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随机抽样-概率、统计与统计案例 2012高考一轮数学精品课件


学案3 随 机 抽 样
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1.简单随机抽样

(1)一般地,设一个总体含有N个个体,从中逐个不 放回地抽取n个个体作为样本(n≤N),如果每次抽取时总体 内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫 做简单随机抽样.
(2)最常用的简单随机抽样方法有两种—— 抽签法 和 随机数表法 . 返回目录

2.系统抽样
一般地,要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本, 可将总体分成均衡的若干部分,然后按照预先制定的规则, 从每一部分抽取一个个体,得到所需要的样本,这种抽样 的方法叫做系统抽样. 系统抽样的一般步骤: (1)采用随机抽样的方法将总体中的N个个体编号; (2)将整体按编号进行分段,确定分段间隔k(k∈N);

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(3)在第1段用简单随机抽样确定起始个体的编号 l(l∈N,l≤k); (4)按照一定的规则抽取样本.通常是将起始编号l加上 k 间隔k 得到第2个个体编号l+k,再加上 得 到第3个个体编号l+2k,依次进行下去,直到获取整个样本.

3.分层抽样
一般地,在抽样时,将总体分成 互不交叉的层 , 然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体, 将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法就叫 做分层抽样. 返回目录

考点一 简单随机抽样

下面的抽样方法是简单随机抽样吗?为什么?
(1)某班45名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组 织的某项活动;

(2)从20个零件中一次性抽出3个进行质量检验;
(3)一儿童从玩具箱中的20件玩具中随意拿出一件来玩, 玩后放回再拿出一件,连续玩了5件. 返回目录

【分析】要判断所给的抽样方法是否是简单随机抽样, 关键是看它们是否符合简单随机抽样的四个特点.

【解析】(1)不是简单随机抽样,因为这不是等可能抽样. (2)不是简单随机抽样,因为这是“一次性”抽取,而 不是“逐个”抽取. (3)不是简单随机抽样,因为这是有放回抽样.

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【评析】解答本题,关键是看所给的题目是否与简单随 机抽样的定义相符.简单随机抽样有如下特点: (1)要求总体的个体数有限,这样便于通过随机抽取的 样本对总体进行分析.

(2)从总体中逐个进行抽取,这样便于在抽取过程中进 行操作.
(3)是不放回抽样,由于抽样实践中多采用不放回抽样, 使其具有广泛的应用性,而且所抽取的样本中没有重复抽取 的个体,便于进行有关的分析和计算. (4)是等可能抽样,不仅每次从总体中抽取一个个体时, 各个个体被抽取的机会相等,而且在整个抽样过程中,各个 个体被抽取的机会也相等,从而保证了这种抽样方法的公平 性. 返回目录

*对应演练*
从某年级500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析, 下列说法正确的是(C ) A.500名学生是总体 B.每个被抽查的学生是样本 C.抽取的60名学生的体重是一个样本 D.抽取的60名学生的体重是样本容量 C(总体是500名学生的体重,A错;个体是每个被抽查学生的 体重,B错;样本容量是60. 故应选C.) 返回目录

考点二 系统抽样 将一个总体为100的个体编号为0,1,2,3…,99,并 依次将其分为10个小组,组号为0,1,…,9,要用系统 抽样的方法抽取一个容量为10的样本,规定如果在第0 组(号码为0~9)随机抽取的号码为2,则所抽取的10个 号码为 . 【分析】本题考查系统抽样的应用,完成第一段抽 取之后,其余号码的得到方式. 【解析】因为各段的间隔为10,所以所抽取的号码 为2,12,22,32,42,52,62,72,82,92. 【评析】应注意分段间隔和抽样规则. 返回目录

*对应演练*
某批产品共有1 564件,产品按出厂顺序编号,号码从1 到1 564,检测员要从中抽取15件产品作检测,请你给出 一个系统抽样方案.

(1)先从1 564件产品中,随机找到4件产品,将其剔除.
(2)将余下的1 560件产品编号:1,2,3,…,1 560. (3)k=
1 560 15

=104,将总体均分为15组,每组含104个个体.

(4)从第一组即1号到104号中随机抽取一个号s. (5)按编号把s,104+s,208+s,…,1 456+s共15个号选出,这 15个号所对应的产品组成样本. 返回目录

考点三

分层抽样

某单位最近组织了一次健身活动,活动分为登山组和游泳组, 且每个职工至多参加其中一组.在参加活动的职工中,青年人 占42.5%,中年人占47.5%,老年人占10%.登山组的职工占参 1 加活动总人数的 ,且该组中,青年人占50%,中年人占 4 40%,老年人占10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本 次活动的满意程度,现用分层抽样方法从参加活动的全体职 工中抽取一个容量为200的样本.试确定 (1)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别所占的比例; (2)游泳组中,青年人、中年人、老年人应分别抽取的人数. 返回目录

【分析】 (1)设出游泳组各年龄段人数的比例,利用和登 山组的比例关系,建立在总单位所占比例的关系,解方程求得 结果. (2)据分层抽样的比例关系求得各年龄段人数.
【解析】(1)设登山组人数为x,游泳组中,青年人、 中年人、老年人各占比例分别为a,b,c,则有 =47.5%, b=50%,c=10%.
x·40% + 3xb 4x x·10% + 3xc 4x

=10%,解得

故a=100%-50%-10%=40%,即游泳组中,青年人、中 年人、老年人各占比例分别为40%,50%,10%.
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(2)游泳组中,抽取的青年人数为 3 200× ×40%=60(人); 4 3 抽取的中年人数为200× 4 ×50%=75(人); 3 抽取的老年人数为200× ×10%=15(人). 4 【评析】弄清三种抽样方法的实质,是灵活选用抽样 方法的前提和基础 , 应抓住“分层抽样中各层抽取个数 依各层个体数之比来分配”这一分层抽样的特点,首先 确定分层抽取的个数.分层后,各层的抽取一定要考虑到个 体数目,选取不同的抽样方法,但一定要注意按比例抽取.

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*对应演练*
一个地区共有5个乡镇,人口3万人,其中人口比例为3:2:5?

2:3,从3万人中抽取一个300人的样本,分析某种疾病的发病
率.已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关,问应采取 什么样的方法?并写出具体过程.

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采用分层抽样的方法. (1)将3万人分成五层,其中一个乡镇为一层. (2)按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的样本.
3 300× 15 =60(人), 2 300× 15 =40(人), 5 300× =100(人), 15 2 300× =40(人), 15 3 300× =60(人). 15

因此各乡镇抽取人数分别为60人,40人,100人,40人,60人. (3)将300人组到一起即得到一个样本. 返回目录

考点四

抽样方法

在120件产品中,一级品24件,二级品36件,三级品60 件,从中抽取容量为20的一个样本,分别用三种抽样方 法来计算总体中每个样本被抽取到的概率,你能从中得 到什么结论? 【分析】从以上120个总体中抽出容量为20的样本, 可以用简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种方法来 完成.

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【解析】(1)简单随机抽样法(抽签法):每个个体 被抽取的概率为 20 = 1 .
120 6

(2)系统抽样法:将120件产品分为20组,每组6件, 1 每组取1件,则每个个体被抽取的概率是 .
6

(3)分层抽样法:∵一级、二级、三级品之比为24 ?36?60=2?3?5,
2 ∴20× 10 3 =4,20×10 5 =6,20× 10 =10.

∴分别从一级、二级、三级品中抽取4件、6件、10 件,每个个体被抽取的概率分别为 2 , 6 , 10 ,即均为 1 .
24 36 60 6

结论:无论采用哪一种抽样方法,总体的每一个个体 被抽取的概率相等,均为 1 .
6

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【评析】 三种抽样方法各有特点,解题中选用哪 种方法,主要是根据总体的实际情况而定.当总体中的 个体数较少时,常采用简单随机抽样;当总体中的个 体数较多时,常采用系统抽样;当已知总体由差异明 显的几部分组成时,常采用分层抽样.但三种方法的共 同特点是在抽样过程中 ,每个个体抽取的概率都相等, 解决实际问题时要注意合理选用.

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*对应演练*
下列问题中,采用什么抽样方法抽取样本最合适?

(1)从20台彩电中抽取4台进行质量检验;
(2)要从某学校的10 000名学生中抽取100名进行素质 测验; (3)某单位有老年人28人,中年人54人,青年人81人, 为了调查他们的身体健康状况,需要从他们中间抽 取一个容量为36的样本. 分别采用简单随机抽样、系统抽样、分层抽样. 返回目录

1.三种抽样方法的区别与联系
方法 简单随 机抽样 共同点 抽 过 中 个 体 抽 的 率 等 取 程 每 个 被 取 概 相 各自特征 从总体中逐个 抽取 将总体均分成 在起始部分抽 几部分,按预先 取时采用简单 给定的规则在 随机抽样 各部分抽取 各层抽样时可 将总体分成几 采用简单随机 层,分层进行抽 抽样或系统抽 取 样 联系 适用范围 总体中个体数 目较少 总体中个体数 目较多 总体由差异明 显的几部分组 成

系统抽样

分层抽样

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2.简单随机抽样法中有两种方法,其中抽签法适用于总 体数较小的情况,随机数表法适用于总体数较大的情况. 3.系统抽样的四个步骤可简记为“编号—分段—确定 起始的个体号—抽取样本”.

4.不论用哪种抽样方法,从容量为N的总体中抽取容量 n 为n的样本时,每一个个体被抽取的概率都是P= ,这是 N 随机抽样的一个重要特点(随机抽样的等概率性),但必须注 意的是等概率性是指“在整个抽样过程”中.

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