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2012年北京市东城区高三一模文科数学含答案纯word版

2012 年北京市东城区高三数学一模试题 (文科)
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页,共 150 分。考试时长 120 分钟。 考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷(选择题 共 40 分)
一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

(1)若 a , b ? R , i 是虚数单位,且 b ? (a ? 2)i ?1 ?i ,则 a ? b 的值为

(A)1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

(2)若集合 A ? {0 , m2 } , B ? {1, 2},则“ m ? 1”是“ A ? B ? {0 ,1, 2} ”的

(A)充分不必要条件

(B)必要不充分条件

(C)充分必要条件

(D)既不充分也不必要条件

? y ? x,

(3)若点

P(x,

y)

在不等式组

? ?

y

?

?

x,

表示的平面区域内,则

z

?

2x

?

y

的最大值为

??x ? 2

(A) 0

(B) 2

(C) 4 (D) 6

(4)已知 x , y , z ?R ,若 ?1, x , y , z , ?3 成等差数列,则 x ? y ? z 的值为

(A) ?2 (B) ?4 (C) ?6 (D) ?8

(5)右图给出的是计算 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ...? 1 的值的一个程序框图,

2468

100

其中判断框内应填入的条件是

(A) i ? 50 (B) i ? 25 (C) i ? 50 (D) i ? 25

(6)已知 sin(? ? 45 ) ? ? 2 ,且 0 ? ? ? 90 ,则 cos? 的值为 10

(A) 5 13

(B) 12 13

(C) 3 5

(D) 4 5

(7)已知函数 f (x) ? (x ? a)(x ? b) ( 其中 a ? b) 的图象如右图所示,则函数 g(x) ? ax ? b 的

图象大致为

(A)

(B)

(C)

(D)

(8)设集合

A

?

[0,

1) 2

,B

?

[1 2

,1]

,函数

f

(x)

?

? ?

x?

1,

?2

??2(1? x),

x ? A, 若 x0 ? A ,且 f [ f (x0 )]? A , 则 x ? B.

x0 的取值范围是 (A)( 0, 1 ]
4

(B) ( 1 , 1 ] 42

(C)( 1 , 1 ) 42

(D) [0, 3 ] 8

第Ⅱ卷(共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 1
(9)已知一个四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积是 . 2
主视图

(10)

命题“

?x0

?

(0,

? 2

),

tan

x0

? sin x0 ”的否定是

.

2

1
2
左视图

(11) 在如图所示的茎叶图中,乙组数据的中位数是 ; 若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数 后,两组数据的平均数中较大的一组是 组.

俯视图





079

54551844647

193

(12)双曲线 x2 ? y2 ? 2 的离心率为 ;若抛物线 y2 ? ax 的焦点恰好为该双曲线的右焦点,则 a 的值
为.

(13)已知△ ABC 中, AD ? BC 于 D , AD ? BD ? 2 , CD ? 1,则 AB ? AC ? ___.

(14)

已知数列?an? ,a1

? m ,m ? N? ,an?1

?

? ?? ? ? ??

an 2 an ? 2

, 1

,

an为偶数,
若?an? 中有且只有 5 个不同的数字,
an为奇数.

则 m 的不同取值共有 个.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15)(本小题共 13 分)

已知函数 f (x) ? (sin2x ? cos2x)2 ? 2sin2 2x .

(Ⅰ)求 f (x) 的最小正周期;

(Ⅱ)若函数 y ? g(x) 的图象是由 y ? f (x) 的图象向右平移 ? 个单位长度得到的,当 x ? [ 0 , ? ]时,求

8

4

y ? g(x) 的最大值和最小值.

(16)(本小题共 13 分)
某班同学利用寒假在 5 个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查,以计算每户
的碳月排放量.若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”.若小区内有至少 75% 的
住户属于“低碳族”,则称这个小区为“低碳小区”,否则称为“非低碳小区” .已知备选的 5 个居民小区中 有三个非低碳小区,两个低碳小区. (Ⅰ)求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率;
(Ⅱ)假定选择的“非低碳小区”为小区 A ,调查显示其“低碳族”的比例为 1 ,数据如图 1 所示,经过 2
同学们的大力宣传,三个月后,又进行了一次调查,数据如图 2 所示,问这时小区 A 是否达到“低
碳小区”的标准?

频率 组距

频率 组距

0.30

0.46

0.25

0.20

0.15 0.05
O

12 3 图1

0.23

0.14 0.10 0.07

4 5 6 月排放量

O 123

(百千克/户

户)

图2

45

月排放量 (百千克/户 户)

(17)(本小题共 14 分)
如图1,在边长为 3 的正三角形 ABC 中, E , F , P 分别为 AB , AC , BC 上的点,且满足 AE ? FC ? CP ?1.将△ AEF 沿 EF 折起到△ A1EF 的位置,使平面 A1EF ? 平面 EFB ,连结 A1B ,A1P . (如图 2 ) (Ⅰ)若 Q 为 A1B 中点,求证: PQ ∥平面 A1EF ; (Ⅱ)求证: A1E ? EP .

A E
F

B

P

C

图1

A1
QE
B
图2

F

P

C

(18)(本小题共 13 分)
已知 x ? 1是函数 f (x) ? (ax ? 2)ex 的一个极值点. ( a ?R ) (Ⅰ)求 a 的值;
(Ⅱ)当 x1 , x2 ??0, 2?时,证明: f (x1) ? f (x2 ) ? e .

(19)(本小题共 13 分)

已知椭圆 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

? 0) 过点 ?0,1? ,且离心率为

3. 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ) A1, A2 为椭圆 C 的左、右顶点,直线 l : x ? 2 2 与 x 轴交于点 D ,点 P 是椭圆 C 上异于 A1, A2 的

动点,直线 A1P, A2P 分别交直线 l 于 E, F 两点.证明: DE ? DF 恒为定值.

(20)(本小题共 14 分)
? ? 对于函数 f (x) ,若 f (x0 ) ? x0 ,则称 x0 为 f (x) 的“不动点”;若 f f (x0) ? x0 ,则称 x0 为 f (x)
? ? 的“稳定点”.函数 f (x) 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为 A 和 B ,即 A ? x f (x) ? x ,
B ? ?x f ? f (x)? ? x? .
(Ⅰ)设函数 f (x) ? 3x ? 4 ,求集合 A 和 B ; (Ⅱ)求证: A ? B ; (Ⅲ)设函数 f (x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) ,且 A ? ? ,求证: B ? ? .

北京市东城区 2011-2012 学年第二学期综合练习(一)

高三数学参考答案及评分标准 (文科)

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)

(1)D

(2)A

(3)D

(5)B

(6)D

(7)A

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)

(4)C (8)C

(9) 4 3

(10) ?x ? (0, ?), tan x ? sin x 2

(11)84 乙

(12) 2 8

(13) 2

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分)

(15)(共 13 分)

(14) 8

解:(Ⅰ)因为 f (x) ? (sin 2x ? cos 2x)2 ? 2sin2 2x

? sin 4x ? cos 4x

? 2 sin(4x ? ?) , 4
所以函数 f (x) 的最小正周期为 ? . 2
(Ⅱ)依题意, y ? g(x) ? 2 sin [ 4(x ? ?) ? ? ] 84

? 2 sin(4x ? ?) . 4

因为 0 ? x ? ? ,所以 ? ? ? 4x ? ? ? 3? .

4

4

44

当 4x ? ? ? ? ,即 x ? 3? 时, g(x) 取最大值 2 ;

42

16

当 4x ? ? ? ? ? ,即 x ? 0 时, g(x) 取最小值 ?1. 44

(16)(共 13 分)

…………6 分 …………8 分
…………10 分 …………11 分
…………13 分

解:(Ⅰ)设三个“非低碳小区”为 A, B, C ,两个“低碳小区”为 m, n,

…………2 分

用 (x, y) 表示选定的两个小区, x, y ??A, B,C, m, n?,

则从 5 个小区中任选两个小区,所有可能的结果有 10 个,它们是 ( A, B) , (A,C) , (A, m) ,

( A, n) , (B,C) , (B, m) , (B, n) , (C, m) , (C, n) , (m, n) .

…………5 分

用 D 表示:“选出的两个小区恰有一个为非低碳小区”这一事件,则 D 中的结果有 6 个,它们

是: (A, m) , ( A, n) , (B, m) , (B, n) , (C, m) , (C, n) .

…………7 分

故所求概率为 P(D) ? 6 ? 3 . 10 5
(II)由图 1 可知月碳排放量不超过 300 千克的成为“低碳族”.

…………8 分 …………10 分

由图 2 可知,三个月后的低碳族的比例为 0.07 ? 0.23? 0.46 ? 0.76 ? 0.75 ,…………12 分

所以三个月后小区 A 达到了“低碳小区”标准.

…………13 分

(17)(共 14 分)

证明:(Ⅰ)取 A1E 中点 M ,连结 QM , MF .

在△ A1BE 中, Q, M 分别为 A1B, A1E 的中点,

所以 QM ∥ BE ,且 QM ? 1 BE . 2
因为 CF ? CP ? 1 , FA PB 2

所以 PF ∥ BE ,且 PF ? 1 BE ,

2

B

所以 QM ∥ PF ,且 QM ? PF .

所以四边形 PQMF 为平行四边形.

A1 M Q E

所以 PQ ∥ FM .

又因为 FM ? 平面 A1EF ,且 PQ ? 平面 A1EF ,
所以 PQ ∥平面 A1EF . (Ⅱ) 取 BE 中点 D ,连结 DF .
因为 AE ? CF ?1, DE ?1,

所以 AF ? AD ? 2 ,而 ?A ? 60 ,即△ ADF 是正三角形.

又因为 AE ? ED ?1, 所以 EF ? AD .

所以在图 2 中有 A1E ? EF .

…………9 分

因为平面 A1EF ? 平面 EFB ,平面 A1EF 平面 EFB ? EF ,

F

P

C

…………5 分

…………7 分

A

E

D

F

B

P

C

所以 A1E ⊥平面 BEF .
又 EP ?平面 BEF , 所以 A1E ⊥ EP .
(18)(共 13 分)

…………12 分 …………14 分

(Ⅰ)解: f '(x) ? (ax ? a ? 2)ex ,

…………2 分

由已知得 f '(1) ? 0 ,解得 a ? 1 .

…………4 分

当 a ?1时, f (x) ? (x ? 2)ex ,在 x ?1处取得极小值.

所以 a ?1.

…………5 分

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知, f (x) ? (x ? 2)ex , f '(x) ? (x ?1)ex .

当 x ? ?0,1?时, f '(x) ? (x ?1)e x ? 0 , f (x) 在区间?0,1? 单调递减;

当 x ??1, 2?时, f '(x) ? (x ?1)ex ? 0 , f (x) 在区间 ?1, 2? 单调递增. …………8 分

所以在区间?0, 2? 上, f (x) 的最小值为 f (1) ? ?e ,

又 f (0) ? ?2 , f (2) ? 0,

所以在区间?0, 2? 上, f (x) 的最大值为 f (2) ? 0.

…………12 分

? ? 对于 x1, x2 ? 0, 2 ,有 f (x1) ? f (x2 ) ? fmax (x) ? fmin (x) .

所以 f (x1) ? f (x2 ) ? 0 ? (?e) ? e .
(19)(共 13 分)

…………13 分

(Ⅰ)解:由题意可知, b ?1, c ? 3 , a2
解得 a ? 2 .

…………4 分

所以椭圆的方程为 x2 ? y2 ? 1. 4

…………5 分

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可知, A1(?2, 0) , A2 (2, 0) .设 P(x0 , y0 ) ,依题意 ?2 ? x0 ? 2 ,

于是直线

A1P

的方程为

y

?

y0 x0 ?

2

(x

?

2) ,令

x

?

2

2 ,则 y ? (2 2 ? 2) y0 . x0 ? 2

即 DE ? (2 2 ? 2) y0 . x0 ? 2

…………7 分

又直线

A2 P

的方程为

y

?

y0 (x x0 ? 2

? 2) ,令

x

?

2

2 ,则 y ? (2 2 ? 2) y0 , x0 ? 2

即 DF ? (2 2 ? 2) y0 . x0 ? 2

…………9 分

所以 DE ? DF ? (2 2 ? 2) y0 ? (2 2 ? 2) y0 ? 4 y02 ? 4 y02 ,………11 分

x0 ? 2

x0 ? 2 x02 ? 4 4 ? x02



P(x0 ,

y0 ) 在

x2 4

?

y2

? 1上,所以

x02 4

?

y02

? 1 ,即 4 y02

?

4

?

x02 ,代入上式,



DE

?

DF

?

4 ? x02 4 ? x02

? 1,所以| DE | ?| DF | 为定值1.

(20)(共 14 分)

…………13 分

(Ⅰ)解:由 f (x) ? x ,得 3x ? 4 ? x ,解得 x ? ?2 ;

…………1 分

由 f ? f (x)? ? x ,得 3(3x ? 4) ? 4 ? x ,解得 x ? ?2 .

…………3 分

所以集合 A ? ??2? , B ? ??2? .
(Ⅱ)证明:若 A ? ? ,则 A ? B 显然成立; 若 A ? ? ,设 t 为 A 中任意一个元素,则有 f (t) ? t ,

…………4 分

所以 f ? f (t)? ? f (t) ? t ,故 t ?B ,所以 A ? B .

…………8 分

(Ⅲ)证明:由 A ? ? ,得方程 ax2 ? bx ? c ? x 无实数解, 则 ? ? (b ?1)2 ? 4ac ? 0 .

…………10 分

① 当 a ? 0 时,二次函数 y ? f (x) ? x (即 y ? ax2 ? (b ?1)x ? c )的图象在 x 轴的上方,

所以任意 x ?R , f (x) ? x ? 0 恒成立,

即对于任意 x ?R , f (x) ? x 恒成立,

对于实数 f (x) ,则有 f ? f (x)? ? f (x) 成立,

所以对于任意 x ?R , f ? f (x)? ? f (x) ? x 恒成立,则 B ? ? .

…………12 分

②当 a ? 0 时,二次函数 y ? f (x) ? x (即 y ? ax2 ? (b ?1)x ? c )的图象在 x 轴的下方,

所以任意 x ?R , f (x) ? x ? 0 恒成立,

即对于任意 x ?R , f (x) ? x 恒成立,

对于实数 f (x) ,则有 f ? f (x)? ? f (x) 成立, 所以对于任意 x ?R , f ? f (x)? ? f (x) ? x 恒成立,则 B ? ? .

综上,对于函数 f (x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) ,当 A ? ? 时, B ? ? . …………14 分