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浙江省宁波市余姚中学2015-2016学年高二上学期开学数学试题 Word版含解析


2015-2016 学年浙江省宁波市余姚中学高二(上)开学数学试卷

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知向量 =(2,1) , =(x,﹣2) ,若 ∥ ,则 + 等于( A. (﹣3,1) B. (3,1) C. (2,1) D. (﹣2,﹣1) )

2.已知直线 ax+y﹣1=0 与直线 x+ay﹣1=0 互相垂直,则 a=( A.1 或﹣1 B.1 C.﹣1 D.0



3.两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20°, 灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40°,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( A.akm B. akm C.2akm D. akm )

4.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,若 bsinA﹣ 则 A. 的值为( B. ) C.2 D.4

acosB=0,且 b =ac,

2

5.已知直线 l:xcosα +ycosα =2(α ∈R) ,圆 C:x +y +2xcosθ +2ysinθ =0(θ ∈R) ,则直 线 l 与圆 C 的位置关系是( )

2

2

A.相交 B.相切 C.相离 D.与 α ,θ 有关

6.正项等比数列{an}中,存在两项 am、an 使得 ( A. ) B.2 C. D.

=4a1,且 a6=a5+2a4,则

的最小值是

7.若函数 f(x)= A. B. (﹣∞,0)

的值域为 R,则 m 的取值范围是( C. (﹣∞,0]



D. (﹣∞,0]∪,f(x)>m 恒成立,求 m 的范围.

20. (2015?潮南区模拟)已知数列{an}中,a1=1,an+1=

(I)求证:数列{a2n﹣ }是等比数列; (II)若 Sn 是数列{an}的前 n 项和,求满足 Sn>0 的所有正整数 n.

2015-2016 学年浙江省宁波市余姚中学高二(上)开学数学试卷 参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知向量 =(2,1) , =(x,﹣2) ,若 ∥ ,则 + 等于( A. (﹣3,1) B. (3,1) C. (2,1) D. (﹣2,﹣1) )

考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 平面向量及应用. 分析: 通过向量的平行的充要条件求出 x,然后利用坐标运算求解即可. 解答: 解:向量 =(2,1) , =(x,﹣2) , ∥ , 可得﹣4=x, + =(﹣2,﹣1) . 故选:D. 点评: 本题考查向量的共线以及向量的坐标运算,考查计算能力.

2.已知直线 ax+y﹣1=0 与直线 x+ay﹣1=0 互相垂直,则 a=(



A.1 或﹣1

B.1

C.﹣1 D.0

考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 直线与圆. 分析: 直接由两直线垂直得到两直线系数间的关系,然后求解关于 a 的方程得答案. 解答: 解:∵直线 ax+y﹣1=0 与直线 x+ay﹣1=0 互相垂直, ∴1×a+1×a=0,即 2a=0,解得:a=0. 故选:D. 点评: 本题考查了直线的一般式方程与直线垂直的关系,关键是对条件的记忆与运用,是 基础题.

3.两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20°, 灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40°,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( A.akm B. akm C.2akm D. akm )

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 应用题;解三角形. 分析: 先根据题意确定∠ACB 的值,再由余弦定理可直接求得|AB|的值. 解答: 解:根据题意, △ABC 中,∠ACB=180°﹣20°﹣40°=120°, ∵AC=BC=akm, ∴由余弦定理,得 cos120°= 解之得 AB= akm, akm, ,

即灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 故选:D.

点评: 本题给出实际应用问题,求海洋上灯塔 A 与灯塔 B 的距离.着重考查了三角形内角 和定理和运用余弦定理解三角形等知识,属于基础题.

4.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,若 bsinA﹣ 则 A. 的值为( B. ) C.2 D.4

acosB=0,且 b =ac,

2

考点: 正弦定理;三角函数中的恒等变换应用;余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 先由条件利用正弦定理求得角 B,再由余弦定理列出关于 a,c 的关系式,然后进行 合理的变形,求得 的值. a?cosB=0, 利用正弦定理得 sinBsinA﹣ sinAcosB=0,

解答: 解: △ABC 中, 由 bsinA﹣ ∴tanB= ,故 B=
2 2


2 2 2 2 2

由余弦定理得 b =a +c ﹣2ac?cosB=a +c ﹣ac,即 b =(a+c) ﹣3ac, 又 b =ac,所以 4b =(a+c) ,求得 故选:C. 点评: 本题考查正弦定理、余弦定理得应用.解题先由正弦定理求得角 B,再由余弦定理列 出关于 a,c 的关系式,然后进行合理的变形,求得 的值,属于中档题.
2 2 2

=2,

5.已知直线 l:xcosα +ycosα =2(α ∈R) ,圆 C:x +y +2xcosθ +2ysinθ =0(θ ∈R) ,则直 线 l 与圆 C 的位置关系是( )

2

2

A.相交 B.相切 C.相离 D.与 α ,θ 有关 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 把圆的方程化为标准形式,求出圆心和半径,再利用点到直线的距离公式求出圆心 C 到直线 l 的距离 d,从而得出结论. 解答: 解:圆 C:x +y +2xcosθ +2ysinθ =0(θ ∈R) ,即(x+cosθ ) +(y+sinθ ) =1,圆 心 C(﹣cosθ ,﹣sinθ ) ,半径为 r=1.
2 2 2 2

圆心 C 到直线 l:xcosα +ycosα =2 的距离为 d= (θ ﹣α ) , 当 cos(θ ﹣α )=﹣1 时,d=r,直线和圆相切; 当 cos(θ ﹣α )>﹣1 时,d>r,直线和圆相离, 故选:D.

=2+cos

点评: 本题主要考查圆的标准方程,直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式的应用, 属于基础题.

6.正项等比数列{an}中,存在两项 am、an 使得 ( A. ) B.2 C. D.

=4a1,且 a6=a5+2a4,则

的最小值是

考点: 基本不等式在最值问题中的应用;等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列;不等式的解法及应用. 分析: 由 a6=a5+2a4,求出公比 q,由 即可求出则 的最小值. =4a1,确定 m,n 的关系,然后利用基本不等式

解答: 解:在等比数列中,∵a6=a5+2a4, ∴ 即 q ﹣q﹣2=0, 解得 q=2 或 q=﹣1(舍去) , ∵ ∴ 即2
m+n﹣2 2



=4a1, , =16=2 ,
4

∴m+n﹣2=4,即 m+n=6, ∴ ∴ , =( ) = ,

当且仅当

,即 n=2m 时取等号.

故选:A. 点评: 本题主要考查等比数列的运算性质以及基本不等式的应用,涉及的知识点较多,要 求熟练掌握基本不等式成立的条件.

7.若函数 f(x)= A. B. (﹣∞,0)

的值域为 R,则 m 的取值范围是( C. (﹣∞,0] D. (﹣∞,0]∪ .



考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 配方并三角换元可得 2x+y= 可得. 解答: 解:把已知式子配方可得(2x+ ) +(y+ ) = ,
2 2

cosθ ﹣ +

sinθ ﹣ ,由三角函数的值域求解方法



,∴



∴2x+y=

cosθ ﹣ +

sinθ ﹣ =sin(θ +

)﹣1, )﹣1≤0,

∵﹣1≤sin(θ + ∴2x+y 的范围为: , 故答案为: .

)≤1,∴﹣2≤sin(θ +

点评: 本题考查不等式求式子的取值范围,三角换元是解决问题的关键,属中档题.

14. 已知点 O 是△ABC 的外接圆圆心, 且 AB=3, AC=4. 若存在非零实数 x、 y, 使得 且 x+2y=1,则 cos∠BAC= .

=x

+y



考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 综合题;平面向量及应用.

分析: 由

=x

+y

,且 x+2y=1,可得



=y(

﹣2

) ,利用向量的运算法则,

取 AC 的中点 D,则

=2y

,再利用点 O 是△ABC 的外心,可得 BD⊥AC.即可得出. =x +y ,且 x+2y=1,

解答: 解:如图所示,∵ ∴ ∴ ﹣ =y( =y( + ﹣2 ) , + =2 ) ,

取 AC 的中点 D,则 ∴ =2y ,



又点 O 是△ABC 的外心,∴BD⊥AC. 在 Rt△BAD 中,cos∠BAC= . 故答案为: ,

点评: 本题考查了向量的运算法则、三角形的外心定理、直角三角形的边角关系,属于难 题.

15.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)= (|x﹣a |+|x﹣2a |﹣3a ) , 若? x∈R,f(x﹣1)≤f(x) ,则实数 a 的取值范围为 .

2

2

2

考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 当 x≥0 时,分类讨论化简函数的解析式,再结合奇函数的性质可得函数的图象.结 合条件:? x∈R,f(x﹣1)≤f(x) ,可得 6a ≤1,由此求得 a 的范围. 解答: 解:当 x≥0 时,f(x)= (|x﹣a |+|x﹣2a |﹣3a ) .
2 2 2 2

∴当 0≤x≤a 时,f(x)= =﹣x; 当 a <x≤2a 时,f(x)=﹣a ; 当 x>2a 时,f(x)=x﹣3a . 由于函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 即可画出 f(x)在 R 上的图象,如图所示: 当 x>0 时,f(x)的最小值为﹣a ,当 x<0 时, f(x)的最大值为 a , 由于? x∈R,f(x﹣1)≤f(x) , 故函数 f(x﹣1)的图象不能在函数 f(x)的图象的上方, 结合(图二)可得 1﹣3a ≥3a ,即 6a ≤1,求得﹣ 故答案为: .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

≤a≤



点评: 本题主要考查带有绝对值的函数,奇函数的性质,函数的图象特征,属于中档题.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16. (2015 春?绍兴校级期末) 设平面向量 = (cosx, sinx) ,= (cosx+2 cosα ) ,x∈R. (1)若 ,求 cos(2x+2α )的值;

, sinx) ,= (sinα ,

(2)若 α =0,求函数 f(x)=

的最大值,并求出相应的 x 值.

考点: 两角和与差的余弦函数;平面向量数量积的运算. 专题: 三角函数的图像与性质;平面向量及应用. 分析: (1)利用两个向量垂直,它们的数量积等于 0,以及二倍角的余弦公式求得 cos (2x+2α )的值. (2)若 α =0,则 =(0,1) ,由题意化简可得函数解析式:f(x)=1+4sin(x+ 正弦函数的有界性求出函数的最值. 解答: 解: (1)若 ,则 ? =0, ) ,利用

∴cosxsinα +sinxcosα =0, ∴sin(x+α )=0, ∴cos(2x+2α )=1﹣2sin (x+α )=1. (2)若 α =0, =(0,1) , 则 f(x)= (sinx﹣2)=1﹣2sinx+2 =(cosx,sinx)?(cosx+2 cosx=1+4sin(x+ (k∈Z) . ) , ,sinx﹣2)=cosx(cosx+2 )+sinx
2

所以,f(x)max=5,x=2kπ ﹣

点评: 本题考查两个向量的数量积公式的应用,两个向量垂直的性质,两个向量坐标形式 的运算,属于基本知识的考查.

17. (2015?绥化一模)已知等差数列{an}的公差 d≠0,它的前 n 项和为 Sn,若 S5=70,且 a2, a7,a22 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{ }的前 n 项和为 Tn,求证: ≤Tn< .

考点: 数列的求和;等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由题意得 (2)由 a1=6,d=4,得 Sn=2n +4n, Tn=
2

,由此能求出 an=4n+2. = = ﹣ = ,从而 < ,由此能证明 ≤Tn< .

解答: 解: (1)由题意得 解得 a1=6,d=4, ∴an=6+(n﹣1)×4=4n+2.



(2)∵a1=6,d=4, ∴Sn=6n+ = ∴Tn= = = ﹣ (Tn)min=T1= ﹣ 故 ≤Tn< . 点评: 本题考查数列的通项公式的求法,考查不等式的证明,解题时要认真审题,注意裂 项求和法的合理运用. < , = . = =2n +4n, ,
2

18. (2015 秋?余姚市校级月考) 已知圆 O1 的方程为 x + (y+1)=6, 圆 O2 的圆心坐标为 (2, 1) . 若 两圆相交于 A,B 两点,且|AB|=4,求圆 O2 的方程.

2

2

考点: 圆的标准方程.

专题: 直线与圆. 分析: 设出圆 O2 的方程,两圆方程相交消去二次项得到公共弦 AB 所在直线方程,利用点到 直线的距离公式求出圆心 O1 到直线 AB 的距离 d,根据半径以及弦长,利用垂径定理,以及勾 股定理求出 r 的值,即可确定出圆 O2 的方程. 解答: 解:设圆 O2 的方程为(x﹣2) +(y﹣1) =r (r>0) , ∵圆 O1 的方程为 x +(y+1) =6,即圆 O1 的圆心坐标为(0,﹣1) , ∴直线 AB 的方程为 4x+4y+r ﹣10=0, ∴圆心 O1 到直线 AB 的距离 d= 由 d +2 =6,得 d =2, ∴r ﹣14=±8, 解得:r =6 或 22, 则圆 O2 的方程为(x﹣2) +(y﹣1) =6 或(x﹣2) +(y﹣1) =22. 点评: 此题考查了圆的标准方程,涉及的知识有:两圆相交的性质,点到直线的距离公式, 垂径定理,勾股定理,熟练掌握公式及定理是解本题的关键.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

=



19. (2011 秋?常州期中)已知函数 为不等于 1 的常数; (1)求 a 的值; (2)若对任意的 x∈,f(x)>m 恒成立,求 m 的范围.

为奇函数,其中 a

考点: 对数函数的值域与最值;函数奇偶性的性质;函数恒成立问题. 专题: 计算题. 分析: (1)利用奇函数的定义 f(﹣x)=﹣f(x) ,代入函数解析式得恒等式,利用恒等式 中 x 的任意性即可得 a 的值; (2)先将不等式 f(x)>m 恒成立问题转化为求函数 f(x)在 x∈时的最小值问题,再利用 复合函数的单调性求最值即可 解答: 解: (1)∵ 为奇函数

∴f(﹣x)=﹣f(x) ,即 即 对 x∈恒成立;

所以(5+ax) (5﹣ax)=(5+x) (5﹣x) ∴a=±1, 因为 a 为不等于 1 的常数,所以 a=﹣1 (2)∵ 设 因为 ,则 f(t)=log2t, 在上递减所以 ,

又因为 f(t)=log2t,在 所以

上是增函数,

因为对任意的 x∈,f(x)>m 恒成立,所以 f(x)min>m 所以 点评: 本题考查了奇函数的定义及其应用,不等式恒成立问题的解法,复合函数的单调性 及其最值的求法,转化化归的思想方法

20. (2015?潮南区模拟)已知数列{an}中,a1=1,an+1=

(I)求证:数列{a2n﹣ }是等比数列; (II)若 Sn 是数列{an}的前 n 项和,求满足 Sn>0 的所有正整数 n.

考点: 数列递推式;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列.

分析: (Ⅰ)设 bn=a2n﹣ ,则

=﹣ ,

=

= ,由此能证明数列

{

}是以﹣ 为首项, 为公比的等比数列.

(Ⅱ)由 bn=a2n﹣ =﹣ ?( )
n

n﹣1

=﹣ ?( ) ,得

n

+ ,从而 a2n﹣1+a2n=﹣

2?( ) ﹣6n+9,由此能求出 S2n.从而能求出满足 Sn>0 的所有正整数 n. 解答: (Ⅰ)证明:设 bn=a2n﹣ ,则 =( )﹣ =﹣ ,

=

=

=

= ,

∴数列{

}是以﹣ 为首项, 为公比的等比数列.
n﹣1

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得 bn=a2n﹣ =﹣ ?( ) ∴ 由 a2n= + , +3(2n﹣1) ,
n﹣1

=﹣ ?( ) ,

n

得 a2n﹣1=3a2n﹣3(2n﹣1)=﹣ ?( ) ∴a2n﹣1+a2n=﹣
n

﹣6n+



﹣6n+9

=﹣2?( ) ﹣6n+9, S2n=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n﹣1+a2n) =﹣2﹣6(1+2+3+…+n)+9n = =( ) ﹣3(n﹣1) +2. 由题意得 n∈N 时,{S2n}单调递减, 又当 n=1 时,S2= >0,当 n=2 时,S4=﹣ <0, ∴当 n≥2 时,S2n<0,S2n﹣1=S2n﹣a2n= 故当且仅当 n=1 时,S2n+1>0, 综上所述,满足 Sn>0 的所有正整数 n 为 1 和 2. ﹣ ,
* n 2

点评: 本题考查等比数列的证明,考查数列的前 2n 项和的求法,是中档题,解题时要认真 审题,注意构造法、等比数列性质、分组求和法的合理运用.


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