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成都七中2012-2013学年度下期2015级期末考试数学试题

成都七中 2012-2013 学年度下期 2015 级期末考试数学试题
考试时间:120 分钟 总分 150 分 命题人:张祥艳 审题人:殷晓婷

一、选择题(每题 5 分,共 50 分)请将选项填涂在答题卡上 1. 已知 a ? b ? 0 ,则下列不等式正确的是( A. a 2 ? b2 B. ?
1 a 1 b

) D. ab ? b2

C. 2 a ? 2 b

2. 某几何体的正视图和侧视图均如图(1)所示,则该几何体的俯视图不可能 是 ... ( )

图(1)

A.

B.

C.

D.


3. 等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S2 ? 2 , S4 ? 10 ,则 S6 等于( A.12 B.18 C .24 D.42

2 2 2 4. 已知圆 x ? y ? r 在曲线 | x | ? | y |? 4 内部则半径 r 的范围是(



A.0< r < 2

B.0< r <2 2

C.0< r <2

D.0< r <4
B
C

5. 如图, 要测出山上石油钻井的井架 BC 的高, 从山脚 A 测 ? 得 AC ? 60 m, 塔顶 B 的仰角 ? ? 45 ,塔底 C 的仰角 15? , 则井架的高 BC 为( ) A. 20 2 m B. 30 2 m C. 20 3 m D. 30 3 m

A
第 5 题图

?x ? y ≥ 0 ? 6.若 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ≥ 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为( ?0 ≤ x ≤ 3 ?
A.3 B.6 C.8 D.9 7. 已知两个等差数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和分别为 A n 和 Bn ,且 则使得 A.2
an 为整数的正整数 n 的个数是( bn B.3 C.4



An 7n ? 45 , ? Bn n?3

) D.5

8.设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c 若 a ? (b ? c)cos C ,则△ABC 的形状

是(



A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 9. 已知直线 l1 : ax ? y ? 1 ? 0 与 l2 : x ? ay ? 1 ? 0 ,给出如下结论: ①不论 a 为何值时, l1 与 l2 都互相垂直; ②当 a 变化时, l1 与 l2 分别经过定点 A(0,1)和 B(-1,0); ③不论 a 为何值时, l1 与 l2 都关于直线 x ? y ? 0 对称; ④当 a 变化时, l1 与 l2 的交点轨迹是以 AB 为直径的圆(除去原点). 其中正确的结论有( ). A.①③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ BE ? t 恒成 10. 在△ABC 中, E , F 分别是 AC , AB 的中点,且 3 AB ? 2 AC ,若 CF 立,则 t 的最小值为( ) 7 3 6 4 A. B. C. D. 7 5 8 4 二、填空题(每题 5 分,共 25 分)请将答案填在答题卡上
x?2 ≤ 0 的解集是 . x ?1 12. 已 知 直 线 l : ax ? (1 ? 2a) y ? 1 ? a ? 0 不 通 过 第 四 象 限 , 则 a 的 取 值 范 围 是 .

11. 不等式

13.过直线 l : y ? 2 x 上一点 P 作圆 C : x 2 ? y 2 ? 16x ? 2 y ? 63 ? 0 的切线 l1 , l2 ,若 l1 , l2 关于直线 l 对称,则点 P 到圆心 C 的距离为 . 2 x ?1 14. 若方程 ? kx 有两个实数根,则实数 k 的取值范围是 x ?1 15.下列命题: ① ?ABC 中,若 A ? B ,则 cos 2 A ? cos 2 B ; ②若 A,B,C 为 ?ABC 的三个内角,则
4 1 9 ? 的最小值为 A B?C ?

.

③已知 an ? sin

19 n? 16 (n ? N ? ) ,则数列 ?an ? 中的最小项为 ; ? 6 2 ? sin n? 3 6
f (a) f (b) f (c) ; ? ? a b c

④若函数 f ( x) ? log2 ( x ? 1) ,且 0 ? a ? b ? c ,则

⑤函数 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 5 ? x2 ? 4 x ? 13 的最小值为 29 . 其中所有正确命题的序号是

三、解答题(16—19 题每题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分,共 75 分)请在答 题卡对应位置规范答题. 16. {an } 是 公 比 大 于 1 的 等 比 数 列 , Sn 是 {an } 的 前 n 项 和 . 若 S3 ? 7 , 且 a1 ? 3 , 3a2 , a3 ? 4 构成等差数列. (Ⅰ)求 {an } 的通项公式. (Ⅱ)令 bn ? log2 a2n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

17.在 ?ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,已知 a 、 b 、 c 成等比 数列,且 cos B ? .
1 1 的值; ? tan A tan C ??? ? ??? ? 3 (Ⅱ)设 BA?BC ? ,求 a 、 c 的值. 2
3 4

(Ⅰ)求

18. 已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? x ? (3 ? a) x ? 2(1 ? a) (其中 a ? R ).
2

(Ⅰ)解关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 ; (Ⅱ)若不等式 f ( x ) ? x ? 3 对任意 x ? 2 恒成立,求 a 的取值范围.

19. 已知直线 l : ax ? y ? 2 ? a ? 0 ( a ? R ),圆 O : x 2 ? y 2 ? 4 . (Ⅰ)求证:直线 l 与圆 O 相交; (Ⅱ)判断直线 l 被圆 O 截得的弦何时最短?并求出最短弦的长度; (Ⅲ)如图,已知 AC、BD 为圆 O 的两条相互垂直的弦,垂足为 M(1, 2),求 四边形 ABCD 的面积的最大值. y
D A

M
C

o
B

x

第(Ⅲ)题图

20.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ??? ? nan ? (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项 an ; (Ⅱ)求数列 ?n2an ? 的前 n 项和 Tn ;

n ?1 an?1 (n ? N ? ) 2

(Ⅲ)若存在 n ? N ? ,使得 an ? (n ? 1)? 成立,求实数 ? 的最小值.

21. 已知定点 O ? 0,0 ? , A ? 3,0 ? ,动点 P 到定点 O 距离与到定点 A 的距离的比值是
1

?

.

(Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程,并说明方程表示的曲线; (Ⅱ)当 ? ? 4 时,记动点 P 的轨迹为曲线 D . 2 2 ①若 M 是圆 E : ? x ? 2? ? ? y ? 4? ? 64 上任意一点,过 M 作曲线 D 的切线,切 点是 N ,求 MN 的取值范围; ②已知 F , G 是曲线 D 上不同的两点,对于定点 Q(?3,0) ,有 QF ? QG ? 4 . 试问无论 F ,G 两点的位置怎样, 直线 FG 能恒和一个定圆相切吗?若能, 求出这个定圆的方程;若不能,请说明理由.
y

o

x

第(Ⅱ)题图


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