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平面解析几何知识点归纳


平面解析几何知识点归纳
◆知识点归纳 直线与方程 1.直线的倾斜角 规定:当直线 l 与 x 轴平行或重合时,它的倾斜角为 0 范围:直线的倾斜角 ? 的取值范围为 [0, ? ) 2.斜率: k ? tan ? ( a ?

?
2

) ,k ? R

斜率公式:经过两点 P ? 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 ) 的直线的斜率公式为 k P 1 P2 3.直线方程的几种形式 名称 斜截式 方程 说明

y2 ? y1 x2 ? x1

适用条件

y ? kx ? b

k 是斜率 b 是纵截距
与 x 轴不垂直的直线

点斜式 两点式

y ? y0 ? k ( x ? x0 )
y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1

( x0 , y0 ) 是直线上的已知点
( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) 是直线上
的两个已知点 与两坐标轴均不垂直 的直线

( x1 ? x2 , y1 ? y2 )
截距式

x y ? ?1 a b

a 是直线的横截距
b 是直线的纵截距
当 B ? 0 时,直线的横截距 为?

不过原点且与两坐标 轴均不垂直的直线

一般式

Ax ? By ? C ? 0

( A ? B ? 0)
2 2

C A
所有直线

当 B ? 0 时,

?

A C C ,? ,? 分别为直线 B A B

的斜率、横截距,纵截距

能力提升
斜率应用

细节决定成败,规范铸就辉煌。

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例 1.已知函数 f ( x) ? log2 ( x ? 1) 且 a ? b ? c ? 0 ,则

f ( a ) f (b ) f ( c ) , , 的大小关系 a b c

例 2.已知实数 x, y 满足 y ? x 2 ? 2 x ? 2(?1 ? x ? 1) ,试求

y?3 的最大值和最小值 x?2

两直线位置关系 两条直线的位置关系 位置关系

l1 : y ? k1 x ? b1 l 2 : y ? k 2 x ? b2
k1 ? k 2 ,且 b1 ? b2

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0
A1 B1 C1 (A1B2-A2B1=0) ? ? A2 B2 C2
A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C 2

平行

?

重合

?

k1 ? k 2 ,且 b1 ? b2

相交

? ?

k1 ? k 2

A1 B1 ? A2 B2
A1 A2 ? B1 B2 ? 0

垂直

k1 ? k 2 ? ?1

设两直线的方程分别为:

l1 : y ? k1 x ? b1 或 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ;当 k ? k 或 A B ? A B 时它们 1 2 1 2 2 1 l 2 : y ? k 2 x ? b2 l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0
y ? k1 x ? b1 A x ? B y ? C1 ? 0 或? ? A1 x ? B1 y ? C y ? k x ? b 2 2 2 2 ? 0 ? ? 2

相交,交点坐标为方程组 ? ? 直线间的夹角:

①若 ? 为 l1 到 l 2 的角, tan? ?

k2 ? k1 A1B2 ? A2 B1 或 tan? ? ; 1 ? k2 k1 A1 A2 ? B1B2
k 2 ? k1 A1 B2 ? A2 B1 或 tan? ? ; 1 ? k 2 k1 A1 A2 ? B1 B2

②若 ? 为 l1 和 l 2 的夹角,则 t an? ?

o ③当 1 ? k1k 2 ? 0 或 A1 A2 ? B1 B2 ? 0 时,? ? 90 ; 直线 l1 到 l 2 的角 ? 与 l1 和 l 2 的夹角 ? :? ? ? (? ?

?
2

)

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或 ? ? ? ? ? (? ?

?
2

);

距离问题
1.平面上两点间的距离公式 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) 则 2.点到直线距离公式 点 P ( x 0 , y 0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离为: d ? 3.两平行线间的距离公式 已知两条平行线直线 l1 和 l 2 的一般式方程为 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 ,

P 1P 2 ? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )

Ax0 ? By 0 ? C A2 ? B 2

l 2 : Ax ? By ? C 2 ? 0 ,则 l1 与 l 2 的距离为 d ?

C1 ? C 2 A2 ? B 2

4.直线系方程:若两条直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l 2 : A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0 有交点,则过 l1 与 l 2 交点的 直线系方程为 ( A1 x ? B1 y ? C1 ) + ? ( A2 x ? B2 y ? C 2 ) ? 0 或

( A2 x ? B2 y ? C 2 ) + ? ( A1 x ? B1 y ? C1 ) ? 0 (λ 为常数)

对称问题
x ?x ? x? 1 2 ? ? 2 1.中点坐标公式:已知点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 A, B 中点 H ( x, y) 的坐标公式为 ? ? y ? y1 ? y 2 ? 2 ?
点 P( x0 , y0 ) 关于 A(a, b) 的对称点为 Q(2a ? x0 ,2b ? y0 ) ,直线关于点对称问题可以化为点关于点对称问 题。 2.轴 对 称 : 点 P ( a, b) 关 于 直 线 Ax ? By ? c ? 0( B ? 0) 的 对 称 点 为 P' (m, n) , 则 有

A ? n-b ? (? ) ? ?1 ? ?m - a B ,直线关于直线对称问题可转化 为点关于直线对称问题。 ? a ? m b ? n ?A? ? B? ?C ? 0 ? 2 2 ?
(1)中心对称: ①点关于点的对称:

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该点是两个对称点的中点, 用中点坐标公式求解, 点 A(a, b) 关于 C (c, d ) 的对称点 (2c ? a,2d ? b) ②直线关于点的对称: Ⅰ、在已知直线上取两点,利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标,再由两点式求出 直线方程; Ⅱ、求出一个对称点,在利用 l1 // l 2 由点斜式得出直线方程; Ⅲ、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。 如:求与已知直线 l1 : 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 关于点 P(1,?1) 对称的直线 l 2 的方程。 ①点关于直线对称: Ⅰ、点与对称点的中点在已知直线上,点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。 Ⅱ、求出过该点与已知直线垂直的直线方程,然后解方程组求出直线的交点,在利用中点坐标公式求解。 如:求点 A(?3,5) 关于直线 l : 3x ? 4 y ? 4 ? 0 对称的坐标。 ②直线关于直线对称: (设 a , b 关于 l 对称) Ⅰ、若 a , b 相交,则 a 到 l 的角等于 b 到 l 的角;若 a // l ,则 b // l ,且 a , b 与 l 的距离相等。 Ⅱ、求出 a 上两个点 A, B 关于 l 的对称点,在由两点式求出直线的方程。 Ⅲ、设 P ( x, y ) 为所求直线直线上的任意一点,则 P 关于 l 的对称点 P' 的坐标适合 a 的方程。 如:求直线 a : 2 x ? y ? 4 ? 0 关于 l : 3x ? 4 y ? 1 ? 0 对称的直线 b 的方程。

能力提升
例 1.点 P(2,1) 到直线 m x ? y ? 3 ? 0(m ? R) 的最大距离为

例 2.已知点 A(3,1) ,在直线 y ? x 和 y ? 0 上各找一点 M 和 N ,使 ?AMN 的周长最短,并求出周长。

线性规划问题: (1)设点 P( x0 , y0 ) 和直线 l : Ax ? By ? C ? 0 , ①若点 P 在直线 l 上,则 Ax0 ? By0 ? C ? 0 ;②若点 P 在直线 l 的上方,则 B( Ax0 ? By0 ? C ) ? 0 ; ③若点 P 在直线 l 的下方,则 B( Ax0 ? By0 ? C ) ? 0 ; (2)二元一次不等式表示平面区域:
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对于任意的二元一次不等式 Ax ? By ? C ? 0(? 0) , ①当 B ? 0 时,则 Ax ? By ? C ? 0 表示直线 l : Ax ? By ? C ? 0 上方的区域;

Ax ? By ? C ? 0 表示直线 l : Ax ? By ? C ? 0 下方的区域;
②当 B ? 0 时,则 Ax ? By ? C ? 0 表示直线 l : Ax ? By ? C ? 0 下方的区域;

Ax ? By ? C ? 0 表示直线 l : Ax ? By ? C ? 0 上方的区域;
注意:通常情况下将原点 (0,0) 代入直线 Ax ? By ? C 中,根据 ? 0 或 ? 0 来表示二元一次不等式表示平面 区域。 (3)线性规划: 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题。 满足线性约束条件的解 ( x, y ) 叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域。生产实际中有许多 问题都可以归结为线性规划问题。 注意:①当 B ? 0 时,将直线 Ax ? By ? 0 向上平移,则 z ? Ax ? By 的值越来越大; 直线 Ax ? By ? 0 向下平移,则 z ? Ax ? By 的值越来越小; ②当 B ? 0 时,将直线 Ax ? By ? 0 向上平移,则 z ? Ax ? By 的值越来越小; 直线 Ax ? By ? 0 向下平移,则 z ? Ax ? By 的值越来越大; 如:在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括周界) ,目标函数 y

z ? x ? ay 取得最小值的最优解有无数个,则 a 为
(1)设点 P( x0 , y0 ) 和直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,

; O A(1,1)

C(4,2) B(5,1) x

①若点 P 在直线 l 上,则 Ax0 ? By0 ? C ? 0 ;②若点 P 在直线 l 的上方, 则 B( Ax0 ? By0 ? C ) ? 0 ; ③若点 P 在直线 l 的下方,则 B( Ax0 ? By0 ? C ) ? 0 ; (2)二元一次不等式表示平面区域: 对于任意的二元一次不等式 Ax ? By ? C ? 0(? 0) , ①当 B ? 0 时,则 Ax ? By ? C ? 0 表示直线 l : Ax ? By ? C ? 0 上方的区域;

Ax ? By ? C ? 0 表示直线 l : Ax ? By ? C ? 0 下方的区域;
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细节决定成败,规范铸就辉煌。

②当 B ? 0 时,则 Ax ? By ? C ? 0 表示直线 l : Ax ? By ? C ? 0 下方的区域;

Ax ? By ? C ? 0 表示直线 l : Ax ? By ? C ? 0 上方的区域;
注意:通常情况下将原点 (0,0) 代入直线 Ax ? By ? C 中,根据 ? 0 或 ? 0 来表示二元一次不等式表示平面 区域。 (3)线性规划: 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题。 满足线性约束条件的解 ( x, y ) 叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域。生产实际中有许多 问题都可以归结为线性规划问题。 注意:①当 B ? 0 时,将直线 Ax ? By ? 0 向上平移,则 z ? Ax ? By 的值越来越大; 直线 Ax ? By ? 0 向下平移,则 z ? Ax ? By 的值越来越小; ②当 B ? 0 时,将直线 Ax ? By ? 0 向上平移,则 z ? Ax ? By 的值越来越小; 直线 Ax ? By ? 0 向下平移,则 z ? Ax ? By 的值越来越大; 如:在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括周界) ,目标函数 y

z ? x ? ay 取得最小值的最优解有无数个,则 a 为

; O A(1,1)

C(4,2) B(5,1) x

圆与方程
2.1 圆的标准方程: ( x ? a) ?( y ? b) ?r 圆心 C ( a , b ) ,半径 r 特例:圆心在坐标原点,半径为 r 的圆的方程是: x 2.2 点与圆的位置关系: 1. 设点到圆心的距离为 d,圆半径为 r: (1)点在圆上 d=r;(2)点在圆外 d>r;(3)点在圆内 d< r.
2
2 2 2

? y 2 ?r 2 .

2.给定点 M ( x 0 , y 0 ) 及圆 C : ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?r 2 . ① M 在圆 C 内 ? ( x0 ?a)2 ?( y 0 ?b)2 ?r 2 ③ M 在圆 C 外 ? ( x0 ?a)2 ?( y 0 ?b)2 ?r 2
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(x 0 ?a) 2 ?( y 0 ?b) 2 ?r 2 ② M 在圆 C 上 ?

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2.3 圆的一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 .
D 2 ? E 2 ?4F ? D E? 当 D 2 ? E 2 ?4 F ? 0 时,方程表示一个圆,其中圆心 C? ? ,? ? ,半径 r ? . 2? 2 ? 2 ? D E? 当 D 2 ? E 2 ?4 F ? 0 时,方程表示一个点 ? ? ,? ? . ? 2 2?

当 D 2 ? E 2 ?4 F ? 0 时,方程无图形(称虚圆). 注: (1)方程 Ax2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示圆的充要条件是: B ? 0 且 A ? C ? 0 且 D 2 ? E 2 ?4 AF ? 0 . 圆的直径系方程:已知 AB 是圆的直径
A( x1 , y 1 ) B( x 2 , y 2 ) ? ( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? ( y ? y 1 )( y ? y 2 ) ? 0

2.4 直线与圆的位置关系: 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种,d 是圆 心到直线的距离,( d ?

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

(1) d

? r ? 相离 ? ? ? 0 ;(2) d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ;

(3) d ? r ? 相交 ? ? ? 0 2.5 两圆的位置关系 设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d 。 (1) d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线; (2) d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线; (3) r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线; (4) d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线; (5) 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线;

外离

外切

相交

内切

内含

圆的切线方程: 1.直线与圆相切:(1)圆心到直线距离等于半径 r; (2)圆心与切点的连线与直线垂直(斜率互为负倒数) 2.圆 x 2 ? y 2 ?r 2 的斜率为 k 的切线方程是 y ? kx ? 1 ?k 2 r 过圆 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 上一点 P( x 0 , y 0 ) 的切线方 程为: x 0 x ? y 0 y ? D
x ?x 0 y ?y0 ?E ?F ? 0. 2 2

一般方程若点(x0 ,y0)在圆上,则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2.
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特别地,过圆 x 2 ? y 2 ?r 2 上一点 P( x 0 , y 0 ) 的切线方程为 x 0 x ? y 0 y ?r 2 .
? y 1 ? y 0 ? k ( x1 ? x 0 ) ? b ? y 1 ? k (a ? x 1 ) ,联立求出 k ? 切线方程. 若点(x0 ,y0)不在圆上,圆心为(a,b)则 ? ?R ? R 2 ?1 ?

L ? L? 3.圆的弦长问题:1.半弦 、半径 r、弦心距 d 构成直角三角形,满足勾股定理: ? ? ? R 2 ? d 2 2 ?2?
2、弦长公式(设而不求) :
2 AB ? (x1 ? x2) ? ( y1 ? y2 ) 2 ? ( 1 ? k 2) [( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]

2

细节决定成败,规范铸就辉煌。

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