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二次函数的图象与性质_图文

二次函数的图象与性质

复习目标:
1、复习掌握二次函数的图象与性质。 2、熟练求二次函数的解析式。 3、掌握二次函数与一元二次方程及一元二次

不等式的关系。

课前热身(学生独立练习,分小组 1 、二次函数解析式的三种表示方法: 批改)
(1)一般式:___________ (2)交点式:___________ (3)顶点式:___________ 2、填表:

课前热身(学生独立练习,分小组 批改)
3、二次函数y=ax2+bx+c,当a>0时,在对 称轴右侧,y随x的增大而 ,在对称轴左侧,

y随x的增大而
最 而 值 随x的增大而 图象有最

图象有最

点,此时函数有

;当a<0时,在对称轴右侧,y , 在对称轴左侧,y随x的增大 点,此时函数有最 值.

知识梳理
如何确定
y
o

如何确定
y
x o x

对 称 轴

图象

规律

二次函数

二次函数

典型题例
模块一 抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、 增减性 1、函数y=ax+1与y=ax2+bx+1(a≠0)的图 象可能是( c)
y
1

y
1

y
1

y
1

o
A.

x

o
B.

x

o
C.

x

o
D.

x

典型题例
2、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,试 判断下面各式的符号: ﹤0 ﹥ (1)abc __ (2)b2-4ac__0 ﹤ = (3)2a+b__0 (4)a+b+c__0
此题主要考查学生对二次函数的图 象、性质的掌握情况:b2-4ac的符 号看抛物线与x轴的交点情况;2a+b 看对称轴的位置;而a+b+c的符号要 看x= 1时y的值。

规律小结
a的符号——>看抛物线的开口: 开口向上,a>0;开口向下:a<0。 c的符号——>看抛物线与Y轴的交点: (1)交Y轴的正半轴,c>0; (2)交Y轴的负半轴,c<0; (3)过原点,c=0。 b b的符号——>看抛物线的对称轴: ; x?? 2a (再结合a的符号,就可以判定b的符号) (1)若对称轴在y轴的右侧,则 (右异); b ? ?0 2 a (2)若对称轴在y轴的左侧,则 (左同); b ?。?0 (3)若对称轴在Y轴,则 2a b ? ?0 2a

规律小结
b2-4ac的符号——>看抛物线与x轴的交点: 1)若抛物线与x轴有两个不同的交点:则b2-4ac>0; 2)若抛物线与x轴只有一个的交点:则b2-4ac=0; 3)若抛物线与x轴没有交点:则b2-4ac<0; a+b+c的符号——>看x=1时,在图象上所对应的Y 值; a-b+c的符号——>看x=-1时,在图象上所对应的Y 值;

典型题例
模块二 二次函数的平移
注意:抛物线的平移,一般应抓 住“顶点”这个关键点。上加下 减,左加右减。
2 y ? ? x 的图象,需将

3、要得到二次函数 的图象( D ).

y ? ? x2 ? 2x ? 2

A.向左平移2个单位,再向下平移2个单位 B.向右平移2个单位,再向上平移2个单位 C.向左平移1个单位,再向上平移1个单位 D.向右平移1个单位,再向下平移1个单位

典型题例
模块三 二次函数的解析式

4、已知二次函数的图象过点(-2,0)(6,0), 最小值是-32,求二次函数解析式。

y=2x2-8x-24

已知抛物线经过任意三个点时,则可选用设一般式,y=ax2+ bx+c(a≠ 0),确定系数a、b、c的值即可。
已知二次函数的顶点坐标或对称轴或最值时,则可选用顶点式y=a (x-h)2+k (a ≠ 0),确定a、h、k的值。 已知抛物线与x轴的交点,或在x轴上截得的线段长时,则可选用设 交点式y=a(x-x1)(x-x2 )(a ≠0)确定a、x1、x2的值。

典型题例
模块四 二次函数与一元二次方程及一元二次不等式
Y X X
A (x1,0) 0 B(x2,0)

Y
B(x2,0)

A (x1,0)

0

典型题例
模块四 二次函数与一元二次方程及一元二次不等式

5、已知抛物线y=x2+(2k+1)x-k2+k
(1) 求证:此抛物线与x轴总有两个不同的交点; (2)设A(x1,0)和B(x2,0)是此抛物线与x轴的两个 交点,且满足x12+x22= -2k2+2k+1, ①求抛物线的解析式。 ②此抛物线上是否存在一点P,使△PAB的面积等于3,若 存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。

典型题例
解:(1)∵△=(2k+1)2-4(-k2+k) = 8k2+1>0 ∴此抛物线与x轴总有两个不同的交点. (2)①由题意得 x1+x2=-(2k+1) x1x2=-k2+k ∵x12+x22= -2k2+2k+1 ∴( x1+ x2 )2-2x1x2=-2k2+2k+1 即〔-(2k+1)〕2-2( -k2+k )=-2k2+2k+1 ∴ 8k2=0 ∴ k1=k2=0 ∴y=x2+x ②假设存在点p(x,y)使△PAB的面积等于3。 令y=0,则x2+x=0 ∴x1=-1 x2=0 ∴点A(-1,0)点B(0,0) 1 ∵ s△ABP=2 AB·︱y︱=3 解得y=±6 当y=6时,x2+x-6=0 x1=-3 x2=2 当y=-6时 x2+x+6=0 △<0,舍去。 ∴点p(-3,6)(2,6)

拓展提升:二次函数与其它知识综合
6、如下图,二次函数的图象与x轴相交于A、B两点,与y轴 相交于点C(0,3),C、D是二次函数图象上的一对对称点, 一次函数图象过点B、D, (1)求D点的坐标 (2)求一次函数的表达式 (3)根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值 范围

D A -3

C B 0 1

拓展提升:二次函数与其它知识综合
?3 ? 1 解(1)对称轴x= 2 =-1

∵点c(0,3) ,C、D是二次函数图象上的一对对称点 ∴点D(-2,3) (2)设直线BD的解析式y=kx+b K+b=0 { -2k+b=3 解得k=-1 b=1 ∴y=-x+1 (3)由图象知当x<-2或x>1时一次函数值大于二次函 数值。
D A -3 C B 0 1

课堂小结
y=ax2+bx+c (a.b.c为常数a≠0)

?x?x1??x?x2? y?a ?a?0?
a >0,开口向上

y ? a? x ? h ? ? k
2

(a ? 0)
y
o

b , y随 x的增大而减小 a<0, 开口向下 2a a 相同,形状相同 b x ?? , y随 x的增大而增大 2a a 越大,开口反而小 x??

增减性a>0,

? (
y

有两个不等根 x1 x2

b 4ac ? b 2 ) 2a 4a

x

o

x

有两个交点 (x1,0)( x2,0 )

图象
有一交点 b (? ,0) 2a

顶 点 坐 标

直线x=?

b 2a

a >0,有最小值
a<0,有最大值 4ac ? b 2 4a

二次函数

二次函数

应用

同步检测
2 y ? ax ? bx ? c 1、如图为二次函数 的图象,给出下列说法. 2 ① ab ? 0 ②方程 ax ? bx ? c ? 0 的根为 x1 ? ?1,x2 ? 3 ;③ a ? b ? c ? 0 ④当 x ? 1 时,y随x值的增大而增大;⑤当 y ? 0 时,?1 ? x ? 3 .其中,正确的说法有 ①②④ ____.(请写出 所有正确说法的序号)

同步检测
2、二次函数y = ax2 + bx + c的部分对应值如下 表.
x y -3 -2 12 5 -1 0 0 1 2 3 0 4 5 5 12

-3 -4 -3

利用二次函数的图象可知,当函数值y<0时,x 的取值范围是( D ). A.x<0或x>2 B .0<x<2 C.x<-1或x>3 D .-1<x <3[来源:学科网ZXXK]

同步检测
3.已知抛物线的对称轴是x=-1,它与x轴交点的距离 等于4,它与y轴交于(0,-6),则它的表达式为 ___________________ Y=2x2+4x-6 4、将抛物线向右平移2个单位。再向上平移3个单位后, 变为 ,则原抛物线为————— 1 2
1 y ? ( x ? 2) 2 ?3 3
y? 3 ( x ? 4) ? 6

同步检测
5、二次函数 y ? x 2 ?4x ? 3 的图像与交x轴于A、B (A在左B在右)两点,交y轴于点C,则 △ABC的面积是 3 ,若P是抛物线的顶点,求四 4 边形APBC的面积 。
y

C O A
B X


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