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江苏省淮安市淮海中学2013-2014学年度高一年级下学期期末学业质量调查测试


淮安市淮海中学 2013-2014 学年度高一年级下学期期末学业质量调查测试

数 学 试 卷
1. 已知集合 A={ ?2,?1,3,4 }, B ? {?1,2,3} ,则 A ? B ? ▲ .

命题人:肖海峰 2014.7

本试卷满分共 160 分;考试时间 120 分钟。
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 上. ....... 开始
n?0

2.不等式

x ?1 ? 0 的解集是 x



. ▲ .

3.若角 ? 的终边经过点 P(3, 2) ,则 tan? 的值为

n ? n ?1

4.设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的 60 株树 木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于 100cm. 5.右图是一个算法流程图,则输出的 n 的值是 ▲ . 6. 从 1,2,3,6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数,则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是 ▲ . 2π 7.已知 e1,e2 是夹角为 的两个单位向量,a=e1-2e2,b= 频率 3
组距

2 n ? 20

N

Y 输出 n 结束 (第 5 题)

ke1+e2.若 a·b=0,则实数 k 的值为
2



.
0.030 0.025 0.020 0.015 0.010

8. 若不等式 x ? ax ? 4 ? 0 对任意的 x ? (0,3) 都成立 ,则实数

a 的取值范围是



.

9. 记 等 差 数 列 {an} 的 前 n 项 和 为 Sn . 若

am?1 ? am?1 ? am ? 0(m ? 2, m ? N? ), 且 S2m?1 ? 58,
2

80

90 100 110 120 130 底部周长/cm

(第 4 题) ▲ .

则m? 11.若 cos( α ?



.

10. 若函数 f ( x) ?| x | ?( x ? 2) 在区间 (a, 2a ? 1) 上单调递减,则实数 a 的取值范围是

π 4 π ) ? , 则 sin( 2α ? ) 的值是 6 5 6



.

12.等比数列 {an } 的公比 q ?

1 31 1 ,前 5 项的和为 .令 bn ? log 1 an ,数列 { } 的前 n 项和为 Tn ,若 Tn ? c 2 64 b b n n ? 1 2
▲ .

对 n ? N * 恒成立,则实数 c 的最小值为

13.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足: f ( x ? 2) ? f ( x) ? 1, 当 x ? [?1,1) 时, f ( x) ? log2 (4 ? x), 则 f (2014) ? ▲ .

14.已知 a ? 0, b ? 0,

1 1 ? ? 1, 则 a ? b 的最小值是 2a ? b b ? 1



. 过程或演算步骤.

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.,解答时应写出文字说明、证明 15.(本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? 3cos2x ? 2sin x cos x , x ? R . (1)求函数 f ? x ? 的最小正周期;

(2)求函数 f ? x ? 在区间 ?0,

? ?? ? 上的值域. ? 4?

16. (本题满分 14 分)

在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 2b cos A ? c cos A ? a cos C . (1)求角 A 的大小; (2)若 b ? c ? 2a , ?ABC 的面积 S ?

3 ,求 a 的长. 12

N

17.(本小题满分 15 分) 如图,在△ ABC 中, AB ? 4, AC ? 1, ∠ BAC ? 60? . (1)求 BC 的长和 sin ?ACB 的值;
A

C

(2)延长 AB 到 M , AC 到 N , 连结 MN . 若四边形 BMNC 的面积为 3 3 , 求 BM · CN 的最大值. 18(本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x ) ? x ? (1)求实数 a , b 的值.

(第 17 题图)

B

M

a ? b ,不等式 xf ( x) ? 0 的解集为 (1,3) . x

(2)若关于 x 的方程 f (2x ) ? k ? 2? x ? k ? 0 有两个不相等的实数根,求实数 k 的取值范围.

19. (本题满分 16 分) 如图, ABCD 是长方形海域,其中 AB ? 10 海里, AD ? 10 2 海里.现有一架 飞机在该海域失事,两艘海事搜救船在 A 处同时出发,沿直线 AP 、 AQ 向前联合搜 索,且 ?PAQ ?

D

Q

C

?
4

(其中 P 、 Q 分别在边 BC 、 CD 上) ,搜索区域为平面四边形

APCQ 围成的海平面.设 ?PAB ? ? ,搜索区域的面积为 S . (1)试建立 S 与 tan ? 的关系式,并指出 tan ? 的取值范围; (2)求 S 的最大值,并指出此时 ? 的值.
20.(本小题满分 16 分) 在数列 中, Sn 为其前 n 项和.已知 4an ? 1 ? 2Sn (n ? N? ). {an} (1)求数列 的通项公式; {an}

P A B

(2) 是 否 存 在 正 整 数 M , 使 得 当 n ? M 时 , a1 · a4 · a7 ·… · a3n?2 ? a78 恒 成 立 ? 若 存 在 , 求 出 M 的 最小值;若不存在,请说明理由; (3)是否存在等差数列 ,使得对任意的 n ? N , 都有 b1 · {bn} an ? b2 · an?1 ? b3 · an?2 ? …
?

? bn ?1 · a2 ? bn · a1 ? 2 n ?

n ? 1 ?若存在,试求出 的通项公式;若不存在,请说明理由. {bn} 2

参考答案
参考答案: 1.{-1,3} 2.(0,1)3.24

10. ( ?1, ? ]

1 2

11. ?

7 25

2 5.5 6. 3 1 13 . 12. 2
4.

1 3 1 2

5 4 3 14. 2
7.

8. a ? 4

9.15

15.解: (1)由条件可得 y ? 3 cos2x ? sin 2x ? 2sin(2 x ? ) ,……………………………4 分

?

3

所以该函数的最小正周期 T ? (2)? x ? ?0,

2? ? ? ………………………………………………………6 分 2

? ? ? 5? ? ? ?? ,? 2 x ? ? ? , ,……………………………………………………8 分 ? 3 ?3 6 ? ? 4? ?

当x ?

?
12

时,函数 y 取得最大值为 2 ,当 x ?

?
4

时,函数 y 取得最小值为 1

? 函数 y 的值域为 ?1,2? …………………………………………………………………………14 分

17.(1) BC ? 13; S V ABC ? 3;

(2) 2

19.解: (1)在 Rt ?APB 中, BP ? 10 tan ? , S ?ABP ? 在 Rt ?ADQ 中, DQ ? 10 2 tan(

?
4

1 ? 10 ? 10 tan ? ? 50 tan ? 2

? ?) ,

S?ADQ ?

1 ? ? ? 10 2 ? 10 2 tan( ? ? ) ? 100 tan( ? ? ) 2 4 4

∴ S ? 100 2 ? 50 tan ? ? 100 tan(

?

4

? ? ) ? 100 2 ? 50 tan ? ? 100 ?

1 ? tan ? 1 ? tan ?

…5 分

0 ? tan ? ? 1 ? ? 其中 ? ? 2 ,解得: 3 ? 2 2 ? tan ? ? 1 0 ? tan( ? ? ) ? ? ? 4 2
(注:观察图形的极端位置,计算出 tan ? 的范围也可得分. ) ∴ S ? 100 2 ? 50 tan ? ? 100 ? (2)∵ tan ? ? 0 ,

1 ? tan ? , 3 ? 2 2 ? tan ? ? 1 1 ? tan ?

………………8 分

S ? 100 2 ? 50(tan ? ? 2 ?

1 ? tan ? 4 ) ? 100 2 ? 50(tan ? ? 1 ? ? 3) 1 ? tan ? tan ? ? 1

? 100 2 ? 50(2 (tan ? ? 1) ?

4 tan ? ? 1

? 3) ? 100 2 ? 50

……………13 分

当且仅当 tan ? ? 1 ? ∵ ? ? (0,

4 tan ? ? 1

时取等号,亦即 tan ? ? 1 时, Smax ? 100 2 ? 50

?
2

)

?? ?

?

答:当 ? ?

?
4

4
……………15 分

时, S 有最大值 100 2 ? 50 .

20.(1) an ? 2n?2 ;

(2) 8;

(3)

.bn ? n.


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