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2017-2018学年高中数学必修2北师大版 平行关系的性质 教案

教学设计 5.2 平行关系的性质 导入新课 思路 1.(情境导入) 三角板的一条边所在直线与桌面平行, 这个三角板所在的平面与桌面平行吗?三角板的 两条边所在直线分别与桌面平行,情况又如何呢?下面我们讨论平面与平面平行的性质问 题. 思路 2.(直接导入) 前面学习了平行关系的判定,本节我们学习平行关系的性质,教师点出课题. 推进新课 新知探究 提出问题 ①回忆空间两条直线的位置关系. ②若一条直线与一个平面平行,探究这条直线与平面内直线的位置关系. ③用三种语言描述直线与平面平行的性质定理. ④试证明直线与平面平行的性质定理. ⑤应用线面平行的性质定理的关键是什么? ⑥总结应用线面平行性质定理的要诀. 活动:问题①引导学生回忆两条直线的位置关系. 问题②借助模型锻炼学生的空间想象能力. 问题③引导学生进行语言转换. 问题④引导学生用排除法. 问题⑤引导学生找出应用的难点. 问题⑥鼓励学生总结,教师归纳. 讨论结果:①空间两条直线的位置关系:相交、平行、异面. ②若一条直线与一个平面平行,这条直线与平面内直线的位置关系不可能是相交(可用 反证法证明), 所以,该直线与平面内直线的位置关系还有两种,即平行或异面. 怎样在平面内作一条直线与该直线平行呢 (排除异面的情况 )?经过这条直线的平面和 这个平面相交,那么这条直线和交线平行. ③直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为: 如果一条直线和一个平面平行, 经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线和 交线平行. a∥α 这个定理用符号语言可表示为: ? ? a?β ? ? a∥b. β∩α=b? ? 这个定理用图形语言可表示为:如图 1. 图1 ④已知 a∥α,a ? β,α∩β=b.求证:a∥b. ⑤应用线面平行的性质定理的关键是:过这条直线作一个平面. ⑥应用线面平行性质定理的要诀: “见到线面平行, 先过这条直线作一个平面找交线. ” 提出问题 ①利用空间模型探究: 如果两个平面平行, 那么一个平面内的直线与另一个平面内的直 线具有什么位置关系? ②回忆线面平行的性质定理,结合模型探究线面平行的性质定理. ③用三种语言描述平面与平面平行的性质定理. ④应用面面平行的性质定理的难点在哪里? ⑤应用面面平行的性质定理口诀是什么? 讨论结果:①如图 2,借助长方体模型,我们看到,B′D′所在的平面 A′C′与平面 AC 平行,所以 B′D′与平面 AC 没有公共点.也就是说,B′D′与平面 AC 内的所有直线 没有公共点.因此,直线 B′D′与平面 AC 内的所有直线要么是异面直线,要么是平行直 线. 图2 ②直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为: 如果一条直线和一个平面平行, 经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线和 交线平行. 因为,直线 B′D′与平面 AC 内的所有直线要么是异面直线,要么是平行直线,只要 过 B′D′作平面 BDD′B′与平面 AC 相交于直线 BD, 那么直线 B′D′与直线 BD 平行. 如图 3. 图3 ③两个平面平行的性质定理用文字语言表示为: 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行. α∥β 两个平面平行的性质定理用符号语言表示为: ? ? α∩γ=a? ? a∥b. β∩γ=b? ? 两个平面平行的性质定理用图形语言表示为:如图 4. 图4 ④应用面面平行的性质定理的难点是:过某些点或直线作一个平面. ⑤应用面面平行性质定理的口诀: “见到面面平行, 先过某些直线作两个平面的交线. ” 应用示例 思路 1 例 1 如图 5,A,B,C,D 在同一平面内,AB∥平面 α,AC∥BD,且 AC,BD 与 α 分 别交于点 C,D,求证:AC=BD. 图5 证明:连接 CD. 因为 A,B,C,D 在同一平面内,AB∥平面 α, 所以 AB∥CD. 又因为 AC∥BD,所以四边形 ABCD 是平行四边形. 因此 AC=BD. 点评:已知线面平行时,常用到线面平行的性质定理. 变式训练 已知 AB,CD 为异面线段,E,F 分别为 AC,BD 中点,过 E,F 作平面 α∥AB. 求证:CD∥α. 证明:如图 6,连接 AD 交 α 于 G,连接 GF, 图6 ∵AB∥α,面 ADB∩α=GF ? AB∥GF. 又∵F 为 BD 中点, ∴G 为 AD 中点. 又∵AC, AD 相交, 确定的平面 ACD∩α=EG, E 为 AC 中点, G 为 AD 中点, ∴EG∥CD. EG?α ? ? CD ? α ? ? CD∥α. EG∥CD? ? 例 2 如图 7,平面 α,β,γ 两两平行,且直线 l 与 α,β,γ 分别相交于点 A,B,C, 直线 m 与 α,β,γ 分别相交于点 D,E,F,AB=6,BC=2,EF=3.求 DE 的长. 图7 解:连接 DC. 设 DC 与 β 相交于点 G, 则平面 ACD 与 α, β 分别相交于直线 AD, BG, 平面 DCF 与 β, γ 分别相交于直线 GE,CF. 因为 α,β,γ 两两平行, 所以 BG∥AD,GE∥CF. AB DG DG DE AB DE 因此 = , = .所以 = . BC GC GC EF BC EF 又因为 AB=6,BC=2,EF=3,所以 DE=9. 点评:本题利用面面平行得到线线平行,从而得到线段成比例. 变式训练 如图 8,平面 α∥平面 β,平面 γ 与 α 交于直线 a,γ 与 β 交于直线 b,直线 c 在 β 内, 且 c∥b. 图8 (1)判断 c 与 α 的位置关系,并说明理由; (2)判断 c 与 a 的位置关系,并说明理由. 答案:(1)c∥α;(2)c∥a.(理由略.) 思路 2 例 1 求证:如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条,那么它们的交线和这 两条直线平行. 图9 解:已知:如图 9,a∥b,a ? α,b ? β,α∩

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