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高中数学选修1-1(文)第二章


第二章

圆锥曲线与方程
§2.2 椭圆

知识梳理 1、椭圆及其标准方程

F2 的距离的和大于| F1 F2 | (1) .椭圆的定义: 椭圆的定义中, 平面内动点与两定点 F1 、
这个条件不可忽视 .若这个距离之和小于 | F1 F2 | ,则这样的点不存在;若距离之和等于 | F1 F2 |,则动点的轨迹是线段 F1 F2 . (2).椭圆的标准方程:

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ? ? 1 ( a > b >0) a2 b2 a2 b2
2

(3).椭圆的标准方程判别方法:判别焦点在哪个轴只要看分母的大小:如果 x 项的 分母大于 y 项的分母,则椭圆的焦点在 x 轴上,反之,焦点在 y 轴上. 2、椭圆的简单几何性质( a > b >0).
2 2 (1) .椭圆的几何性质:设椭圆方程 x ? y ? 1 , 线段 A1 A2 、 B1 B2 分别叫做椭圆 2 2

2

a

b

的长轴和短轴.它们的长分别等于 2a 和 2b, (2).离心率: e ?

b2 c ? 1 ? 2 0<e<1.e 越接近于 1 时,椭圆越扁;反之,e 越接 a a

近于 0 时,椭圆就越接近于圆. (3)椭圆的焦半径:

MF1 ? a ? ex , MF2 ? a ? ex . a 2 = b 2 + c 2

x2 y2 (4). 椭 圆 的 的 内 外 部 点 P( x0 , y0 ) 在 椭 圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 内 部 a b 2 2 x y ? 0 ? 0 ?1 2 a b2
(5).焦点三角形 ?PF 、 三角形面积公式 将有关线段 PF1 1 F2 经常利用余弦定理 .... ....... 2c , 有 关 角 ?F1 PF2 结 合 起 来 , 建 立 PF 1 ? PF 2

、PF2 、

、 PF1 ? PF2

等关系.面 .积 .公 .式 .: .

S?F1PF2 ? b 2 tan

?
2

§2.1.1 椭圆及其标准方程 典例剖析 题型一 椭圆的定义应用
例 1:

第 1 页 共 37 页

评析: 点 P 在椭圆上这个条件的转化常有两种方法: 一是点 P 椭圆的定义, 二是点 P 满足椭圆的方程,应该认真领会椭圆定义 题型二 椭圆标准方程的求法 例 2:已知椭圆的两个焦点为(-2,0) , (2,0)且过点 ( , ? ) ,求椭圆的标准方程

5 2

3 2

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2 5 3 5 3 2 2 2 2 由椭圆的定义可知: 2a ? ( ? 2) ? (? ? 0) ? ( ? 2) ? (? ? 0) ? 2 10 2 2 2 2 x2 y 2 ? ?1 ? a ? 10 又 c ? 2,?b2 ? a2 ? c2 ? 6 所以所求的标准方程为 10 6 x2 y2 ? 1,将 解法 2 ? c ? 2,?b2 ? a 2 ? c 2 ? a 2 ? 4 ,所以可设所求的方程为 2 ? 2 a a ?4 5 3 x2 y 2 ? ?1 点 ( , ? ) 代人解得: a ? 10 所以所求的标准方程为 2 2 10 6
解法 1 因为椭圆的焦点在 x 轴上,所以设它的标准方程为 评析 求椭圆的标准方程总结有两种方法:其一是由定义求出长轴与短轴长,根据条 件写出方程; 其二是先确定标准方程的类型, 并将其用有关参数 a , b 表示出来然后结合条件 建立 a , b 所满足的等式,求得 a , b 的值,再代人方程 备选题

???? ? ???? ? PM ? 2MD .当点 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹方程. ???? ? ???? ? 解 设点 M 的坐标为 ? x, y ? ,点 P 的坐标为 ? x0 , y0 ? ,由 PM ? 2MD ,
得 ? x ? x0 , y ? y0 ? ? 2 ?8 ? x, ? y ? ,即 x0 ? 3x ?16 , y0 ? 3 y .
2

例 3:设点 P 是圆 x ? y ? 4 上的任一点,定点 D 的坐标为(8,0) ,若点 M 满足
2 2

2 2 因为点 P ? x0 , y0 ? 在圆 x ? y ? 4 上,所以 x02 ? y02 ? 4 .即 ? 3 x ? 16 ? ? ? 3 y ? ? 4 ,
2

4 ? 16 ? 即 ? x ? ? ? y 2 ? ,这就是动点 M 的轨迹方程. 3? 9 ? 评析 本题中的点 M 与点 P 相关,我们得到 x0 ? 3x ?16 , y0 ? 3 y 是关键,利用点 P
在 x ? y ? 4 上的条件,进而便求得点 M 的轨迹方程,此法称为代人法. 点击双基 1、 .中心在原点,焦点在横轴上,长轴长为 4,短轴长为2,则椭圆方程是(C )
2 2

2

x2 y2 ? y 2 ? 1 D. x 2 ? ?1 4 4 2 若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为 18 ,一个焦点的坐标是(3,0) ,则
A. B. C.
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x2 y 2 ? ?1 4 3

x2 y 2 ? ?1 3 4

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椭圆的标准方程为(B ) A
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x2 y2 ? ?1 9 16

B

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C

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x2 y2 ? ?1 D 16 25

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x2 y2 ? ?1 16 9

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3.与椭圆 9x +4y =36 有相同焦点,且短轴长为 4 5 的椭圆方程是(B
2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

)

y y y y x x x x ? ?1 B ? ?1 C ? ?1 D ? ?1 25 20 20 25 20 45 80 85 4、椭圆 5x 2 ? ky 2 ? 5 的一个焦点坐标是 (0,2) ,那么 k ? ________ 1 5 、椭圆的焦点为 F 1 (0, ?5), F 2 (0,5) ,点 P (3, 4) 是椭圆上的一个点,则椭圆的方程为
A
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解: ? 焦点为 F 1 (0, ?5), F 2 (0,5) ,可设椭圆方程为

y2 x2 ? ? 1 ;点 P(3, 4) 在椭圆上, a 2 a 2 ? 25

16 9 y 2 x2 2 ? ? 1, a ? 40 ? ?1 ,所以椭圆方程为 a 2 a 2 ? 25 40 15
课外作业 一、选择题 1.已知椭圆 离为(D ) A 2
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x2 y2 ? ? 1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3 ,则 P 到另一焦点距 25 16
B
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3

C

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5

D

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7
5 2 3 2

2 .若椭圆的两焦点为(- 2 , 0 )和( 2 , 0 ) ,且椭圆过点 ( ,? ) ,则椭圆方程是 ( D )
2 2 2 2 2 2 B. y ? x ? 1 C. y ? x ? 1 D. x ? y ? 1 10 6 4 8 10 6 2 2 3.若方程 x +ky =2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围为 ( D ) A. (0,+∞) B. (0,2) C. (1,+∞) D. (0,1) 4.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为 18 ,焦距为 6 ,则椭圆的方程为 (C )
2 2 A. y ? x ? 1 8 4

A.

x2 y2 ? ?1 9 16

B.

x2 y2 ? ?1 25 16

C.

x2 y2 x2 y2 ? ? 1或 ? ? 1 D.以上 25 16 16 25

都不对 5.椭圆的两个焦点是 F1(-1, 0), F2(1, 0),P 为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的 等差中项,则该椭圆方程是( C ) 。 A

y2 y2 y2 y2 x2 x2 x2 x2 + =1 B + =1 C + =1 D + =1 16 9 16 12 4 3 3 4 2 2 6、椭圆 mx ? ny ? mn ? 0(m ? n ? 0) 的焦点坐标为(C )

A、 0,? m ? n

?

?

B、 0,? m ? n

?

?

C、 0,? n ? m x2

?

?

D、 0,? n ? m

?

?

7.已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 +y2=1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆 3 的另外一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是 ( C ) (A)2 3 (B)6 (C)4 3 (D)12 9 8.设定点 F1(0,-3) 、F2(0,3) ,动点 P 满足条件 PF1 ? PF2 ? a ? (a ? 0) ,则点 P a 的轨迹是(A ) A.椭圆 B.线段 C.不存在 D.椭圆或线段 二 、填空题 9 方程

x2 y2 ? ?1 表 示 焦 点 在 y 轴 的 椭 圆 时 , 实 数 m 的 取 值 范 围 是 | m | ?1 2

第 3 页 共 37 页

_______ m ? (1,3) ? (?3, ?1) 2 10 .与椭圆 4 x + 9 y ________
y x ? ? 1. 15 10
2 2

2

= 36 有相同的 焦点 , 且过点 ( - 3 ,2 ) 的椭 圆方程为

2 2 11、如果 M(x,y)在运动过程中,总满足关系式 x ? ( y ? 3) ?

x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 10 ,

则 M 的轨迹方程是 三、解答题

x2 y 2 ? ?1 16 25

12.将圆 x2 ? y 2 ? 4 上的点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的一半,求所得曲线 的方程,并说明它是什么曲线.
2 答案: x ? y 2 ? 1, 椭圆

4

13. 答案: 14.

思悟小结 1. 要灵活运用椭圆的定义来解决问题, 一般情况下涉及焦点问题则应首先考虑定义。 2. 要求椭圆的标准方程包括“定位”和“定量”两个方面。 “定位”是指确定椭圆与 坐标系的相对位置,在中心是原点的前提下,确定焦点位于哪条坐标轴上,以判 断方程的形式; “定量”是指的 a 与 b 具体数值,常用待定系数法.当椭圆的焦 点位置不明确时,可设方程为
2 2

x2 y 2 ? ? 1(m ? 0, n ? 0) , 也 可 以 设 方 程 为 m n

Ax2 ? By 2 ? 1( A ? 0, B ? 0) ,避免讨论和繁杂的计算
§2.1.2 椭圆的简单的几何性质(第一课时)
典例剖析 题型一 求椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标等. 例 1 已知椭圆 x2 ? (m ? 3) y 2 ? m(m ? 0) 的离心率 e ? 和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标. 解 把 椭 圆 的 方 程 写 成

3 ,求 m 的值及椭圆的长轴 2
x2 y2 ? ?1 , m m m?3 m ? a 2 ? m, b 2 ? , m?3 m(m ? 2) m ? 3 ? 3 , ? m ? 1, 2 m


? m ? 0,? m ?

m m(m ? 2) ? ?0 m?3 m?3

?m ?

m m?3



? c ? a 2 ? b2 ? m ?

3 m m(m ? 2) 由e ? ,得 ? 2 m?3 m?3

第 4 页 共 37 页

? 椭圆的标准方程为: x 2 ?

y2 1 3 ? 1 ? a ? 1, b ? , c ? ,故椭圆的长轴长为 2,短轴长 1 2 2 4 3 3 为 1 , 两 焦 点 坐 标 分 别 为 F1 (? , 0), F2 ( , 0) , 四 个 顶 点 坐 标 分 别 为 2 2 1 1 A1 (?1, 0), A2 (1, 0), B1 (0, ? ), B1 (0, ). 2 2
评析: 解决此类问题的关键是将所给的方程正确地化成椭圆的标准方程,然后判断焦 点在哪个坐标轴上,准确的求出 a,b,进而求出其他有关性质 题型二 椭圆的几何性质简单应用 例 2 设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△ F1PF2 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( ) A. 分析 解一

2 2
设椭圆方程为

B.

2 ?1 2

C. 2 ? 2

D. 2 ? 1

利用椭圆的几何性质和定义

b2 x2 y 2 ? 2c ,即 ? ? 1 ,依题意,显然有 ,则 P F ? F F 2 1 2 a a 2 b2

a2 ? c2 ? 2c ,即 e2 ? 2e ? 1? 0 ,解得 e ? 2 ? 1 .选 D. a 解二 ∵△F1PF2 为等腰直角三角形,∴ PF2 ? F1 F2 ? 2c, PF1 ? 2 2c .
∵ PF 1 ? PF 2 ? 2a ,∴ 2 2c ? c ? 2a ,∴ 评析 一条题型 备选题 例3: 椭圆 等于 解法一中的 2 PF2 ?

c ? a

1 2 ?1

? 2 ? 1 .故选 D.

2b 2 是椭圆的通径,它是椭圆经过焦点的所有弦中最短的 a

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的左焦点F到过顶点A(-a, 0), B(0,b)的直线的距离 a2 b2

b 7

,求该椭圆的离心率.

解本题条件不易用平面几何知识转化,因而过A、B的方程为

x y ? ? 1 ,左焦点 ?a b

? ?c 0 ?| ? a ? b ? 1 | b ? ? c 1 5 ? 2 2 1 1 7 F(-c,0), 则? , 化简, 得5a -14ac+8c =0 得 ? 或 (舍) , ? 2 2 a 2 4 ? a b ? 2 2 2 2 2 2 ? ?a ? b ? c ? b ? a ? c
评析: 应熟悉各方程的标准形式及各参数之间的关系和几何意义 .若题面改为“双曲线

x y2 ? ? 1 (a>b>0)” ,则由“a>b>0”这个隐含条件可知离心率 e的范围限制,即 a>b>0, a2 b2 2 2 2 2 2 ∴ a >b , ∴a >c -a 从而 1 ? e ? 2 .
点击双基

2

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1 中心在原点,焦点在 x 轴上,焦距等于 6,离心率等于
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A.

x2 y2 ? ?1 100 36

B.

x2 y2 ? ?1 100 64

3 ,则椭圆的方程是( C ) 5 x2 y2 x2 y2 ? ?1 ? ?1 C. D. 25 16 25 9

2 案: 3 F1 、F2 是椭圆
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x2 y2 0 且∠ AF 则Δ AF ? ? 1 的两个焦点,A 为椭圆上一点, 1 F2 ? 45 , 1 F2 的面 9 7
B

积( A
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7 4

C

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7 2

D

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7 5 2
4 m

x2 y 2 ? ? 1 上的点 M 到焦点 F1 的距离是 2,N 是 MF1 的中点,则|ON|为 25 9 y y ? ? m (a>0, 5、 若方程 y≠0)表示焦点在 y 轴上的椭圆, 则 m 的取值范围是 x?a x?a
4. .椭圆 <-1 课外作业 一、选择题 1.已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,且长轴长为 12,离心率为 程是(D
2

1 ,则椭圆的方 3

)

A. 2

x y2 + =1 144 128

B.

x2 y2 + =1 36 20

C.

x2 y2 + =1 32 36

D.

x2 y2 + =1 36 32

答案 3.椭圆
x2 y2 x2 y2 和 ) ? ? 1 ? ? k ?k ? 0? 具有 ( A a2 b2 a2 b2 A.相同的离心率 B.相同的焦点 C.相同的顶点 D.相同的长、短轴 4.若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直,则离心率等于 ( B )

A. 5. 椭圆 的面积为 A 21
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1 2

B.

2 2

C.

2

D. 2

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1 、F2 的连线互相垂直, 则△ PF1 F2 49 24
(D ) B
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C

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D

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2 2 6 . 椭 圆 x ? y ? 1 上 的 点 到 直 线 x ? 2y ? 2 ? 0 的 最 大 距 离 是

16

4

(D A.3 12,则椭圆方程为( A. B. 11 B B. )

) C. 2 2 D. 10

7.椭圆两焦点为 F1 (?4,0) , F2 (4,0) ,P 在椭圆上,若 △ PF 1F 2 的面积的最大值为

x y ? ?1 16 9

2

2

x2 y 2 ? ?1 25 9

C.

x2 y 2 x2 y 2 ? ?1 D . ? ?1 25 16 25 4

x2 ? y 2 ? 1 交于 P1,P2,线段 P1P2 的中点为 P,设 2 直 线 m 的 斜 率 为 k1 ( k1 ? 0 ), 直 线 OP 的 斜 率 为 k2 , 则 k1k2 的 值 为

8.过点 M(-2,0)的直线 m 与椭圆

( D A.2

) B.-2 C.

1 2

D.-

1 2

二 、填空题

x2 y2 9.已知点(0, 1)在椭圆 + = 1 内,则 m 的取值范围是 m 5 10.椭圆

[1, 5) ? (5,+∞).

1 5 x2 y2 ? ? 1 的离心率为 ,则 k 的值为___________ 4, 或 ? . 2 4 k ?8 9 2 c k ?8?9 1 2 ? ,k ? 4 ; 当 k ?8 ? 9 时 , 解 : 当 k ?8 ? 9 时 , e ? 2 ? a k ?8 4 2 c 9? k ?8 1 5 e2 ? 2 ? ? ,k ? ? a 9 4 4 2 2 x y 11.设 AB 是椭圆 2 ? 2 ? 1 的不垂直于对称轴的弦, M 为 AB 的中点,O 为坐标原 a b b2 点,则 k AB ? kOM ? ____ ? 2 . a x ? x2 y1 ? y2 , ), 解:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则中点 M ( 1 2 2 y ? y1 y ?y y 2?y2 得 k AB ? 2 , kOM ? 2 1 , k AB ? kOM ? 22 12 x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x1

b2 x12 ? a2 y12 ? a2b2 , b2 x22 ? a2 y22 ? a2b2 , 得 b2 ( x22 ? x12 ) ? a2 ( y22 ? y12 ) ? 0, 即
y2 2 ? y12 b2 ?? 2 x2 2 ? x12 a
三解答题 12. 答案: 13 已知椭圆的对称轴为坐标轴,离心率 e ?
b?4 5

2 ,短轴长为 8 5 ,求椭圆的方程. 3



:由

e?

c 2 ? a 3

?

a ? 12 y2 x2 x2 y2 ,∴椭圆的方程为: ? ? 1或 ? ?1. c?8 144 80 144 80

a2 ?b2 ? c2
第 7 页 共 37 页

2 2 14 椭圆 x ? y ? 1 ?a > b > 0 ? 与直线 x ? y ? 1 交于 P 、 Q 两点,且 OP ? OQ ,其 2 2

a

b

中 O 为坐标原点.(1)求

1 1 ? 2 的值; (2)若椭圆的离心率 e 满足 3 ≤ e ≤ 2 ,求椭 2 a b 3 2
1

圆长轴的取值范围. 解:设 P( x1 , y1 ), P( x 2 , y 2 ) ,由 OP ⊥ OQ ? x
y x ? 2 ?1 2 a b
2 2

x

2

+ y1 y

2

= 0

? y1 ? 1 ? x1 , y 2 ? 1 ? x 2 , 代入上式得: 2 x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 1 ? 0

① 又将 y ? 1 ? x代入

? (a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2a 2 x ? a 2 (1 ? b 2 ) ? 0



? ? ? 0,? x1 ? x 2 ?

a 2 (1 ? b 2 ) 2a 2 , x1 x 2 ? 2 2 a ? b2 a ?b 代入①化简得 1 ? 1 ? 2 .
2

a2

b2

(2) ? e 2 ?
?

a2 c2 b2 1 b2 1 1 b2 2 2 又由( 1 )知 b ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? , 2 a2 3 2a 2 ? 1 a2 a2 3 a2 2

1 1 2 5 3 5 6 ,∴长轴 2a ∈ [ 5 , 6 ]. ? ? ? ? a2 ? ? ?a? 2 2a 2 ? 1 3 4 2 2 2

思悟小结 1.要准确把握椭圆的标准方程的结构特征以及“标准”的含义,能从椭圆的标准方程 读出几何性质,更要能够利用标准方程解决问题,在解题时要深刻理解椭圆中的几何

a2 量 a, b, c, e, 等之间的关系及每个量的本质含义,并能熟练地应用于解题。 c
2.要能熟练地应用几何性质来分析问题,特别是离心率作为几何性质之一,必须重点 突破。

§2.1.2 椭圆的简单的几何性质(第二课时)
典例剖析 题型一 直线与椭圆 例 1 已知椭圆 C 的焦点 F1 (- 2 2 ,0)和 F2( 2 2 ,0) ,长轴长 6,设直线 y ? x ? 2 交椭圆 C 于 A、B 两点,求线段 AB 的中点坐标. 解:由已知条件得椭圆的焦点在 x 轴上,其中 c= 2 2 ,a=3,从而 b=1,所以其标准方程是:

? x2 2 x2 ? ? y ?1 2 ? y 2 ? 1 .联立方程组 ? 9 ,消去 y 得, 10 x ? 36 x ? 27 ? 0 . 9 ? ? y ? x?2 设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),AB 线 段 的 中 点 为 M( x0 , y0 ) 那 么 : 18 x ? x2 9 x1 ? x2 ? ? , x 0 = 1 ? 2 5 5 1 9 1 所以 y0 = x 0 +2= .也就是说线段 AB 中点坐标为(- , ). 5 5 5
评析 直线与椭圆的公共点、弦长、弦的中点问题常转化为对应方程联立的方程组的解 得问题,进而转化为一元二次方程的问题. 题型二 求椭圆弦长、中点、垂直、最值等问题 例2

第 8 页 共 37 页

评析 “点差法”的要点是巧代斜率,与弦中点有关的问题有三类:平行弦的中点轨 迹,过定点的弦中点轨迹,过定点且被定点平分的弦的所在的直线方程 备选题 例 3.在 ?ABC 中,BC=24,AC、AB 边上的中线长之和等于 39,求 ?ABC 的重心的轨迹 方程。 解 如图所示,以线段 BC 所在直线为 x 轴、线段 BC 的中垂线为 y 轴建立直 y 角坐标系。 设 M 为 ?ABC 的重心,BD 是 AC 边上的中线,CE 是 AB 边上的 中 线 , 由 重 心 的 性 质 知 | BM |?

2 2 | BD | , | CM |? | CE | , 于 是 3 3 2 2 2 2 | MB | ? | MC |? | BD | ? | CE | = (| BD | ? | CE |) = ? 39 ? 26 . 根据椭圆 3 3 3 3
B

A M D

E

的定义知,点 M 的轨迹是以 B、C 为焦点的椭圆. ? 2a ? | MB | ? | MC |? 26 , ? a ? 13 , 又 2c ?| BC |? 24 , ? c ? 12 ,

O

C

x

? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 132 ? 122 ? 25, 故所求的椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1( y ? 0) . 169 25

评析 有一定长线段 BC,两边上的中线长也均与定点 B、C 和 ?ABC 的重心有关,因此需 考虑以 BC 的中点为坐标原点建立直角坐标系。但需注意点 A 不能在 BC 的所在的直线上。 在求点的轨迹时,要特点注意所求点轨迹的几何意义,在本题中,所求的椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1( y ? 0) 169 25
点击双基 1

答案:

答案: 3.点 P 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的点, F1 、 F2 是椭圆的左、右焦点,则△ PF1 F2 的周长 9 5

是( B ) (A)12 (B)10 (C)8 (D)6 4.已知椭圆E的短轴长为 6,焦点F到长轴的一个端点的距离等于9,则椭圆E的离心率 4 等于_________ . 5 x2 y2 5.已知 P?x, y ? 是椭圆 ? ? 1 上的点,则 x ? y 的取值范围是____________ [ ?13,13] . 144 25
第 9 页 共 37 页

课外作业 一、选择题

答案:D 2. 椭圆 x2 ? my 2 ? 1 的焦点在 y 轴上, 长轴长是短轴长的两倍, 则 m 的值为 ( A. A )

1 4

B.

1 2

C. 2

D.4

3、 若椭圆经过点 P (2, 3) , 且焦点为 F1(-2,0),F2(2,0), 则这个椭圆的离心率等于 ( C ) 2 1 1 3 A. B. C. D. 2 3 2 2 x2 y2 4.已知椭圆方程为 + 2= 1 ,焦点在 x 轴上,则其焦距等于 8 m ( A ) (A)2 8–m2 (B)2 2 2–|m| (C)2 m2–8 (D)2 |m|–2 2 x2 y2 1 5.若椭圆 + = 1的离心率为 , 则 m 的值等于 ( m 16 3 124 128 124 128 (A)18 或 (B)18 或 (C)16 或 (D)16 或 9 9 9 9 6.已知 F 是椭圆 )

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的左焦点, P 是椭圆上的一点, PF⊥x 轴, OP∥ a2 b2
2 4 3 2
P F

AB(O 为原点), 则该椭圆的离心率是 ( A ) (A)

y B
o

2 2

(B)

(C)

1 2

(D)

A

x

7.若 P 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上一点,F1、F2 为其焦点,则 cos∠F1PF2 的最小值是( D ) 9 4
B.-1 C.

A.

1 2

1 9

D. ?

1 9

8 设 A( x1 , y1 ), B (4, ), C ( x2 , y2 ) 是右焦点为 F 的椭圆 “ AF , BF , CF A.充要条件 非必要

9 5

x2 y 2 ? ? 1 上三个不同的点,则 25 9
A. ). D.既非充分也

成等差数列”是“ x1 ? x2 ? 8 ”的( B.必要不充分条件

C.充分不必要条件

4 4 .由焦半径公式可得|AF|=5- x1,|BF| 5 5 4 9 4 4 4 =5- ×4= , |CF|=5- x2, 故 AF , BF , CF 成等差数列 ? (5- x1) + (5- x2) 5 5 5 5 5 9 =2× ? x1 ? x2 ? 8 , 5
解:?a=5,b=3,∴c=4,F(4,0) , e= 二 、填空题 x2 y2 9.椭圆m + = 1 的焦距为 2,则 m 的值为 .5或3 4 10. 椭圆的焦点在 y 轴上, 一个焦点到长轴的两端点的距离之比是 1∶4, 短轴长为 8, 则

第 10 页 共 37 页

椭圆的标准方程是

.

x2 y2 + =1 16 25

11、 长为 3 的线段 AB 的端点 A、 B 分别在 x、 y 轴上移动, 动点 C (x, y) 满足 AC ? 2CB , 则动点 C 的轨迹方程是 . 答案: x ?
2

1 2 y ?1 4

三、解答题 12 已知椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个等边三角形, 焦点到同侧顶点的距离为 3 ,求椭圆的方程。 解:设椭圆的标准方程

x2 y2 ? ? 1(m ? 0, n ? 0, m ? n) m n

则有

5 ? 3 2 ( )2 ? (? 2 ) ? 2 ? 1 , 解 得 m ? 6, n ? 10 所 以 , 所 求 椭 圆 的 标 准 方 程 为 ? n ? m ? ( 3) 2 ( 5) 2 ? ?1 ? n ? m
王新敞
奎屯 新疆

x2 y2 ? ?1 6 10

王新敞
奎屯

新疆

13.直线 y ? kx ? 2 与椭圆 O 为坐标原点) ,求 k 的值. 解:将 y ? kx ? 2 代入

??? ? ??? ? x2 ? y 2 ? 1 交于不同两点 A 和 B,且 OA ? OB ? 1 (其中 3

x2 ? y 2 ? 1,得 (1 ? 3k 2 ) x2 ? 6 2kx ? 3 ? 0 . 3

由直线与椭圆交于不同的两点,得
2 ? 1 ?1 ? 3k ? 0, 即 k2 ? . ? 2 2 2 3 ? ?? ? (6 2k ) ? 12(1 ? 3k ) ? 12(3k ? 1) ? 0. ??? ? ??? ? 设 A( x A , y A ), B( x B , y B ) ,则.由 OA ? OB ? 1 ,得 x A xB ? yA yB ? 1 .

而 x A xB ? y A y B ? x A xB ? (kxA ? 2 )(kxB ? 2 ) ? (k 2 ? 1) x A xB ? 2k ( x A ? xB ) ? 2

5 ? 3k 2 6 3 6 2k 5 ? 3k 2 ? 1 .解得 k ? ? .于是 . ? 2 k ? 2 ? 2 2 2 2 3k ? 1 3 1 ? 3k 1 ? 3k 3k ? 1 6 故 k 的值为 ? . 3 3 14 已知椭圆 G 的中心在坐标原点, 长轴在 x 轴上, 离心率为 , 两个焦点分别为 F1 和 F2 , 2 2 2 椭圆 G 上一点到 F1 和 F2 的距离之和为 12,圆 Ck : x ? y ? 2kx ? 4 y ? 21 ? 0 (k ? R) 的

? (k 2 ? 1)

圆心为点 Ak . (1)求椭圆 G 的方程; (2)求 ?Ak F1 F2 的面积; (3)问是否存在圆 Ck 包围椭圆 G? 请说 明理由. 解(1)设椭圆 G 的方程为: 则? ?c

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

( a ? b ? 0 )半焦距为 c; 所求椭圆 G 的方程为:

? 2a ? 12

2 2 2 3 , 解得 ?c ? 3 3 , ?b ? a ? c ? 36 ? 27 ? 9 ? ? ? ? 2 ?a

? ? a?6

第 11 页 共 37 页

x2 y 2 ? ?1. 36 9

1 1 SV AK F1F2 ? ? F1 F2 ? 2 ? ? 6 3 ? 2 ? 6 3 2 2 2 2 (3)若 k ? 0 ,由 6 ? 0 ? 12k ? 0 ? 21 ? 15 ? 12k ? 0 可知点(6,0)在圆 Ck 外,
(2)点 AK 的坐标为 ? ?K , 2? , 若 k ? 0 ,由 (?6)2 ? 02 ?12k ? 0 ? 21 ? 15 ?12k ? 0 可知点(-6,0)在圆 Ck 外; 思悟小结 1,在直线与椭圆的位置关系问题中,要注意弦长问题,垂直问题、中点弦问题等,解 决的一般思路是联立直线与椭圆的方程组,消去一个未知量,通过题意找到根与系数的关 系,利用韦达定理列式求解。

x2 y 2 2 把 椭 圆 方 程 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与 直 线 方程 y ? kx ? b 联 立 消 去 y , 整 理 成 形如 a b 2 Ax ? Bx ? C ? 0 的形式,对此一元二次方程有: (1) ? ? 0 ,直线与椭圆有两个公共点 P, Q ,此时的弦长的求法:①求两点 P, Q 的坐标,
利用两点间的距离公式;②由韦达定理得到弦长公式 PQ ? 1 ? k 题,常用“韦达定理”设而不求计算弦长。 (2) ? ? 0, 直线与椭圆有一个公共点,相切 (3) ? ? 0, 直线与椭圆有无公共点,相离
2

x p ? xq ,涉及弦长问

§2.2 双曲线
知识梳理 1、双曲线及其标准方程 (1)双曲线的定义:平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离的差的绝对值等于常数 2a(小 于| F1 F2 |)的动点 M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中,要注意条件 2a<| F1 F2 |,这一 条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若 2a=| F1 F2 |,则动点的轨迹是 两条射线;若 2a>| F1 F2 |,则无轨迹. 若 MF1 < MF2 时,动点 M 的轨迹仅为双曲线的一个分支,又若 MF1 > MF2 时, 轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的,故在定义中应为“差的绝对值”. (2).双曲线的标准方程判别方法是:如果 x 项的系数是正数,则焦点在 x 轴上;如 果 y 项的系数是正数,则焦点在 y 轴上.对于双曲线,a 不一定大于 b,因此不能像椭圆那 样,通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 2、双曲线的简单几何性质 (1).双曲线
2 x2 y2 c ? 2 ? 1 实轴长为 2a,虚轴长为 2b,离心率 e ? ? 1 ? b 2 离心率 2 a b a a

2

2

e 越大,开口越大.

b x2 y2 x2 y2 y ? ? x ? ? 1 ? ? 0 .若已知双 的渐近线方程为 或表示为 a a2 b2 a2 b2 m 曲线的渐近线方程是 y ? ? x ,即 m x ? ny ? 0 ,那么双曲线的方程具有以下形式: n 2 2 2 2 m x ? n y ? k ,其中 k 是一个不为零的常数.
(2) .双曲线 (3)焦半径公式 PF1 ?| e( x ?

a2 a2 ) | , PF2 ?| e( ? x) | . c c
第 12 页 共 37 页

(4)双曲线的方程与渐近线方程的关系

x2 y2 x2 y 2 b ? ? 1 ? 2 ? 0 ? y ? ? x ;②若渐近线方 渐近线方程: ? 2 2 2 a b a a b 2 2 x y x y x2 y2 b 程为 y ? ? x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? ;③若双曲线与 2 ? 2 ? 1 a b a a b a b 2 2 x y 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 ? ? ( ? ? 0 ,焦点在 x 轴上, ? ? 0 ,焦点在 y 轴上). a b
①若双曲线方程为

? x2 y 2 2 ④双曲线 2 ? 2 ? 1(a, b ? 0) 焦点三角形面积: S?F PF ? b cot ,高 h ? 1 2 2 a b

b 2 cot c

?

2 。

第 13 页 共 37 页

§2.2.1 双曲线的定义与标准方程 典例剖析 题型一 双曲线标准方程的判断

题型二 求双曲线标准方程 例 2 已知双曲线过 M (1,1), N (?2,5) 两点,求双曲线的标准方程 解 法 1 当 双 曲 线 的 焦 点 在 x 轴 上 时 , 设 双 曲 线 的 方 程 为 :

8x2 y 2 x2 y 2 ? ?1 ? ? 1( a ? 0, b ? 0) --------7 7 a 2 b2

y 2 x2 当双曲线的焦点在 Y 轴上时,设双曲线的方程为: 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 解得: a b 1 ?1 ?? 2 ? 8x2 y 2 ?a 7 ? ?1 (不合舍去)------------综上:所求的双曲线方程为: ? 7 7 ? 1 ??8 ? 7 ? b2 2 2 解法 2 因为双曲线的焦点位置不定, 所以设双曲线的方程为:mx ? ny ?( 1 mn ? 0)
8x2 y 2 ? ?1 7 7
备选题 例 3:

确定一个双曲线的标准方程需要三个条件 a , b ,两个定形条件,一个定位条件:焦点坐 标。 x2 y2 1、圆 C 过双曲线 ? ? 1 的一个顶点和一个焦点,且圆心在该双曲线上,则圆心到该双 9 16

第 14 页 共 37 页

曲线的中心的距离是(

16 3



2、 设 x, y ? R , 且 2 y 是 1 ? x 和 1 ? x 的等比中项, 则动点 ? x, y ? 的轨迹为除去 x 轴上点的 (D ) A.一条直线
2 2

B.一个圆

C.双曲线的一支

D.一个椭圆

3. 若曲线

x y ? ? 1 表示双曲线, 则 k 的取值范围是 4 ? k 1? k

(??, ?4) ? (1, ??)
1 sin C ,则第三个顶点 C 的 2

5、设 ?ABC 的顶点 A(?4,0) , B(4,0) ,且 sin A ? sin B ? 轨迹方程是_____

x2 y2 ? ? 1( x ? ?2) 4 12

课外作业 一、选择题 1 动点 P 到点 M (1,0) 及点 N (3,0) 的距离之差为 2 ,则点 P 的轨迹是(D ) A 双曲线 B 双曲线的一支 C 2 2 x y 2.方程 ? ? 1 表示双曲线,则 k 1? k 1? k A. ?1 ? k ? 1 B. k ? 0 x2 y2 3. 双曲线 2 ? ? 1 的焦距是 m ? 12 4 ? m 2 A.4 B. 2 2
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两条射线

D

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一条射线 ( D )

的取值范围是 C. k ? 0

D. k ? 1 或 k ? ?1 ( C )

C.8

D.与 m 有关

4 如果双曲线 么|AF2| 等于( D A.5+ 10 )

x -y2=1 的两个焦点为 F1、F2,A 是双曲线上一点,且|AF1|=5,那 9

2

B.5+2 10
2 2

C.8

D.11

5.过双曲线 是( A ) A.28

x y ? ? 1 左焦点 F1 的弦 AB 长为 6,则 ?ABF2 (F2 为右焦点)的周长 16 9
B.22 C.14
2 2

D.12

x y 已知?ABP的顶点A、B分别为双曲线C: ? ? 1的左右焦点,顶点P在双 16 9 6、 sin A - sin B 曲线C上,则 的值等于 sin P

A.

4 5

B.

7 4
2

C

5 4

D.

4 7 4

答案 A

???? ???? ? y2 ? 1 的左右焦点.若点 P 在双曲线上,且 PF1 ? PF2 ? 0 7、设 F1 , F2 分别是双曲线 x ? 9 ???? ???? ? 则 PF1 ? PF2 =(B )
A.

10

B.

2 10

C.

5

D. 2 5 ( B )

8 已知 F1 , F2 是双曲线的两个焦点, Q 是双曲线上任一点(不是顶点) ,从某一焦点引

?F1QF2 的平分线的垂线,垂足为 P,则点 P 的轨迹是
第 15 页 共 37 页

A 直线 二、填空题

B 圆

C 椭圆

D 双曲线

y2 x2 9 过点 A(-2 3 , 4 2 )、 B(3, -2 5 )的双曲线的标准方程为 . - =1 4 16 y2 10. 与双曲线 16x2-9y2=-144 有共同焦点,且过点(0,2)的双曲线方程为 - 4 x2 =1 21
三、解答题

x2 y2 ? ? 1 有相同焦点,且经过点 ( 15, 4) ,求其方程。 12.双曲线与椭圆 27 36 y 2 x2 ? ?1. 双曲线方程为 4 5 13.已知双曲线的焦点在 y 轴上,并且双曲线上两点 P 1, P 2 坐标分别为 9 (3, ?4 2), ( ,5) ,求双曲线的标准方程. 4 1 ?1 ? 2 ? ? a 2 ? 16 1 1 ? a 16 ? 将 2 和 2 看着整体,解得 ? ,∴ ? 2 即双曲线的标准方程为 1 1 a b b ? 9 ? ? ? ? ? ? b2 9 y 2 x2 ? ?1. 16 9
思悟小结 由给定条件求双曲线的方程常用待定系数法。首先是根据焦点的位置设出方程的 形式(含参数) ,再由题设条件确定参数的值,应特别注意焦点位置不确定时,方程 可能有两种形式,应防止遗漏。

§2.2.2 双曲线的简单的几何性质(第一课时)
题型一 双曲线的性质

x2 y2 14 ? ? 1 共焦点,它们的离心率之和为 ,求双曲线方程. 例 1 已知双曲线与椭圆 9 25 5 2 2 y x ? ? 1. 4 12
题型二 有共同渐近线的双曲线方程的求法

x2 y 2 ? ? 1 有共同的渐近线,并且经过点 ( 3, ?4) 的双曲线方程. 9 3 2 2 ? 双曲线方程为: y ? x ? 1 15 45
例 2 求与双曲线 备选题 例 3 设双曲线 x ?
2

y2 ? 1上两点 A、B,AB 中点 M(1,2) 2

⑴求直线 AB 方程; ⑵如果线段 AB 的垂直平分线与双曲线交于 C、D 两点,那么 A、B、C、D 是否共圆,为

第 16 页 共 37 页

什么?

? y ? kx ? 2 ? k ? 解 法 一 : 显 然 AB 斜 率 存 在 设 AB : y-2=k(x-1) 由 ? 得 : y2 2 x ? ? 1 ? ? 2
(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0 当△>0 时,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 则 ? ? y=x+1

x1 ? x2 k (2 ? k ) ? ∴ k=1,满足△>0∴ 直线 AB: 2 2 ? k2

? 2 y12 x ? ?1 ? ? 1 1 2 法二: 设A (x1,y1) , B (x2,y2) 则? 两式相减得: (x1-x2)(x1+x2)= (y1-y2)(y1+y2) 2 2 ? x 2 ? y2 ? 1 2 ? ? 2 y2 2 ?1 y ? y 2( x1 ? x2 ) ? 1 ∴ AB: y=x+1 代入 x 2 ? ? 1 得: ∵ x1≠ x2∴ 1 2 ? ∴ k AB ? 2 2 x1 ? x2 y1 ? y2
△>0 评注:法一为韦达定理法,法二称为点差法,当涉及到弦的中点时,常用这两种途径处理。 在利用点差法时,必须检验条件△>0 是否成立。 (2)设 A、B、C、D 共圆于⊙OM,因 AB 为弦,故 M 在 AB 垂直平分线即 CD 上;又 CD 为弦,故圆心 M 为 CD 中点。因此只需证 CD 中点 M 满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|

? y ? x ?1 ? 由? 得:A(-1,0) ,B(3,4)又 CD 方程:y=-x+3 y2 2 ?1 ?x ? ? 2 ? y ? ?x ? 3 ? 由? 得:x2+6x-11=0 设 C(x3,y3) ,D(x4,y4) ,CD 中点 M(x0,y0) y2 2 ?1 ?x ? ? 2 x ? x4 ? ?3, y0 ? ? x0 ? 3 ? 6 ∴ M(-3,6) 则 x0 ? 3 2
1 |CD|= 2 10 又|MA|=|MB|= 2 10 ∴ |MA|=|MB|=|MC|=|MD| 2 ∴ A、B、C、D 在以 CD 中点,M(-3,6)为圆心, 2 10 为半径的圆上 评析:此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在,然后求出该结论,并检验是否满足 所有条件.本题应着重分析圆的几何性质,以定圆心和定半径这两定为中心,充分分析平面 图形的几何性质可以使解题思路更清晰,在学习中必须引起足够重视. 点击双基

∴ |MC|=|MD|=

1、若双曲线 x ? ky ? 1 的离心率是 2 ,则实数 k 的值是(B )
2 2

A. ?3

B. ?

1 3

C. 3

D.

1 3

x2 y2 2、若双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个顶点三等分焦距,则该双曲线的渐近线方程 a b
是( D ) A. y ? ?

2 x 2

B. y ? ? 2 x

C. y ? ? 3x

D. y ? ?2 2x )

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线的( A 3、若 k ? R ,则 k ? 3 是方程 k ?3 k ?3
第 17 页 共 37 页

A.充分不必要条件 件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D. 既充分也不必要条

???? ???? ? x2 y2 ? ? 1 的两个焦点为 F1、F2 ,点 P 在该双曲线上,若 PF 4、双曲线 1 ? PF 2 ? 0 ,则点 9 16 16 P 到 x 轴的距离为 . 5
5、若双曲线 心率 为

y2 x2 - =1 的渐近线与方程为 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 3 的圆相切,则此双曲线的离 2 2 a b

2.

课外作业 一、选择题 2 2 1.方程 mx +ny +mn=0(m<n<0)所表示的曲线的焦点坐标是( A (0, ? m ? n ) B

B



(0, ? n ? m ) C ( ? m ? n ,0) D ( ? n ? m ,0) 2 x 2.焦点为 ?0,6? ,且与双曲线 (B ) ? y 2 ? 1 有相同的渐近线的双曲线方程是 2 x2 y2 y2 x2 y2 x2 x2 y2 A. B. C. D. ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 12 24 12 24 24 12 24 12 x2 y2 x2 y2 3.若 0 ? k ? a ,双曲线 2 ? 2 ? 1 与双曲线 2 ? 2 ? 1 有 a ?k b ?k a b ( D ) A.相同的虚轴 B.相同的实轴 C.相同的渐近线 D. 相同的焦点

x x2 y 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线方程为 ? y ? 0 . 则此双曲线的离心率为 (B ) 2 3 a b 3 10 10 A. B. C. 2 2 D. 10 10 3 x2 ? y 2 ? 1 有相同渐近线的双曲线的方程是(D ) 5、过点(2,-2)且与双曲线 2 2 2 2 x y y x2 x2 y2 y2 x2 ? ?1 ? ?1 ? ? 1 (D) ? ?1 (A) (B) (C) 4 2 4 2 2 4 2 4 y2 x2 x2 y2 6、双曲线 2 ? 2 ? 1(a, b ? 0) 的一条渐近线与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 交于点 a b b a M、
4、 若双曲线

N ,则 MN =(C)
A. a + b 7、双曲线 B.

2a

C.

2( a 2 ? b 2 )

D.

2( a 2 ? b 2 )

x2 ? y 2 ? 1(n ? 1) 的 两 焦 点 为 F1 , F2 , P 在 双 曲 线 上 , 且 满 足 n PF1 ? PF2 ? 2 n ? 2 ,


? PF F 的面积为(A
1 2

)

( A)1

(B)

1 2

(C )2

( D )4

解:假设 PF , 1 ? PF 2 ,由双曲线定义 PF 1 ? PF2 ? 2 n 且 PF 1 ? PF2 ? 2 n ? 2

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解 得 PF1 ? n ? 2 ? n , PF2 ? n ? 2 ? n 而 F1F2 ? 2 n ? 1 由 勾 股 定 理 得 1 S? PF1F2 ? PF1 ? PF2 ? 1 2 x2 x2 2 2 8、给出下列曲线:①4x+2y-1=0; ②x +y =3; ③ ? y2 ?1 ④ ? y 2 ? 1 ,其中与直 2 2 线 y=-2x-3 有交点的所有曲线是 ( D ) A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④ 二填空题

x2 y2 ? 1 ? a ? 0 ? 的一条渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,则 a=__________.2 9 若双曲线 2 ? 9 a 4 x2 y 2 ? ? 1 的一条渐近线方程为 y ? x ,则该双曲线的离心率 e 为 10 已知双曲线 3 m n
5 5 或 3 4
11.直线 y ? x ? 1 与双曲线
x2 y2 ? ? 1 相交于 A, B 两点,则 AB =______ 4 6 2 3

三解答题 12.求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)焦点在 x 轴上,虚轴长为 12,离心率为 程为 y ? ?

5 ; (2)顶点间的距离为 6,渐近线方 4

3 x. 2

?2b ? 12, x2 y2 ? (1)解:焦点在 x 轴上,设所求双曲线的方程为 2 ? 2 =1.由题意,得 ? c 5 a b ? . ? ?a 4 2 2 2 解得 a ? 8 , c ? 10 .∴ b ? c ? a ? 100? 64 ? 36 .所以焦点在 x 轴上的双曲线的方 x2 y2 ? ? 1. 程为 64 36 x2 y2 (2)解1:当焦点在 x 轴上时,设所求双曲线的方程为 2 ? 2 =1 a b ?2a ? 12, 9 ? 由题意,得 ? b 3 解得 a ? 3 , b ? .所以焦点在 x 轴上的双曲线的方程为 ? . 2 ? ?a 2
x2 y2 ? ? 1. 9 81 4

y2 x2 ? ? 1. 9 4 3 x2 y2 ? ? ? ( ? ? 0) 解2:设以 y ? ? x 为渐近线的双曲线的方程为 2 4 9 9 当 ? >0时, 2 4? ? 6 ,解得, ? = . 此时,所要求的双曲线的方程为 4
同理可求当焦点在 y 轴上双曲线的方程为
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x2 y2 ? ? 1. 9 81 4
当 ? <0时, 2 ? 9? ? 6 ,解得, ? =-1.此时,所要求的双曲线的方程为

y x2 ? ?1 9 4
13.

2

14.

思悟小结 1.由已知双曲线方程求基本量,注意首先将方程化为标准形式,再计算,并要特别注意焦 点位置。 2 渐近线是刻划双曲线的一个重要概念。渐近线为

x y ? ? 0 的双曲线方程可设为 a b

x2 y 2 x2 y 2 ? ? ? ( ? ? 0) ? ? 1 有共同的渐近线也可以设出双曲线系 ,若与 a 2 b2 a 2 b2 x2 y 2 ? ? ? (? ? 0) a 2 b2

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§2.2.2 双曲线的简单的几何性质(第二课时)
典例剖析 题型一 应用双曲线的定义及性质解题 例 1 求证:等轴双曲线上任一点到中心的距离是它到两焦点的距离的比例中项. 证明:设等轴双曲线的方程为 x2 ? y 2 ? a2 ,双曲线上任一点 P 的坐标为 ? x1 , y1 ?
2 2 则 P 到中心的距离为 x1 ? y1 ,等轴双曲线的离心率是 2 ,所以点 P 到两焦点的距









| 2x1 ? a |,| 2x1 ? a |







| PF1 |? | PF2 |?| 2x1 ? a |? | 2x1 ? a |?| 2x12 ? a2 |?| x12 ? y12 |?| PO |2
评析:涉及双曲线上的点到两个焦点的距离问题,常常要双曲线的定义,P 到两焦点的 距离分别为 | 2x1 ? a |,| 2x1 ? a | 即为焦半径公式,请同学们自行推导 题型二 直线与双曲线的位置关系 2 例 已知不论 b 取何实数,直线 y=kx+b 与双曲线 x -2y2=1 总有公共点,试求实数 k 的 取值范围. 分析 联立方程组,结合数形讨论 ? y ? kx ? b ? 解 联立方程组 ? 2 消去 y 得(2k2—1)x2+4kbx+2b2+1=0, 2 ? x ? 2 y ? 1 ? 当 2k ? 1 ? 0 ? k ? ?
2

(1)当 b ? 0 时,有一个交点; (2)当 b ? 0 时,没有交点,所以不合题意. 当 2k ? 1 ? 0 ? k ? ?
2

2 时,直线与双曲线的渐近线平行, 2

2 时, 依题意有△=(4kb)2—4(2k2—1)(2b2+1)=—4(2k2—2b2—1) 2 2 2 2 2 ≥0,对所有实数 b 恒成立,∴2k2—1≤0,得 ? 所以 ? ?k? ?k? 2 2 2 2
评析 利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程,利用判别 式、韦达定理来求解或证明.注意:与双曲线只有一个公共点的直线有两种.一种是与渐 近线平行的两条与双曲线交于一点的直线.另一种是与双曲线相切的直线也有两条. 备选题
2 2 例 3: k 代表实数,讨论方程 kx ? 2 y ? 8 ? 0 所表示的曲线.

y2 x2 ? ? 1 为焦点在 y 轴的双曲线; 解: 4 ?8 k 2 k ? 0 当 时,曲线 2 y ? 8 ? 0 为两条平行于 x 轴的直线 y ? 2或y ? ?2 ;
当 k ? 0 时,曲线

x2 y 2 ? ? 1 为焦点在 x 轴的椭圆; 8 4 k 2 2 当 k ? 2 时,曲线 x ? y ? 4 为一个圆;
当 0 ? k ? 2 时,曲线

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当 k ? 2 时,曲线

y 2 x2 ? ? 1 为焦点在 y 轴的椭圆 8 4 k

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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评析:针对 k 的各种情形进行分类讨论. 点击双基

x2 y 2 ? ? 1 的焦距为(.D ) 1.双曲线 10 2 A. 3 2 B. 4 2 C. 3 3 D. 4 3 2 2 1 x y 2 若双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 ,则该 4 a b
双曲线的渐近线方程是(C ) A、 x ? 2 y ? 0 解:对于双曲线 B、 2 x ? y ? 0 C、 x ? 3 y ? 0 D、 3x ? y ? 0

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 一 个 焦 点 到 一 条 渐 近 线 的 距 离 因 为 b , 而 a 2 b2

b 1 ? , 2c 4 1 3 b 3 2 2 因此 b ? c, a ? c ? b ? ,因此其渐近线方程为 x ? 3 y ? 0 . c, ? ? 2 2 a 3
2 3.已知双曲线方程为 x 2 ? y ? 1 ,过 P(1,0)的直线 L 与双曲线只有一个公共点,则 L 的

4

条数共有(B ) A.4 条 4、与双曲线 B.3 条 C.2 条 D.1 条

x2 y2 ? ? 1 有共同的渐近线,且焦点在 y 轴上的双曲线的离心率为 9 16

5 4

5、已知双曲线 线的距离为 1,

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线方程为 y ? ? x ,若顶点到渐近 2 a b 3


则双曲线方程为

x2 3 y 2 ? ?1 4 4

课外作业 一、选择题 1.下列各对曲线中,即有相同的离心率又有相同渐近线的是 D

x2 2 y2 x2 A -y =1 和 =1 3 9 3 y2 x2 C y2=1 和 x2=1 3 3
2 2 2

2 x2 2 2 x B -y =1 和 y =1 3 3 x2 y2 x2 2 D -y =1 和 =1 9 3 3

2. 已知双曲线 9 y ? m x ? 1(m ? 0) 的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 (D ) A.1 3.与双曲线 B.2
2 2

1 , 则m? 5

C.3

D.4

x y ? ? 1 有共同的渐近线,且经过点 A (?3,2 3} 的双曲线的一个焦点 9 16
(C )
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到一条渐近线的距离是

A 8 B 4 C 2 D 1 4.双曲线 kx2+4y2=4k 的离心率小于 2,则 k 的取值范围是 ( C ) A (-∞,0) B (-3,0) C (-12,0) D (-12,1) 5 已知平面内有一固定线段 AB,其长度为 4,动点 P 满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为 (D) (A)1.5 (B)3 (C)0.5 (D)3.5 x2 y2 ? 6 如果双曲线 =1 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 2,那么点 P 到 y 轴的距离 4 2 是(A ) (A)
4 6 3

(B)

2 6 3

(C) 2 6

(D) 2 3

7 、 设 F1,F2 分 别 是 双 曲 线

x2 y 2 ? 的左、右焦点,若双曲线上存在点 A ,使 a 2 b2

?F1 AF2 ? 90?
且 AF 1 ? 3 AF 2 ,则双曲线的离心率为(B ) A.

5 2

B.

10 2

C.

15 2

D. 5

8.已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1的左右焦点分别为 F1 , F2 , P 为 C 的右支上一点,且 9 16 PF2 ? F1F2 ,则 ?PF1F2 的面积等于(C ) (A) 24 (B) 36 (C) 48 (D) 96
. (?12,0)

填空题

x2 y 2 ? ? 1 的离心率 e∈(1, 2),则 k 的取值范围是 9.双曲线 4 k
是 .

10、若双曲线 x2-y2=1 右支上一点 P(a, b)到直线 y=x 的距离为 2 ,则 a+b 的值

1 2

11.已知双曲线 渐近线夹角

x2 y2 2 3 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率的取值范围是 e ? [ ,2] ,则两 2 3 a b
. [

的取值范围是 三、解答题 12.

? ?

, ] 3 2

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13. 答案: 14. 设椭圆与双曲线有共同焦点 F1(─4,0),F2(4,0), 并且椭圆长轴长是双曲线实轴长的 2 倍,试求椭圆与双曲线的交点的轨迹. 解法 1:设交点为 P(x,y),双曲线的实半轴长为 a (2<a<4),则椭圆长半轴长为 2a, 由半焦距为 4, 得它们的方程分别为: (2)?4─(1)得: y 2 ?
x2 a2 ? y2 16 ? a 2 ?1

(1) 和

x2 4a 2

?

y2 4a 2 ? 16

=1 (2)

(a 2 ? 4)(16 ? a 2 ) (3),代入(1)得:a2=2|x| 4 再代入(3)化简得:(x─5)2+y2=9 或(x+5)2+y2=9 . 解法 2:用定义法求解. |F1P|+|F2P|=2||F1P|─F2P||, 解得:|F1P|=3? |F2P|

或 3?
2

|F1P|=|F2P| .即: ( x ? 4) ? y ? 3 ( x ? 4) ? y 或 化简得:(x─5)2+y2=9 或(x+5)2+y2=9. 思悟小结

2

2

2

2

( x ? 4) ? y ? 3 ( x ? 4) ? y 2 ,

2

2

1 涉及双曲线上的点 P 到两个焦点 F 1 、 F2 的距离问题为 a ? ex0 ,即为焦半径公式, 请同学们可以尝试推导。 2 解决直线与双曲线的位置关系问题时,对于消元后的一元二次方程,必须讨论二次项 的系数和判别式,有时借助图形的几何性质更方便。

§2.3 抛物线
知识梳理 1.抛物线的概念 平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直 线 l 上).定点 F 叫做抛物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线.
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方程 y 2 ? 2 px

? p ? 0? 叫做抛物线的标准方程.
p ,0) ,它的准线方 2

注意:它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上,焦点坐标是 F( 程是 x ? ?

p ; 2

2.抛物线的性质 一条抛物线,由于它在坐标系的位置不同,方程也不同,有四种不同的情况,所以抛 物线的标准方程还有其他几种形式: y 2 ? ?2 px , x 2 ? 2 py , x 2 ? ?2 py .这四种抛物线 的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表: 标准方程

y 2 ? 2 px ( p ? 0)
l

y 2 ? ?2 px ( p ? 0)

x 2 ? 2 py ( p ? 0) y F o x

x 2 ? ?2 py ( p ? 0)

y
o F

y
x

l

图形

F o

x

l

焦点坐标 准线方程 范围 对称性

p ( , 0) 2 p x?? 2
x?0

(?

顶点 e ?1 e ?1 离心率 说明: (1)通径:过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径; (2)抛物线的几何 性质的特点:有一个顶点,一个焦点,一条准线,一条对称轴,无对称中心,没有渐近线; (3)注意强调 p 的几何意义:是焦点到准线的距离. §2.3.1 抛物线及其标准方程 典例剖析 题型一:求抛物线标准方程的基本量

x轴 (0, 0)

p , 0) 2 p x? 2 x?0 x轴 (0, 0) e ?1

p (0, ) 2 p y?? 2 y?0 y轴 (0, 0)

p (0, ? ) 2 p y? 2 y?0 y轴 (0, 0) e ?1

例 1 ①已知抛物线的方程为

,求它的准线方程及焦点坐标。

②求焦点是

的抛物线的标准方程。

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解:①∵

∴焦点坐标为

,准线方程为

②∵焦点在 x 轴的负半轴上

∴它的标准方程为 评析:求抛物线的基本量时应该注意将其方程化为标准方程,抛物线的标准方程有四 种形式。 题型二:求抛物线的标准方程 例 2 已知抛物线的焦点在 x 轴上,抛物线上的点 M(—3,m)到焦点的距离等于 5,求 抛物线的标准方程和 m 的值. 解 1 设抛物线方程 y2=—2px(p>0),则焦点 F(—
?m 2 ? 6 p ? ? ? ?p ? 4 ?p ? 4 ,解得 ? 或? ? p 2 2 ? ? m ? (3 ? ) ? 5 ?m ? 2 6 ? ?m ? ?2 6 2 ?

p ,0),由题设可得: 2

故抛物线的方程为 y2=—8x,m 的值为± 2 6 .
p p ,0) ,准线方程为 x= . 2 2 p 根据抛物线的定义, M 到焦点的距离等于 5, 也就是 M 到准线的距离等于 5, 则 +3=5, 2

解 2 设抛物线方程为 y2=—2px(p>0),则焦点 F(—

∴p=4.因此抛物线方程为 y2=—8x,又点 M(—3,m)在抛物线上,于是 m2=24,∴ m=± 2 6 评析 比较两种解法,可看出运用定义方法的简捷. 备选题 例 3 如图所示,点 A(1,0).点R在y轴上运动,T在x轴上,N为动点, 且 RT ? RA ? 0, RN ? RT ? 0, 设动点 N 的轨迹为曲线 C,求曲线 C 的方程; 解:设 N ( x, y) ,由 RN ? RT ? 0 知:R 是 TN 的中点,

??? ? ??? ?

???? ??? ?

?

???? ??? ?

?

(1, ? ) ? 0 则 T (? x, 0), R(0, ), RT ? RA ? 0 ? ( ? X , ? )?
则 y ? 4 x 就是点 N 的轨迹曲线 C 的方程 评析 此问题是平面解析几何和向量知识的结合,以向量为背景求圆锥曲线方程是命 题的一种方向。 点击双基 1、 顶点在原点,焦点是 (0, ?2) 的抛物线方程是(B ) (A)x2=8y (B)x2= ?8y (C)y2=8x (D)y2=??8x 2 2.、抛物线 y ? 4 x 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是( B )
2

? ??? ? y ??? 2

y 2

y 2

第 26 页 共 37 页

17 15 7 (B) (C) (D)0 16 16 8 3、过点 P(0,1)与抛物线 y2=x 有且只有一个交点的直线有(B ) (A)4 条 (B)3 条 (C)2 条 (D)1 条 解:过 P 可作抛物线的切线两条,还有一条与 x 轴平行的直线也满足要求
(A) 4 抛物线 y 2 ? 4ax(a ? 0) 的焦点坐标是_____________; (a,0) 5、 动圆 M 过点 F(0, 2)且与直线 y=-2 相切, 则圆心 M 的轨迹方程是 课外作业 一、选择题 1 . 抛 物 线 的 焦 点 坐 y ? 2x 2 ( C ) 1 A. (1,0) B. ( 1 ,0) C. (0, ) D. (0, 1 ) 4 8 4 2.抛物线 y 2 ? 10x 的焦点到准线的距离是( A. B ) . x2=8y





5 2

B. 5

C.

15 2

D. 10

3.已知抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴上,其上的点 P (m,?3) 到焦点的距离为 5, 则抛物线方程为( D ) A. x 2 ? 8 y B. x 2 ? 4 y C. x 2 ? ?4 y D. x 2 ? ?8 y 4.抛物线 y2=ax(a≠0)的准线方程是 ( A )

|a| |a| D x= 4 4 3 ? 5.过抛物线 y2=4x 的焦点 F 作倾斜角为 的直线交抛物线于 A、B 两点,则 AB 的长 4
A. x ? ?

a 4

B

x=

a 4

C

x??

是( C

)

A 4 2 B4 C 8 D 2 6.抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴上,其上的点 P (m,?3) 到焦点的距离为 5,则抛物 线方程为(D ) A. x 2 ? 8 y B. x 2 ? 4 y C. x 2 ? ?4 y D. x 2 ? ?8 y

7 若点 A 的坐标为(3, 2), F 为抛物线 y2=2x 的焦点, 点 P 在抛物线上移动, 为使|PA|+|PF| 取最小值,P 点的坐标为( B ) (A)(3,3)
2

(B)(2,2)

(C)(

1 ,1) 2

(D)(0,0)

8 过抛物线 y ? ax (a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的 长分别为 p、q,则 (A)2a

1 1 ? 等于(C p q 1 (B) 2a

) (C) 4 a (D)

4 a

解:作为选择题可采用特殊值法,取过焦点,且垂直于对称轴的直线与抛物线相交所 1 1 2 2 形成线段分别为 p,q,则 p=q=|FK| 而 | FK |? 1 ,? ? ? ? ? 4a 1 2a p q p

(

2a

)

二、填空题 9.顶点在原点,焦点在 y 轴上,且过点 P(4,2)的抛物线方程是
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x2=8y

10.平面上的动点 P 到点 A(0,-2)的距离比到直线 l:y=4 的距离小 2,则动点 P 的轨迹方程是 x2=-8y 11 . 抛 物 线 y 2 ? x 上 到 其 准 线 和 顶 点 距 离 相 等 的 点 的 坐 标 为
1 2 _______ ( ,? ). 8 4 三、解答题

12.求经过点 P ? ?2, ?4? 的抛物线的标准方程. 解:由于点 P 在第三象限,所以抛物线方程可设为: y 2 ? ?2 px 或 x 2 ? ?2 py 在第一种情形下,求得抛物线方程为: y 2 ? ?8 x ;在第二种情形下,求得抛物线方程

为: x ? ? y ; 13 在抛物线 y2=2x 上求一点 P,使 P 到焦点 F 与到点 A(3,2)的距离之和最小. 解:如图,设抛物线的点 P 到准线的距离为|PQ|,由抛物线定义可知:|PF|=|PQ| ∴|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|,显然当 P、Q、A 三点共线时,|PQ|+|PA|最小. ∵A(3,2),可设 P(x0,2)代入 y2=2x 得 x0=2.故点 P 的坐标为(2,2).
2

14. 已知圆 x ? y ? 9 x ? 0 与顶点原点 O,焦点在 x 轴上的抛物线交于 A 、 B 两 点,△AOB 的垂心恰为抛物线的焦点,求抛物线 C 的方程.
2 2

解:设所求抛物线 y ? 2 px ,因为△AOB 的垂心恰为抛物线的焦点,所以 AB⊥X 轴,则
2

可 设 A ?x1 , y1 ? , B?x1 , y 2 ? , F ?

? ? ? p ?p ? ? ,0 ? . 而 OA ? ?x1 , y1 ? , FB ? ? x1 ? , y 2 ? , 由 题 意 2 ?2 ? ? ? ? ? p 5 OA ? FB ? 0 ,可得 x12 ? x1 ? 2 px1 ? 0 ,即 x1 ? p .又 A 点既在圆上又在抛物线上所以 2 2 2 2 ? 5 ? y1 ? x1 ? 9 x1 ? 0 2 得 x1 ? 9 ? 2 p 所以 p ? 9 ? 2 p , p ? 2,? y ? 4x ? 2 2 ? ? y1 ? 2 px

思悟小结 1.重视定义在解题中的应用; 灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的 转化。 2 注意确定四种标准方程的条件,明确抛物线的焦距、焦顶距、通径与抛物线标准方程中的 系数的关系。

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§2.3.2 抛物线的简单的几何性质(第一课时) 典例剖析 题型一 利用定义和几何图形的性质求解. 例 1 求证:以抛物线 y2 = 2px 过焦点的弦为直径的圆,必与此抛物线的准线相切. 证明 如图,过 A,B 分别作 AC,BD 垂直于 l,垂足为 C,D.据抛物线定 义有:|AC| =|AF|,|BD| = |BF|,所以|AB|=|AC|+|BD|. 又由 ACDB 是梯形,据梯形中位线性质知:| MH |?
1 1 (| AC | ? | BD |) ? | AB | 2 2

即|MH|为圆的半径,而准线过半径 MH 的外端且与半径垂直,故本题得证. 评析 题型二:焦点弦问题 例 2 斜率为 1 的直线经过抛物线 y2=4x 的焦点,与抛物线交于两点 A、B, 求线段 AB 的长. 解 1 如图所示,由抛物线的标准方程可知,焦点 F(1,0) ,准线方程 x= —1. 由题可知,直线 AB 的方程为 y=x—1,代入抛物线方程 y2=4x,整理得:x2—6x+1=0 解上述方程得 x1=3+2 2 ,x2=3—2 2 ,分别代入直线方程得 y1=2+2 2 ,y2=2—2 2 即 A、B 的坐标分别为(3+2 2 ,2+2 2 ) , (3—2 2 ,2—2 2 ) ∴|AB|= (3 ? 2 2 ? 3 ? 2 2 ) 2 ? 2(2 ? 2 2 ? 2 ? 2 2 ) 2 ? 64 ? 8 解 2 设 A(x1,y1)、B(x2,y2),则 x1+x2=6,x1·x2=1 ∴|AB|= 2 |x1—x2| ? 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? 2 6 2 ? 4 ? 8 解 3 设 A(x1,y1)、B(x2,y2),由抛物线定义可知,|AF|等于点 A 到准线 x=—1 的距 离|AA′| 即|AF|=|AA′|=x1+1;同理|BF|=|BB′|=x2+1 ∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8 评析: 解 2 是利用韦达定理根与系数的关系,设而不求,是解析几何中求弦长的一种普遍 适用的方法;解 3 充分利用了抛物线的定义,解法简洁,值得引起重视. 备选题 例 3 在抛物线 y ? 4 x2 上求一点,使这点到直线 y ? 4 x ? 5 的距离最短。 解:设点 P(t , 4t ) ,距离为 d , d ?
2

4t ? 4t 2 ? 5 17

?

4t 2 ? 4t ? 5 , 17

当t ?

1 1 时, d 取得最小值,此时 P ( ,1) 为所求的点。 2 2
2 2

评析, 此问题可以设点 P(t , 4t ) ,利用抛物线标点法求解; 也可以设 y ? 4 x ? b 与 y ? 4 x 相 切,求出切点的坐标 点击双基 1 从抛物线 y ? 4 x 上一点 P 引抛物线准线的垂线,垂足为 M,且|PM|=5,设抛物线的焦 点为 F, 则△MPF 的面积为( B )
2

A.5
2

B.10

C.20

D. 15

2 过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 焦点的直线交抛物线于 A、 B 两点, 则 AB 的最小值为 (C )

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A

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p 2

B

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p

C

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2p

D

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无法确定

3、若抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点是 F ,准线是 l ,则经过点 F 、 M (4,4)且与 l 相切的圆共有 ( C ) . A. 0 个
2

B. 1 个

C. 2 个

D. 4 个

4、过抛物线 y ? 4 x 的焦点作直线交抛物线于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,若 x1 ? x2 ? 6 ,那么

AB 等于 8.
5、过抛物线 y =2px 的焦点的一条直线和抛物线交于两点,设这两点的纵坐标为 y1、y2, 2 则 y1y2=__-p 课外作业 一、选择题 1.焦点是 F ( 2,0) 的抛物线的标准方程是(A (A) y ? 8 x
2
2


2

(B) y ? ?8 x
2

(C) x ? 8 y

(D) x 2 ? ?8 y

2.抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,点(-5,2 5 )到焦点距离是 6,则抛物线的方程 为(D ) (A) y 2 ? ?4 x (B) y 2 ? ?2 x (C) y 2 ? 2 x (D) y 2 ? ?4 x或y2 ? ?36 x 3.一个正三角形的顶点都在抛物线 y 2 ? 4 x 上,其中一个顶点在原点,则这个三角形的 面积是( A ) (A) 48 3
2

(B) 24 3

(C)

4 .过抛物线 y ? 4 x 的焦点作直线交抛物线于 A?x1 , y1 ? , B?x2 , y 2 ? 两点,如果

16 3 9

(D) 46 3

x1 ? x2 ? 6 , 那么 | AB | =( B )
(A)10 5 .已知 M 为抛物线 y ? 4 x 上一动点, F 为抛物线的焦点,定点 P?3 , 1? ,则
2

(B)8

(C)6

(D)4

| MP | ? | MF | 的最小值为( B )
(A)3 6. 抛 ( A ) A. 15 (B)4 物 线
y ? 12x
2

(C)5 截 直 线
y ? 2x ? 1



(D)6 得 弦 长 (D)15





(B) 2 15
2

(C) 15
2

7 动点 P 在抛物线 y =-6x 上运动,定点 A(0,1),线段 PA 中点的轨迹方程是(C ) 2 2 2 2 (A)(2y+1) =-12x(B)(2y+1) =12x (C)(2y-1) =-12x(D)(2y-1) =12x 8、如图,过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、B, 交其准线于点 C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为(B )
2

A. y ?
2

3 x 2
2

2 B. y ? 3x C. y ?
2

9 x 2

D. y ? 9 x
2

二、填空题 9. 抛 物 线 y ? 6 x 的 焦 点 的 坐 标 是

?3 ? ? ,0 ? , 准 线 方 程 是 ?2 ?

x??

3 . 2

第 30 页 共 37 页

10. 已 知 圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 7 ? 0 , 与 抛 物 线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的 准 线 相 切 , 则 p ? _______2_. 程是 ______ y 2 ? 2?x ? 1? ) 三、解答题 2 2 12 已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为 x 轴,且与圆 x +y =4 相交的公共弦长等于 2 3 ,求这抛物线的方程. 解:设抛物线方程为 y 2 ? 2 px? p ? 0?或y 2 ? 2 px? p ? 0?. 当 p ? 0 时,根据对称性设 A x0 , 3 , B x0 ,? 3 ,代入圆方程得 x0 ? 1 ,? 2 p ? 3 , 求得抛物线方程为 y ? 3x .同理可得 y ? ?3x
2 2

11.过抛物线 y 2 ? 4 x 焦点 F 的直线 l 它交于 A 、 B 两点,则弦 AB 的中点的轨迹方

?

? ?

?

13.动直线 y =a,与抛物线 y ?
2

1 x 相交于 A 点,动点 B 的坐标是 (0,3a) ,求线段 2
2

AB 中点 M 的轨迹的方程. 解:设 M 的坐标为(x,y) ,A( 2 a , a ) ,又 B (0,3a) 得 ?
消去 a ,得轨迹方程为 x

?x ? a 2 ? y ? 2a

?

y 4

2

,即

y 2 ? 4x

14.已知抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上的点 M(-3,m)到焦点的 距离等于 5,求抛物线的方程和 m 的值. 解 : 设 抛 物 线 方 程 为 x 2 ? ?2 py( p ? 0) , 则 焦 点 F ( ?

p ,由题意可得 ,0 ) 2

?m2 ? 6 p ? ? 2 p 2 ? m ? (3 ? ) ? 5 2 ? ?m ? 2 6 m ? ?2 6 , 解之得 ? 或? ? ?p ? 4 ?p ? 4

故 所 求 的 抛 物 线 方 程 为 x ? ?8 y ,
2

m的值为? 2 6
思悟小结 1 要重视抛物线“定义的应用” 、 “回归定义”有时使问题变得简捷明确。 2 焦点弦的性质:设直线过焦点 F 与抛物线相交于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点, l 的倾斜角为

?,

2 则有: y1 y2 ? ? p ; x1 x2 ?

2p p2 ;通经的长度为 2 p ; AB ? x1 ? x2 ? p ? Sin 2? 4

§2.3.2 抛物线的简单的几何性质(第二课时) 典例剖析 题型一 焦半径问题
第 31 页 共 37 页

例 1 已知半圆的直径 AB 为 2r,半圆外的直线 l 与 BA 的延长线垂直且交于 G 点, r ?AG?=2a, (2a< )半圆上有相异两点 M 和 N.它们与直线 l 的距离分别为 d1、d2,,d1 2 ==?MA?,d2=?NA?, 求证:?AM?+?AN?=2r. 分析 此题涉及几何性质,常常用抛物线的定义、焦半径公式来解决. M 证明 以 AG 的中点为原点,垂直于 AB 的直线为 y 轴建立直角坐标系, 则圆的方程为(x—a—r)2+y2=r2,又由已知可知点 M、N 在以 A 为焦点, l 为准线的抛物线线 y2=4ax 上, B 设 M(x1,y1),N(x2,y2),将抛物线线的方程代入圆方程可得: x2+2(a—r)x+a2—2ar=0, p 从而有:x1+x2=2(r—a);又由抛物线的焦半径公式可得:?MA?=x1+ =x1+a , 2 p ?NA?= x2+ =x2+a;所以?AM?+?AN?= x1+a ,+ x2+a=x1+x2+2a=2(r—a)+2a=2r 2 评析 由抛物线的定义导出的焦半径公式常是解决几何问题的有力工具. 题型二 直线与抛物线的位置关系 例 2 焦点在 y 轴上的抛物线被直线 x—2y—1=0 截得的弦长为 15 ,求这抛物线的标 准方程. 分析 焦点是在 y 轴正半轴上还是在 y 轴负半轴上?本题没有指明,应当有两种情况, 可以分两种情况来解,但我们可以统一地设抛物线方程 x2=ay(a≠0). 解 设抛物线方程为:x2=ay(a≠0),由方程组 ?
? ? x 2 ? ay 消去 y 得:2x2—ax+a=0,∵ ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ?
a a ,x1·x2= , 2 2

y d1 N d2 x G

A

直线与抛物线有两个交点.∴Δ =(—a)2—4×2×a>0,即 a<0 或 a>8 设两交点坐标为 A(x1,y1) 、B(x2,y2),则 x1+x2=
1 ? a

∴|AB|= (1 ? k 2 )(x1 ? x2 ) 2 ? (1 ? ) ?( ) 2 ? 4 ? ? ? 5(a 2 ? 8a) ,∵|AB|= 15 ,∴ 4 ? 2 2? 4
1 5(a 2 ? 8a) = 15 , 即 a2—8a—48=0, 解得 a=—4 或 a=12. ∴所求抛物线标准方程为: x2= 4

a?

1

—4y 或 x2=12y

评析 此类问题将直线和抛物线方程联立整理为关于 x 或 y 的二次方程,结合韦达定 理求解. 备选题 例 3 A、B 是抛物线 y 2 ? 2 px (p>0)上的两点,满足 OA?OB , (1)求证:A,B 两点的横坐标之积,纵坐标之积分别为定值; (2)求证:直线 AB 过定点. (3)求 AB 中点M的轨迹方程. 分析 依题意可设出 A、B 的两点坐标,然后根据条件 OA?OB 求之. 解 (1)设 A ( 而 x1· x2=
2 2 y1 y2 2
2 y2 y2 y2 y1 , y1 ) ,B ( 2 , y 2 ) ,由 OA?OB 得: 1 · 2 +y1· y2=0;即 y1· y2=-4p2,从 2p 2p 2p 2p

4p , (2) 由两点式方程可得 AB 的方程为: (y1+y2)y=2px+y1· y2;即(y1+y2)y=2px-4p2 令 y=0, 得 x=2p;即直线 AB 过定点 E(2p,0) 2 y1 y2 ? 2 2 2 ? y2 ( y ? y 2 ) 2 ? 2 y1 y 2 2 p 2 p y1 (3)设 AB 的中点为 M(x,y),则 x ? ; ? ? 1 2 4p 4p
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? 4p2

y1 ? y 2 2 消去 y1 ? y 2 ,得 AB 中点M的轨迹方程: y 2 ? px ? 2 p 2 (x≥2p) 评析 此题的方法很多,上面给出的解法不失为一种最为基础的好方法,其它的方法请同 学们自己尝试. 点击双基 y?
1 准线是 y ?

3 的抛物线的标准方程是(D ) 2
(B) y 2 ? ?6 x (C) x 2 ? 6 y (D) x 2 ? ?6 y

(A) y 2 ? 6 x

2 以坐标轴为对称轴, 以原点为顶点且过圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? 9 ? 0 的圆心的抛物线的方 程是(D )

y ? 3x 2 或 y ? ?3x 2 y ? ?3x 2 或 y 2 ? 9 x
A
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B

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y ? 3x 2

C

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y 2 ? ?9x 或 y ? 3x 2

D

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x2 y2 ? 1 ?a ? 0? 右焦点与抛物线 y 2 ? 16x 的焦点重合,则该双曲线的离 3、已知双曲线 2 ? 9 a
心率等于(D)

5 8 55 4 7 C. D. 4 55 7 2 4 、 以 抛 物 线 x ? ?3y 的 焦 点 为 圆 心 , 通 径 长 为 半 径 的 圆 的 方 程 是 3 2 2 _____________. x ? ( y ? ) ? 9 4 2 5.设斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y ? 4 x 的焦点,与抛物线相交于 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) 两
A.

4 5

B.

点,

则 OA ? OB = -3 课外作业 一、选择题 1.如果抛物线 y 2=ax 的准线是直线 x=-1,那么它的焦点坐标为 ( A ) A. (1, 0) B. (2, 0) C. (3, 0) D. (-1, 0)
2 2 . 抛 物 线 y ? x 上 一 点 到 直 线 2x ? y ? 4 ? 0 的 距 离 最 短 的 点 的 坐 标 是 ( A )

??? ? ??? ?

A. (1,1) (B

B. (

1 1 , ) 2 4

C. ( , )

3 9 2 4

D. (2,4)

3.一抛物线形拱桥,当水面离桥顶 2m 时,水面宽 4m,若水面下降 1m,则水面宽为 ) A. 6 m B. 2 6 m C.4.5m D.9m 4 . 平 面 内 过 点 A ( -2 , 0 ) , 且 与 直 线 x=2 相 切 的 动 圆 圆 心 的 轨 迹 方 程 是 ( C ) A. y 2=-2x B. y 2=-4x C.y 2=-8x D.y 2=-16x 5.过抛物线 y =ax2(a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长分别 是 p、q,则

1 1 ? 等于( C ) p q

第 33 页 共 37 页

A.2a

1 4 C.4a D. 2a a 6、已知抛物线 y 2 ? a( x ? 1) 的焦点是坐标原点,则以抛物线与坐标轴的三个交点为顶
B. ) B.2 C.3 D.4

点的三角形的面积为(B A.1
2

7 抛物线 y =4x 截直线 y ? 2 x ? k 所得弦长为 3 5 ,则 k 的值是(D ) (A)2 (B)-2 (C)4 (D)-4 8. 已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F , 点P ,y1 ),P2 ( x2,y2 ) ,P ,y3 ) 在 1 ( x1 3 ( x3 抛物线上, 且 2 x2 ? x1 ? x3 , 则有( C A. FP 1 ? FP 2 ? FP 3 B . )

FP ? FP3 1 ? FP 2

2

2

2

C .

· FP3 D. FP2 ? FP 1 二、填空题
9 .抛物线的焦点为椭圆
y 2 ? ?4 5x

2

2 FP 2 ? FP 1 ? FP 3

x2 y2 ? ? 1 的左焦点,顶点在椭圆中心,则抛物线方程为 9 4

10.抛物线 y =4x 的弦 AB 垂直于 x 轴,若 AB 的长为 4 3 ,则焦点到 AB 的距离为
2

2. 11.P 是抛物线 y =4x 上一动点,以 P 为圆心,作与抛物线准线相切的圆,则这个圆一 定经过一个定点 Q,点 Q 的坐标是 (1,0) . 三、解答题 12 解: 13.定长为 3 的线段 AB 的端点 A 、 B 在抛物线 y ? x 上移动,求 AB 中点 M 到 y 轴
2
2

距离的最小值,并求出此时 AB 中点 M 的坐标 解: M ?

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?5 2? ? , ? ?4 ? 2 ? ?

, M 到 y 轴距离的最小值为

5 4
2

14 如图,O 为坐标原点,过点 P(2,0)且斜率为 k 的直线 l 交抛物线 y =2x 于 M(x1,y1),N(x2, y2)两点. (1)求 x1x2 与 y1y2 的值; (2)求证:OM⊥ON. l (Ⅰ)解:直线 的方程为 y ? k ( x ? 2) (k ? 0) ① 代入 y =2x 消去 y 可得 k x ? 2(k ? 1) x ? 4k ? 0. 点 M,N 的横坐标 x1 与 x2 是②的两个根,
2

2

2

2

2



由韦达定理得 x1 x2 ?

4k 2 ? 4. 由y12 ? 2x1, y22 ? 2x2 k2 得( y1 y2 )2 ? 4x1x2 ? 4 ? 4 ? 16, 注意到y1 y2 ? 0, 所以y1 y2 ? ?4.

(Ⅱ)证明;设 OM,ON 的斜率分别为 k1, k2,

则k1 ?

y1 y yy ?4 , k2 ? 2 . 相乘得k1k2 ? 1 2 ? ? ?1, 所以OM ? ON . x1 x2 x1 x2 4

思悟小结 1.涉及到直线被抛物线截得弦的中点问题时, 常用一元二次方程的根与系数的关系 (韦 达定理) ,这样可以直接得到两交点的坐标之和,也可以用点差法找到两交点的坐标之和, 直接与中点建立联系。
第 34 页 共 37 页

2.涉及焦点弦问题可以利用焦半径公式,焦半径公式可由抛物线的定义直接导出。

章末测试
一、选择题(本大题共 10 小题,第小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项符是合题目要求的.) 1.如果实数 x, y 满足等式 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 3 ,那么 A、

y 的最大值是( D ) x

3 3 C、 D、 3 3 2 2.若直线 (1 ? a) x ? y ? 1 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 相切,则 a 的值为( A、 1, ? 1 B、 2,?2 C、 1 D、 ? 1

1 2

B、

D



x2 y2 ? 1 (a ? 5) 的两个焦点为 F1 、F2 , 3. 已知椭圆 2 ? 且 | F1 F2 |? 8 , 弦 AB 过点 F1 , 25 a 则△ ABF2 的周长为( D ) (A)10 (B)20 (C)2 41 (D) 4 41
x2 y2 ? ? 1上的点 P 到它的左准线的距离是 10,那么点 P 到它的右焦点的 4.椭圆 100 36
距离是( B ) (A)15 (B)12 (C)10 (D)8

x2 y2 ? ? 1 的焦点 F1 、F2 , 5. 椭圆 P 为椭圆上的一点, 已知 PF1 ? PF2 , 则△ F1 PF2 25 9
的面积为( A
2

) (A)9 (B)12 (C)10 (D)8 )

6.椭圆

x y2 ? ? 1 上的点到直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的最大距离是(D 16 4 (A)3(B) 11 (C) 2 2 (D) 10
2 2 2 2

7.以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为 2 的双曲线方程是(D (A) x ? y ? 2
2 2 2 2



(B) y ? x ? 2
2 2 2 2 2 2

(C) x ? y ? 4 或 y ? x ? 4 (D) x ? y ? 2 或 y ? x ? 2 8.过双曲线 x ? y ? 8 的右焦点 F2 有一条弦 PQ,|PQ|=7,F1 是左焦点,那么△F1PQ 的周长为( C ) (A)28 (B) 14 ? 8 2 (C) 14 ? 8 2 (D) 8 2 9.双曲线虚轴上的一个端点为 M,两个焦点为 F1、F2, ?F1 MF2 ? 120? ,则双曲线的 离心率为( B)

6 6 3 (C) (D) 2 3 3 2 2 x y ? ? 1 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是( D ) 10.如果椭圆 36 9 (A) x ? 2 y ? 0 (B) x ? 2 y ? 4 ? 0 (C) 2 x ? 3 y ? 12 ? 0 (D) x ? 2 y ? 8 ? 0
(A) 3 (B) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. )

x2 y2 ? ? 1 具有相同的离心率且过点( 2 , - 3 )的椭圆的标准方程是 4 3 x2 y2 3 y2 4 x2 ? ? 1或 ? ? 1. 8 6 25 25
11 .与椭圆 12.已知椭圆中心在原点,一个焦点为( 3 ,0),且长轴长是短轴长的 2 倍,则该椭圆

第 35 页 共 37 页

的标准方程是

x2 ? y2 ? 1 4 2 13.过抛物线 y ? 2 px (p>0)的焦点 F 作一直线 l 与抛物线交于 P、Q 两点,作 PP1、


QQ1 垂直于抛物线的准线,垂足分别是 P1、Q1,已知线段 PF、QF 的长度分别是 a、b,那么 |P1Q1|=

2 ab .

14.若直线 l 过抛物线 y ? ax 2 (a>0)的焦点,并且与 y 轴垂直,若 l 被抛物线截得的线

1 4 x2 y2 ? 15 已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a, b ? R )的离心率e ? [ 2 ,2] ,则一条渐近线与实轴所 a b c c2 ππ 构成的角的取值范围是_________.[ , ]. 解析:依题意有 2 ? ? 2 ,∴ 2 ? 2 ? 4 , 43 a a 2 2 2 b ? ? a ?b b ? 4 ,∴ 1 ? 2 ? 3 ,得 1 ? ? 3 ,∴ ? ? ? 即2? 2 a 4 3 a a
段长为 4,则 a= 三、 解答题 (本大题共 5 小题, 共 50 分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. ) 16. (本题 10 分)已知椭圆 C 的焦点 F1(- 2 2 ,0)和 F2( 2 2 ,0) ,长轴长 6, 设直线 y ? x ? 2 交椭圆 C 于 A、B 两点,求线段 AB 的中点坐标. 解:由已知条件得椭圆的焦点在 x 轴上,其中 c= 2 2 ,a=3,从而 b=1,所以其标准方程是:

? x2 2 x2 ? ? y ?1 2 ? y 2 ? 1 .联立方程组 ? 9 ,消去 y 得, 10 x ? 36 x ? 27 ? 0 . 9 ? ? y ? x?2 设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),AB 线段的中点为 M( x0 , y0 )那么: 18 x ?x 9 x1 ? x2 ? ? , x 0 = 1 2 ? 2 5 5 1 9 1 所以 y0 = x 0 +2= .也就是说线段 AB 中点坐标为(- , ). 5 5 5 2 2 x y 14 ? ? 1 共焦点,它们的离心率之和为 , 17. (本题 10 分)已知双曲线与椭圆 9 25 5
求双曲线方程. 解:由于椭圆焦点为 F(0, ? 4),离心率为 e= 为 2, 从而 c=4,a=2,b=2 3 .所以求双曲线方程为:

4 ,所以双曲线的焦点为 F(0, ? 4),离心率 5
y2 x2 ? ? 1. 4 12

18. (本题 10 分)椭圆的两个焦点 F1、F2 在 x 轴上,以|F1F2|为直径的圆与椭圆的一个 交点为(3,4) ,求椭圆的标准方程. 解:设 P(3,4) ,则圆心为 F1F2 中点(原点) ,|F1F2|=2|OP|=10, ∴ c=5,∴ F1(-5,0) ,F2(5,0) ∴ 2a=|PF1|+|PF2|= 82 ? 4 2 ? 2 2 ? 4 2 ? 6 5 ,∴ a =45,
2

∴ b =a -c =20,∴ 所求椭圆方程
2

2

2

2

x 2 y2 ? ?1 45 20

19(本题 10 分)抛物线 y ? 2 x 上的一点 P(x , y)到点 A(a,0)(a∈R)的距离的最小

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值记为 f ( a ) ,求 f ( a ) 的表达式 解:由于 y 2 ? 2 x ,而
2 2 |PA|= ( x ? a ) ? y ?

x 2 ? 2ax ? a 2 ? y 2 ?

x 2 ? 2ax ? a 2 ? 2 x

2 2 2 = x ? 2( a ? 1) x ? a = [ x ? ( a ? 1)] ? 2a ? 1 ,其中 x ? 0

(1)a ? 1 时,当且仅当 x=0 时, f ( a ) =|PA|min=|a|. (2)a>时, 当且仅当 x=a-1 时, f ( a ) =|PA|min= 2a ? 1 .所以 f ( a ) = ?

? ? | a |, a ? 1 . ? ? 2a ? 1, a ? 1

20. (本题 10 分)求两条渐近线为 x ? 2 y ? 0 且截直线 x ? y ? 3 ? 0 所得弦长为 的双曲线方程. 解:设双曲线方程为 x -4y = ? .联立方程组得: ?
2 2 2

8 3 3

? x 2 -4y2 =? ?x ? y ? 3 ? 0

,消去 y 得,

3x -24x+(36+ ? )=0 设直线被双曲线截得的弦为 AB,且 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),那么:

x1 ? x2 ? 8 ? ? 36 ? ? ? x1 x2 ? ? 3 ? 2 ? ? ? ? 24 ? 12(36 ? ? ) ? 0
那么:|AB|= (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ] ? (1 ? 1)(82 ? 4 ? 解得:

36 ? ? 8(12 ? ? ) 8 3 )? ? 3 3 3

? =4,所以,所求双曲线方程是:

x2 ? y2 ? 1 4

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