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6.2一元二次不等式及其解法


2013 高考数学一轮强化训练 6.2 一元二次不等式及其解法 文 新人教 A 版
1.不等式 x 2 ? ax ? 4 ? 0 的解集不是空集,则实数 a 的取值范围是( A. ?4 ? a ? 4 C. a ? 4 或 a ? ?4 答案:D B.-4<a<4 D.a<-4 或 a>4 )

解析: x 2 ? ax ? 4 ? 0 的解集不是空集,只需 ? ? a 2 ? 16 ? 0? ∴a<-4 或 a>4,故选 D. 2.已知函数 f(x)= ? A.[-1,1] C.[-2,1] 答案:A 解析:当 x ? 0 时 ? x ? 2 ? x 2 ? 解得 ?1 ? x ? 2? ∴ ?1 ? x ? 0 ; 当 x>0 时 ? ? x ? 2 ? x 2 ? 解得 ?2 ? x ? 1? ∴ 0 ? x ? 1? 故 ?1 ? x ? 1 . 3.设全集为实数集 R,已知非空集合 S,P 的相互关系如图所示,其中 S={x| x ? 10 ? a 2 },?P=?{x|5-2a<x<3a},则实数 a 的取值范围是( )

? x ? 2? x ? 0? 则不等式 f ( x) ? x 2 的解集是( ? x ? 2? x ? 0? ?
B.[-2,2] D.[-1,2]

)

A.-5<a<2 B.1<a<2 C. 1 ? a ? 2 D. ?5 ? a ? 2 答案:C 解析:由题图可知 ? S ? P ? ? ? S ? ? ? P ? ? ,从而 ? 4.不等式 0 ? x 2 ? x ? 2 ? 4 的解集是.

?10 ? a 2 ? 3a? ? 3a ? 5 ? 2a?

∴ 1 ? a ? 2 .故选 C.

答案:{x|-2<x<-1 或 2<x<3} 解析:原不等式相当于不等式组 ?

? x 2 ? x ? 2 ? 4? ①
2 ? x ? x ? 2 ? 0? ②

不等式①的解集为{x|-2<x<3}, 不等式②的解集为{x|x<-1 或 x>2}. 因此原不等式的解集为{x|x<-1 或 x>2} ? {x|-2<x<3}={x|-2<x<-1 或 2<x<3}. 5.若 a<0 时,则不等式 x 2 ? 2ax ? 3a 2 ? 0 的解集是 答案:{x|3a<x<-a} 解析:∵ x 2 ? 2ax ? 3a 2 ? 0? ∴ x1 ? 3a? x2 ? ? a . 又 a<0,∴不等式的解集为{x|3a<x<-a}. 6.若不等式 (1 ? a ) x 2 ? 4 x ? 6 ? 0 的解集是{x|-3<x<1},求 a 的值. 解:∵不等式的解集为{x|-3<x<1}, ∴1-a<0.∴a>1. 令 (1 ? a ) x 2 ? 4 x ? 6 ? 0? 则-3,1 为方程的两根?. 代入方程得 ? .

?9(1 ? a ) ? 4 ? (?3) ? 6 ? 0? (1 ? a ) ? 4 ? 6 ? 0? ?

∴a=3,满足 a>1.∴a=3. 题组一 一元二次不等式的解法 1.不等式 x ? 5 ? 2 的解集是(

( x ? 1)2

)

A. [?3? 1 ]

2

B. [? 1 ? 3]

2

C. [ 1 ?1) ? (1? 3]

2

D. [? 1 ?1) ? (1? 3]

2

答案:D 解析:原不等式可化为 x ? 5 ? 2( x ? 1) 2 ( x ? 1)? 即 2 x 2 ? 5 x ? 3 ? 0? 即(2x+1 )( x ? 3) ? 0? 解得

? 1 ? x ? 3? 故原不等式的解集是 [? 1 ?1) ? (1? 3] . 2 2
2.不等式 x ? 3 ? 0 的解集为(

x?2

) B.{x|x<-2} D.{x|x>3}

A.{x|-2<x<3} C.{x|x<-2 或 x>3} 答案:A

3.解关于 x 的不等式 12 x 2 ? ax ? a 2 (a ? R). 解:由 12 x 2 ? ax ? a 2 ? 0 ? (4 x ? a )(3 x ? a)>0

? ( x ? a )( x ? a ) ? 0? 4 3
①a>0 时 ? ? a ? a ?

4

3

解集为{x| x ? ? a 或 x ? a };

4

3

②a=0 时 ? x 2 ? 0? 解集为{x| x ? R 且 x ? 0 }; ③a<0 时 ? ? a ? a ?

4

3

解集为{x| x ? a 或 x ? ? a }.

3

4

题组二 一元二次不等式的实际应用 4.某商家一月份至五月份累计销售额达 3 860 万元,预测六月份销售额为 500 万元,七月份销 售额比六月份递增 x%,八月份销售额比七月份递增 x%,九、十月份销售总额与七、八月份 销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少 7000 万元,则 x 的最小是是 . 答案:20 解析:依题意 3 860+500+2[500(1+x%)+500(1+x% ) 2 ] ? 7 000, 化简得(x% ) 2 ? 3 ? x % ? 0 .64,所以 x ? 20 . 5.若关于 x 的方程 x 2 ? ax ? a 2 ? 1 ? 0 有一正根和一负根,则 a 的取值范围为 答案:-1<a<1 解析:令 f ( x) ? x 2 ? ax ? a 2 ? 1? ∴二次函数开口向上,若方程有一正一负根,则只需 f(0)<0, 即 a 2 ? 1<0,∴-1<a<1. 题组三 不等式的恒成立问题 6.在 R 上定义运算:x*y=x(1-y).若不等式(x-a)*(x+a)<1 对任意实数 x 恒成立,则( A.-1<a<1 B.0<a<2 C. ? 1 ? a ? 3 ) .

2

2

D. ? 3 ? a ? 1

2

2

答案:C
2 2 解析:依题设 x ? a ? x 2 ? a 2 ? 1 恒成立,即 ( x ? 1 ) ? (a ? 3 ? a ) ? 0 恒成立

2

4

? a 2 ? a ? 3 ? 0 恒成立 ? ? 1 ? a ? 3 . 4 2 2

7.设奇函数 f(x)在

? ?1?1? 上是单调函数? 且f (?1) ? ?1? 若函数 f(x) ? t 2 ? 2at ? 1 对所有的 ? ?1?1?时? 则t的取值范围是
.

? x ? ? ?1?1? 都成立? 当 a ? 答案: ? ??? ?2? ? {0} ?

? 2, ?? ?

解析:∵f(x)为奇函数,f(-1)=-1, ∴f(1)=-f(-1)=1. 又∵f(x)在

? ?1?1? 是单调函数?

∴ ?1 ? f ( x) ? 1? ∴当 a ?

? ?1?1?时 ,t 2 ?2at ? 1 ? 1 恒成立,

即 t 2 ? 2at ? 0 恒成立, 令 g (a ) ? t 2 ? 2at ? a ? ? ?1?1? ? ∴ ?

?t 2 ? 2t ? 0? ?t ? 2t ? 0?
2

∴ ?

? t ? 2或t ? 0? ?t ? ?2或t ? 0?

∴ t ? 2 或 t=0 或 t ? ?2 . 8.已知关于 x 的不等式 ax ? 1 ? 0 的解集是 (??? ?1) ? ? (? 1 ? ??)? 则 a=

x ?1

2

.

答案:-2 解析: ax ? 1 ? 0 ? (ax ? 1)( x ? 1)<0,根据解集的结构可知,a<0 且 1 ? ? 1 ? ∴a=-2.

x ?1

a

2

题组四 一元二次不等式的综合应用 9.不等式 x 2 ? |x|-2<0 的解集是( A.{x|-2<x<2} C.{x|-1<x<1} 答案:A ) B.{x|x<-2 或 x>2} D.{x|x<-1 或 x>1}

解析:原不等式 ? |x| 2 ? |x| ?2 ? 0 ? ( |x|-2)(|x|+ 1) ? 0 ? |x| ?2 ? 0 ? ?2 ? x ? 2 .

? x 2 ? 4 x ? 3 ? 0? 10.已知不等式组 ? 2 的解集是不等式 2 x 2 ? 9 x ? a ? 0 的解集的子集,则实数 ? x ? 6x ? 8 ? 0
a 的取值范围是 答案: a ? 9 .

解析:因为不等式组 ?

? x 2 ? 4 x ? 3 ? 0? ? x ? 6x ? 8 ? 0
2

的解集是{x|2<x<3},设 f ( x) ? 2 x 2 ? 9 x ? a? 则由题意

得 ?

? f (2) ? 0? 解得 a ? 9 . ? f (3) ? 0?

11.已知集合 A={x| x 2 ? x ? 6 ? 0 },B={x|0<x-?m<?9}. (1)若 A ? B ? B? 求实数 m 的取值范围; (2)若 A ? B ? ? ,求实数 m 的取值范围. 解:∵A={x|-2<x<3},B={x|m<x<m+9}. (1)∵ A ? B ? B? ∴ AB .

? m ? ?2? ?m ? ?2? ∴ ? ? ?m ? 9 ? 3? ?m ? ?6?
即 ?6 ? m ? ?2 . (2)∵ A ? B ? ? , ∴ m ? 9 ? ?2 或 m ? 3? 即 m ? ?11 或 m ? 3 . 12.已知不等式 ax 2 ? 3 x ? 6 ? 4 的解集为{x|x<1 或 x>b}. (1)求 a,b; (2)解不等式 ax 2 ? (ac ? b) x ? bc<0. 解:(1)因为不等式 ax 2 ? 3 x ? 6 ? 4 的解集为{x|?x<1?或 x>b},所以 x=1 与 x=b 是方程

ax 2 ? ?3x+2?=0 的两个实数根,且 b>1.由根与系数的关系,得

?1 ? b ? 3 ? ? a ? 1? ? a ? 1? ? a 解得 ? 所以 ? ? ?b ? 2? ?b ? 2? ?1? b ? 2 ? a ?
(2)原不等式 ax 2 ? (ac ? b) x ? bc<0, 可化为 x 2 ? (2 ? c) x ? 2c<0,即(x-2)(x-?c)<0.? ①当 c>2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为{x|2<x<c}; ②当 c<2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为{x|c<x<2}; ③当 c=2 时,不等式(x-2)(x-c)<0 的解集为 ? . 综上所述:当 c>2 时,不等式 ax 2 ? (ac ? b) x ? bc<0 的解集为{x|2<x<c}; 当 c<2 时,不等式 ax 2 ? (ac ? b) x ? bc<0 的解集为{x|c<x<2};

当 c=2 时,不等式 ax 2 ? (ac ? b) x ? bc<0 的解集为 ? .??


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