinA sinB sinC 解三角形

2.元素

名师讲解 1.正弦定理的几种证法 正弦定理揭示了任意三角形边角之间的规律,是解三角形 的重要工具.正弦定理的证明除了课本上所用三角函数的定义 法外,还可用面积法、三角法、向量法等给出证明.

证法1

可以用三角形的面积公式证明正弦定理.

在△ABC中,边BC,CA,AB上的高分别为ha,hb,hc,则 ha=bsinC,hb=csinA,hc=asinB,根据△ABC的面积公式S= 1 1 1 a b 2 aha= 2 bhb= 2 chc,得absinC=bcsinA=acsinB,即 sinA = sinB c =sinC.

证法2

用平面几何知识证明.

如图所示,设O为△ABC的外接圆的圆心,连BO并延长交 ⊙O于A′,连接A′C,则A′=A或A′=π-A, BC a a b ∴sinA=sinA′= = 2R ,即 sinA =2R,同理可证 sinB A′B c a b c =2R,sinC=2R.故有sinA=sinB=sinC=2R.

2.正弦定理的扩展与变式 (1)设R为三角形外接圆半径时,公式可扩展为: a b c sinA=sinB=sinC=2R. 即当一内角为90° 时,所对边为外接圆的直径. (2)它的几个变形. 变式1:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC. a b c 变式2:sinA= ,sinB= ,sinC= . 2R 2R 2R

变式3:asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA. 变式4:a:b:c=sinA:sinB:sinC.

3.正弦定理解决两类三角形问题 (1)已知两角和任意一边,求其他两边和一角. (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(从而进 一步求出其他的边和角).

4.三角形解的情况分析 对于任意给定的a,b,A的值,能否确定一个三角形? (1)A为锐角时:

(2)当 A 为直角或钝角时:

课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通



典 例 剖 析 已知两角及一边解三角形

【例 1】 △ABC 中,已知 a=20,A=30° ,C=45° ,求 B, b,c. 【分析】 定理求出 b 和 c. 解答本题先用内角和定理求出角 B,再由正弦

【解】

由A=30° ,C=45° ,知

B=180° -(30° +45)° =105° . a b c 又由正弦定理sinA=sinB=sinC,得 2 20× 2 asinC 20sin45° c= sinA = sin30° = 1 =20 2. 2 6+ 2 asinB 20sin105° b= sinA = sin30° =40sin75° =40× 4 =10( 6+ 2).

规律技巧

如果已知三角形的两角及一边,由三角形内角

和定理可以求出另一个角,再由正弦定理求出另两边.



已知两边及一边的对角解三角形

【例2】 角形. 【分析】

已知△ABC中,A=45° ,a=2,c=

6 ,解此三

由正弦定理可求出sinC,从而得出C的大小,

再用三角形内角和定理和正弦定理即可求出另一角和另一边.

【解】

a c 由正弦定理 = ,得 sinA sinC

6 6 2 3 sinC= sin45° = × = , 2 2 2 2 因为A=45° ,c>a,所以C=60° ,或120° . 所以B=180° -60° -45° =75° ,或 B=180° -120° -45° =15° . asinB 又因为b= sinA ,所以b= 3+1或 3-1. 所以C=60° ,B=75° ,b= = 3-1. 3 +1或C=120° ,B=15° ,b

规律技巧

已知三角形两边和其中一边的对角,解斜三角

形问题,首先求出另一边的对角的正弦值,其次根据该正弦值 求角时,需对角的情况加以讨论,若有解,则是一解或是两 解.



判断三角形的形状

【例3】

在△ABC中,若acosA=bcosB,求证:△ABC是

等腰三角形或直角三角形. 【分析】 判断三角形形状通常从三角形内角的关系确

定,也可以从三角形三边关系确定.本题可考虑把边化为角, 寻找三角形角与角之间的关系,然后予以判定.

a sinA 【解】 由正弦定理,得b=sinB. a cosB sinA cosB 又acosA=bcosB,即b=cosA,∴sinB=cosA, 即sinAcosA=sinBcosB,∴sin2A=sin2B. π ∴2A=2B,或2A=π-2B.∴A=B,或A+B=2. ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.

规律技巧 已知三角形中的边角关系式,判断三角形的形 状,可考虑使用正弦定理,把关系式中的边化为角,再进行三 角恒等变换求出三个角之间的关系式,然后给予判定.在正弦 定理的推广中,a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC是边化角 的主要工具.



利用正弦定理判断三角形的解的情况

【例4】 在△ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c, 已知a=5,b=2,B=120° ,求解三角形. 【分析】 一般来说,在已知两边和其中一边的对角的情

况下,应用正弦定理解三角形.在三角形中,“大边对大 角”,“内角和等于180° ”也可能用得上.

【解】

解法1:∵a=5,b=2,B=120° ,∴asinB=

5 3 5sin120° = , 2 ∴b<asinB. 若三角形存在,由正弦定理,知bsinA=asinB,得 b≥asinB. ∴此三角形无解.

解法2:∵a=5,b=2,B=120° ,根据正弦定理 b asinB 5 3 sinB,得sinA= b =2× 2 >1, ∴A不存在.故此三角形无解.

a sinA



解法3:∵a=5,b=2,B=120° ,∴A>B=120° . ∴A+B>240° ,这与A+B+C=180° 矛盾,∴此三角形无 解. 规律技巧 已知三角形的两边和其中一边的对角时,

这个三角形是不确定的,因此解三角形时,可能会出现一解、 两解、无解的情况.判断三角形解的个数问题,方法较多,在 解题时,要灵活应用.

易错探究 已知:△ABC中,a= 3,b= 2,B=45° ,求A,C及c. 【错解】 3 . 2 ∴A=60° . ∴C=180° -(A+B)=180° -(60° +45° )=75° . 6+ 2 bsinC 2sin75° ∴c= = =2sin(45° +30° )= . sinB sin45° 2 asinB 3sin45° 根据正弦定理,得sinA= = = b 2

【错因分析】 解.

3 上述解法由sinA= 2 ,求角A时漏掉了一个

∵在△ABC中,a= 3>b= 2, ∴A>B,∴A=60° 或120° .

【正解】 sinA=

根据正弦定理,得

asinB 3sin45° 3 = = . b 2 2

∵b<a,∴B<A,∴A=60° ,或120° . ①当A=60° 时, C=180° -(60° +45° )=75° , bsinC 2sin75° ∴c= = sinB sin45° 6+ 2 =2sin(45° +30° )= . 2

②当A=120° 时,C=180° -(A+B)=15° , 6- 2 bsinC 2sin15° ∴c= = =2sin(45° -30° )= . sinB sin45° 2 6+ 2 ∴A=60° ,C=75° ,c= 2 6- 2 或A=120° ,C=15° ,c= 2 .

随堂训练 1.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的 边,若a=1,b= 3,A+C=2B,则sinA=________.

解析 由A+B+C=180° ,A+C=2B, 得B=60° . a b 由正弦定理sinA=sinB, asinB 1 3 1 得sinA= b = × 2 =2. 3

1 答案 2

2.在△ABC中,a=5,B=45° ,C=105° ,求边c.



由三角形内角和定理,知A+B+C=180° ,

∴A=180° -(B+C)=180° -(45° +105° )=30° . a c 由正弦定理sinA=sinC,得 +45° ? sinC sin105° sin?60° c=a· sinA=5· sin30°=5· sin30° sin60° cos45° +cos60° sin45° =5· sin30° 5 =2( 6+ 2).

3.△ABC中,已知b= 2,c=1,B=45° ,求a,A,C.
解 ∵b= 2,c=1,B=45° ,

2 1× 2 csinB 1 于是由正弦定理,得sinC= = = . b 2 2 由b>c,B=45° ,可知,C<B,∴C=30° . ∴A=180° -(30° +45° )=105° .

bsinA 2sin105° 再由正弦定理,得a= sinB = sin45° 6+ 2 2× 4 6+ 2 = = 2 . 2 2 6+ 2 故a= 2 ,A=105° ,C=30° .

4.已知△ABC中,bsinB=csinC,且sin2A=sin2B+sin2C, 试判断三角形的形状.
解 a b c 由正弦定理sinA=2R,sinB=2R,sinC=2R,

? a ? ? b ? ? c ? b c 2 2 ? ? =? ? +? ?2. ∴b· = c · ,且 2R 2R ?2R? ?2R? ?2R?

∴b2=c2,且a2=b2+c2, ∴△ABC为等腰直角三角形.


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