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2014—2015学年第二学期赣州市十二县(市)期中联考高二文科数学试卷(含答案)


2014—2015 学年第二学期赣州市十二县(市)期中联考 高二文科数学试卷
命题学校:赣州一中 赣县中学

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项

是符合题目要求的) i?2 1.已知复数 z ? ,则 z 为( ) 1? i 1 3 1 3 1 3 ? i A. ? i B. ? ? i C. 2 2 2 2 2 2 2.已知程序框如下图,则输出的 i 的值是( A.12 B.11 C.10

D. ? ) D.9


1 3 ? i 2 2

开始

S ?1

i ?3

S ? 100?


S ? S *i

i ?i?2

输出 i

结束

3.下列说法正确的是( ) 2 A.命题“若 x ? 1, 则x ? 1”的否命题为: “ 若x 2 ? 1, 则x ? 1 ” B.命题“ 若x ?| y |, 则x ? y ”的逆命题为真. C.命题“存在 x ? R, 使得x 2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是: “ 对任意x ? R, 均有x2 ? x ? 1 ? 0 ” D.命题“ 若x ? y, 则sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题 ? 4.根据如下样本数据得到的回归方程为 y ? bx ? a ,则( ) x 3 4 5 6 7 y 4.0 2.5 ?0.5 0.5 ?2.0 A. a ? 0, b ? 0 B. a ? 0, b ? 0 C. a ? 0, b ? 0 D. a ? 0, b ? 0 5.不等式 | x ? log2 x |?| x | ? | log2 x | 的解集为( ) A. ? 0, ??? B. ?1, ?? ? C. ? 0,1? D. R

8 ?3.0

6.曲线 y ? xe x ? 2 x ? 1 在点(0,1)处的切线方程为( ) A. y ? 3x ? 1 B. y ? 3x ? 1 C. y ? 2 x ? 1 D. y ? 2 x ? 1 2 7.已知 p :| 2 x ? 3 |? 1 , q : log2 ( x ? x ? 5) ? 0 ,则 ? p 是 ? q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3 8.函数 f ( x) ? x ? 3bx ? 3b在(0,1) 内有极小值,则实数 b 的取值范围为( 1 A. b ? 0 B. 0 ? b ? 1 C. b ? 1 D. b ? 2
期中联考高二数学(文)试卷 第 1 页 共 4 页



9.已知点 M 是抛物线 y 2 ? 4 x 上的一点, F 为抛物线的焦点, A 在圆 C : ) ( x ? 4)2 ? ( y ?1)2 ? 1 上,则 | MA | ? | MF | 的最小值为( A.3 B.4 C.5 D.6 1 x2 y2 10. 过点 M (?1,1) 作斜率为 的直线与椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A, B , 若M 是 3 a b 线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率为( ) 2 1 3 6 A. B. C. D. 3 3 3 3 11.甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“3局2胜” ,即以先赢2局者为胜.根据经 验,每局比赛中甲获胜的概率为 0.6 ,则本次比赛甲获胜的概率是( ) A. 0.648 B. 0.36 C. 0.432 D. 0.216 12.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,若 f ? x ? 的导函数 f ?( x ) 满足 f ?( x) ? x2 ? 1 ,则不等式
f ( x) ? 1 3 x ? x 的解集为( 3 ?1 ? ? 1? A. ? ,?? ? B. ?0, ? ?3 ? ? 3?

) C. (0,??) D. (??,3)

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡相应位置上) 1 9 13.设 x, y ? R ? ,且 ? ? 1 ,则 x ? y 的最小值为________ x y
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14.已知关于 x 的不等式 | x ? 1| ? | x ? 8 |? a 的解集不是空集,则实数 a 的最小值是___ 15.设斜率为

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x2 y2 2 的直线 l 与双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 交于不同的两点 P 、 Q ,若点 2 a b
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P 、 Q 在 x 轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点,则该双曲线的离心率是

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16. 过正三角形的外接圆的圆心且平行于一边的直线分正三角形两部分的面积比为
4 : 5 ,类比此性质,猜想:过正四面体的外接球的球心且平行于一个面的平面分正四面

体两部分的体积比为______. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分)已知 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 2 | , g ( x) ?| x ? 1| ? | x ? a | ?a (a ? R) . (1)求不等式 f ( x) ? 5 的解集; (2)若不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围.

期中联考高二数学(文)试卷 第 3 页 共 4 页

18. (本小题满分 12 分)某校数学老师这学期分别用 A,B 两种不同的教学方式试验高二 甲、乙两个班(人数均为 60 人,入学数学平均分数和优秀率都相同,勤奋程度和自觉 性都一样) 。现随机抽取甲、乙两班各 20 名的数学期末考试成绩,得到茎叶图: (1)学校规定:成绩不低于 85 分的为优秀,请填 写答卷里的 2 ? 2 列联表,并判断“能否在犯错误 的概率不超过 0.025 的前提下认为成绩优秀与教 学方式有关?” (2)现从甲班数学成绩不低于 80 分的同学中随机 抽取两名同学,求成绩为 86 分的同学至少有一 个被抽中的概率. 参考公式 参考数据:

?2 ?

n(ad ? bc) 2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024

其中 n ? a ? b ? c ? d

P( ? 2 ? k )
k

0.15 2.072

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

19. (本小题满分 12 分)已知 m ? R ,设命题 p : z1 ? (m ?1) ? (m ? 3)i ( i 是虚数单位) 在复平面内对应的点在第二象限,命题 q :复数 z2 ? 1 ? (m ? 2)i 的模不超过 10 . (1)当 p 为真命题时,求实数 m 的取值范围; (2)若命题“ p且q ”为假命题, “ p或q ”为真命题,求实数 m 的取值范围.

20. (本小题满分 12 分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图(1) 、 (2) 、 (3) 、 (4)是他们刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多 刺绣越漂亮;现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第 n 个图形包含 f (n) 个小正方形.

期中联考高二数学(文)试卷 第 5 页 共 4 页

(1)分别计算 f (2) ? f (1), f (3) ? f (2), f (4) ? f (3) 的值,由此归纳出 f (n ? 1)与f (n) 的关系 式.并根据你得到的关系式求出 f (n) 的表达式; (2)证明:
1 1 1 1 3 ? ? ?? ? ? . f (1) f (2) ? 1 f (3) ? 1 f ( n) ? 1 2

x2 y2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,右焦点为 2 3 a b (2 2 ,0) ,过原点 O 的直线 l 交椭圆于 A, B 两点,线段 AB 的垂直平分线交椭圆 G 于点 M . (1)求椭圆 G 的方程; 1 1 (2)判断 是否恒为定值,若是则求出这个定值;若不是则说明理由. ? 2 | OA | | OM | 2

21. (本小题满分 12 分)已知椭圆 G :

22. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x 1 ? f ( x) (1)求函数 g ( x ) ? 的单调区间; x 1 (2)证明曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? x ? 有唯一的公共点; x f (b ) ? f ( a ) b ? a (3)设 0 ? a ? b ,比较 与 的大小,并说明理由。 b?a 2

期中联考高二数学(文)试卷 第 7 页 共 4 页

2014—2015 学年第二学期赣州市十二县(市)期中联考 高二文科数学参考答案
命题学校:赣州一中 赣县中学 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 题号 答案 1 D 2 D 3 D 4 A 5 C 6 A 7 A 8 B 9 B 10 C 11 A 12 C

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡相应位置上) 27 13. 16 14. ? 9 15. 16. 2 37 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) ? x ? ?1 ?2 ? x ? ?1 17.解:(1)方法一:① ? 得 ??(1 分) ??2 x ? 1 ? 5 ??1 ? x ? 2 ?1 ? x ? 2 ??(2 分) ②? 得 ?3 ? 5 ?x ? 2 2 ? x ? 3 ??(3 分) ③? 得 ?2 x ? 1 ? 5 综上不等式解集为 ? ?2,3? ??(5 分) 方法二: f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 2 | 表示数轴上的 x 对应点到-1 和 2 对应点的距离之和,而-2 对应点到-1 和 2 对应点的距离之和正好等于 5,3 对应点到-1 和 2 对应点的距离之和正好 等于 5,故不等式 f ( x) ? 5 的解集为 ? ?2,3? . 5分 (2)若不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,即 f ( x) ? g ( x) ? 0 恒成立, 即 | x ? 2 | ? | x ? a |? a 恒成立, ???(6 分)

? | x ? 2 | ? | x ? a |?| ( x ? 2) ? ( x ? a) |?| a ? 2 | ??(8 分) ? | x ? 2 | ? | x ? a | 的最小值 | a ? 2 |? a 解得 a ? 1 故实数 a 的范围 ? ??,1? ?? 10 分
甲班 3 17 20 乙班 10 10 20 合计 13 27 40

18.解: (1) 优秀 不优秀 合计

????(2 分)

40 ? (3 ?10 ? 10 ?17) 2 ? 5.584>5.024 , ????????(5 分) 13 ? 27 ? 20 ? 20 则在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关(6 分) (2)记成绩为 86 分的同学为 A, B ,其他不低于 80 分的同学为 C , D, E , F , “从用甲班 数学成绩不得低于 80 分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件 有: ( A, B), ( A, C ), ( A, D), ( A, E ), ( A, F ), ( B, C ), ( B, D), ( B, E ), ( B, F ),

?2 ?

期中联考高二数学(文)试卷 第 9 页 共 4 页

(C , D), (C , E ), (C , F ), ( D, E ), ( D, F ), ( E , F ), 共 15 个.??????(9 分) “抽到至少一个 86 分的同学”所组成的基本事件有: ( A, B), ( A, C ), ( A, D), ( A, E ), ( A, F ), ( B, C ), ( B, D), ( B, E ), ( B, F ), 共 9 个 ???(10 分) 9 3 故所求概率 P ? ? . ?????????(12 分) 15 5 19.解: (1)因为复数 z1 ? (m ?1) ? (m ? 3)i 在复平面内对应的点在第二象限, ?m ? 1 ? 0 所以 ? 解得 ?3 ? m ? 1 ,即实数 m 的取值范围为 (?3,1) . ???? 4 分 ?m ? 3 ? 0 (2)由 q 为真命题,即复数 z2 ? 1 ? (m ? 2)i 的模不超过 10 ,

所以 12 ? (m ? 2) 2 ? 10 ,解得 ?1 ? m ? 5 .

???6 分

由命题“p 且 q”为假命题, “p 或 q”为真命题,得 p 真 q 假或 p 假 q 真??7 分 ??3 ? m ? 1 ?当 p 真 q 假时, ? 即 ?3 ? m ? ?1 ?????9 分 ?m ? ?1或m ? 5

?m ? ?3或m ? 1 ?当 p 假 q 真时, ? 即1 ? m ? 5 . ????11 分 ??1 ? m ? 5 所以 m 的取值范围为(-3,-1)∪[1,5]. ??????12 分 f (2) ? f (1) ? 4 20.解: 1 ( ) , f(3) ?f (2 ? ) ,8 f(4) ? f (3 ?) , 12 ????3 分
????5 分 由此规律的 f (n) ? f (1) ? [ f (2) ? f (1)] ? [ f (3) ? f (2)] ? ? ? [ f (n) ? f (n ?1)] ? 1 ? 4(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1) ? 2n2 ? 2n ? 1 ????7 分 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) (2)证明:当 n ? 2 时, ????9 分 f (n) ? 1 2n(n ? 1) 2 n ? 1 n 1 1 1 1 1? 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 1 ? ?(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )? f (1) f (2) ? 1 f (3) ? 1 f (n) ? 1 2? 2 2 3 n ?1 n ? 1 1 3 1 3 ? 1 ? (1 ? ) ? ? ? ???12 分 2 n 2 2n 2 c 6 21.解: (1)由题意 c ? 2 2 ,因为 e ? ? ,所以 a ? 2 3 , ??? (2 分) a 3 x2 y2 ? ?1 所以 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 4 , 所以椭圆 G 的方程为 ???( 4 分) 12 4 1 1 ? (2) 是定值 ???( 5 分) 2 | OA | | OM | 2 ?当直线 l 垂直于坐标轴时, | OA |? 2 , | OM |? 2 3 或 | OA |? 2 3 , | OM |? 2 1 1 1 1 1 ???( 6 分) ? ? ? ? ? 2 2 4 12 3 | OA | | OM | ?当直线 l 与坐标轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y ? kx (k ? 0) , A( x1 , y1 ) ??? f (n ? 1) ? f (n) ? 4n

期中联考高二数学(文)试卷 第 11 页 共 4 页

? y ? kx ? 则由 ? x 2 y 2 消元得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 12 , ???( 8 分) ? ? 1 ? ?12 4 12k 2 12(1 ? k 2 ) 12 2 2 2 2 2 2 2 y ? k x ? OA ? x ? y ? 则 x1 ? , 所以 ?( 10 分) 1 1 1 1 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 1 又 OM 是线段 AB 的垂直平分线,故方程为 y ? ? x , k 2 12(1 ? k ) 2 同理可得 OM ? ??( 11 分) k2 ?3 1 1 1 ? 3k 2 k2 ?3 4k 2 ? 4 1 ? ? ? ? ? 为定值。 ???(12 分) 从而 2 2 2 2 2 12(1 ? k ) 12(1 ? k ) 12(1 ? k ) 3 OA OM
? ln x (x ? 0 ) ???1 分 x2 +?) 时, g ?( x)<0 当 x ? (0,1) 时 g ?( x)>0 , x ? (1, 1 ? ln x +?) . 则 g ( x) ? 的增区间为 (0,1) ;减区间为 (1, ??3 分 x 1 1 (2)令 h( x) ? f ( x) ? ( x ? ) ? ln x ? x ? , ???4 分 x x 1 3 ?( x ? )2 ? 1 1 2 4 ? 0 ? h( x) 在 (0, ??) 内单调递减. ???6 分 则 h?( x) ? ? 1 ? 2 ? x x x2 又 h(1) ? ln1 ? 1 ? 1 ? 0 , 则 x ? 1 是函数 h( x) 的唯一的零点。 所以点 (1, 0) 是两曲线唯一的公共点。 ???7 分 b ?1 b ln b ? ln a b ? a 1 b a (3) ,又因为 0 ? a ? b, 所以 ? 1 ? ? ln ? a 2 b ? a 2 a b ?1 a 1 x ?1 ( x ? 1) 构造函数 ? ( x) ? ln x ? ???9 分 2 x ?1 1 x ? 1 ? ( x ? 1) 1 2 ( x ? 1)2 ? ?( x) ? ? ? ? ? ?0 2x ( x ? 1)2 2 x ( x ? 1)2 2 x( x ? 1) 2 ???10 分 ? ? ( x) 在 (1, ??) 内单调递增 1 x ?1 又当 x ? 1 时, ? (1) ? 0 ? x ? 1 时, ? ( x) ? 0 即 ln x ? 2 x ?1 b ?1 ln b ? ln a b ? a f (b) ? f (a) b ? a 1 b a ? ? 则有 ln ? 成立。即 即 ???12 分 2 b?a 2 b?a 2 a b ?1 a

22.(1)解: g ?( x) ?

期中联考高二数学(文)试卷 第 13 页 共 4 页


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