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2015-2016学年高中数学分类汇编:10圆锥曲线(含答案)


2015-2016 学年下学期高中数学数分类大汇编 第 10 部分 圆锥曲线
一、选择题: 1.已知 F1、F2 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,若 M 为椭圆上一点,且△MF1F2 的内切圆 25 16
C )个. D.4 ) D. 4 个.

的周长等于 3? ,则满足条件的点 M 有( A.0 B.1 C.2 2.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 上到定点(5,0)的距离是 9 的点的个数是( C 16 9
B. 2 个;
2

A. 0 个;
2

C. 3 个;

3.双曲线 x ? y ? 1 的一个焦点是(0,2) ,则实数 m 的值是 m 3m ( B ) A.1 B.—1 C. ?

10 5

D.

10 5

4.若双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的一条渐近线被圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 所截得的弦长为 2,则该双曲 3 a2
( B B.2 ) C .3 D.6

线的实轴长为 A.1 5.与椭圆

x2 ? y 2 ? 1 共焦点且过点 P ( 2 , 1 ) 的双曲线方程是:( B ) 4
B.

A.

x2 ? y2 ? 1 4
2

x2 ? y2 ? 1 2

C.

x2 y2 ? ?1 3 3

D. x ?
2

y2 ?1 2

6.抛物线 y ? 4 x 上一点到直线 y ? 4 x ? 5 的距离最短,则该点的坐标是:( A ) A. (

1 ,1) 2

B. ( 0 , 0 )

C. ( 1 , 2 )

D. ( 1 , 4 )

7.设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线 垂直,那么双曲线的离心率是( D ) A. 2 B. 3 C.

3 ?1 2

D.

5 ?1 2

8.已知点 F 为抛物线 y 2 = -8x 的焦点,O 为原点,点 P 是抛物线准线上一动点,点 A 在抛物线上,且 |AF|=4,则|PA|+|PO|的最小值为 ( C ) A. 6 B.

2? 4 2

C. 2 13

D.4+2 5

二、填空题: 9.设抛物线的顶点在原点,其焦点 F 在 x 轴上,抛物线上的点 P (2, k ) 与点 F 的距离为 3, 则抛物线方程为 。 y2 ? 4x 。

10. 已知抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点与圆 x2 ? y 2 ? mx ? 4 ? 0 的圆心重合, 则 m 的值是 -2 11.设抛物线 y 2 ? 4 x 的准线为 l , P 为抛物线上的点, PQ ? l ,垂 足 为 Q ,若 ?PQF 得面积与 ?POF 的面积之比为 3 :1 ,则 P 点坐 标 是 3 分) 12.设抛物线 y 2 ? 4 x 的准线为 l , P 为抛物线上的点, PQ ? l ,垂足 为 Q ,若 ?PQF 得面积与 ?POF 的面积之比为 3 :1 ,则 P 点坐标 是
2

? 2 2 , 2, 2 2 (填对一个仅给 . 2,

?

? ?

?

(第16题)

? 2 2 , 2, 2 2 (填对一个仅给 3 分) . 2,

?

? ?

?

13、过抛物线 y ? 4 x 焦点的直线 l 的倾斜角为 原点,那么 ?AOB 的面积为 三、解答题: 14.(本小题满分 12 分)

? ,且 l 与抛物线相交于 A、B 两点,O 为 3

4 3 3

x2 y2 ? ? ? 1 (常数 m 、 n ? R ,且 m ? n )的左右焦点分别为 F1 , F2 ,M、 m n N 为短轴的两个端点,且四边形 F1MF2N 是边长为 2 的正方形. (Ⅰ)求椭圆方程
已知椭圆

x2 y2 + = 1的交点为 A、B、 m n C、D(按逆时针顺序排列,且点 A 位于第一象限内)求四边形 ABCD 的面积 S 的最大值..
(Ⅱ)过原点且斜率分别为 k 和-k(k≥2)的两条直 线与椭圆 14.解: (Ⅰ)依题意: ?

? ?m ? 4 ? m?n ? n ,? ? , ? ?2 n ? 2 2 ? n ? 2

所求椭圆方程为 (Ⅱ)设 A(x,y).

x2 y 2 ? ? 1 .………………………3 分 4 2

? y ? kx 2 2k ? , ) .………………………6 分 由 ? x2 y 2 得 A( 2 2 ? ? 1 1 ? 2 k 1 ? 2 k ? ?4 2

根据题设直线图象与椭圆的对称性,知…………8 分

1 ? 2k 1 ? 2k 16 ∴S ? (k ? 2). 1 ? 2k k 1 1 1 设 M ( k ) ? 2k ? , 则 M ?( k ) ? 2 ? 2 , 当 k ? 2 时, M ?(k ) ? 2 ? 2 ? 0 k k k 9 ∴ M (k ) 在 k ??2, ??? 时单调递增,∴ ? M (k ) ?min ? M (2) ? , ………11 分 2 16 32 ∴当 k ? 2 时, Smax ? .………………………12 分 ? 9 9 2
2 2

S ? 4?

2

?

2k

?

16k (k ? 2). …………9 分 1 ? 2k 2

15. (本题满分 14 分) 在直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点 (0, ? 3) , (0,3) 的距离之和等于 4 ,设点 P 的轨 迹为 C 。 (1)求曲线 C 的方程; (2)过点 (0, 3) 作两条互相垂直的直线 l1 、 l 2 分别与曲线 C 交于 A 、 B 和 C 、 D , 以线段 AB 为直径的圆过能否过坐标原点,若能,求直线 AB 的斜率,若不能说明 理由. 15.(本题满分 12 分) 解: (1)设 P( x, y) ,由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (0, ? 3),, (0 3) 为焦点,

y2 ? 1. 长半轴为 2 的椭圆. 它的短半轴 b ? 2 ? ( 3) ? 1 , 故曲线 C 的方程为 x ? 4
2 2

2

(2)设直线 l1 : y ? kx ? 3 ,分别交曲线 C 于 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) ,其坐标满足

? 2 y2 ? 1, ?x ? 4 ? ? y ? kx ? 3. ?

消去 y 并整理得 (k 2 ? 4) x2 ? 2 3kx ?1 ? 0 ,

2 3k 1 ,x1 x2 ? ? 2 . 2 k ?4 k ?4 ??? ? ??? ? 以线段 AB 为直径的圆过能否过坐标原点,则 OA ? OB ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .
故 x1 ? x2 ? ? 而 y1 y2 ? k 2 x1x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 3 , 于 是 x1 x2 ? y1 y2 ? ?

1 k2 6k 2 ? ? ? 3 ? 0 , 化 简 得 ?4k 2 ? 3 ? 0 , 所 以 k2 ? 4 k2 ? 4 k2 ? 4

k ??

3 2

16. (本题满分 12 分) 已知椭圆 C 的焦点在 x 轴上,中心在原点,离心率 e ? 为圆心,椭圆 C 的短半轴为半径的圆 O 相切. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设椭圆 C 的左、 右顶点分别为 A 点 M 是椭圆上异于 A 1 、 A2 , 1 、 A2 的任意一点, 设直线 MA1 、 MA2 的斜率分别为 kMA1 、 kMA2 ,证明 kMA1 ? kMA2 为定值; (Ⅲ)设椭圆方程

3 ,直线 l : y ? x ? 2 与以原点 3

x2 y 2 ? ? 1 , A1 、 A2 为长轴两个端点, M 为椭圆上异于 A1 、 A2 a 2 b2

的点, kMA1 、 kMA2 分 别 为 直 线 MA1 、 MA2 的 斜 率 , 利 用 上 面 ( Ⅱ ) 的 结 论 得 kMA1 ? kMA2 ? ( 16. (Ⅰ)椭圆方程 ) (只需直接填入结果即可,不必写出推理过程) .

x2 y 2 ? ?1 3 2

……………4 分

(Ⅱ)证明:由椭圆方程得 A 1 (? 3,0) , A 2 ( 3,0) 设 M 点坐标 ( xo , yo )



xo 2 yo 2 2 ? ? 1 ? yo 2 ? (3 ? xo 2 ) 3 2 3

kMA1 ?

yo xo ? 3

, kMA2 ?

yo xo ? 3

kMA1 ? kMA2

2 (3 ? xo 2 ) yo 2 2 ? 2 ?3 2 ?? xo ? 3 xo ? 3 3
……………10 分

? kMA1 ? kMA2 是定值
(Ⅲ) k MA1 ? k MA2 ? ?

b a

……………12 分

?y ?0 ? 17、(本小题满分 12 分)已知可行域 ? x ? y ? 2 ? 0 的外接圆 C1 与 x 轴交于点 A1 、 A2 , ? ?x? y ? 2 ? 0 ?
椭圆 C 2 以线段 A1 A2 为长轴,离心率 e ? (1)求圆 C1 及椭圆 C 2 的方程 (2) 设椭圆 C 2 的右焦点为 F , 点 P 为圆 C1 上异于 A1 、A2 的动点, 过原点 O 作直线 PF 的 垂线交直线 x ? 2 于点 Q ,判断直线 PQ 与圆 C1 的位置关系,并给出证明。 17

2 2

又e ?

2 2

∴ c ? 1 ,可得 b ? 1

x2 ? y 2 ? 1 …………………………………………………………5 分 故椭圆 C 2 的方程为 2
(2)直线 PQ 始终与圆 C1 相切…………………………………………………………6 分 设 P( x0 , y0 )(x0 ? ? 2 ),则y0 ? 2 ? x0
2 2

当 x0 ? 1 时, P(1,1)或P( 1,- 1 ),此时Q(2,0) 若 P(1,1)时, k OP ? 1, k PQ ?

1? 0 ? ?1 1? 2

kOP ? k PQ ? ?1

∴ OP ? PQ

若 P(1,?1)时, k OP ? ?1, k PQ ?

?1? 0 ?1 1? 2

kOP ? k PQ ? ?1

∴ OP ? PQ

即当 x0 ? 1 时, OP ? PQ ,直线 PQ 与圆 C1 相切…………………………………8 分 当 x0 ? 1时,k PF ?

y0 x0 ? 1

∴ ,k OQ ? ?

x0 ? 1 y0

所以直线 OQ 的方程为 ,y ? ?

x0 ? 1 2x ? 2 x ,因此点 Q 的坐标为(2, , ? 0 ) …9 分 y0 y0

?
∵ k PQ ?

2 x0 ? 2 ? y0 2 y0 2 x ? 2 ? y0 x (2 ? x0 ) x ? 0 ? 0 ? ? 0 ……………………10 分 2 ? x0 y 0 ( x0 ? 2) y 0 (2 ? x0 ) y0

∴当 x0 ? 0时,k PQ ? 0 , OP ? PQ ∴当 x0 ? 0时,k OP ? ∴

y0 , x0
OP ? PQ

kOP ? k PQ ? ?1

综上,当 x0 ? ? 2 时, OP ? PQ ,故直线 PQ 始终与圆 C1 相切……………………12 分 18. (本题满分 14 分) 已知椭圆 C1 :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、 a2 b2

F2,其中 F2 也是抛物线 C2 : y 2 ? 4 x 的焦点,M 是 C1 与 C2 在第一象限的交点,且 | MF2 |? .
(I)求椭圆 C1 的方程; (II)已知菱形 ABCD 的顶点 A、C 在椭圆 C1 上,顶点 B、D

5 3

在直线 7 x ? 7 y ? 1 ? 0 上,求直线 AC 的方程。 18.解: (I)设 M ( x1 , y1 ),? F2 (1,0), | MF 2 |?

5 5 2 . 由抛物线定义, x1 ? 1 ? ,? x1 ? , 3 3 3

? y12 ? 4 x1 ,? y1 ?
?

2 6 . …………3 分, 3

2 2 6 ?M( , ),?M 点 C1 上, 3 3

4 8 1 ? 2 ? 1, 又b 2 ? a 2 ? 1 ?9a4 ? 37a2 ? 4 ? 0, ? a 2 ? 4或a 2 ? ? c 2 舍去. 2 9 9a 3b

? a 2 ? 4, b 2 ? 3 ? 椭圆 C1 的方程为

x2 y2 ? ? 1. …………6 分 4 3

(II)? 直线BD的方程7 x ? 7 y ? 1 ? 0, ABCD 为菱形,? AC ? BD ,设直线 AC 的

? y ? ?x ? m ? 方 程 为 y ? ?x ? m ? x2 ? 7 x 2 ? 8m x ? 4m 2 ? 12 ? 0, ? A, C 在 椭 圆 C1 上 , y2 ? ? 1 ? 3 ?4

? ? ? 0,? m2 ? 7,? ? 7 ? m ? 7. 设 A( x1 , y1 ), C ( x2 , y 2 ) , 则 x1 ? x 2 ?
…………10 分

8m . 7

y1 ? y 2 ? (? x1 ? m) ? (? x 2 ? m) ? ?( x1 ? x 2 ) ? 2m ? ?
点坐标为 (

8m 6m ? 2m ? . ? AC 的 中 7 7

4m 3m 4m 3m , ) ,由 ABCD 为菱形可知,点 ( , ) 在直线 BD: 7 x ? 7 y ? 1 ? 0 上, 7 7 7 7 4m 3m ?7 ? ?7? ? 1 ? 0, m ? ?1, ? m ? ?1? (? 7 , 7 ), 7 7
∴直线 AC 的方程为 y ? ? x ? 1,即x ? y ? 1 ? 0. …………14 分


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