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高三数学第三轮冲刺复习资料

高三数学冲刺复习资料
第1讲 高考数学选择题的解题策略
一、知识整合 1.高考数学试题中,选择题注重多个知识点的小型综合,渗透各种数学思想和方法,体现以 考查“三基”为重点的导向,能否在选择题上获取高分,对高考数学成绩影响重大.解答选择题的 基本要求是四个字——准确、迅速. 2.选择题主要考查基础知识的理解、基本技能的熟练、基本计算的准确、基本方法的运用、 考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面. 解答选择题的基本策略是:要充分利用题设和选择支两 方面提供的信息作出判断。一般说来,能定性判断的,就不再使用复杂的定量计算;能使用特殊 值判断的,就不必采用常规解法;能使用间接法解的,就不必采用直接法解;对于明显可以否定 的选择应及早排除,以缩小选择的范围;对于具有多种解题思路的,宜选最简解法等。解题时应 仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏;初选后认真检验,确保准确。 3.解数学选择题的常用方法,主要分直接法和间接法两大类.直接法是解答选择题最基本、最 常用的方法;但高考的题量较大,如果所有选择题都用直接法解答,不但时间不允许,甚至有些 题目根本无法解答.因此,我们还要掌握一些特殊的解答选择题的方法.

二、方法技巧 1、直接法: 直接从题设条件出发,运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识,通过严密的推理和 准确的运算,从而得出正确的结论,然后对照题目所给出的选择支“对号入座”作出相应的选择. 涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法. 例 1.若 sin x>cos x,则 x 的取值范围是( (A){x|2k ? -
2 2



? 3? <x<2k ? + ,k ?Z} 4 4 ? ? <x<k ? + ,k ?Z } 4 4

(B) {x|2k ? +

? 5? <x<2k ? + ,k ?Z} 4 4 ? 3? <x<k ? + ,k ?Z} 4 4

(C) {x|k ? -

(D) {x|k ? +

例 2.设 f(x)是(-∞,∞)是的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x,则 f(7.5)等于 ( ) (A) 0.5 (B) -0.5 (C) 1.5 (D) -1.5

例 3.七人并排站成一行,如果甲、乙两人必需不相邻,那么不同的排法的种数是( ) (A) 1440 (B) 3600 (C) 4320 (D) 4800 2、特例法: 用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件,得出特殊结论,对各个选项进行检验,从 而作出正确的判断.常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置 等. 例 4.已知长方形的四个项点 A(0,0) ,B(2,0) ,C(2,1)和 D(0,1) ,一质点从 AB 的 中点 P0 沿与 AB 夹角为 ? 的方向射到 BC 上的点 P1 后,依次反射到 CD、DA 和 AB 上的点 P2、P3 和 P4(入射解等于反射角) ,设 P4 坐标为( x4 ,0), 若 1 ? x 4 ? 2, 则tan? 的取值范围是( (A) ( ,1) )

1 3

(B) ( , )

1 2 3 3

(C) ( , )

2 1 5 2

(D) ( , ) ) (D) (n-1)2
n ?1

2 2 5 3

2 n?2 n 例 5.如果 n 是正偶数,则 C 0 n +C n +…+C n +C n =(
n n ?1 n?2

(A) 2

(B) 2

(C) 2

例 6.等差数列{an}的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为( (A)130 (B)170 (C)210 (D)260 例 7.若 a ? b ? 1 ,P= lg a ? lgb ,Q=



a?b? 1 ?lg a ? lg b? ,R= lg? ? ? ,则( 2 ? 2 ?



(A)R ? P ? Q (B)P ? Q ? R (C)Q ? P ? R (D)P ? R ? Q 3、筛选法: 从题设条件出发,运用定理、性质、公式推演,根据“四选一”的指令,逐步剔除干扰项,从 而得出正确的判断. 例 8.已知 y=log a (2-ax)在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是( (A)(0,1) (B)(1,2)
2



(C)(0,2)

(D) [2,+∞ )

例 9.过抛物线 y =4x 的焦点,作直线与此抛物线相交于两点 P 和 Q,那么线段 PQ 中点的 轨迹方程是(
2

) (B) y =2x-2 (D) y =-2x+2
2 2

(A) y =2x-1 (C) y =-2x+1
2

4、代入法: 将各个选择项逐一代入题设进行检验,从而获得正确的判断.即将各选择支分别作为条件,去 验证命题,能使命题成立的选择支就是应选的答案. 例 10.函数 y=sin(

? -2x)+sin2x 的最小正周期是( 3



(A)

? 2

(B)

?

(C) 2 ?

(D) 4 ?

例 11.函数 y=sin(2x+ (A)x=-

? 2

5? )的图象的一条对称轴的方程是( 2



(B)x=-

? 4

(C)x=

? 8

(D)x=

5? 4

5、图解法: 据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形,借助几何图形的直观性作出正确的判断.习惯 上也叫数形结合法. 例 12.在 (0,2? ) 内,使 sin x ? cos x 成立的 x 的取值范围是( )

5? , ) ? (? , ) 4 2 4 ? 5? ) (C) ( , 4 4
(A) (
2 2

? ?

(B) (

?

(D) (

?
4

4

,? )

,? ) ? (

5? 3? , ) 4 2


例 13.在圆 x +y =4 上与直线 4x+3y-12=0 距离最小的点的坐标是(

8 6 , ) 5 5 8 6 (C)(- , ) 5 5
(A) (

(B)(

6 8 ,- ) 5 5 6 8 (D)(- ,- ) 5 5


?2 ? x ? 1 x ? 0 例 14.设函数 f ( x) ? ? ,若 f ( x0 ) ? 1 ,则 x0 的取值范围是( ? 1 2 x?0 ? ?x

(A) ( ? 1 ,1) (B) ( ? 1, ? ? ) (C) ( ? ? , ? 2 ) ? (0, ? ? ) (D) ( ? ? , ? 1 ) ? ( 1, ? ? ) 2 x 例 15.函数 y=|x —1|+1 的图象与函数 y=2 的图象交点的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 6、割补法 “能割善补”是解决几何问题常用的方法,巧妙地利用割补法,可以将不规则的图形转化为 规则的图形,这样可以使问题得到简化,从而缩短解题长度. 例 16.一个四面体的所有棱长都为 2 , 四个项点在同一球面上,则此球的表面积为( (A)3 ? (B)4 ? (C)3 3? ) (D)6 ?
B A D C

7、极限法: 从有限到无限,从近似到精确,从量变到质变.应用极限思想解决某些问题,可以避开抽象、 复杂的运算,降低解题难度,优化解题过程. 例 17.对任意θ ∈(0,

? )都有( 2

) (B) sin(sinθ )>cosθ >cos(cosθ )

(A)sin(sinθ )<cosθ <cos(cosθ )

(C)sin(cosθ )<cos(sinθ )<cosθ

(D) sin(cosθ )<cosθ <cos(sinθ )

?x ? 0 ? 例18.不等式组 ? 3 ? x 2 ? x 的解集是( ?3 ? x ? 2 ? x ?
(A) (0,2) (B) (0,2.5)



(C) (0, 6 )

(D) (0,3) )

例 19.在正 n 棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是( (A) (

n?2 π ,π ) n

(B) (

(C) (0,

? ) 2

n ?1 π ,π ) n n?2 n ?1 (D) ( π, π) n n

8、估值法 由于选择题提供了唯一正确的选择支,解答又无需过程.因此可以猜测、合情推理、估算而获 得.这样往往可以减少运算量,当然自然加强了思维的层次. 例 20.如图,在多面体 ABCDEF 中,已知面 ABCD 是边长为

3 3 的正方形,EF∥AB,EF ? ,EF 与面 AC 的距离为 2,则该多面 2
体的体积为( (A) ) (B)5 (C)6 (D)
D

E

F

C

9 2

15 2

A

B

例 21. 已知过球面上 A、 B、 C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半, 且 AB=BC=CA=2, 则球面面积是( ) (A)

16 π 9

(B)

8 π 3

(C)4π

(D)

64 π 9

三、总结提炼 从考试的角度来看,解选择题只要选对就行,至于用什么“策略” , “手段”都是无关紧要的. 所以人称可以“不择手段”.但平时做题时要尽量弄清每一个选择支正确的理由与错误的原因,另 外,在解答一道选择题时,往往需要同时采用几种方法进行分析、推理,只有这样,才会在高考 时充分利用题目自身提供的信息,化常规为特殊,避免小题大作,真正做到准确 和快速 . .. .. 总之,解答选择题既要看到各类常规题的解题思想原则上都可以指导选择题的解答,但更应该 充分挖掘题目的“个性” ,寻求简便解法,充分利用选择支的暗示作用,迅速地作出正确的选择. 这样不但可以迅速、准确地获取正确答案,还可以提高解题速度,为后续解题节省时间.

第2讲

高考填空题的常用方法

数学填空题是一种只要求写出结果,不要求写出解答过程的客观性试题,是高考 数学中的三种常考题型之一,填空题的类型一般可分为:完形填空题、多选填空题、 条件与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田,创新型的 填空题将会不断出现. 因此,我们在备考时,既要关注这一新动向,又要做好应试的

技能准备.解题时,要有合理的分析和判断,要求推理、运算的每一步骤都正确无误, 还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地 解答填空题的基本要求. 数学填空题,绝大多数是计算型 (尤其是推理计算型 ) 和概念( 性质 ) 判断型的试 题,应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。求解填空题的基 本策略是要在“准” 、 “巧” 、 “快”上下功夫。常用的方法有直接法、特殊化法、数行 结合法、等价转化法等。

一、直接法
这是解填空题的基本方法,它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、 公式等知识,通过变形、推理、运算等过程,直接得到结果。 例 1 设 a ? (m ? 1)i ? 3i, b ? i ? (m ? 1) j, 其 中 i , j 为互 相 垂直 的 单位 向量, 又
(a ? b) ? (a ? b) ,则实数 m =



例 2 已知函数 f ( x) ? 是 。

ax ? 1 在区间 (?2,??) 上为增函数,则实数 a 的取值范围 x?2

例 3 现时盛行的足球彩票,其规则如下:全部 13 场足球比赛,每场比赛有 3 种结 果:胜、平、负,13 长比赛全部猜中的为特等奖,仅猜中 12 场为一等奖,其它不设 奖,则某人获得特等奖的概率为 。

二、特殊化法
当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时,可以把题 中变化的不定量用特殊值代替,即可以得到正确结果。 例 4 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c。若 a、b、c 成等差数列, cos A ? cos C ? 则 。 1 ? cos A cos C 例 5 过抛物线 y ? ax2 (a ? 0) 的焦点 F 作一直线交抛物线交于 P、Q 两点,若线段 PF、FQ 的长分别为 p、q,则
1 1 ? ? p q

。 。

例 6 求值 cos2 a ? cos2 (a ? 120? ) ? cos2 (a ? 240? ) ?

三、数形结合法

对于一些含有几何背景的填空题,若能数中思形,以形助数,则往往可以简捷地 解决问题,得出正确的结果。 例 7 如果不等式 4 x ? x 2 ? (a ? 1) x 的解集为 A,且 A ? {x | 0 ? x ? 2} ,那么实

数 a 的取值范围是

。 ? 1 例 8 求值 sin( ? arctan ) ? 3 2


y 的最大值是 x ?1

例 9 已知实数 x、y 满足 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 3 ,则



四、等价转化法
通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉” ,将问题等价地转化成便于解决的问题,从 而得出正确的结果。 例 10 不等式 x ? ax ? 例 11
3 的解集为(4,b) ,则 a= 2

,b=



不论 k 为何实数, 直线 y ? kx ? 1 与曲线 x 2 ? y 2 ? 2ax ? a 2 ? 2a ? 4 ? 0 恒有 。 。

交点,则实数 a 的取值范围是

例 12 函数 y ? 4x ? 1 ? 2 3 ? x 单调递减区间为
五、练习 1 已知函数 f ?x ? ?

. x ? 1 ,则 f ?1 ?3? ? _______
1 ,x ?N 2 ? ? . ? 的真子集的个数是 ______ ? ?

2. 集合 M ? ?x ? 1 ? log 1 10 ? ?
x

? ? ? ?

. 3. 若函数 y ? x 2 ? ?a ? 2?x ? 3, x ? ?a, b? 的图象关于直线 x ? 1 对称,则 b ? _____

x2 4. 果函数 f ? x ? ? ,那么 1? x2

?1? ?1? ?1? f ?1? ? f ?2? ? f ? ? ? f ?3? ? f ? ? ? f ?4? ? f ? ? ? _____. ?2? ? 3? ?4?
5. 已知点 P ?tan? , cos? ? 在第三象限,则角 ? 的终边在第 ____ 象限.
2 cos x

6. 不等式 ?lg 20? 7.

? 1( x ? ?0, ? ? )的解集为 __________ .

如果函数 y ? sin 2 x ? a cos 2 x 的图象关于直线 x ? ?

?
8

对称,那么 a ? _____ .

8. 设复数 z1 ? 2 sin ? ? cos? ? 向旋转

?? ?? ? ? ? ? 在复平面上对应向量 OZ1 , 将 OZ1 按顺时针方 2? ?4

3? 后 得 到 向 量 OZ 2 , OZ 2 对 应 的 复 数 为 z 2 ? r ?c o ? s ? is i n ?? , 则 4 tan ? ? ____ .

9.设非零复数 x , y 满足 ____________.

? x x ? xy ? y ? 0 ,则代数式 ? ?x? ?
2 2

? ? y? ?

2005

? y ? ?? ?x? y? ? ? ?

2005

的值是

10.

已知 ?an ? 是公差不为零的等差数列,如果 S n 是 ?an ? 的前 n 项和,那么

lim
n ??

nan ? _____. Sn

? 1 ?n是奇数? ? 5n , 11.列 ?an ? 中, a n ? ? S 2n ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? a2n , 则 2 ?? n ,(n是偶数) ? 5

lim S
n ??

2n

? ________ .

12.以下四个命题:
n 2n ? 1 ①2 〉

?n ? 3?; ?n ? 1?; ?n ? 3?;

2 ② 2 ? 4 ? 6 ? ? ? ? ? 2n ? n ? n ? 2

③凸 n 边形内角和为 f ?n ? ? ?n ? 1?? ④凸 n 边形对角线的条数是 f ?n ? ?

n?n ? 2? 2

?n ? 4?.

其中满足“假设 n ? k ?k ? N , k ? k0 ? 时命题成立,则当 n=k+1 时命题也成立’’.但不满足“当

n ? n0 ( n0 是题中给定的 n 的初始值)时命题成立”的命题序号是

.

13.某商场开展促销活动,设计一种对奖券,号码从 000000 到 999999. 若号码的奇位数字是 不同的奇数,偶位数字均为偶数时,为中奖号码,则中奖面(即中奖号码占全部号码的百分比) 为 .

14.

?x

2

. ? 1 ?x ? 2? 的展开式中 x 3 的系数是 __________
7

?

15. 过长方体一个顶点的三条棱长为 3、4、5, 且它的八个顶点都在同一球面上,这个球的 表面积是________. 16. 若四面体各棱的长是 1 或 2, 且该四面体不是正四面体, 则其体积是 (只 需写出一个可能的值) . 17. 如右图,E、F 分别是正方体的面 ADD1A1、面 BCC1B1 的中心,则四边形 BFD1E 在该正方体 的面上的射影可能是 .(要求:把可能的图的序号都填上) D1 A1 E D A 2 4 1 3 ○ ○ ○ ○ 2 18 直线 y ? x ? 1 被抛物线 y ? 4 x 截得线段的中点坐标是___________. B B1 F C C1

19 椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的一点 P 到两焦点的距离的乘积为 m,则当 m 取最大值时,点 P 的坐 9 25

标是_____________________. 20 一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分,它的函数解析式是 y ?

x2 ?0 ? y ? 20? ,在杯内 2

放一个玻璃球,要使球触及酒杯底部,则玻璃球的半径 r 的取值范围是___________.

怎样解数学综合题
当前各校都已经结束了第一轮数学复习工作而进入第二轮复习。第一轮复习一般以知识、 技能、方法的逐点扫描和梳理为主,综合运用知识为辅,第二轮复习以专题性复习为主,这 一阶段所涉及的数学问题多半是综合性问题,提高解数学综合性问题的能力是提高高考数学 成绩的根本保证。解好综合题对于那些想考一流大学,并对数学成绩期望值较高的同学来说, 是一道生命线,往往成也萧何败也萧何;对于那些定位在二流大学的学生而言,这里可是放 手一搏的好地方。 一、综合题在高考试卷中的位置与作用 数学综合性试题常常是高考试卷中把关题和压轴题。在高考中举足轻重,高考的区分层 次和选拔使命主要靠这类题型来完成预设目标。目前的高考综合题已经由单纯的知识叠加型 转化为知识、方法和能力综合型尤其是创新能力型试题。综合题是高考数学试题的精华部分, 具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一 定的创新意识和创新能力等特点。

二、解综合性问题的三字诀“三性”:综合题从题设到结论,从题型到内容,条件隐蔽, 变化多样,因此就决定了审题思考的复杂性和解题设计的多样性。在审题思考中,要把握好 “三性”,即(1)目的性:明确解题结果的终极目标和每一步骤分项目标。(2)准确性:提高 概念把握的准确性和运算的准确性。(3)隐含性:注意题设条件的隐含性。审题这第一步,不 要怕慢,其实慢中有快,解题方向明确,解题手段合理,这是提高解题速度和准确性的前提 和保证。 “三化”:(1)问题具体化(包括抽象函数用具有相同性质的具体函数作为代表来研究, 字母用常数来代表)。即把题目中所涉及的各种概念或概念之间的关系具体明确,有时可画表 格或图形,以便于把一般原理、一般规律应用到具体的解题过程中去。(2)问题简单化。即把 综合问题分解为与各相关知识相联系的简单问题,把复杂的形式转化为简单的形式。(3)问题 和谐化。即强调变换问题的条件或结论,使其表现形式符合数或形内部固有的和谐统一的特 点,或者突出所涉及的各种数学对象之间的知识联系。 “三转”:(1)语言转换能力。每个数学综合题都是由一些特定的文字语言、符号语言、 图形语言所组成。解综合题往往需要较强的语言转换能力。还需要有把普通语言转换成数学 语言的能力。(2)概念转换能力:综合题的转译常常需要较强的数学概念的转换能力。(3)数 形转换能力。解题中的数形结合,就是对题目的条件和结论既分析其代数含义又分析其几何 意义,力图在代数与几何的结合上找出解题思路。运用数形转换策略要注意特殊性,否则解 题会出现漏洞。 “三思”:(1)思路:由于综合题具有知识容量大,解题方法多,因此,审题时应考虑多 种解题思路。(2)思想:高考综合题的设置往往会突显考查数学思想方法,解题时应注意数学 思想方法的运用。(3)思辩:即在解综合题时注意思路的选择和运算方法的选择。 “三联”:(1)联系相关知识,(2)连接相似问题,(2)联想类似方法。 三、反思平时做完综合练习后,要注重反思这一环节,注意方法的优化。要把解题的过 程抽象形成思维模块,注意方法的迁移和问题的拓展。

第4讲
一、知识整合

函数与方程的思想方法

函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,方程 f(x)=0 的解 就是函数 y=f(x)的图像与 x 轴的交点的横坐标,函数 y=f(x)也可以看作二元方程 f(x)-y=0 通过方程进行研究。 就中学数学而言,函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助有关 初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问 题:二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转 化为讨论函数的有关性质, 达到化难为易,化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以 用函数的方法解决,反之,许多函数问题也可以用方程的方法来解决。函数与方程的 思想是中学数学的基本思想,也是历年高考的重点。 1.函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,建立函 数关系或构造函数,运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得 解决。函数思想是对函数概念的本质认识,用于指导解题就是善于利用函数知识或函 数观点观察、分析和解决问题。 2.方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或 者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题 获得解决。方程的数学是对方程概念的本质认识,用于指导解题就是善于利用方程或 方程组的观点观察处理问题。方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系. 3.(1) 函数和方程是密切相关的,对于函数 y=f(x),当 y=0 时,就转化为方 程 f(x)=0,也可以把函数式 y=f(x)看做二元方程 y-f(x)=0。函数问题(例如求 反函数,求函数的值域等)可以转化为方程问题来求解,方程问题也可以转化为函数 问题来求解,如解方程 f(x)=0,就是求函数 y=f(x)的零点。 (2) 函数与不等式也可以相互转化,对于函数 y=f(x),当 y>0 时,就转化为不 等式 f(x)>0,借助于函数图像与性质解决有关问题,而研究函数的性质,也离不开解 不等式。 (3) 数列的通项或前 n 项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点处理数列问 题十分重要。 (4) 函数 f(x)= (ax ? b) n (n∈N )与二项式定理是密切相关的,利用这个函数用
*

赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题。 (5) 解析几何中的许多问题,例如直线和二次曲线的位置关系问题,需要通过解 二元方程组才能解决,涉及到二次方程与二次函数的有关理论。 (6) 立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运用布列方程或建 立函数表达式的方法加以解决。 二、例题解析
Ⅰ.运用函数与方程、表达式相互转化的观点解决函数、方程、表达式问题。

例 1 已知

5b ? c (a、b、c∈R) ,则有( ?1, 5a



(A)

b 2 ? 4ac (B) b 2 ? 4ac (C) b 2 ? 4ac (D) b 2 ? 4ac


2 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 的图象如下,则( (A) b ? ? ??,0? (C) b ? (1, 2) (B) b ? ? 0,1? (D) b ? (2, ??) y

0

1

2 x

2 2 3 求使不等式 lg( xy) ≤ lg a · lg x ? lg y 对大于 1 的任意 x、y 恒成立的 a 的取值范围。

Ⅱ:构造函数或方程解决有关问题: 例 2 已知 f (t ) ? log2 ,t∈[ 2 ,8],对于 f(t)值域内的所有实数 m,不等式
t

x 2 ? mx ? 4 ? 2m ? 4 x 恒成立,求 x 的取值范围。
例 3 为了更好的了解鲸的生活习性,某动物保护组织在受伤的鲸身上装了电子监测装置,从 海洋放归点 A 处,如图(1)所示,把它放回大海,并沿海岸线由西向东不停地对它进行了长达 40 分钟的跟踪观测,每隔 10 分钟踩点测得数据如下表(设鲸沿海面游动) ,然后又在观测站 B 处 对鲸进行生活习性的详细观测,已知 AB=15km,观测站 B 的观测半径为 5km。 观测时刻 t(分钟) 10 20 30 40 跟踪观测点到放归 点的距离 a(km) 1 2 3 4 鲸位于跟踪观测点正北 方向的距离 b(km) 0.999 1.413 1.732 2.001
西 海岸 图1 B A 东

(1)据表中信息:①计算出鲸沿海岸线方向运动的速度;②试写出 a、b 近似地满足的关系式并 画出鲸的运动路线草图; (2)若鲸继续以(1)-②运动的路线运动,试预测,该鲸经过多长时间(从放归时开设计时) 可进入前方观测站 B 的观测范围?并求出可持续观测的时间及最佳观测时刻。 (注: 41 ≈6.40; 精确到 1 分钟) 练习 4.已知关于 x 的方程 sin
2

y

x + a cos x -2 a = 0 有实数解,求实数 a 的取值范围。
B x

Ⅲ:运用函数与方程的思想解决数列问题 A S <0 例 4 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3 ? 12, S12 >0, 2 13 图 , (1)求公差 d 的取值范围; (2)指出 S1 、 S 2 、 S 3 …, S12 中哪一个最大,并说明理由。

三、强化练习 1. ( x ?

1 8 ) 展开式中 x5 的系数为____________. x
1 的等差数列,则 4

2.已知方程 ( x2 ? 2x ? m)( x2 ? 2x ? n) ? 0 的四个根组成一个首项为

m? n ?(
A 1

) B

3 4

C

1 2

D

3 8


3.设双曲线的焦点 x 在轴上,两条渐近线为 y ? ?

1 x ,则该双曲线的离心率 e ? ( 2

A 5

B

5

C

5 2

D

5 4

4.已知锐角三角形 ABC 中, sin( A ? B ) ?

3 1 ,sin( A ? B) ? 。 5 5

Ⅰ.求证 tan A ? 2 tan B ; Ⅱ.设 AB ? 3 ,求 AB 边上的高。 5.甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件,已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加

1 ,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的 4 2 1 概率为 ,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为 。 9 12
工的零件不是一等品的概率为 Ⅰ.分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率; Ⅱ.从甲、乙、丙加工的零件中各取一个进行检验,求至少有一个是一等品的概率。
2 6.设 a ? 0 , f ( x) ? ax ? bx ? c ,曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0 , f ( x0 )) 处切线的倾斜角的取值范围

为 ? 0,

? ?? ,则点P到曲线 y ? f ( x) 对称轴距离的取值范围是( ? 4? ?



? 1? A. ?0, ? ? 2?
7.设双曲线 C:

? 1? B. ?0, ? ? 2a ?

? b ? C. ?0, ? ? 2a ?

? b ?1 ? D. ?0, ? ? 2a ?

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 与直线 l : x ? y ? 1 相交于两个不同的点 A、B。 2 a
5 PB ,求 a 的值。 12

Ⅰ.求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围; Ⅱ.设直线 l 与 y 轴的交点为 P,且 PA ?

第5讲

数形结合思想在解题中的应用

一、知识整合 1.数形结合是数学解题中常用的思想方法,使用数形结合的方法,很多问题能迎刃而解,且 解法简捷。所谓数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学 问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数,以数解形” ,使复杂问题简单化,抽象 问题具体化能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质,它是数学的规律性与灵活 性的有机结合。 2.实现数形结合,常与以下内容有关:①实数与数轴上的点的对应关系;②函数与图象的对 应关系;③曲线与方程的对应关系;④以几何元素和几何条件为背景,建立起来的概念,如复数、 三角函数等;⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
2 2 如 等 式 ( x ?? 2 ) ( y ?? 1 ) 4

3.纵观多年来的高考试题,巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题,可起到 事半功倍的效果,数形结合的重点是研究“以形助数” 。 4.数形结合的思想方法应用广泛,常见的如在解方程和解不等式问题中,在求函数的值域, 最值问题中,在求复数和三角函数问题中,运用数形结合思想,不仅直观易发现解题途径,而且 能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越,要注意 培养这种思想意识,要争取胸中有图,见数想图,以开拓自己的思维视野。 二、例题分析

k的取值范围。 例 1. 若关于x的方程x ? 2kx ? 3k ? 0的两根都在? 1和3之间,求
2

例 2. 解 不 等 式 x ?? 2x 例 3. 已 知 0 ? a ? 1 , 则 方 程 a ? | l o g x | 的 实 根 个 数 为 ( ) a
| x |

A. 1 个

B. 2 个

C. 3 个

D. 1 个或 2 个或 3 个

果 实 数 x 、 yx 满 足 () ? 2 ? y ? 3 , 则 的 最 大 值 为 () 例 4. 如
22

y x

1 A . 2

3 B . 3

3 C . 2

D .3

知 x , y 满 足, ? ? 1 求 y ? 3 x 的 最 大 值 与 最 小 值 例 5. 已

2 2 x y 1 6 2 5

例 6. 若 集 合 M ? ( x , y ) ( 0 ? ? ) , 集 合 N ? { ( x , y ) | y ? x ? b } ? ? ?

? x ? 3 c o s ?? y ? 3 s i n ? ??

? ? ? ? ? ? ? ?

且 M ? N ≠ ? , 则 b 的 取 值 范 围 为 。
例 7. 点 M 是 椭 圆 ? ? 1 上 一 点 , 它 到 其 中 一 个 焦 点 F 的 距 离 为 2 , N 为 1 MF1 的中点,O 表示原点,则|ON|=( )
22 x y 2 5 1 6

3 A . 2

B . 2

C . 4

D . 8

例 8. 已 知 复 数 z 满 足 | z ? 2 ? 2 i | ? 2 , 求 z 的 模 的 最 大 值 、 最 小 值 的 范 围 。 例 9. 求 函 数 y ?

s i n x ? 2 的 值 域 。 c o s x ? 2
2t ? 4 ? 6 ? t 的最值。

例 10. 求函数u ? 三、总结提炼

数形结合思想是解答数学试题的的一种常用方法与技巧,特别是在解决选择、填空题是发挥 着奇特功效,复习中要以熟练技能、方法为目标,加强这方面的训练,以提高解题能力和速度。

【模拟试题】 一、选择题: 1. 方程 l 的实根的个数为( g x ? s i n x A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 ) D. 4 个 )

2. 函数 y 的图象恰有两个公共点,则实数 a 的取值范围是( ? a | x | 与 y ?? xa A. ( 1 , ? ? ) B. (? 1 , 1 )

? ? , ? 1 ] ? [ 1 , ? ? ) C. (

? ? , ? 1 ) ? ( 1 , ? ? ) D. (


?? x3 1 |? 4 3. 设命题甲: 0 ,命题乙: |x? ,则甲是乙成立的(
A. 充分不必要条件 C. 充要条件 4. 适合 |z? 且 argz ? 1 |? 1 A. 0 个 B. 1 个 B. 必要不充分条件 D. 不充分也不必要条件

?
4

的复数 z 的个数为( C. 2 个

) D. 4 个

5. 若 不 等 式 ( ) A. 1

的解集为 { 则 a 的值为 x | m ? x ? n }| , 且 m ? n | ? 2 a , x ? a ? x( a ? 0 )

B. 2

C. 3

D. 4 )

6. 已知复数 z 的最大值为( ? 3 ? iz , || ? 2 , 则 | z ? z | 1 2 1 2 A.

1 0?2

B. 5

C. 2? 1 0
2

D. 2?2 2 )

7. 若 x 恒成立,则 a 的取值范围为( ? ( 1 , 2 )时,不等式 ( x ? 1 )? l o g x a A. (0,1) B. (1,2) C. (1,2] D. [1,2]

8. 定义在 R 上的函数 y 上为增函数,且函数 y 的图象的对称轴 ? fx ( ) 在 ( ? ? , 2 ) ? f( x ? 2 ) 为x ,则( ? 0 ) B. f() 0? f() 3 D. f() 2? f() 3

A. f ( ? 1 ) ? f() 3 C. f ( ?? 1 ) f ( ? 3 )

二、填空题: 9. 若复数 z 满足 | z| ? 2 ,则 |z? 1 ? i |的最大值为___________。 10. 若 f 对任意实数 t,都有 f ,则 f() 、 f (4) 由 1 、 f( ? 3 ) () x? x? b x ? c ( 2 ? t ) ? f ( 2 ? t )
2

小到大依次为___________。 11. 若 关 于 x 的 方 程 x ? 有四个不相等的实根,则实数 m 的取值范围为 4 |x | ?? 5 m
2

___________。 12. 函数 y 的最小值为___________。 ? x ?? 22 x ? x ?? 61 x3
2 2

13. 若 直 线 y 与 曲 线 y? 1 ?x 有 两 个 不 同 的 交 点 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 ? x ? m
2

___________。

三、解答题:

g ( ? xx ? 3 ? m ) ? l g ( 3 ? x ) 在 [ 0 , 3 ] 14. 若方程 l 上有唯一解,
2

求 m 的取值范围。 15. 若不等式 4 的解集为 A,且 A ,求 a 的取值范围。 x ? x? ( a ? 1 ) x ? { x | 0 ? x ? 2 }
2

16. 设 a ,试求下述方程有解时 k 的取值范围。 ? 0 且 a ≠ 1
2 2 l o g ( x ?? a k )l o g ( xa ? ) 2 a a

第6讲
一、知识整合

分类讨论思想在解题中的应用

1.分类讨论是解决问题的一种逻辑方法,也是一种数学思想,这种思想对于简化 研究对象,发展人的思维有着重要帮助,因此,有关分类讨论的数学命题在高考试题 中占有重要位置。 2.所谓分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对 象按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类结果得 到整个问题的解答。实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零为整”的数 学策略。 3.分类原则:分类对象确定,标准统一,不重复,不遗漏,分层次,不越级讨论。 4.分类方法:明确讨论对象,确定对象的全体,确定分类标准,正确进行分类; 逐类进行讨论,获取阶段性成果;归纳小结,综合出结论。 5.含参数问题的分类讨论是常见题型。 6.注意简化或避免分类讨论。 二、例题分析 例 1.一条直线过点(5,2) ,且在 x 轴,y 轴上截距相等,则这直线方程为( A. x ??? y70 C. x ? y ? 7 ? 0 或 250 xy ? ? B. 2 x ? 5 y ? 0 D. x ? y ? 7 ? 0 或 250 yx ? ? )

1 5 A B C 中 , 已 知, s i n A ?c o s B ? , 求 c o s C 例 2. ? 2 1 3

例 3.已知圆 x2+y2=4,求经过点 P(2,4) ,且与圆相切的直线方程。 1 关 于 x 的 不 等 式 : l o g ( 1 ?? )1 例 4. 解 a x
2 例 5. 解 不 等 式 5 ? 4 xx ? ? x

2 关 于 x 的 不 等 式 : a x ? ( a ? 1 ) x ? 1 ? 0 例 6. 解

例 7.已知等比数列的前 n 项之和为 Sn ,前 n+1 项之和为 Sn ?1 ,公比 q>0 ,令

S n 。 T , 求 l i m T n? n n ? ? S n ? 1

例 8. 设k ? R,问方程 (8 ? k ) x 2 ? ( k ? 4) y 2 ? (8 ? k )( k ? 4) 表示什么曲线?

例 9. 某车间有 10 名工人,其中 4 人仅会车工,3 人仅会钳工,另外三人车工钳 工都会, 现需选出 6 人完成一件工作, 需要车工, 钳工各 3 人, 问有多少种选派方案? 三、总结提炼 分类讨论是一种重要的数学思想方法,是一种数学解题策略,对于何时需要分类 讨论,则要视具体问题而定,并无死的规定。但可以在解题时不断地总结经验。 如果对于某个研究对象,若不对其分类就不能说清楚,则应分类讨论,另外,数 学中的一些结论,公式、方法对于一般情形是正确的,但对某些特殊情形或说较为隐 蔽的“个别”情况未必成立。这也是造成分类讨论的原因,因此在解题时,应注意挖 掘这些个别情形进行分类讨论。常见的“个别”情形略举以下几例:
“? ? b2 ? 4ac ? 0” (1) “方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有实数解”转化为 时忽略了了个别情

形:当 a=0 时,方程有解不能转化为△≥0; (2)等比数列 ?a1q n ?1? 的前 n 项和公式 Sn ? 式不再成立,而是 Sn=na1。
(3) 设直线方程时,一般可设直线的斜率为 k,但有个别情形:当直线与 x 轴垂直

a1 (1 ? q n ) 中有个别情形: q ? 1 时,公 1? q

时,直线无斜率,应另行考虑。
x y (4)若直线在两轴上的截距相等, 常常设直线方程为 ? ? 1, , 但有个别情形: a=0 a a 时,再不能如此设,应另行考虑。

【模拟试题】 一. 选择题:
3 2 1. 若 a 的大小关系 ? 0 , 且 a ? 1 , p ? l o g ( a ? a ? 1 ) , q ? l o g ( a ? a ? 1 ) , 则 p 、 q a a

为(

) A. p ? q C. p?q B. p?q D. a ? 1时,p ? q ; 0 ?? a1 时 , pq ?

2 2. 若 A ,且 A ? R ? ? ? ,则实数中的取值范围是 ?? x | x ( p ? 2 ) x ? 1 ? 0 , x ? R

?

?



) A. p?? 2 C. p?2 B. p?? 2 D. p?? 4

3. 设 A= ? ( ) x | x ? a ? 0 , B ? x | a x ? 1 ? 0 , 且 A ? B ? B , 则 实 数 a 的 值 为 ? ? ? A. 1 B. ?1 C. 1 或?1 D. 1 , ? 1 或 0 )

2 3 6 4. 设 是 的值为( ? 的 ? 次 方 根 , 则 ? ? ? ? ? … ?

?

? ? ??
C. 7

A. 1

B. 0

D. 0 或 7 )

5. 一条直线过点(5,2) ,且在 x 轴,y 轴上截距相等,则这直线方程为( A. x ??? y70 B. 2 x ? 5 y ? 0 C. x ? y ? 7 ? 0 或 250 xy ? ? D. x ? y ? 7 ? 0 或 250 yx ? ?
n n i n x ? c o s x ? 1 , 则 s i n x ? c o s x ( n ? N ) 的 值 为 6. 若 s ( )

A. 1

B. ?1

或?1 C. 1

D. 不能确定

7. 已知圆锥的母线为 l,轴截面顶角为 ? ,则过此圆锥的顶点的截面面积的最大值 为( ) 1 A. l 2 ? sin? 2
1 2 l 2

B.

C. l2 sin?

D. 以上均不对

2 8. 函数 fx 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧,则 ( ) ? m x ?? ( mx 3 )? 1

实数 m 的取值范围为(



0 , ? ? A. ? ? , 1 C. ?0 ?
二. 填空题

? ? , 1 B. ? ?
D. ( 0 , 1 )

9. 若圆柱的侧面展开图是边长为 4 和 2 的矩形,则圆柱的体积是______________。 2 10. 若 loga ?1,则 a 的取值范围为________________。 3
2 2 11. 与 圆 x 相切,且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 ? ( y ? 2 ) ? 1

____________。 12. 在 50 件产品中有 4 件是次品,从中任抽取 5 件,至少有 3 件次品的抽法共有 ______________种(用数字作答)

l o g x ? 2 ? 2 l o g x ? 1 ( a ?? 0 且 a 1 ) 13. 不等式 3 的解集为_____________。 a a

三. 解答题: 14. 已知椭圆的中心在原点,集点在坐标轴上,焦距为 2 3 ,另一双曲线与此椭圆 有公共焦点,且其实轴比椭圆的长轴小 8,两曲线的离心率之比为 3:7,求此椭圆、 双曲线的方程。
2 2 o g ( x ?? a k )l o g ( xa ? ) 15. 设 a>0 且 a? ,试求使方程 l 有解的 k 的取值范围。 1 2 a a

第7讲

化归与转化的思想在解题中的应用

一、知识整合 1.解决数学问题时,常遇到一些问题直接求解较为困难,通过观察、分析、类比、 联想等思维过程, 选择运用恰当的数学方法进行变换, 将原问题转化为一个新问题 (相 对来说,对自己较熟悉的问题) ,通过新问题的求解,达到解决原问题的目的,这一思 想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”。 2.化归与转化思想的实质是揭示联系,实现转化。除极简单的数学问题外,每个 数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。从这个意义上讲,解决数学问题 就是从未知向已知转化的过程。化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想,解题 的过程实际上就是一步步转化的过程。数学中的转化比比皆是,如未知向已知转化, 复杂问题向简单问题转化,新知识向旧知识的转化,命题之间的转化,数与形的转化, 空间向平面的转化,高维向低维转化,多元向一元转化,高次向低次转化,超越式向 代数式的转化,函数与方程的转化等,都是转化思想的体现。 3.转化有等价转化和非等价转化。等价转化前后是充要条件,所以尽可能使转化 具有等价性;在不得已的情况下,进行不等价转化,应附加限制条件,以保持等价性, 或对所得结论进行必要的验证。 4.化归与转化应遵循的基本原则: (1)熟悉化原则:将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我们运用熟知的知识、 经验和问题来解决。 (2)简单化原则:将复杂的问题化归为简单问题,通过对简单问题的解决,达到解 决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据。 (3)和谐化原则:化归问题的 条件或结论,使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式,或者转化命题, 使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。 (4)直观化原则: 将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。 (5)正难则反原则:当问题正面讨 论遇到困难时,可考虑问题的反面,设法从问题的反面去探求,使问题获解。 二、例题分析 例 1.某厂 2001 年生产利润逐月增加,且每月增加的利润相同,但由于厂方正在 改造建设,元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等,随着投入资金的逐月增加, 且每月增加投入的百分率相同, 到 12 月投入建设资金又恰好与 12 月的生产利润相同, 问全年总利润 m 与全年总投入 N 的大小关系是 A. m>N B. m<N C.m=N ( D.无法确定 )

例 2. 如果, 三棱锥 P—ABC 中, 已知 PA⊥BC,PA=BC=l,PA,BC 的公垂线 ED=h.求 1 证三棱锥 P—ABC 的体积 V ? l 2 h . 6

例 3.在 ( x2 ? 3x ? 2)5 的展开式中 x 的系数为( ). (A)160 (B)240 (C)360 (D)800

例 4.若不等式 x2 ? px ? 4x ? p ? 3 对一切 0 ? p ? 4 均成立,试求实数 x 的取值范 围。 三、总结提炼 1. 熟练、 扎实地掌握基础知识、 基本技能和基本方法是转化的基础; 丰富的联想、 机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁;培养训练自己自觉的化归与转化意 识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼,要积极 主动有意识地去发现事物之间的本质联系。 “抓基础,重转化”是学好中学数学的金钥 匙。 2.为了实施有效的化归,既可以变更问题的条件,也可以变更问题的结论,既可 以变换问题的内部结构,又可以变换问题的外部形式,既可以从代数的角度去认识问 题,又可以从几何的角度去解决问题。

第8讲

高考中常用数学的方法

------配方法、待定系数法、换元法
一、知识整合 配方法、 待定系数法、 换元法是几种常用的数学基本方法.这些方法是数学思想的 具体体现,是解决问题的手段,它不仅有明确的内涵,而且具有可操作性,有实施的步骤 和作法. 配方法是对数学式子进行一种定向的变形技巧,由于这种配成“完全平方”的恒等 变形,使问题的结构发生了转化,从中可找到已知与未知之间的联系,促成问题的解决. 待定系数法的实质是方程的思想 ,这个方法是将待定的未知数与已知数统一在方 程关系中,从而通过解方程(或方程组)求得未知数. 换元法是一种变量代换,它是用一种变数形式去取代另一种变数形式,从而使问题 得到简化,换元的实质是转化. 二、例题解析 例 1.已知长方体的全面积为 11,其 12 条棱的长度之和为 24,则这个长方体的一 条对角线长为( ). (A) 2 3 (B) 14 (C)5 (D)6

例 2.设 F1 和 F2 为双曲线 F1PF2=90°,则Δ F1PF2 的面积是(

x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点 , 点 P 在双曲线上且满足∠ 4

).

(A)1

(B)

5 2

(C)2

(D) 5
5 ,已知点 P(0,5) 2

例 3.设双曲线的中心是坐标原点,准线平行于 x 轴,离心率为 到该双曲线上的点的最近距离是 2,求双曲线方程.

例 4.设 f(x)是一次函数,且其在定义域内是增函数,又 f ?1[ f ?1 ( x)] ? 4x ? 12 ,试求 f(x)的表达式. 例 5.如图,已知在矩形 ABCD 中,C(4,4),点 A 在曲线 x 2 ? y 2 ? 9 (x>0,y>0)上移 动,且 AB,BC 两边始终分别平行于 x 轴,y 轴,求使矩形 ABCD 的面积为最小时点 A 的 坐标. 例 6.设方程 x2+2kx+4=0 的两实根为 x1,x2,若 (

x1 2 x ) ? ( 2 ) 2 ≥3,求 k 的取值范围. x2 x1

例 7.点 P(x,y)在椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上移动时,求函数 u=x2+2xy+4y2+x+2y 的最大值. 4

( x ? 3) 2 y 2 ? ? 1 相交于 A,B 两点,若以 AB 为直 例 8.过坐标原点的直线 l 与椭圆 6 2

径的圆恰好通过椭圆的左焦点 F,求直线 l 的倾斜角. 例 9.设集合 A={ x | 4 x ? 2 x?1 ? a ? 0, x ? R } (1)若 A 中有且只有一个元素,求实数 a 的取值集合 B; (2)当 a∈B 时,不等式 x2-5x-6<a(x-4)恒成立,求 x 的取值范围.

第9讲

函数问题的题型与方法

三、函数的概念 函数有二种定义,一是变量观点下的定义,一是映射观点下的定义.复习中不能仅满足对这 两种定义的背诵,而应在判断是否构成函数关系,两个函数关系是否相同等问题中得到深化,更 应在有关反函数问题中正确运用.具体要求是: 1.深化对函数概念的理解,明确函数三要素的作用,并能以此为指导正确理解函数与其反函 数的关系. 2.系统归纳求函数定义域、值域、解析式、反函数的基本方法.在熟练有关技能的同时,注 意对换元、待定系数法等数学思想方法的运用. 3.通过对分段定义函数,复合函数,抽象函数等的认识,进一步体会函数关系的本质,进一 步树立运动变化,相互联系、制约的函数思想,为函数思想的广泛运用打好基础. 本部分的难点首先在于克服“函数就是解析式”的片面认识,真正明确不仅函数的对应法则, 而且其定义域都包含着对函数关系的制约作用,并真正以此作为处理问题的指导.其次在于确定 函数三要素、求反函数等课题的综合性,不仅要用到解方程,解不等式等知识,还要用到换元思

想、方程思想等与函数有关概念的结合. Ⅰ 深化对函数概念的认识 例 1. (重庆市)函数 y ? A、 [1, ??) 例 2. (天津市)函数 y ? 3 x

log 1 (3x ? 2) 的定义域是( )
2

B、 ( 2 3 , ??)
2

C、 [ 2 3 ,1]

D、 ( 2 3 ,1]

?1

( ? 1 ? x ? 0 )的反函数是( ) B、 y ? ? 1 ? log 3 x ( x ? ) D、 y ? ? 1 ? log 3 x ( ? x ? 1)

A、 y ? 1 ? log 3 x ( x ? ) C、 y ? 1 ? log 3 x ( ? x ? 1) 例 3. (北京市)函数 f ( x) ? ?

1 3

1 3

1 3

1 3

? x, x ? P, 其中 P 、 M 为实数集 R 的两个非空子集,又规定 ?? x, x ? M ,

, fM ,给出下列四个判断: f ( Py ){ ? | y ? f ( x ) , x ? P } (){ ? y | yfx ? ( ) , x ? M } ①若 P ,则 f ②若 P ,则 f ? M ? ? ? M ? ? () P ? f ( M ) ? ? () P ? f ( M ) ? ? ③若 P ? M ? R ,则 f ( P) ? f (M ) ? R 其中正确判断有( B ) A、 1 个 B、 2 个 ④若 PM ,则 f ( P) ? f (M ) ? R ? ? R

C、 3 个

D、 4 个

Ⅱ 系统小结确定函数三要素的基本类型与常用方法 1.求函数定义域的基本类型和常用方法 由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表,实际上是求使给定式有意义的 x 的取值范 围.它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练.这里的最高层次要求是给出的解析式还含 有其他字 例 2.已知函数 f ? x ? 定义域为(0,2),求下列函数的定义域:

2.求函数值域的基本类型和常用方法 函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的.其类型依解析式的特点分可分三类:(1) 求常见函数值域;(2)求由常见函数复合而成的函数的值域;(3)求由常见函数作某些“运算”而 得函数的值域. 3.求函数解析式举例 例 3.已知 xy<0,并且 4x -9y =36.由此能否确定一个函数关系 y=f(x)?如果能,求出 其解析式、定义域和值域;如果不能,请说明理由.
2 2

四、函数的性质、图象 (一)函数的性质
函数的性质是研究初等函数的基石,也是高考考查的重点内容.在复习中要肯于在对定义的 深入理解上下功夫. 复习函数的性质,可以从“数”和“形”两个方面,从理解函数的单调性和奇偶性的定义入 手,在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固,在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用 问题的过程中得以深化.具体要求是: 1.正确理解函数单调性和奇偶性的定义,能准确判断函数的奇偶性,以及函数在某一区间的 单调性,能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性. 2.从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性,深化对函数性质几何特征的理解和运用, 归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法. 3.培养学生用运动变化的观点分析问题,提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法 解决问题的能力. 这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解. 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论.函数 y=f(x)在给定区间上的单调性,反映了函 数在区间上函数值的变化趋势,是函数在区间上的整体性质,但不一定是函数在定义域上的整体 性质.函数的单调性是对某个区间而言的,所以要受到区间的限制. 对函数奇偶性定义的理解,不能只停留在 f(-x)=f(x)和 f(-x)=-f(x)这两个等式上,要明确 对定义域内任意一个 x, 都有 f(-x)=f(x), f(-x)=-f(x)的实质是: 函数的定义域关于原点对称. 这 是函数具备奇偶性的必要条件.稍加推广,可得函数 f(x)的图象关于直线 x=a 对称的充要条件是 对定义域内的任意 x,都有 f(x+a)=f(a-x)成立.函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反 映. 这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用.根据已知条件,调动相关知识,选择恰 当的方法解决问题,是对学生能力的较高要求. 1.对函数单调性和奇偶性定义的理解 例 4.下面四个结论:①偶函数的图象一定与 y 轴相交;②奇函数的图象一定通过原点;③ 偶函数的图象关于 y 轴对称;④既是奇函数又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x∈R),其中正确命 题的个数是 ( ) A.1 2.复合函数的性质 复合函数 y=f[g(x)]是由函数 u=g(x)和 y=f(u)构成的,因变量 y 通过中间变量 u B.2 C.3 D.4

与自变量 x 建立起函数关系,函数 u=g(x)的值域是 y=f(u)定义域的子集.
复合函数的性质由构成它的函数性质所决定,具备如下规律:

(1)单调性规律 如果函数 u=g(x)在区间 [m, n] 上是单调函数, 且函数 y=f(u)在区间[g(m), g(n)] (或[g(n), g(m)])上也是单调函数,那么 若 u=g(x),y=f(u)增减性相同,则复合函数 y=f[g(x)]为增函数;若 u=g(x),y= f(u)增减 性不同,则 y=f[g(x)]为减函数. (2)奇偶性规律 若函数 g(x),f(x),f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的,则 u=g(x),y=f(u)都是奇函数 时,y=f[g(x)]是奇函数;u=g(x),y=f(u)都是偶函数,或者一奇一偶时,y= f[g(x)]是偶函数. 例 5.若 y=log a (2-ax)在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是( A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.[2,+∞) )

说明:本题为 1995 年全国高考试题,综合了多个知识点,无论是用直接法,还是用排除法都 需要概念清楚,推理正确. 3.函数单调性与奇偶性的综合运用 例 6.甲、乙两地相距 Skm,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 c km/h,已知汽车 每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 v(km/h)的平方成 正比,比例系数为 b;固定部分为 a 元. (1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(km/h)的函数,并指出这个函数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶.

(二)函数的图象
1.掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法. 2.会利用函数图象,进一步研究函数的性质,解决方程、不等式中的问题. 3.用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题. 4.掌握知识之间的联系,进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力. 以解析式表示的函数作图象的方法有两种,即列表描点法和图象变换法,掌握这两种方法是 本节的重点. 运用描点法作图象应避免描点前的盲目性,也应避免盲目地连点成线.要把表列在关键处, 要把线连在恰当处.这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研 究.而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段,是一个难点.用图象变换法作 函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换,以及确定怎样的变换.这也是个难点.

1.作函数图象的一个基本方法 例 7.作出下列函数的图象(1)y=|x-2|(x+1);(2)y=10|lgx|. 2.作函数图象的另一个基本方法——图象变换法. 一个函数图象经过适当的变换(如平移、伸缩、对称、旋转等),得到另一个与之相关的图象, 这就是函数的图象变换. 在高中,主要学习了三种图象变换:平移变换、伸缩变换、对称变换. (1)平移变换 函数 y=f(x+a)(a≠0)的图象可以通过把函数 y=f(x)的图象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a| 个单位而得到; 函数 y=f(x)+b(b≠0)的图象可以通过把函数 y=f(x)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b| 个单位而得到. (2)伸缩变换 函数 y=Af(x)(A>0,A≠1)的图象可以通过把函数 y=f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(A>1) 或缩短(0<A<1)成原来的 A 倍,横坐标不变而得到. 函数 y=f(ω x)(ω >0,ω ≠1)的图象可以通过把函数 y=f(x)的图象上

而得到. (3)对称变换 函数 y=-f(x)的图象可以通过作函数 y=f(x)的图象关于 x 轴对称的图形而得到. 函数 y=f(-x)的图象可以通过作函数 y=f(x)的图象关于 y 轴对称的图形而得到. 函数 y=-f(-x)的图象可以通过作函数 y=f(x)的图象关于原点对称的图形而得到. 函数 y=f-1(x)的图象可以通过作函数 y=f(x)的图象关于直线 y=x 对称的图形而得到。 函数 y=f(|x|)的图象可以通过作函数 y=f(x)在 y 轴右方的图象及其与 y 轴对称的图形而得 到. 函数 y=|f(x)|的图象可以通过作函数 y=f(x)的图象, 然后把在 x 轴下方的图象以 x 轴为对称 轴翻折到 x 轴上方,其余部分保持不变而得到. 例 8.已知 f(x+199)=4x +4x+3(x∈R),那么函数 f(x)的最小值为____.
2

五、函数综合应用
函数的综合复习是在系统复习函数有关知识的基础上进行函数的综合应用: 1.在应用中深化基础知识.在复习中基础知识经历一个由分散到系统,由单一到综合的发展 过程.这个过程不是一次完成的,而是螺旋式上升的.因此要在应用深化基础知识的同时,使基 础知识向深度和广度发展. 2.以数学知识为载体突出数学思想方法.数学思想方法是观念性的东西,是解决数学问题的 灵魂,同时它又离不开具体的数学知识.函数内容最重要的数学思想是函数思想和数形结合的思 想.此外还应注意在解题中运用的分类讨论、换元等思想方法.解较综合的数学问题要进行一系 列等价转化或非等价转化.因此本课题也十分重视转化的数学思想. 3. 重视综合运用知识分析问题解决问题的能力和推理论证能力的培养.函数是数学复习的开 始,还不可能在大范围内综合运用知识.但从复习开始就让学生树立综合运用知识解决问题的意 识是十分重要的.推理论证能力是学生的薄弱环节,近几年高考命题中加强对这方面的考查,尤 其是对代数推理论证能力的考查是十分必要的.本课题在例题安排上作了这方面的考虑. 具体要求是: 1.在全面复习函数有关知识的基础上,进一步深刻理解函数的有关概念,全面把握各类函数 的特征,提高运用基础知识解决问题的能力. 2.掌握初等数学研究函数的方法,提高研究函数的能力,重视数形结合数学思想方法的运用 和推理论证能力的培养. 3.初步沟通函数与方程、不等式及解析几何有关知识的横向联系,提高综合运用知识解决问 题的能力. 4.树立函数思想,使学生善于用运动变化的观点分析问题. 本部分内容的重点是:通过对问题的讲解与分析,使学生能较好的调动函数的基础知识解决 问题,并在解决问题中深化对基础知识的理解,深化对函数思想、数形结合思想的理解与运用. 难点是:函数思想的理解与运用,推理论证能力、综合运用知识解决问题能力的培养与提高. 函数的综合运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题.函数描述了自然界中 量的依存关系,是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画,用联系和变化的观点提出 数学对象,抽象其数学特征,建立函数关系.因此,运动变化、相互联系、相互制约是函数思想 的精髓,掌握有关函数知识是运用函数思想的前提,提高用初等数学思想方法研究函数的能力, 树立运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的关键.

1.准确理解、熟练运用,不断深化有关函数的基础知识
在中学阶段函数只限于定义在实数集合上的一元单值函数,其内容可分为两部分.第一部分 是函数的概念和性质,这部分的重点是能从变量的观点和集合映射的观点理解函数及其有关概念, 掌握描述函数性质的单调性、奇偶性、周期性等概念;第二部分是七类常见函数(一次函数、二次 函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数)的图象和性质.第一部分是理论基础,第二 部分是第一部分的运用与发展.
例 9.已知函数 f(x),x∈F,那么集合{(x,y)|y=f(x),x∈F}∩{(x,y)|x=1}中所含元素的个

数是. ( A.0

) B.1 C.0 或 1 D.1 或 2

2.掌握研究函数的方法,提高研究函数问题的能力
高中数学对函数的研究理论性加强了, 对一些典型问题的研究十分重视, 如求函数的定义域, 确定函数的解析式,判断函数的奇偶性,判断或证明函数在指定区间的单调性等,并形成了研究 这些问题的初等方法,这些方法对分析问题能力,推理论证能力和综合运用数学知识能力的培养 和发展是十分重要的. 函数、 方程、 不等式是相互联系的. 对于函数 f(x)与 g(x), 令 f(x)=g(x), f(x)>g(x)或 f(x)

<g(x)则分别构成方程和不等式,因此对于某些方程、不等式的问题用函数观点认识是十分有益 的;方程、不等式从另一个侧面为研究函数提供了工具.

例 10.方程 lgx+x=3 的解所在区间为(
A.(0,1) C.(2,3) B.(1,2) D.(3,+∞)



例 11.(1)一次函数 f(x)=kx+h(k≠0),若 m<n 有 f(m)>0,f(n)>0,则对于任意 x∈(m, n)都有 f(x)>0,试证明之;
(2)试用上面结论证明下面的命题: 若 a,b,c∈R 且|a|<1,|b|<1,|c|<1,则 ab+bc+ca>-1. 例 12. 定义在 R 上的单调函数 f(x)满足 f(3)=log 2 3 且对任意 x, y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求证 f(x)为奇函数; (2)若 f(k·3 )+f(3 -9 -2)<0 对任意 x∈R 恒成立,求实数 k 的取值范围.
x x x

六、强化训练
1.对函数 f ( x) ? 3x ? ax ? b 作代换 x=g(t),则总不改变 f(x)值域的代换是
2

(

)

A. g (t ) ? log1 t
2

B. g (t ) ? ( )

1 2

t

C.g(t)=(t-1)2 D.g(t)=cost 2.方程 f(x,y)=0 的曲线如图所示,那么方程 f(2-x,y)=0 的曲线是

(

)

3.已知命题 p:函数 y ? log0.5 ( x 2 ? 2x ? a) 的值域为 R,命题 q:函数 y ? ?(5 ? 2a) x 是减函数。若 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,则实数 a 的取值范围是 A.a≤1 B.a<2 C.1<a<2 D.a≤1 或 a≥2 4.方程 lgx+x=3 的解所在的区间为 ( ) A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+∞) 5.如果函数 f(x)=x +bx+c 对于任意实数 t,都有 f(2+t)=f(2-t),那么( ) A. f(2)<f(1)<f(4) B. f(1)<f(2)<f(4) C. f(2)<f(4)<f(1) D. f(4)<f(2)<f(1) 6.已知函数 y=f(x)有反函数,则方程 f(x)=a (a 是常数) ( ) A.有且仅有一个实根 B.至多一个实根 C.至少一个实根 D.不同于以上结论 7.已知 sinθ +cosθ = A. -
2

4 3

π 1 ,θ ∈( ,π ),则 tanθ 的值是 5 2 3 4 B. - C. D. 4 3





3 4

8.已知等差数列的前 n 项和为 S n ,且 S =S q
2

p

(p≠q,p、q∈N),则 S p ? q =_________。

9.关于 x 的方程 sin x+cosx+a=0 有实根,则实数 a 的取值范围是__________。 10.正六棱锥的体积为 48,侧面与底面所成的角为 45°,则此棱锥的侧面积为___________。 11. 建造一个容积为 8m , 深为 2m 的长方体无盖水池, 如果池底和池壁的造价每平方米分别为 120 元和 80 元,则水池的最低造价为___________。 12.已知函数 f ( x ) 满足: f (a ? b) ? f (a ) ? f (b) , f (1) ? 2 ,则
3

f 2 (1) ? f (2) f 2 (2) ? f (4) f 2 (3) ? f (6) f 2 (4) ? f (8) ? ? ? ? f (1) f (3) f (5) f (7)
2



13.已知 a, b, c 为正整数,方程 ax ? bx ? c ? 0 的两实根为 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,且 | x1 |? 1,| x2 |? 1 , 则 a ? b ? c 的最小值为________________________。 14.设函数 f(x)=lg(ax +2x+1). (1)若 f(x)的定义域是 R,求实数 a 的取值范围; (2)若 f(x)的值域是 R,求实数 a 的取值范围. 15.设不等式 2x-1>m(x -1)对满足|m|≤2 的一切实数 m 的取值都成立。求 x 的取值范围。 16. 设等差数列{a n }的前 n 项的和为 S n ,已知 a 3 =12,S 12 >0,S 13 <0 。 ①.求公差 d 的取值范围; ②.指出 S 1 、S 2 、…、S 12 中哪一个值最大,并说明理由。(1992 年全国高考) 17. 如图,AB 是圆 O 的直径,PA 垂直于圆 O 所在平面,C 是圆周上任一 P 点,设∠BAC=θ ,PA=AB=2r,求异面直线 PB 和 AC 的距离。 18. 已知△ABC 三内角 A、B、C 的大小成等差数列,且 tanA·tanC=2 M A H B + 3, 又知顶点 C 的对边 c 上的高等于 4 3 ,求△ABC 的三边 a、 b、 D C c 及三内角。
2
2

1 ? 2x ? 4 x a 19. 设 f(x)=lg ,如果当 x∈(-∞,1]时 f(x)有意义,求 3
实数 a 的取值范围。 20.已知偶函数 f(x)=cos?sinx-sin(x-?)+(tan?-2)sinx-sin?的最小值是 0,求 f(x)的最大值 及此 时 x 的集合. 21.已知 x ? R ,奇函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 在 [1, ??) 上单调.
3 2

(Ⅰ)求字母 a, b, c 应满足的条件; (Ⅱ)设 x0 ? 1, f ( x0 ) ? 1,且满足 f [ f ( x0 )] ? x0 ,求证: f ( x0 ) ? x0 .

第 10 讲

不等式

不等式这部分知识,渗透在中学数学各个分支中,有着十分广泛的应用.因此不等式应用 问题体现了一定的综合性、 灵活多样性, 对数学各部分知识融会贯通, 起到了很好的促进作用. 在 解决问题时,要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案,最终归结为不 等式的求解或证明.不等式的应用范围十分广泛,它始终贯串在整个中学数学之中.诸如集合 问题,方程(组)的解的讨论,函数单调性的研究,函数定义域的确定,三角、数列、复数、立体 几何、解析几何中的最大值、最小值问题,无一不与不等式有着密切的联系,许多问题,最终 都可归结为不等式的求解或证明。

一、知识整合
1.解不等式的核心问题是不等式的同解变形,不等式的性质则是不等式变形的理论依据, 方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关,要善于把它们有机地联系起来,互相 转化.在解不等式中,换元法和图解法是常用的技巧之一.通过换元,可将较复杂的不等式化归 为较简单的或基本不等式,通过构造函数、数形结合,则可将不等式的解化归为直观、形象的图 形关系,对含有参数的不等式,运用图解法可以使得分类标准明晰. 2.整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础,利用不等式的性质及函 数的单调性,将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想,分 类、换元、数形结合是解不等式的常用方法.方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切 相关,要善于把它们有机地联系起来,相互转化和相互变用. 3.在不等式的求解中,换元法和图解法是常用的技巧之一,通过换元,可将较复杂的不等式 化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数,将不等式的解化归为直观、形象的图象关系,对 含有参数的不等式,运用图解法,可以使分类标准更加明晰. 4. 证明不等式的方法灵活多样, 但比较法、 综合法、 分析法仍是证明不等式的最基本方法. 要 依据题设、题断的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维, 并掌握相应的步骤,技巧和语言特点.比较法的一般步骤是:作差(商)→变形→判断符号(值). 5.证明不等式的方法多样,内容丰富、技巧性较强.在证明不等式前,要依据题设和待证不 等式的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法.通过等式或不等式的运算,将待证的不等式 化为明显的、熟知的不等式,从而使原不等式得到证明;反之亦可从明显的、熟知的不等式入手, 经过一系列的运算而导出待证的不等式,前者是“执果索因” ,后者是“由因导果” ,为沟通联系 的途径,证明时往往联合使用分析综合法,两面夹击,相辅相成,达到欲证的目的. 6.不等式应用问题体现了一定的综合性.这类问题大致可以分为两类:一类是建立不等式、 解不等式;另一类是建立函数式求最大值或最小值.利用平均值不等式求函数的最值时,要特别 注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可,有时需要适当拼凑,使之符合这三个条件.利用 不等式解应用题的基本步骤:1.审题,2.建立不等式模型,3.解数学问题,4.作答。 7.通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何 等各部分知识中的应用,深化数学知识间的融汇贯通,从而提高分析问题解决问题的能力.在应 用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中,提高学生数学素质及创新意识.

二、方法技巧
1.解不等式的基本思想是转化、化归,一般都转化为最简单的一元一次不等式(组)或一元二 次不等式(组)来求解, 。 2.解含参数不等式时, 要特别注意数形结合思想, 函数与方程思想, 分类讨论思想的录活运用。 3.不等式证明方法有多种,既要注意到各种证法的适用范围,又要注意在掌握常规证法的基

础上,选用一些特殊技巧。如运用放缩法证明不等式时要注意调整放缩的度。 4.根据题目结构特点,执果索因,往往是有效的思维方法。

三、例题分析
b)∈M,且对 M 中的 其它元素(c,d),总有 c≥a,则 a=____. 例 2.已知非负实数 x , y 满足 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 且 3x ? 2 y ? 7 ? 0 ,则 x ? y 的最大值是( ) A.

7 3

B.

8 3

C. 2

D. 3

例 3.数列 xn 由下列条件确定: x1 ? a ? 0, x n ?1 ? (1)证明:对于 n ? 2, 总有xn ?

? ?

1? a ? xn ? ? 2? xn

? ? ? ?, n ? N ?

a,

(2)证明:对于 n ? 2,总有xn ? xn ?1 . 例 4.解关于 x 的不等式: x x ? a ?

2a 2 ?a ? 0? 9

分析:本例主要复习含绝对值不等式的解法,分类讨论的思想。本题的关键不是对参数 a 进行讨 论,而是去绝对值时必须对末知数进行讨论,得到两个不等式组,最后对两个不等式组的解集 求并集,得出原不等式的解集。 例 5.若二次函数 y=f(x)的图象经过原点,且 1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4,求 f(-2)的范围. 分析:要求 f(-2)的取值范围,只需找到含人 f(-2)的不等式(组).由于 y=f(x)是二次函数,所以应先 将 f(x)的表达形式写出来.即可求得 f(-2)的表达式,然后依题设条件列出含有 f(-2)的不等式(组), 即可求解. 例 6.设函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象与两直线 y=x,y= ? x,均不相交.试证明对一切 x ? R 都有

ax 2 ? bx ? c ?

1 . 4a

例 7. 某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆, 预计此后每年报废上一年末汽车保有量的 6%, 并且每年新增汽车数量相同。为了保护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过 60 万辆,那么每 年新增汽车数量不应超过多少辆?

第 11 讲

数列问题的题型与方法

数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面,等差 数列,等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试题经常是综合题,经常把数列知识和指数 函数、对数函数和不等式的知识综合起来,试题也常把等差数列、等比数列,求极限和数学归纳 法综合在一起。探索性问题是高考的热点,常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学 思想,在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想,以及配方法、换元 法、待定系数法等基本数学方法。 近几年来,高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面; (1)数列本身的有关知识,其中 有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。 (2)数列与其它知识的结合,其中 有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。 (3)数列的应用问题,其中主要是以增长率 问题为主。 试题的难度有三个层次, 小题大都以基础题为主, 解答题大都以基础题和中档题为主, 只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。 一、知识整合 1.在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前 n 项和公式的基础上,系统掌握 解等差数列与等比数列综合题的规律,深化数学思想方法在解题实践中的指导作用,灵活地运用 数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题; 2. 在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、 基本技能和基本数学思想方法的认识, 沟通各类知识的联系,形成更完整的知识网络,提高分析问题和解决问题的能力, 进一步培养学生阅读理解和创新能力,综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力. 3.培养学生善于分析题意,富于联想,以适应新的背景,新的设问方式,提高学生用函数的 思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法. 二、方法技巧 1.判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法: (1)定义法:对于 n≥2 的任意自然数,验证 an ? an ?1 (an / an ?1 ) 为同一常数。 (2)通项公式法: ①若 ②若 = +(n-1)d= +(n-k)d ,则 ?an ? 为等差数列; ,则 ?an ? 为等比数列。

(3)中项公式法:验证中项公式成立。 2. 在等差数列 ?an ? 中,有关 Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解: (1)当 a1 >0,d<0 时,满足 ?

? am ? 0 的项数 m 使得 Sm 取最大值. ?am?1 ? 0

(2)当 a1 <0,d>0 时,满足 ?

? am ? 0 的项数 m 使得 ?am?1 ? 0

取最小值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 3.数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。 三、注意事项 1 . 证 明 数 列 ?an ? 是 等 差 或 等 比 数 列 常 用 定 义 , 即 通 过 证 明 an?1 ? an ? an ? an?1 或

an?1 a ? n 而得。 an a n?1
2.在解决等差数列或等比数列的相关问题时, “基本量法”是常用的方法,但有时灵活地运 用性质,可使运算简便,而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。 3.注意 sn 与 an 之间关系的转化。如:

? S1 ? 0 an = ? ? Sn ? Sn ?1 ? 0

n ?1 , n?2

an = a1 ? ? (ak ? ak ?1 ) .
k ?2

n

4.数列极限的综合题形式多样,解题思路灵活,但万变不离其宗,就是离不开数列极限的概 念和性质,离不开数学思想方法,只要能把握这两方面,就会迅速打通解题思路. 5.解综合题的成败在于审清题目,弄懂来龙去脉,透过给定信息的表象,抓住问题的本质,揭示 问题的内在联系和隐含条件,明确解题方向,形成解题策略. 四、例题解析 例 1.已知数列{a n }是公差 d≠0 的等差数列,其前 n 项和为 S n .

(2)过点 Q 1 (1,a 1 ),Q 2 (2,a 2 )作直线 12,设 l 1 与 l 2 的夹角为θ , 例 2.已知数列 ?an ? 中, S n 是其前 n 项和,并且 Sn?1 ? 4an ? 2(n ? 1, 2, ⑴设数列 bn ? an?1 ? 2an (n ? 1,2,??) ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列;

), a1 ? 1 ,

an , (n ? 1,2, ??) ,求证:数列 ?cn ? 是等差数列; 2n ⑶求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和。
⑵设数列 c n ? 分析:由于{b n }和{c n }中的项都和{a n }中的项有关,{a n }中又有 S n?1 =4a n +2,可由 S n ? 2 -S n?1 作 切入点探索解题的途径. 2.解综合题要总揽全局,尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件,在后面求解 的过程中适时应用.

例 3. (04 年浙江)设数列{an}的前项的和 Sn= (an-1) (n ? N +),(1)求 a1;a2; (2)求证数列{an} 为等比数列。 例 4、 (04 年重庆)设 a1=1,a2=

1 3

5 5 2 ,an+2= an+1- an (n=1,2,---),令 bn=an+1-an (n=1,2---)求数列{bn}的 3 3 3

通项公式,(2)求数列{nan}的前 n 项的和 Sn。

例 5.在直角坐标平面上有一点列 P 对一切正整数 n ,点 Pn 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y 2 ) ?, P n ( xn , y n ) ? , 位于函数 y ? 3 x ?

13 5 的图象上,且 Pn 的横坐标构成以 ? 为首项, ? 1 为公差的等差数列 ?xn ? 。 4 2

⑴求点 Pn 的坐标; ⑵设抛物线列 c1 , c2 , c3 ,?, cn ,?中的每一条的对称轴都垂直于 x 轴,第 n 条抛物线 cn 的顶点 为 Pn , 且 过 点 Dn (0, n 2 ? 1) , 记 与 抛 物 线 cn 相 切 于 Dn 的 直 线 的 斜 率 为 k n , 求 :

例 6.数列 ?an ? 中, a1 ? 8, a4 ? 2 且满足 an?2 ? 2an?1 ? an ⑴求数列 ?an ? 的通项公式; ⑵设 S n ?| a1 | ? | a2 | ??? | an | ,求 S n ;

1 1 1 。 ? ??? k1k 2 k 2 k 3 k n?1k n ⑶ 设 S ? ?x | x ? 2xn , n ? N , n ? 1? , T ? ?y | y ? 4 yn , n ? 1? , 等 差 数 列 ?an ? 的 任 一 项 an ? S ? T ,其中 a1 是 S ? T 中的最大数, ? 265 ? a10 ? ?125,求 ?an ? 的通项公式。
n? N*

1 (n ? N * ),Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn (n ? N * ) ,是否存在最大的整数 m ,使 n(12 ? a n ) m * 得对任意 n ? N ,均有 Tn ? 成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由。 32
⑶设 bn = 五、强化训练 (一)用基本量方法解题 1、 (04 年浙江)已知等差数列的公差为 2,若 a1,a3,a4 成等比数列,则 a2= ( ) A -4 B -6 C -8 D -10 (二)用赋值法解题 2、 (96 年)等差数列{an}的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为() A 130 B 170 C 210 D 260

3、 (01 年)设{an}是公比为 q 的等比数列, Sn 是{an}的前 n 项和,若{Sn}是等差数列,则 q=___ 4、设数列{an}的前项的和 Sn=

a 1 (3 n ? 1) 2

(对于所有 n ? 1) ,且 a4=54,则 a1=___

(三)用整体化方法解题 5、 (00 年)已知等差数列{an}满足 a1+a2+a3+…+a101=0,则有( ) A a1+a101>0 B a2+a100<0 C a3+a99=0 D a51=51

6、 (02 年)若一个等差数列的前 3 项和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和为 390,则这 个数列的项数为() A 13 B 12 C 11 D 10 7、 (03 年上海)在等差数列{an}中 a5=3,a6=-2,a4+a5+…+a10= (四)用函数方法解题 8、 (04 年天津)已知数列{an},那么“对任意的 n ? N+,点 Pn(n ,an)都在直线 y=x+1 上”是“{an}为 等差数列”的( ) A 必要条件 B 充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 9、 (99 年上海)已知等差数列{an}满足 3a4=7a7,且 a1>0,Sn 是{an}的前 n 项和,Sn 取得最大值,则 n=_________. 10、 (01 年上海)已知数列{an}中 an=2n-7,(n ? N+), a1 + a 2 +--+ a15 =_ (五)用递推方法解题 2 2 11、 (03 年全国)设{an}是首项为 1 的正项数列,且(n+1)a n+1-nan +an+1an=0,求它的通项公式是__ 12、 (04 年全国) 已知数列{an}满足 a.1=1,an=a1+2a2+3a3+---+(n-1)an-1 (n>1),则{an}的通项 an=_____

第 12 讲

三角函数

高考试题中的三角函数题相对比较传统,难度较低,位置靠前,重点突出。因此,在复习过 程中既要注重三角知识的基础性,突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性 质。以及化简、求值和最值等重点内容的复习,又要注重三角知识的工具性,突出三角与代数、 几何、向量的综合联系,以及三角知识的应用意识。 一、知识整合 1.熟练掌握三角变换的所有公式,理解每个公式的意义,应用特点,常规使用方法等;熟悉 三角变换常用的方法——化弦法,降幂法,角的变换法等;并能应用这些方法进行三角函数式的 求值、化简、证明;掌握三角变换公式在三角形中应用的特点,并能结合三角形的公式解决一些 实际问题. 2.熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质,并能用它研究复合函数的性 质;熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点,并会用五点画出函 数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象;理解图象平移变换、伸缩变换的意义,并会用这两种变换研究函数 图象的变化. 二、高考考点分析 2004 年各地高考中本部分所占分值在 17~22 分,主要以选择题和解答题的形式出现。主要考 察内容按综合难度分,我认为有以下几个层次: 第一层次:通过诱导公式和倍角公式的简单运用,解决有关三角函数基本性质的问题。如判 断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。 第二层次:三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切 弦互化等。 第三层次:充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性 等特殊性质,解决较复杂的函数问题。如分段函数值,求复合函数值域等。 三、方法技巧

1.三角函数恒等变形的基本策略。 2 2 (1)常值代换:特别是用“1”的代换,如 1=cos θ +sin θ =tanx·cotx=tan45°等。 2 2 2 2 2 2 (2)项的分拆与角的配凑。如分拆项:sin x+2cos x=(sin x+cos x)+cos x=1+cos x;配凑角: α =(α +β )-β ,β =

???
2



???
2

等。

(3)降次与升次。 (4)化弦(切)法。 (4)引入辅助角。asinθ +bcosθ = a 2 ? b 2 sin(θ + ? ),这里辅助角 ? 所在象限由 a、b 的 符号确定, ? 角的值由 tan ? =

b 确定。 a

2.证明三角等式的思路和方法。 (1)思路:利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式。 (2)证明方法:综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3.证明三角不等式的方法:比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利用正、 余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。 4.解答三角高考题的策略。 (1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析” 。 (2)寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系。 (3)合理转化:选择恰当的公式,促使差异的转化。 四、例题分析 例 1.已知 tan? ?

2 ,求(1)

cos ? ? sin ? 2 2 ; (2) sin ? ? sin ? . cos? ? 2 cos ? 的值. cos ? ? sin ?
2

例 2.求函数 y ? 1 ? sin x ? cos x ? (sin x ? cos x) 的值域。 例 3.已知函数 f ( x) ? 4sin x ? 2sin 2 x ? 2,x ? R 。
2

(1)求 f ( x ) 的最小正周期、 f ( x ) 的最大值及此时 x 的集合; (2)证明:函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ? ? 例 4. 已知函数 y=

π 对称。 8

1 3 2 cos x+ sinx·cosx+1 (x∈R), 2 2

(1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; (2)该函数的图像可由 y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?

x x x cos ? 3 cos 2 . 3 3 3 (Ⅰ)将 f(x)写成 A sin(?x ? ? ) 的形式,并求其图象对称中心的横坐标;
例 5.已知函数 f ( x) ? sin (Ⅱ)如果△ABC 的三边 a、b、c 满足 b =ac,且边 b 所对的角为 x,试求 x 的范围及此时函数 f(x)的值域. 例 6.在 ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 (1)求 sin B 的值; (2)若 b ? 4 2 ,且 a=c,求 ABC 的面积。
2

cos C 3a ? c ? , cos B b

例 7.已知向量 a ? (2cos α ,2 sin α),b= (? sin α, cos α),x ? a ? (t 2 ? 3)b,

y ? ?ka ? b ,且 x ? y ? 0 ,
(1)求函数 k ? f (t ) 的表达式; (2)若 t ? [?1 , 3] ,求 f (t ) 的最大值与最小值。

例 8.已知向量 a ? (cos α, sin α),b = (cos β, sin β ), | a ? b |? (1) 求 cos(α ? β ) 的值; (2) (2)若 0 ? α ?

2 5 , 5

π π 5 , ? ? β ? 0,且 sin β ? ? ,求 sin α 的值。 2 2 13

例 9.平面直角坐标系有点 P(1, cos x), Q(cos x,1), x ? [?

? ?

, ] 4 4

(1) 求向量 OP 和 OQ 的夹角 ? 的余弦用 x 表示的函数 f ( x) ; (2) 求 ? 的最值.

第 13 讲

立体几何

高考立体几何试题一般共有 4 道(选择、填空题 3 道, 解答题 1 道), 共计总分 27 分左右,考查的知识点在 20 个以内. 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题 着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提. 随着 新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多一点思考,少一点计算”的发展. 从历年的考题变化看 , 以简单几何体为载体的线面位置关系的论证 ,角与距离的探求 是常考常新的热门话题. 一、知识整合 1. 有关平行与垂直(线线、 线面及面面)的问题, 是在解决立体几何问题的过程中, 大量的、反复遇到的,而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不 可缺少的内容,因此在主体几何的总复习中,首先应从解决“平行与垂直”的有关问 题着手,通过较为基本问题,熟悉公理、定理的内容和功能,通过对问题的分析与概 括, 掌握立体几何中解决问题的规律——充分利用线线平行(垂直)、 线面平行(垂直)、 面面平行(垂直)相互转化的思想,以提高逻辑思维能力和空间想象能力. 2.判定两个平面平行的方法: (1)根据定义——证明两平面没有公共点; (2)判定定理——证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面; (3)证明两平面同垂直于一条直线。 3.两个平面平行的主要性质: ⑴由定义知: “两平行平面没有公共点” 。 ⑵由定义推得: “两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

⑶两个平面平行的性质定理: “如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那 么它们的交线平行” 。 ⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。 ⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。 ⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。 以上性质⑵、⑷、⑸、⑹在课文中虽未直接列为“性质定理” ,但在解题过程中均 可直接作为性质定理引用。 4. 空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系,空间的角主要研究射影以及 与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面 角的平面角等.解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决. 空间的角,是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进 行定量分析的一个重要概念,由它们的定义,可得其取值范围,如两异面直线所成的 ? ? ?? 角 θ ∈(0, ],直线与平面所成的角 θ ∈ ?0, ? ,二面角的大小,可用它们的平面 2 ? 2? 角来度量,其平面角 θ ∈ ? 0,π ? . 对于空间角的计算,总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角,并把它置 于一个平面图形,而且是一个三角形的内角来解决,而这种转化就是利用直线与平面 的平行与垂直来实现的,因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应 用.通过空间角的计算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力. 如求异面直线所成的角常用平移法(转化为相交直线)与向量法;求直线与平面 所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角; 而求二面角?-l-?的平面角 (记作?) 通常有以下几种方法: (1) 根据定义; (2) 过棱 l 上任一点 O 作棱 l 的垂面?,设?∩?=OA,?∩?=OB,则∠AOB=? ; (3) 利用三垂线定理或逆定理,过一个半平面?内一点 A,分别作另一个平面?的 垂线 AB(垂足为 B),或棱 l 的垂线 AC(垂足为 C),连结 AC,则∠ACB=? 或∠ACB=?- ?; (4) 设 A 为平面?外任一点,AB⊥?,垂足为 B,AC⊥?,垂足为 C,则∠BAC=?或 ∠BAC=?-?; (5) 利用面积射影定理,设平面?内的平面图形 F 的面积为 S,F 在平面?内的射影 图形的面积为 S?,则 cos?=
S' . S

5.空间的距离问题,主要是求空间两点之间、点到直线、点到平面、两条异面直 线之间 (限于给出公垂线段的) 、 平面和它的平行直线、 以及两个平行平面之间的距离. 求距离的一般方法和步骤是:一作——作出表示距离的线段;二证——证明它就 是所要求的距离;三算——计算其值.此外,我们还常用体积法求点到平面的距离. 6.棱柱的概念和性质 ⑴理解并掌握棱柱的定义及相关概念是学好这部分知识的关键,要明确“棱柱 直棱柱 正棱柱”这一系列中各类几何体的内在联系和区别。 ⑵平行六面体是棱柱中的一类重要的几何体,要理解并掌握“平行六面体 直平 行六面体 长方体 正四棱柱 正方体”这一系列中各类几何体的内在联系和区 别。

⑶须从棱柱的定义出发, 根据第一章的相关定理对棱柱的基本性质进行分析推导, 以求更好地理解、掌握并能正确地运用这些性质。 ⑷关于平行六面体,在掌握其所具有的棱柱的一般性质外,还须掌握由其定义导 出的一些其特有的性质,如长方体的对角线长定理是一个重要定理并能很好地掌握和 应用。还须注意,平行六面体具有一些与平面几何中的平行四边形相对应的性质,恰 当地运用平行四边形的性质及解题思路去解平行六面体的问题是一常用的解题方法。 ⑸多面体与旋转体的问题离不开构成几何体的基本要素点、线、面及其相互关系, 因此,很多问题实质上就是在研究点、线、面的位置关系,与《直线、平面、简单几 何体》第一部分的问题相比,唯一的差别就是多了一些概念,比如面积与体积的度量 等.从这个角度来看,点、线、面及其位置关系仍是我们研究的重点. 7.经纬度及球面距离 ⑴根据经线和纬线的意义可知,某地的经度是一个二面角的度数,某地的纬度是 一个线面角的度数,设球 O 的地轴为 NS,圆 O 是 0°纬线,半圆 NAS 是 0°经线,若 某地 P 是在东经 120°,北纬 40°,我们可以作出过 P ⌒ 的经线 NPS 交赤道于 B,过 P ⌒ ⌒ 的纬线圈圆 O1 交 NAS 于 A, 那么则应有: ∠AO1P=120 °(二面角的平面角) , ∠POB=40° ⌒ (线面角) 。 ⑵两点间的球面距离就是连结球面上两点的大圆的劣弧的长,因此,求两点间的 球面距离的关键就在于求出过这两点的球半径的夹角。 例如,可以循着如下的程序求 A、P 两点的球面距离。


线段 AP 的长 ∠AOP 的弧度数 8.球的表面积及体积公式 S 球表=4π R2 V 球= π R3
4 3

大圆劣弧 AP 的长

⑴球的体积公式可以这样来考虑:我们把球面分成若干个边是曲线的小“曲边三 角形” ;以球心为顶点,以这些小曲边三角形的顶点为底面三角形的顶点,得到若干个 小三棱锥, 所有这些小三棱锥的体积和可以看作是球体积的近似值.当小三棱锥的个数 无限增加,且所有这些小三棱锥的底面积无限变小时,小三棱锥的体积和就变成球体 积,同时小三棱锥底面面积的和就变成球面面积,小三棱锥高变成球半径.由于第 n 个 小三棱锥的体积= Snhn(Sn 为该小三棱锥的底面积,hn 为小三棱锥高) ,所以 V 球= S
球面

1 3

1 3

·R= ·4π R2·R= π R3.

1 3

4 3

⑵球与其它几何体的切接问题,要仔细观察、分析、弄清相关元素的位置关系和 数量关系,选择最佳角度作出截面,以使空间问题平面化。 二、注意事项 1. 须明确 《直线、 平面、 简单几何体》 中所述的两个平面是指两个不重合的平面。 2.三种空间角,即异面直线所成角、直线与平面所成角。平面与平面所成二面 角。它们的求法一般化归为求两条相交直线的夹角,通常“线线角抓平移,线面角找 射影,面面角作平面角”而达到化归目的,有时二面角大小出通过 cos ? =
S射 S原

来求。

3.有七种距离,即点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平 面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离,其中点与点、点与直线、

点到平面的距离是基础,求其它几种距离一般化归为求这三种距离,点到平面的距离 有时用“体积法”来求。 三、例题分析 例 1、⑴已知水平平面 ? 内的两条相交直线 a, b 所成的角为 ? ,如果将角 ? 的平 分线 l ? 绕着其顶点,在竖直平面内作上下转动, 转动到离开水平位值的 l ? 处,且与两 ? 条直线 a,b 都成角 ? ,则 ? 与 的大小关系是 2 ( ) ? ? ? ? A. ? ? 或 ? ? B. ? > 或 ? < 2 2 2 2 ? ? C. ? > D. ? < 2 2 ⑵已知异面直线 a,b 所成的角为 70 0 ,则过空间一定点 O,与两条异面直线 a,b 都 成 60
0







线



( )条. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 ⑶异面直线 a,b 所成的角为 ? ,空间中有一定点 O,过点 O 有 3 条直线与 a,b 所成角 0 都是 60 ,则 ? 的取值可能是 ( ). A. 30 B. 50 分析与解答:
0 0

C. 60

0

D. 90

0

例 2、已知 PA⊥矩形 ABCD 所在平面,M、N 分别是 AB、PC 的中点. (1)求证:MN⊥AB; (2)设平面 PDC 与平面 ABCD 所成的二面角为锐角θ ,问能否确定θ 使直线 MN 是 异 面直线 AB 与 PC 的公垂线?若能,求出相应θ 的值;若不能,说明理由. 例 3、 如图, 直三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面 ABC 为等腰直角三角形,∠ACB=900,AC=1,
3 C1 ,D 为 AB 的中点. 2 A1 B1 (1)求证:AB1⊥平面 CED; (2)求异面直线 AB1 与 CD 之间的距离; (3)求二面角 B1—AC—B 的平面角. 例 4、在直角梯形 ABCD 中,∠A=∠D=90°,AB<CD,SD⊥平面 ABCD,AB=AD=a,S C E 与 SB 交于点 D= 2a ,在线段 SA 上取一点 E(不含端点)使 EC=AC,截面 CDE F。 (1)求证:四边形 EFCD 为直角梯形; B A D (2)求二面角 B-EF-C 的平面角的正切值; S CD (3)设 SB 的中点为 M,当 的值是多少时,能使△DMC AB F 为直角三角形?请给出证明. E M 例 5.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AC 与 BD 交于 C D

C 点到 AB1 的距离为 CE=

A

B

点 E,CB 与 CB1 交于点 F. (I)求证:A1C⊥平 BDC1; (II)求二面角 B—EF—C 的大小(结果用反三角函数值表示).

第 14 讲
一、知识整合

解析几何问题的题型与方法

高考中解析几何试题一般共有 4 题(2 个选择题, 1 个填空题, 1 个解答题),共计 30 分左右, 考查的知识点约为 20 个左右。 其命题一般紧扣课本,突出重点,全面考查。选择题和填空题考 查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。解答题重点考查圆锥曲线中的重要 知识点,通过知识的重组与链接,使知识形成网络,着重考查直线与圆锥曲线的位置关系,求解 有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法 ,这一点值得强化。 ............... 1. 能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程;从直线的点斜式方程出发推导出直 线方程的其他形式,斜截式、两点式、截距式;能根据已知条件,熟练地选择恰当的方程形式写 出直线的方程,熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化,能利用直线的方程来研究与直线有 关的问题了. 2.能正确画出二元一次不等式(组)表示的平面区域,知道线性规划的意义,知道线性约束 条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念,能正确地利用图解法解决线性规划 问题,并用之解决简单的实际问题,了解线性规划方法在数学方面的应用;会用线性规划方法解 决一些实际问题. 3. 理解“曲线的方程” 、 “方程的曲线”的意义,了解解析几何的基本思想,掌握求曲线的 方程的方法. 4.掌握圆的标准方程: ( x ? a) ? ( y ? b) ? r (r>0) ,明确方程中各字母的几何意义,能 根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程,能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径,
2 2 2

掌握圆的一般方程: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一 般方程和标准方程的互化,能根据条件,用待定系数法求出圆的方程,理解圆的参数方程
2 2

? x ? r cos ? (θ 为参数) ,明确各字母的意义,掌握直线与圆的位置关系的判定方法. ? ? y ? r sin ?
5.正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义,明确焦点、焦距的概念;能根据椭圆、双曲线和 抛物线的定义推导它们的标准方程;记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程;能根据条件, 求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程;掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质:范围、对称性、 顶点、离心率、准线(双曲线的渐近线)等,从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线;

掌握 a、b、c、p、e 之间的关系及相应的几何意义;利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质,确 定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程,并解决简单问题;理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程, 并掌握它的应用;掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法.

二、近几年高考试题知识点分析
1.选择、填空题 1.1 大多数选择、填空题以对基础知识、基本技能的考查为主,难度以容易题和中档题为 主 (1)对直线、圆的基本概念及性质的考查 例 1 (04 江苏)以点(1,2)为圆心,与直线 4x+3y-35=0 相切的圆的方程是_________. (2)对圆锥曲线的定义、性质的考查 例 2(04 辽宁)已知点 F1 (? 点 P 的纵坐标是 (A)

2 ,0) 、 F2 ( 2,0) ,动点 P 满足 | PF2 | ? | PF1 |? 2 .



6 2

1 时,点 P 到坐标原点的距离是 2 3 (B) (C) 3 2

(D)2

1.2 部分小题体现一定的能力要求能力,注意到对学生解题方法的考查 例 3(04 天津文)若过定点 M ( ?1, 0) 且斜率为 k 的直线与圆 x 一象限内的部分有交点,则 k 的取值范围是 (A) 0 ?
2

? 4 x ? y 2 ? 5 ? 0 在第

k? 5

(B) ?

(C) 0 ? k ? 13 2.解答题 解析几何的解答题主要考查求轨迹方程以及圆锥曲线的性质.以中等难度题为主,通常设置两 问,在问题的设置上有一定的梯度,第一问相对比较简单. 1 例 4(04 江苏)已知椭圆的中心在原点,离心率为 ,一个焦点是 F(-m,0)(m 是大于 0 的常 2 数). (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设 Q 是椭圆上的一点,且过点 F、Q 的直线 l 与 y 轴交于点 M. 若 MQ ? 2 QF ,求直 线 l 的斜率. 本题第一问求椭圆的方程,是比较容易的,对大多数同学而言,是应该得分的;而第二问, 需要进行分类讨论,则有一定的难度,得分率不高. . 例 5(04 全国文科Ⅰ)设双曲线 C:

5?k ?0 (D) 0 ? k ? 5

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0)与直线l : x ? y ? 1 相交于两个不同 a2

的点 A、B. (I)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围: (II)设直线 l 与 y 轴的交点为 P,且 PA ?

5 PB. 求 a 的值. 12

例 6(04 全国文科Ⅱ)给定抛物线 C: 于 A、B 两点.

y 2 ? 4 x, F 是 C 的焦点,过点 F 的直线 l 与 C 相交

与OB 夹角的大小; (Ⅰ)设 l 的斜率为 1,求 OA
(Ⅱ)设 FB ? ? AF, 若? ? [4,9] ,求 l 在 y 轴上截距的变化范围.

三、热点分析与 2005 年高考预测
1.重视与向量的综合 在 04 年高考文科 12 个省市新课程卷中,有 6 个省市的解析几何大题与向量综合,主要涉及 到向量的点乘积(以及用向量的点乘积求夹角)和定比分点等,因此,与向量综合,仍是解析几 何的热点问题,预计在 05 年的高考试题中,这一现状依然会持续下去. 例 7(02 年新课程卷)平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点 A(3,1) ,B(-1,3) , 若点 C 满足 OC ? ? OA? ? OB ,其中?、?∈R,且?+?=1,则点 C 的轨迹方程为 2 2 (A) (x-1) +(y-2) =5 (B)3x+2y-11=0 (C)2x-y=0 (D)x+2y-5=0 例 8(04 辽宁)已知点 A(?2,0) 、 B(3,0) ,动点 P( x, y)满足PA? PB ? x 2 ,则点 P 的轨迹是 (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线 2.考查直线与圆锥曲线的位置关系几率较高 3.与数列相综合 例 9(04 年浙江卷)如图,Δ OBC 的在个顶点坐标分别为(0,0) 、 (1,0) 、 (0,2),设 P 为线段 BC 的中点,P2 为线段 CO 的中点,P3 为线段 OP1 的中点,对于每一个正整数 n,Pn+3 为线段 PnPn+1 的中点, 令 Pn 的坐标为(xn,yn),

an ?

1 y n ? y n ?1 ? y n ? 2 . 2

(Ⅰ)求 a1 , a 2 ,a 3 及 an ; (Ⅱ)证明

y n?4 ? 1 ?

yn , n ? N ?; 4

(Ⅲ)若记 bn

? y4n?4 ? y4n , n ? N ? , 证明 ?bn ?是等比数列.

4.与导数相综合 近几年的新课程卷也十分注意与导数的综合,如 03 年的天津文科试题、04 年的湖南文理科试 题,都分别与向量综合. 2 例 10(04 年湖南文理科试题)如图,过抛物线 x =4y 的对称轴上任一点 P(0,m)(m>0)作直线与 抛物线交于 A,B 两点,点 Q 是点 P 关于原点的对称点。 (I)设点 P 分有向线段 AB 所成的比为 ? ,证明: QP ? (QA ? ?QB) (II)设直线 AB 的方程是 x-2y+12=0,过 A,B 两点的圆 C 与抛物线在点 A 处有共同的切线,求圆 C 的方程. 5.重视应用 在历年的高考试题中,经常出现解析几何的应用题,如 01 年的天津理科试题、03 年的上海文 理科试题、03 年全国文科旧课程卷试题、03 年的广东试题及江苏的线性规划题等,都是有关解析 几何的应用题. 例 11(04 年广东试题)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北

两个观测点同时听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚 4s. 已知各观测点到 该中心的距离都是 1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为 340m/ s :相关 各点均在同一平面上)

四、二轮复习建议
1.根据学生的实际,有针对性地进行复习,提高复习的有效性 由于解析几何通常有 2-3 小题和 1 大题,约占 28 分左右,而小题以考查基础为主、解答题 的第一问也较容易,因此,对于全市的所有不同类型的学校,都要做好该专题的复习,千万不能 认为该部分内容较难而放弃对该部分内容的专题复习,并且根据生源状况有针对性地进行复习, 提高复习的有效性. 2.重视通性通法,加强解题指导,提高解题能力 在二轮复习中,不能仅仅复习概念和性质,还应该以典型的例题和习题(可以选用 04 年的各 地高考试题和近两年的各地高考模拟试题)为载体,在二轮复习中强化各类问题的常规解法,使 学生形成解决各种类型问题的操作范式.数学学习是学生自主学习的过程,解题能力只有通过学 生的自主探究才能掌握.所以,在二轮复习中,教师的作用是对学生的解题方法进行引导、点拨 和点评,只有这样,才能够实施有效复习. 3.注意强化思维的严谨性,力求规范解题,尽可能少丢分 在解解析几何的大题时,有不少学生常出现因解题不够规范而丢分的现象,因此,要通过平 时的讲评对易出现错误的相关步骤作必要的强调,减少或避免无畏的丢分. 例 14(04 全国文科Ⅰ)设双曲线 C: 2

x2 - y2 = 1( a> 0) 与直线l:x+ y = 1 相交于两 a
5 PB . 求 a 的值. 12

个不同的点 A、B. (I)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围: (II)设直线 l 与 y 轴的交点为 P,且 PA ?

五、参考例题
例 1、若直线 mx+y+2=0 与线段 AB 有交点,其中 A(-2, 3),B(3,2),求实数 m 的取值范围。 例 2、已知 x、y 满足约束条件 x≥1, x-3y≤-4, 3x+5y≤30, 求目标函数 z=2x-y 的最大值和最小值. 例 3、 已知⊙M: x ? ( y ? 2) ? 1, Q是x 轴上 的动点,QA,QB 分别切⊙M 于 A,B 两点, (1)如果
2 2

y
6 5 4 3 2 1

l2 C l0: 2x-y=0 l1
x-3y+4=0

| AB |?

4 2 ,求直线 MQ 的方程; 3

B A
1 x=1 2 3 4 5 6 3x+5y-30=0

(2)求动弦 AB 的中点 P 的轨迹方程.

O
例 4、 已知双曲线

x

x y 2 3 ? 2 ? 1 的离心率 e ? , 2 3 a b

2

2

过 A(a,0), B(0,?b) 的直线到原点的距离是

3 . (1)求双曲线的方程; 2

(2)已知直线 y ? kx ? 5(k ? 0) 交双曲线于不同的点 C,D 且 C,D 都在以 B 为圆心的圆上,求 k 的值.

例 5、已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的长、短轴端点分别为 A、B,从此椭圆上一点 M 向 x a2 b2 轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点 F1 ,向量 AB 与 OM 是共线向量。

(1)求椭圆的离心率 e; (2)设 Q 是椭圆上任意一点, F1 、 F2 分别是左、右焦点,求∠ F1QF2 的取值范围;

第 15 讲

排列组合二项式定理和概率

一、知识整合 二、考试要求: 1.掌握分类计数原理与分步计数原理,并能用它们分析和解决一些简单的应用问题. 2.理解排列的意义,掌握排列数计算公式,并能用它解决一些简单的应用问题. 3.理解组合的意义,掌握组合数计算公式和组合数的性质,并能用它们解决一些简单的应 用问题. 4.掌握二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们计算和证明一些简单的问题. 5.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义. 6.了解等可能性事件的概率的意义,会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概 率. 7.了解互斥事件、相互独立事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的 概率乘法公式计算一些事件的概率. 8.会计算事件在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率. Ⅰ、随机事件的概率 例 1 某商业银行为储户提供的密码有 0,1,2,…,9 中的 6 个数字组成. (1)某人随意按下 6 个数字,按对自己的储蓄卡的密码的概率是多少? (2)某人忘记了自己储蓄卡的第 6 位数字,随意按下一个数字进行试验,按对自己的密码的概 率是多少? 解 (1)储蓄卡上的数字是可以重复的,每一个 6 位密码上的每一个数字都有 0,1,2,…,9 这

1 6 ,随意按下 6 个数字相当于随意按下 10 个,随意 6 10 1 6 按下 6 个数字相当于随意按下 10 个密码之一,其概率是 6 . 10
10 种,正确的结果有 1 种,其概率为 (2)以该人记忆自己的储蓄卡上的密码在前 5 个正确的前提下,随意按下一个数字,等可能性 的结果为 0,1,2,…,9 这 10 种,正确的结果有 1 种,其概率为

1 . 10

例 2 一个口袋内有 m 个白球和 n 个黑球,从中任取 3 个球,这 3 个球恰好是 2 白 1 黑的概率是多 少?(用组合数表示)



设事件 I 是“从 m 个白球和 n 个黑球中任选 3 个球” ,要对应集合 I1,事件 A 是“从 m 个白球 中任选 2 个球,从 n 个黑球中任选一个球” ,本题是等可能性事件问题,且 Card(I1)=
3 2 1 Cm ?n , Card( A) ? Cm ? Cn ,于是 P(A)=
2 Card ( A) Cm ? C1 ? 3 n. Card ( I1 ) Cm?n

Ⅱ、互斥事件有一个发生的概率 例 3 在 20 件产品中有 15 件正品,5 件次品,从中任取 3 件,求: (1)恰有 1 件次品的概率; (2)至少有 1 件次品的概率.
3 2 1 解 (1)从 20 件产品中任取 3 件的取法有 C20 ,其中恰有 1 件次品的取法为 C15 C5 。
2 1 C15 C5 35 . ? 3 C20 76

? 恰有一件次品的概率 P=

(2)法一 从 20 件产品中任取 3 件,其中恰有 1 件次品为事件 A1,恰有 2 件次品为事件 A2,3 件全是次品为事件 A3,则它们的概率
2 1 1 3 C15 C5 105 C52C15 2 C5 2 P(A1)= = , P( A2 ) ? , P( A3 ) ? 3 ? , ? 3 3 C20 228 C20 228 C20 228

而事件 A1、A2、A3 彼此互斥,因此 3 件中至少有 1 件次品的概率 P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=

137 . 228
3 C15 137 ? 3 C20 228

法二 记从 20 件产品中任取 3 件,3 件全是正品为事件 A,那么任取 3 件,至少有 1 件次品为

A ,根据对立事件的概率加法公式 P( A )= 1 ? P( A) ? 1 ?

例 4 1 副扑克牌有红桃、黑桃、梅花、方块 4 种花色,每种 13 张,共 52 张,从 1 副洗好的 牌中任取 4 张,求 4 张中至少有 3 张黑桃的概率. 解
4 从 52 张牌中任取 4 张,有 C52 种取法.“4 张中至少有 3 张黑桃” ,可分为“恰有 3 张黑桃”
3 1 4 C13 ? C39 ? C13 4 C52

3 1 4 和“4 张全是黑桃” ,共有 C13 种取法? ? C39 ? C13



研究至少情况时,分类要清楚。

Ⅲ、相互独立事件同时发生的概率 例 5 猎人在距离 100 米处射击一野兔,其命中率为 0.5,如果第一次射击未中,则猎人进行第二 次射击,但距离 150 米. 如果第二次射击又未中,则猎人进行第三次射击,并且在发射瞬间 距离为 200 米. 已知猎人的命中概率与距离的平方成反比,求猎人命中野兔的概率. 解 记三次射击依次为事件 A,B,C,其中 P ( A) ?

1 1 k ,由 ? P ( A) ? ,求得 k=5000。 2 2 100 2

? P(B) ?

5000 2 5000 1 ? , P(C) ? ? ,? 命中野兔的概率为 2 150 9 200 2 8

P(A)? P(A ? B) ? P( A ? B ? C ) ? P( A) ? P( A) P( B) ? P( A) P( B) P(C ) 1 1 2 1 2 1 95 ? ? (1 ? ) ? ? (1 ? )(1 ? ) ? ? . 2 2 9 2 9 8 144
例 6 要制造一种机器零件,甲机床废品率为 0.05,而乙机床废品率为 0.1,而它们的生产是独立 的,从它们制造的产品中,分别任意抽取一件,求: (1)其中至少有一件废品的概率; (2)其中至多有一件废品的概率. 解: 设事件 A 为“从甲机床抽得的一件是废品” ;B 为“从乙机床抽得的一件是废品”. 则 P(A)=0.05, P(B)=0.1, (1)至少有一件废品的概率

P( A ? B) ? 1 ? P( A ? B) ? 1 ? P( A) ? P(B) ? 1 ? 0.95? 0.90 ? 0.145
(2)至多有一件废品的概率

P ? P( A ? B ? A ? B ? A ? B) ? 0.05? 0.9 ? 0.95? 0.1 ? 0.95? 0.9 ? 0.995
Ⅳ、概率内容的新概念较多,本课时就学生易犯错误作如下归纳总结: 类型一 “非等可能”与“等可能”混同 例 1 掷两枚骰子,求所得的点数之和为 6 的概率. 错解 掷两枚骰子出现的点数之和 2,3,4,…,12 共 11 种基本事件,所以概率为 P=

1 11

剖析 以上 11 种基本事件不是等可能的,如点数和 2 只有(1,1),而点数之和为 6 有(1,5)、(2, 4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)共 5 种.事实上,掷两枚骰子共有 36 种基本事件,且是等可能 的,所以“所得点数之和为 6”的概率为 P= 类型二 “互斥”与“对立”混同 把红、黑、白、蓝 4 张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁 4 个人,每个人分得 1 张,事件“甲 分得红牌”与“乙分得红牌”是( ) A.对立事件 B.不可能事件 C.互斥但不对立事件 D.以上均不对 错解 A 剖析 本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同,二者的联系与区别主要体现在 : (1)两事件对立,必定互斥,但互斥未必对立;(2)互斥概念适用于多个事件,但对立概念只 适用于两个事件;(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生,即至多只能发生其中 一个,但可以都不发生;而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生. 事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件, 这两个事件可能恰有一个发 生,一个不发生,可能两个都不发生,所以应选 C. 例2 类型三 “互斥”与“独立”混同 例 3 甲投篮命中率为 O.8,乙投篮命中率为 0.7,每人投 3 次,两人恰好都命中 2 次的概率是多 少? 错解 设“甲恰好投中两次”为事件 A,“乙恰好投中两次”为事件 B,则两人都恰好投中两次为事

5 . 36

2 2 件 A+B,P(A+B)=P(A)+P(B): c3 0.82 ? 0.2 ? c3 0.72 ? 0.3 ? 0.825

剖析

本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑,将两人都恰好投中 2 次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和. 互斥事件是指两个事件不可能同时发 生;两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生与否没有影响,它们虽然 都描绘了两个事件间的关系,但所描绘的关系是根本不同. 解: 设“甲恰好投中两次”为事件 A,“乙恰好投中两次”为事件 B,且 A,B 相互独立, 则两人都恰好投中两次为事件 A· B,于是 P(A· B)=P(A)× P(B)= 0.169 四、高考题选讲 1 甲、乙二人参加普法知识竞赛,共有 10 个不同的题目,其中选择题 6 个,判断题 4 个,甲、 乙二人依次各抽一题. (Ⅰ)甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少? (Ⅱ)甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?(2000 年新课程卷)

2 如图,用 A、B、C 三类不同的元件连接成两个系统 N1、N2.当元件 A、B、C 都正常工作时,系统 N1 正常工作;当元件 A 正常工作且元件 B、C 至少有一个正常工作时,系统 N2 正常工作.已 知元件 A、B、C 正常工作的概率依次为 0.80,0.90,0.90.分别求系统 N1、N2 正常工作的概率 P1、P2. (2001 年新课程卷)

3

某单位 6 个员工借助互联网开展工作,每个员工上网的概率都是 0.5(相互独立). (Ⅰ)求至少 3 人同时上网的概率; (Ⅱ)至少几人同时上网的概率小于 0.3?(2002 年新课程卷)

4

有三种产品,合格率分别是 0.90,0.95 和 0.95,各抽取一件进行检验. (Ⅰ)求恰有一件不合格的概率; (Ⅱ)求至少有两件不合格的概率.(精确到 0.001) (2003 年新课程卷)

5. 从 10 位同学 (其中 6 女, 4 男) 中随机选出 3 位参加测验.每位女同学能通过测验的概率均为 每位男同学能通过测验的概率均为

4 , 5

3 .试求: 5

(Ⅰ)选出的 3 位同学中,至少有一位男同学的概率; (Ⅱ)10 位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率.

6. 已知 8 支球队中有 3 支弱队,以抽签方式将这 8 支球队分为 A、B 两组,每组 4 支.求: (Ⅰ)A、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率; (Ⅱ)A 组中至少有两支弱队的概率. (2004 年全国卷Ⅱ)

7.某同学参加科普知识竞赛,需回答 3 个问题.竞赛规则规定:答对第一、二、三问题分别得 100 分、100 分、200 分,答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为 0.8、 0.7、0.6,且各题答对与否相互之间没有影响. (Ⅰ)求这名同学得 300 分的概率; (Ⅱ)求这名同学至少得 300 分的概率. (2004 年全国卷Ⅲ)

8. 从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛. (Ⅰ)求所选 3 人都是男生的概率; (Ⅱ)求所选 3 人中恰有 1 名女生的概率; (Ⅲ)求所选 3 人中至少有 1 名女生的概率.

9. 某地区有 5 个工厂,由于用电紧缺,规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电 (选哪一天是等可能的).假定工厂之间的选择互不影响. (Ⅰ)求 5 个工厂均选择星期日停电的概率; (Ⅱ)求至少有两个工厂选择同一天停电的概率.

10. 甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的 10 道试题中,甲能答对其中的 6 题,乙能 答对其中的 8 题.规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试,至少答对 2 题才算合 格. (Ⅰ)分别求甲、乙两人考试合格的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.

11. 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件,已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床 加工的零件不是一等品的概率为

1 ,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等 4

品的概率为

1 2 ,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为 . 12 9

(Ⅰ)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率; (Ⅱ)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,求至少有一个一等品的概率.

12.为防止某突发事件发生,有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用,单独采用甲、 乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率(记为 P)和所需费用如下:

预防措施 P 费用(万元)

甲 0.9 90

乙 0.8 60

丙 0.7 30

丁 0.6 10

预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施,在总费用不超过 120 万元的前 提下,请确定一个预防方案,使得此突发事件不发生的概率最大.(2004 年湖北卷) 13. 设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为 0.7、0.6 和 0.5. (Ⅰ)三人各向目标射击一次,求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标概率; (Ⅱ) 若甲单独向目标射击三次,求他恰好命中两次的概率. (2004 年重庆卷)

14.从数字 1,2,3,4,5,中,随机抽取 3 个数字(允许重复)组成一个三位数,其各位数字之 和等于 9 的概率为 A. ( B. D )

13 125

16 125

C.

18 125

D.

19 125

15. (本小题满分 12 分) 一接待中心有 A、B、C、D 四部热线电话,已知某一时刻电话 A、B 占线的概率均为 0.5,电话 C、D 占线的概率均为 0.4,各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ 部电话占线.试 求随机变量ξ 的概率分布和它的期望. 16.从 1,2,……,9 这九个数中,随机抽取 3 个不同的数,则这 3 个数的和为偶数的概率是( ) A.

5 9

B.

4 9

C.

11 21

D.

10 21

17.在由数字 1,2,3,4,5 组成的所有没有重复数字的 5 位数中,大于 23145 且小于 43521 的数共有 ( ) A.56 个 B.57 个 C.58 个 D.60 个 18.某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品,产品数量之比依次为 2 : 3 : 5 ,现用分层抽样方法 抽出一个容量为 n 的样本,样本中 A 种型号产品有 16 件.那么此样本的容量 n= . 19.标号为 1,2,…,10 的 10 个球放入标号为 1,2,…,10 的 10 个盒子内,每个盒内放一个 球,则恰好有 3 个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有 种.(以数字作答) 20.某校有老师 200 人,男学生 1200 人,女学生 1000 人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取 一个容量为 n 的样本;已知从女学生中抽取的人数为 80 人,则 n= .


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