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【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版,必修3)练习:本册综合测试1]


本册综合测试(一)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。时间 120 分钟,满分 150 分。 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.为了了解高一 1 500 名新生的年龄情况,从中抽取 100 名新生.就这个问题,有下 列说法: ①1 500 名新生是总体; ②每个新生是个体; ③所抽取的 100 名新生是一个样本; ④样本容量为 100; ⑤每个新生被抽到的概率相等. 其中正确的个数为( A.1 C.3 [答案] B [解析] 1500 名新生的年龄情况是总体;每个新生的年龄是个体;因而④、⑤正确,其 它错误.解决本题的前提是正确理解总体、个体、样本、样本容量的概念. 2.一个年级有 12 个班,每个班有 50 名同学,随机编号 1,2,?,50,为了了解他们在 课外的兴趣,要求每班第 40 号同学留下来进行问卷调查,这里运用的抽样方法是( A.抽签法 C.随机数表法 [答案] D [解析] 因为抽取样本时间隔的距离相等,所以是系统抽样. 3.(2014· 湖南文,5)在区间[-2,3]上随机选取一个数 X,则 X≤1 的概率为( 4 A. 5 2 C. 5 [答案] B [解析] 利用几何概型公式求解,在区间为[-2,3]上随机选取一个数 x,则 x≤1,即- 3 2≤x≤1 的概率为 P= . 5 4.甲,乙两名运动员练习罚球,每人练习 10 组,每组罚球 40 个,命中个数的茎叶图 如图,则甲,乙两命中个数的中位数分别为( ) 3 B. 5 1 D. 5 ) B.有放回抽样 D.系统抽样 ) ) B.2 D.4

甲 8 3 7 6 5 4 2 2 0 7 A.22,20 C.23,19 [答案] C 0 1 2 3 B.24,18 D.23,20 9 1 0 3 0



4 1

8 1 3

1 [解析] 甲命中个数:8、12、13、20、22、24、25、26、27、37,中位数为 (22+24) 2 1 =23,同理乙的中位数为 (18+20)=19. 2 5.甲、乙、丙、丁 4 人分乘两辆车,每辆车乘两人,则甲、乙同车的概率是( 1 A. 2 1 C. 4 [答案] B [解析] 乘车的所有可能情况是甲、乙→丙、丁;甲、丙→乙、丁;甲、丁→乙、丙, 1 所以甲、乙同车的概率为 . 3 6. (2014· 福建理, 5)阅读如图所示的程序框图, 运行相应的程序, 输出的 S 的值等于( ) 1 B. 3 2 D. 3 )

A.18 C.21 [答案] B

B.20 D.40

[解析] 本题考查程序框图,当 n=1 时,S=3,当 n=2 时,S=3+22+2=9,当 n=3

时,S=9+23+3=10>15,故输出 S=20. 对于较为简单的循环结构的框图问题,可直接令 n=1,2,3??进行求解. 7.某中学高一、高二、高三三个年级共有学生 3 000 人,采用分层抽样的方法从全体 学生中抽取一个容量为 60 的样本,已知高一年级学生为 1 200 人,则该年级抽取的学生数 为( ) A.20 C.24 [答案] C [解析] 抽样比: 60 1 = , 3 000 50 B.30 D.25

1 ∴高一抽取:1 200× =24. 50 8.在箱子中装有 10 张卡片,分别写有 1~10 的 10 个整数,从箱子中任取一张卡片, 记下它的读数 x,然后再放回箱子中;第二次再从箱子中任取一张卡片,记下它的读数 y, 则 x+y 是 10 的倍数的概率为( 1 A. 2 1 C. 5 [答案] D [解析] 先后两次抽取卡片,形成的有序数对有(1,1),(1,2),?,(1,10),?,(10,10), 共计 100 个,因为 x+y 是 10 的倍数, 这些数对应该是(1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5,5),(6,4), 10 1 (7,3),(8,2),(9,1),(10,10),共 10 对数,故 x+y 是 10 的倍数的概率 P= = . 100 10 9.(2014· 湖北文,6)根据如下样本数据 x y 3 4.0 4 2.5 5 -0.5 ) B.a>0,b>0 D.a<0,b>0 6 0.5 7 -2.0 8 -3.0 ) 1 B. 4 D. 1 10

得到的回归方程为 y=bx+a,则( A.a>0,b<0 C.a<0,b<0 [答案] A [解析] 本题考查散点图的应用. 作出散点图如下:

由图像不难得出:回归直线 y=bx+a 的斜率 b<0,截距 a>0.所以 a>0,b<0.解答本题若 没有想到画出散点图,直观通过数据来判断系数 b,a 与 0 的大小好像无头绪,容易造成错 解. 10.一组数据的方差是 s2,将这组数据中的每一个数都乘以 2,得到一组新数据,其方 差是( 1 A. s2 2 C.4s2 [答案] C [解析] 设一组数据 x1,x2,?,xn, ?x2- x ?2+?x2- x ?2+?+?xn- x ?2 则s = , 将每一个数乘以 2, 则 x′ =2 x .所以 s′2 n
2

) B.2s2 D.s2

?2x1-2 x ?2+?2x2-2 x ?2+?+?2xn-2 x ?2 4 = = [(x1- x )2+(x2- x )2+?+(xn- x )2]= n n 4s2. 第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,将正确答案填在题中横线上) 11.某个年级有男生 560 人,女生 420 人,用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取 一个容量为 280 的样本,则此样本中男生人数为________. [答案] 160 280 2 2 [解析] 本题考查了分层抽样的特点, 因抽样比为 = , 所以男生数应为 560× 7 560+420 7 =160. 分层抽样是按比例抽取,一定要先找出抽样比. 12.在五个数字 1,2,3,4,5 中,若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概率是 ________.(结果用数值表示) [答案] 0.3 [解析] 在五个数字 1,2,3,4,5 中,随机取出三个数字,剩下两个数字,基本事件空间 Ω

={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},其中事件“两个数 字都是奇数”={(1,3),(1,5),(3,5)},故概率为 0.3. 13.(2014· 辽宁文,13)执行下面的程序框图,若输入 n=3,则输出 T=________.

[答案] 20 [解析] 考查程序框图的循环结构. i=1 时,S=1,T=1;i=2 时,S=3,T=4;i=3 时,S=6,T=10;i=4 时,S=10, T=20,i=4>3,∴输出 T=20.注意:找准 i 与 n 的关系. 14.下图是根据部分城市某年 6 月份的平均气温(单位:℃)数据得到的样本频率分布直 方图,其中平均气温的范围是 [20.5,26.5] ,样本数据的分组为 [20.5,21.5) , [21.5,22.5) , [22.5,23.5),[23.5,24.5),[24.5,25.5),[25.5,26.5].已知样本中平均气温低于 22.5℃的城市 个数为 11,则样本中平均气温不低于 25.5℃的城市个数为________.

[答案] 9 [解析] 本题考查频率分布直方图,考查阅读图表的能力. 平均气温不低于 25.5℃的城市 T 数设为 x, 则 0.12+0.10 0.18 = . 11 x

∴x=9. 本题也可以利用矩形面积求解. 15.某种电子元件在某一时刻是否接通的可能性是相同的,有 3 个这样的电子元件,则 出现至少有一个接通的概率为________.

[答案]

7 8

[解析] 设电子元件接通记为 1,不通记为 0.设 A 表示“3 个电子元件至少有一个接 通”,显然 A 表示“3 个电子元件都没有接通”,Ω 表示“3 个电子元件的状态”,则 Ω= {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1),(0,0,0)}.Ω 中由 8 个基本事件 组成,而且这些基本事件的出现是等可能的. A ={(0,0,0)}.事件 A 由一个事件组成,因此 1 P( A )= ,又因为 P(A)+P( A )=1, 8 1 7 所以 P(A)=1-P( A )=1- = . 8 8 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分 12 分)某公司在过去几年使用了某种型号的灯管 1 000 支,该公司对这 些灯管的使用寿命(单位:小时)进行了统计,统计结果如下表所示: 分组 [700,900) [900,1 100) [1 100,1 300) [1 300,1 500) [1 500,1 700) [1 700,1 900) [1 900,+∞) (1)将各组的频率填入表中; (2)根据上述统计结果,计算灯管使用寿命不足 1 500 小时的概率. [解析] (1)频率依次是 0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042. (2)样本中灯管使用寿命不足 1 500 小时的频数是 48+121+208+223=600, 所以灯管使用寿命不足 1 500 小时的概率是 0.6. 17.(本小题满分 12 分)袋子中装有大小和形状相同的小球,其中红球与黑球各 1 个, 1 白球 n 个.从袋子中随机取出 1 个小球,取到白球的概率是 . 2 (1)求 n 的值; (2)记从袋中随机取出一个小球为白球得二分,为黑球得一分,为红球不得分.现从袋 子中取出 1 个小球,求总得分为二分的概率. n 1 [解析] (1)由题意可知 = ,解得 n=2. 1+1+n 2 (2)设红球为 a,黑球为 b,白球为 c1,c2,从袋中取出 2 个小球的所有等可能基本事件 为(a,b),(a,c1),(a,c2),(b,c1),(b,c2),(c1,c2),共 6 个, 频数 48 121 208 223 193 165 42 频数

记事件 A 为“总得分为二分”, 包含的基本事件为(a,c1),(a,c2),共 2 个. 2 1 ∴P(A)= = . 6 3 18. (本小题满分 12 分)已知算法如下所示: (这里 S1, S2, ?分别代表第一步, 第二步, ?) S1 输入 x; S2 若 x<-2,执行 S3;否则,执行 S6; S3 y=2x+1;

S4 输出 y; S5 执行 S12; S6 若-2≤x<2,执行 S7;否则执行 S10; S7 y=x;

S8 输出 y; S9 执行 S12; S10 y=2x-1; S11 输出 y; S12 结束. (1)指出其功能(用数学式子表达); (2)画出该算法的算法框图. [解析] (1)该算法的功能是:x 已知时,求函数 2x+1,x<-2, ? ? y=?x,-2≤x<2, ? ?2x-1,x≥2 (2)算法程序图如下.

的值.

19.(本小题满分 12 分)从某企业生产的某种产品中抽取 100 件,测量这些产品的一项 质量指标值,由测量表得如下频数分布表:

质量指标值分组 频数

[75,85) 6

[85,95) 26

[95,105) 38

[105,115) 22

[115,125) 8

(1)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图;

(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表); (3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品的 80%”的规定? [分析] (1)根据条件可画出图;(2)用求平均数与方差的公式可求;(3)算出不低于 95 的 频率可求得本题. [解析] (1)

(2)质量指标值的样本平均数为 x =80×0.06×+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100. 质量指标值的样本方差为 s2=(-20)2×0.06+(-10)2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104. 所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为 100,方差的估计值为 104. (3)质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值为

0.38+0.22+0.08=0.68. 由于该估计值小于 0.8, 故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品 80%”的规定. 20. (本小题满分 13 分)某园林局对 1 000 株树木的生长情况进行调查, 其中槐树 600 株, 银杏树 400 株.现用分层抽样的方法从这 1 000 株树木中随机抽取 100 株,其中银杏树树干 周长(单位:cm)的抽查结果如下表: 树干周长(单位:cm) 株数 (1)求 x 的值; (2)若已知树干周长在 30 cm 至 40 cm 之间的 4 株银杏树中有 1 株患有虫害, 现要对这 4 株树逐一进行排查直至找出患虫害的树木为止.求排查的树木恰好为 2 株的概率. [解析] (1)因为用分层抽样方法从这 1 000 株树木中随机抽取 100 株,所以应该抽取银 400 杏树 100× =40 株. 1 000 所以在 4+18+x+6=40,所以 x=12. (2)记这 4 株树分别为树 1,树 2,树 3,树 4,且不妨设树 4 为患虫害的树,记“恰好在 排查到第二株时发现患虫害树”为事件 A,则 A 是指第二次排查到的是树 4, 因为求恰好在排查到第二株时发现患虫害树的概率,所以基本事件空间为: Ω={(树 1,树 2),(树 1,树 3),(树 1,树 4),(树 2,树 1),(树 2,树 3),(树 2,树 4),(树
3,树 1)(树 3,树 2),(树 3,树 4),(树 4,树 1),(树 4,树 2),(树 4,树 3)},共

[30,40) 4

[40,50) 18

[50,60) x

[60,70) 6

12 个基本事

件.又事件 A 中包含的基本事件有 3 个, 3 1 所以恰好在排查到第二株时发现患虫害树的概率 P(A)= = . 12 4 21.(本小题满分 14 分)(2014· 新课标Ⅱ理,19)某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭 纯收入 y(单位:千元)的数据如下表: 年份 年份代号 t 人均纯收入 y 2007 1 2.9 2008 2 3.3 2009 3 3.6 2010 4 4.4 2011 5 4.8 2012 6 5.2 2013 7 5.9

(1)求 y 关于 t 的线性回归方程; (2)利用(1)中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变 化情况,并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
n i=1

b=

?ti- t ??yi- y ? ,a= y -b t n 2 ? t - t ? i =
i 1

[解析] (1)∵ t =

1+2+?+7 2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9 =4, y = =4.3, 7 7

设回归方程为 y=bt+a,代入公式,经计算得 3×14+2+0.7+0+0.5+1.8+4.8 14 1 b= = = . ?9+4+1?×2 14×2 2 1 a= y -b t =4.3- ×4=2.3 2 所以,y 关于 t 的回归方程为 y=0.5t+2.3. 1 ∵b= >0,∴2007 年至 2013 年该区人均纯收入稳步增长,预计到 2015 年,该区人均 2 纯收入 y=0.5×9+2.3=6.8(千元) 所以,预计到 2015 年,该区人均纯收入约 6 千 8 百元左右.


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