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山东省潍坊市潍坊中学2015-2016学年高二上学期期末考试(理)数学试题


潍坊中学高二上学期过程性检测 数学试题(理科) 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的. 1.抛物线 x2 ? ? y 准线方程是( A. x ? )

1 4

B. x ? ?

1 4

C. y ?

1 4

D. y ? ?

1 4
) C. ?x ? R, 2x2 ? 1 ? 0

2.若命题 p : ?x ? R, 2x2 ? 1 ? 0 ,则 ? p 是( A. ?x ? R, 2x2 ? 1 ? 0 D. ?x ? R, 2x2 ? 1 ? 0 B. ?x ? R, 2x2 ? 1 ? 0

3. c ? 0 是方程 ax2 ? y 2 ? c 表示椭圆或双曲线的(



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.不充分不必要条件 4.与椭圆

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 共焦点,而与双曲线 ? ? 1 共渐近线的双曲线方程为( 24 49 36 64



A.

x2 y 2 x2 y 2 y 2 x2 y 2 x2 ? ? 1 B. ? ? 1 C. ? ? 1 D. ? ? 1 9 16 16 9 9 16 16 9


5.下列说法正确的是(

2 2 2 2 A.命题“若 a ? b ,则 a ? b ”的否命题是“若 a ? b ,则 a ? b ” ;

CA ? 0 ”是“ ?ABC 是钝角三角形”的( 6.已知 A, B, C 为不共线的三点,则“ AB?
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

??? ? ??? ?



x2 x2 2 ? y ? 1 (m ? 1) 与双曲线 ? y 2 ? 1 (n ? 0) 有相同的焦点 F1、F2 , P 是两曲 7.若椭圆 m n
线的一个交点,则 ?F1PF2 的面积是( )

A.4 B.2 C.1 D.

1 2


8.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 过点 P(2,1) 作弦且弦被 P 平分,则此弦所在的直线方程为( 16 4
B. 2 x ? y ? 1 ? 0 C. x ? 2 y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 4 ? 0

A. 2 x ? y ? 3 ? 0

2 9.已知命题 p : 若 m ? 0 ,则关于 x 的方程 x ? x ? m ? 0 有实根, q 是 p 的逆命题,下面结

论正确的是( A. p 真 q 假

) B. p 假 q 真 C. p 真 q 真 D. p 假 q 假

P ,满足线段 PF2 相切于以椭 10.已知椭圆的左焦点为 F 1 ,右焦点为 F2 .若椭圆上存在一点
圆的短轴为直径的圆,切点为线段 PF2 的中点,则该椭圆的离心率为( )

A.

1 3

B.

5 3

C.

3 6

D.

2 3

二、填空题:本大题共 5 小题;每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中模线上. 11. “ a ? b ? 0 ”是“ a ? b ”的_______条件. (填“充分不必要” , “必要不充分” , “充分
2 2

必要” ) 12.若曲线

x2 y2 ? ? 1的焦点为定点,则焦点坐标是________. a?4 a?5

13.已知数列 ?an ? 是等比数列,命题 p : “若公比 q ? 1 ,则数列 ?an ? 是递增数列” ,则在其逆 命题、否命题和逆否命题中,假命题的个数为________. 14.设抛物线 C : y 2 ? 2x 的焦点为 F ,直线 l 过 F 与 C 交于 A, B 两点, 若 AF ? 3 BF ,则 l 的方程为________. 15.下列判断: (1)命题“若 q 则 p ”与“若 ? p 则 ? q ”互为逆命题; (2) “ am ? bm ”是“ a ? b ”的充要条件 ;
2 2

(3) “矩形的两条对角线相等”的否命题是假命题; (4)命题“ ? ? ?1, 2? ”为真命题,其中正确的序号是________. 三、解答题 :本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.(本小题满分 12 分) 已知命题 p : 方程

x2 y2 ? ? 1的图象是焦点在 y 轴上的双曲线;命题 q : 方程 2m m ? 1

4x2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根;又 p ? q 为真, ? q 为真,求实数 m 的取值范围.
17.(本小题满分 12 分)在 ?ABC 中满足条件 a cos B ? b cos A ? 2c cos C , (1)求 ?C ; (2) 若 c ? 2 ,求三角形 ABC 面积的最大值.

、B、C 是我军三个炮兵阵地, A 在 B 的正东方向相距 6 千米,C 在 B 18.(本小题 12 分) A
的北 30 西方向, 相距 4 千米,P 为敌炮阵地. 某时刻,A 发现敌炮阵地的某信号, 由于 B、C
0

B、C 才同时发现这一信号 比 A 距 P 更远, 因此 4 秒后, (该信号的传播速度为每秒 1 千米) . 若
从 A 炮击敌阵地 P ,求炮击的方位角 .
2 2 19.(本小题满分 12 分)设命题 p : 实数 x 满足 x ? 4ax ? 3a ? 0 ,其中 a ? 0 ,命题 q : 实数

? x2 ? x ? 6 ? 0 . (1) 若 a ? 1, 且 p ? q 为真, 求实数 x 的取值范围; (2) 若 ?p 是 ?q x 满足 ? 2 x ? 2 x ? 8 ? 0 ?
的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 20.(本小题满分 13 分)已知数列 ?an ? 为等差数列, a3 ? 5, a7 ? 13 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和 为 Sn ,且有 Sn ? 2bn ?1 ; (1)求 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (2)若 cn ? anbn ,?cn ? 的前 n 项 和为 Tn ,求 Tn . 21.(本小题满分 14 分)已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 上的点 P 到左、右两焦点 F1 , F2 的 a2 y 2

距离之和为 2 2 ,离心率为 (I)求椭圆的方程;

2 . 2

(II)过右焦点 F2 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点. (1)若 y 轴上一点 M (0, ) 满足 MA ? MB ,求直线 l 斜率 k 的值;

1 3

(2)是否存在这样的直线 l ,使 S?ABO 的最大值为 线 l 方程;若不存在,说明理由.

2 (其中 O 为坐标原点)?若存在,求直 2

参考答案 一、CDBDC ACDAB 二、11.充分不必要 12. (0, ?3) 13.3 14. y ? ? 3( x ? )

1 2

15.①③④

三、16.解:若命题 p 为真命题: ?

?1 ? m ? 0 ,解得 m ? ? , ? 2m ? 0

若命题 q 为真命题: ? ? 0 ,即 (m ? 2)2 ? 1 解得

2 ? m ? 3,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分

因为 p ? q 为真, ? q 为真, 所以 p 真 q 假,所以 m 的取值范围是

m?? ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分

17.解: (1)由题意得 sin A cos B ? sin B cos A ? 2sin C cos C , 即 sin C ? 2sin C cos C ,故 cos C ?

C?

?
3

1 ,∵ ?C ? (0, ? ) ,∴ 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分

18.解:以线段 AB 的中点为原点,正东方向为 x 轴的正方向建立直角坐标系,则

A(3,0) B(?3,0) C(?5, 2 3) 依题意 PB ? PA ? 4
∴ P 在以 A、B 为焦点的双曲线的右支上. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 分 其中 a ? 2, c ? 3, b ? 5 ,其方程为
2

x2 y 2 ? ? 1 ( x ? 0) 4 5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分

又 PB ? PC ,∴ P 又在线段 AB 的垂直平分线上 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 分 x ? 3y ? 7 ? 0 ,

由方程组 ?

? ?x ? 3y ? 7 ? 0 ? ? x ? 8 (负值舍去) 解得 ? ,即 2 2 y?5 3 ? ? ? 5 x ? 4 y ? 20 ?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分 P(8,5 3) . 由于 k AP ? 3 ,可知 P 在北 30°东方 向, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分
2 2 19.试题解析:由 x ? 4ax ? 3a ? 0 得 ( x ? 3a)( x ? a) ? 0 ,又 a ? 0 ,所以 a ? x ? 3a ,

当 a ? 1 时, 1 ? x ? 3 ,即 p 为真时,实数 x 的取值范围是 1 ? x ? 3 . 由?

? x2 ? x ? 6 ? 0
2 ?x ? 2x ? 8 ? 0

,得 2 ? x ? 3 ,即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 3 .

若 p ? q 为真,则 p 真且 q 真,所以实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 3 . (II) ? p 是 ? q 的充分不必要条件,即 ?p ? ?q ,且 ?q ? ?p , 设 A ? ?x | ?p? , B ? ?x | ?q? ,则 A ? B , 又 A ? ?x | ?p? ? x | x ? a或x ? 3a , B ? ?x | ?q? ? x ? 2或x ? 3 , 则 0 ? a ? 2 ,且 3a ? 3 所以实数 a 的取值范围是 1 ? a ? 2 . 20.解: (1) ?an ? 是等差数列,且 a3 ? 5, a7 ? 13 ,设公差为 d . ∴?

?

?

?

?

? a1 ? 2d ? 5 ?a1 ? 1 ,解得 ? ?d ? 2 ?a1 ? 6d ? 13

∴ an ? 1 ? 2(n ?1) ? 2n ?1(n ? N ? ) , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 分 在 ?bn ? 中,∵ Sn ? 2bn ?1 ,当 n ? 1 时, b1 ? 2b1 ? 1,∴ b1 ? 1 当 n ? 2 时,由 Sn ? 2bn ?1 及 Sn?1 ? 2bn ?1 可得

bn ? 2bn ? 2bn?1 ,∴ bn ? 2bn?1 ,
∴ ?bn ? 是首项为 1 公比为 2 的等比数列, ∴ bn ? 2
n?1

(n ? N ? )

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分
n?1

(2) cn ? anbn ? (2n ?1)? 2

Tn ? 1 ? 3? 2 ? 5? 22 ? ?? (2n ?1)? 2n?1



2Tn ? 1? 2 ? 3? 22 ? 5? 23 ??? (2n ? 3)? 2n?1 ? (2n ?1)? 2n
① -②得



?Tn ? 1 ? 2?2 ? 2?22 ? ? ? 2?2 n ?1 ? (2n ? 1)?2 n 2(1 ? 2n ?1 ) ? 1 ? 2? ? (2n ? 1)?2n 1? 2 n ?1 ? 1 ? 4(2 ? 1) ? (2n ? 1) ? ?3 ? (2n ? 3)?2n
∴ Tn ? (2n ? 3)? 2n ? 3 (n ? N ? ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1 2, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分

21.解: (I) PF1 ? PF2 ? 2a ? 2 2 ,∴ a ? 分) ∵e ?
2

c 2 2 ,∴ c ? ? ? 2 ? 1, a 2 2
2 2

∴ b ? a ? c ? 2 ?1 ? 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2 分)

椭圆的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1, 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3 分)

(II)已知 F2 (1,0) ,设直线的方程为 y ? k ( x ?1), A( x1, y1 ) B( x2 , y2 ) ,

? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 联立直线与椭圆方程 ? x 2 ,化简得: (1 ? 2k ) x ? 4k x ? 2k ? 2 ? 0 , 2 ? ? y ?1 ? 2


x1 ? x2 ?
分)

4k 2 2k 2 ? 2 ?2k , x x ? , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2k ? , . . . . . . . . . . . . . (4 1 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 1 ? 2k 2

∴ AB 的中点坐标为 G (

2k 2 ?k , ), . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5 分) 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

当斜率 k=0 时,不符合题意.


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