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导数及其应用测试题(有详细答案)(文科、整理)


高二数学(文)期末复习题《导数及其应用》 一、选择题 1.

f ?( x0 ) ? 0 是函数 f ? x ? 在点 x0 处取极值的:
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

(

) C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 )

2、设曲线

y ? x 2 ? 1 在点 ( x , f ( x )) 处的切线的斜率为 g ( x ) ,则函数 y ? g ( x)cos x 的部分图象可以为(
y y y y

O

x

O

x

O

x

O

x

A.
2

B. π 的点是( 4 )

C.

D.

3.在曲线 y=x 上切线的倾斜角为 A.(0,0)
2

B.(2,4)

1 1 C.? , ? ?4 16?

1 1 D.? , ? ?2 4? ) D.a=-1,b=-1 )

4.若曲线 y=x +ax+b 在点(0,b)处的切线方程是 x-y+1=0,则( A.a=1,b=1
3 2

B.a=-1,b=1

C.a=1,b=-1

5.函数 f(x)=x +ax +3x-9,已知 f(x)在 x=-3 时取得极值,则 a 等于( A.2 B.3 C.4 D.5

1 3 2 2 6. 已知三次函数 f(x)= x -(4m-1)x +(15m -2m-7)x+2 在 x∈(-∞,+∞)是增函数,则 m 的取值范围是( 3 A.m<2 或 m>4 7. 直线 B.-4<m<-2 C.2<m<4 D.以上皆不正确 )

)

y ? x 是曲线 y ? a ? ln x 的一条切线,则实数 a 的值为(
B. e C. ln 2 D. 1

A. ? 1 8. 若函数 A. k

f ( x) ? x 3 ? 12x在区间 (k ? 1, k ? 1) 上不是单调函数,则实数 k 的取值范围(
B. ? 3 ?



? ?3或 ? 1 ? k ? 1或k ? 3 C. ? 2 ? k ? 2
9. 10.函数 则函数 A.1 个 10.已知二次函数

k ? ?1或1 ? k ? 3

D.不存在这样的实数 k

f ? x ? 的定义域为 ? a, b ? ,导函数 f ? ? x ? 在 ? a, b ? 内的图像如图所示,
) C.3 个 D.4 个

f ? x ? 在 ? a, b ? 内有极小值点(
B.2 个

f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的导数为 f '( x) , f '(0) ? 0 ,对于任意实数 x 都有 f ( x) ? 0 ,则
A. 3 B.

f (1) f '(0)

的最

小值为(



5 2

C. 2

D.

3 2

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.函数

y?

sin x 的导数为_________________ x

第 1 页(共 6 页)

12、已知函数 13.函数

f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? a 2 在 x=1 处有极值为 10,则 f(2)等于____________.

y ? x ? 2cos x 在区间 [0, ] 上的最大值是 2

?

14.已知函数 15. 已知函数

f ( x) ? x3 ? ax 在 R 上有两个极值点,则实数 a 的取值范围是
f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, f (1) ? 0 ,
xf ?( x ) ? f ( x) ?0 (x x2
,则不等式 ? 0)

x 2 f ( x) ? 0 的解集是
三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. 设函数 f(x)=sinx-cosx+x+1,0<x<2π ,求函数 f(x)的单调区间与极值.

17. 已知函数

(Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间. f ( x) ? x3 ? 3x .(Ⅰ)求 f ?( 2) 的值;

f ( x) ? x 3 ? 6 x ? 5, x ? R .(1)求 f ( x) 的单调区间和极值; (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? a 有 3 个不同实根,求实数 a 的取值范围. (3)已知当 x ? (1,??)时, f ( x) ? k ( x ? 1) 恒成立,求实数 k 的取值范围.
18. 设函数

第 2 页(共 6 页)

19. 已知 x ? 1是函数 f ( x) ? mx3 ? 3(m ? 1) x 2 ? nx ? 1 的一个极值点, 其中 m, n ? R , m ? 0(1) 求 m 与 n 的关系式; (2) 求 f ( x) 的单调区间; (3)当 x ? [?1,1] ,函数 y ? f ( x) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m ,求 m 的取值范围。

20. 已知函数 (II)若

f ( x) ? ln x ? ax2 ? bx. (I)当 a ? ?1 时,若函数 f ( x) 在其定义域内是增函数,求 b 的取值范围;

f ( x) 的图象与 x 轴交于 A( x1 ,0), B( x2 ,0)( x1 ? x2 ) 两点,且 AB 的中点 为 C( x0 ,0) ,求证: f '( x0 ) ? 0.

21. 已知函数

f ( x) ?

x2 ?(x) , g ( x) ? 2a ln x(e 为自然对数的底数)(1) 求 F (x) ?f (x) g e

的单调区间, 若 F ( x)

有最值,请求出最值; (2)是否存在正常数 a ,使

f (x)与g (x) 的图象有且只有一个公共点,且在该公共点处有共同的切

线?若存在,求出 a 的值,以及公共点坐标和公切线方程;若不存在,请说明理由。

第 3 页(共 6 页)

高二数学(文)期末复习《导数及其应用》参考答案 一、选择题: 题号 1 答案 B 二、填空题:11. 2 A 3 D 4 A ;12. 18 13. 5 D 6 D 7 D 14. {a | a (0<x<2π ) 8 B 9 A 10 C

y' ?

x cos x ? sin x x2

?
6

? 3;

? 0} ;

15. ( ?1,0) ? (1,??)

三、解答题 16. [解析]

π f′(x)=cosx+sinx+1= 2sin(x+ )+1 4

π 2 3 令 f′(x)=0,即 sin(x+ )=- ,解之得 x=π 或 x= π . 4 2 2 x,f′(x)以及 f(x)变化情况如下表: x f′(x) f(x) (0,π ) + 递增 π 0 π +2 3 (π , π ) 2 - 递减 3 π 2 0 3π 2 3 ( π ,2π ) 2 + 递增

3 3 3 3π ∴f(x)的单调增区间为(0,π )和( π ,2π )单调减区间为(π , π ).f 极大(x)=f(π )=π +2,f 极小(x)=f( π )= . 2 2 2 2 17. 解: (Ⅰ) (Ⅱ)

f ?( x) ? 3x2 ? 3 ,所以 f ?(2) ? 9 .

f ?( x) ? 3x2 ? 3 ,解 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 或 x ? ?1 .解 f ?( x) ? 0 ,得 ?1 ? x ? 1 . 所以 (??, ?1) , (1, ??) 为函数 f ( x ) 的单调增区间, (?1,1) 为函数 f ( x ) 的单调减区间.
18. 解:(1) ∴当 x ? ? ∴

f ?( x) ? 3( x 2 ? 2),令f ?( x) ? 0, 得x1 ? ? 2, x2 ? 2

???????1 分

2或x ? 2时,f ?( x) ? 0;当? 2 ? x ? 2时, f ?( x) ? 0 ,???????2 分

f ( x) 的单调递增区间是 (??, ? 2)和( 2, ??) ,单调递减区间是 (? 2 , 2 ) ??3 分

当x

? ? 2, f ( x)有极大值 5 ? 4 2 ;当 x ? 2, f ( x)有极小值 5 ? 4 2 .????4 分
y ? f ( x) 图象的大致形状及走向(图略)

(2)由(1)可知 ∴当 5 ? 4 即当 5 ? 4 (3 )

2 ? a ? 5 ? 4 2时, 直线y ? a与y ? f ( x) 的图象有 3 个不同交点,??6 分
2 ? a ? 5 ? 4 2 时方程 f ( x) ? ? 有三解.
?????????????7 分

f ( x) ? k ( x ? 1)即( x ? 1)(x 2 ? x ? 5) ? k ( x ? 1) ∵ x ? 1,? k ? x 2 ? x ? 5在(1,??) 上恒成立. ? x 2 ? x ? 5 ,由二次函数的性质, g ( x)在(1,??) 上是增函数,
? g (1) ? ?3, ∴所求 k 的取值范围是 k ? ?3 ??????????????12 分
即 3m ? 6(m ? 1) ? n ? 0, 所以 n ? 3m ? 6

令 g ( x) ∴ g ( x)

2 19. 解: (1) f '( x) ? 3mx ? 6(m ? 1) x ? n. 因为 x ? 1 是函数 f ( x) 的一 个极值点.所以 f '(1) ? 0

(2)由(1)知, f '( x) ? 3mx2 ? 6(m ? 1) x ? 3m ? 6 ? 3m( x ? 1)[ x ? (1 ? 当 m ? 0 时,有 1 ? 1 ?

2 )] m

2 ,当 x 为化时, f ( x) 与 f '( x ) 的变化如下表: m 2 2 2 x 1? (? ?,1 ? ) (1 ? ,1) m m m
第 4 页(共 6 页)

1

(1, ? ?)

f '( x) f ( x)

单调递减

0 极小值

+ 单调递增

0 极大值

单调递减

2 2 ) 单调递减,在 (1 ? ,1) 单调递增,在 (1, ? ?) 上单调递减. m m 2 2 (3)由已知得 f '( x) ? 3m ,即 mx 2 ? 2(m ? 1) x ? 2 ? 0 又 m ? 0 ,所以 x 2 ? (m ? 1) x ? ? 0 ,即 m m 1 2 2 2 x2 ? (m ? 1) x ? ? 0, x ?[?1,1] 设 g ( x) ? x2 ? 2(1 ? ) x ? ,其函数图象开口向上,由题意知①式恒成立,所以 m m m m 2 2 ? ? g (?1) ? 0 ?1 ? 2 ? ? ? 0 4 4 4 解之得 ? ? m又m ? 0 所以 ? ? m ? 0 即 m 的取值范围为 (? ,0) ?? m m ? 3 3 3 ? g (1) ? 0 ? ??1 ? 0
故由上表知,当 m ? 0 时, f ( x) 在 (? ?,1 ? 20.(1)由题意:

f ( x) ? ln x ? x 2 ? bx ,? f ( x) 在 (0,??) 上递增,? f ?( x) ?

1 ? 2 x ? b ? 0 对 x ? (0,??) x

恒成立,即 b

?

1 1 ? 2 x 对 x ? (0,??) 恒成立,? 只需 b ? ( ? 2 x) min , x x
时取“=” ,? b

? x ? 0 ,?

1 2 ? 2 x ? 2 2 ,当且仅当 x ? x 2

? 2 2 ,? b 的取值范围为 (??,2 2 )
,两式相减,得:

(2)由已知得, ?

? f ( x1 ) ? ln x1 ? ax12 ? bx1 ? 0 ? ln x1 ? ax12 ? bx1 ? ? 2 2 ? f ( x2 ) ? ln x2 ? ax2 ? bx2 ? 0 ?ln x2 ? ax2 ? bx2

ln

x1 x 1 ? a( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? b( x1 ? x2 ) ? ln 1 ? ( x1 ? x2 )[a( x1 ? x2 ) ? b] ,由 f ?( x) ? ? 2ax ? b 及 x x2 x2

2x0 ? x1 ? x2 ,得: f ?( x0 ) ?

x 1 2 2 1 ? 2ax0 ? b ? ? [a( x1 ? x 2 ) ? b] ? ? ln 1 x0 x1 ? x 2 x1 ? x 2 x1 ? x 2 x2
2(

?

1 [ x1 ? x 2 x1 ? x 2
?

2( x1 ? x 2 )

x1 ? 1) x x2 x x1 1 [ ? ln 1 ] ,令 t ? 1 ? (0,1) , ? ln ] ? x x1 ? x 2 x2 x2 x2 ( 1 ? 1) x2

且 ? (t )

2t ? 2 (t ? 1) 2 ? ln t (0 ? t ? 1) ,? ? ?(t ) ? ? ? 0 ,? ? (t ) 在 (0,1) 上为减函数, t ?1 t (t ? 1) 2

? ? (t ) ? ? (1) ? 0 ,又 x1 ? x 2 ,? f ?( x0 ) ? 0
21. 解: (1) F ?( x)

? f ?( x) ? g ?( x) ?

2 x 2a 2( x3 ? ea) ? ? ( x ? 0) ①当 a ? 0时, F ?( x) ? 0 恒成立 e x ex

F ( x)在(0, ??) 上是增函数, F ( x) F 只有一个单调递增区间(0,-∞) ,没有最值??3 分
②当 a

? 0 时, F ( x) ?

2( x ? ea ( x ? ea ) ( x ? 0) , ex

若0 ?

x ? ea ,则 F ?( x) ? 0, F ( x)在(0, ea ) 上单调递减;

第 5 页(共 6 页)

若x

? ea ,则 F ?( x) ? 0, F ( x)在( ea , ??) 上单调递增,

?当x ? ea 时, F ( x) 有极小值,也是最小值,即 F ( x)min ? F ( ea ) ? a ? 2a ln ea ? ?a ln a
所以当 a

? 0 时, F ( x) 的单调递减区间为 (0, ea ) ,单调递增区间为 ( ea , ??) ,最小值为 ? a ln a ,无最大值
(2)方法一,若 则方程

f ( x) 与 g ( x) 的图 象有且只有一个公共点,

f ( x) ? g ( x) ? 0 有且只有一解,所以函数 F ( x) 有且只有一个零点

由(1)的结论可知 F ( x)min

? ?a ln a ? 0得a ? 1
x2 ? 2ln x ? 0 e

此时, F ( x)

? f ( x) ? g ( x) ?

F ( x)min ? F ( e ) ? 0

? f ( e ) ? g ( e ) ? 1,? f ( x)与g ( x) 的图象的唯一公共点坐标为 ( e ,1)
又?

f ?( e ) ? g ?( e ) ?
2 e

2 e

? f ( x)与g ( x) 的图象在点 ( e ,1) 处有共同的切线,
2 e

其方程为

y ?1 ?

( x ? e ) ,即 y ?

x ?1

综 上 所 述, 存在

a ? 1 , 使 f ( x)与 g ( x)的 图 象有 且 只 有一 个公 共 点 ( e ,1) , 且 在该 点 处 的公 切线 方 程 为

y?

2 e

x ? 1.
2 ? x0 ? ? 2a ln x0 ? f ( x0 ) ? g ( x0 ) ?e 即? 由② f ( x)与g(x)图象的公共点坐标为 ( x0 , y0 ) ,根据题意得 ? ' ' 2 x 2 a f ( x ) ? f ( x ) 0 0 0 ? ? ? ? x0 ? e

方法二:设

得a

?

2 x0 e

,代入①得 ln x0

?

1 ,? x2 ? e 2

从而 a

?1

此时由(1)可知 F ( x)min 因此除 x0 故存在 a

? F ( e ) ? 0 ?当x ? 0且x ? e 时, F ( x) ? 0,即f ( x) ? g ( x)

? e 外,再没有其它 x0 ,使 f ( x0 ) ? g ( x0 )

? 1 ,使 f ( x)与g ( x) 的图象有且只有一个公共点,且在该公共 点处有共同的切线,易求得公共点坐标为

( e ,1) ,公切线方程为 y ?

2 e

x ?1

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