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2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第二章 第十节函数与方程 文


第十节 函数与方程 1.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存 在性及根的个数. 2.根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解. 知识梳理 一、函数的零点 1.定义:一般的,如果函数 y=f(x)在________________,即 f(a)=0,则__________ 叫做这个函数的零点. 2.函数的零点存在性定理:若函数 y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是________,并且 在______________,即__________________,则函数 y=f(x)在________________,即相应 的方程 f(x)=0 在区间(a,b)内至少有一个实数根. 3.函数的零点具有下列性质:当它________(不是偶次零点)时函数值________,相邻 两个零点之间的所有函数值保持同号. 二、二分法 1.定义:对于区间[a,b]上图象连续不断的,且 f(a)·f(b)<0 的函数 y=f(x),通过不断 地把函数的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点, 从而得到零点近似 值的方法,叫做二分法. 2.用二分法求函数零点的近似值的步骤. 第一步:________________________________________ 第二步:________________________________________ 第三步:________________________________________ (1)若_________,则 x1 就是函数 f(x)的零点; (2)若________________,则令 b=x1[此时零点x0∈?a,x1?]; (3)若________________,则令 a=x1[此时零点x0∈?x1,b?]. 第四步:判断是否达到精确度 ε,即若________,则得到零点近似值 a(或 b).否则,重 复第二、三、四步. 注意:(1)在二分法求方程解的步骤中,初始区间可以选的不同,不影响最终计算结果, 第 1 页 共 5 页 所选的初始区间的长度尽可能短,但也要便于计算; (2)二分法的条件 f(a)· f(b)<0 表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点. 三、一元二次方程根的分布问题 关键是抓住方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根所在区间端点的函数值的符号、判别式及对 称轴的位置这三点来考虑. 二次方程 f(x)=ax2+bx+c=0 的实根分布及条件: (1)方程 f(x)=0 的两根中一根比 r 大,另一根比 r 小?a· f(r)<0; ? ? b (2)二次方程 f(x)=0 的两根都大于 r??-2a>r, ? ?a· f?r?>0; Δ=b2-4ac>0, ? ?p<-2ba<q, (3)二次方程 f(x)=0 在区间(p,q)内有两根?? a· f?q?>0, ? ? a· f?p?>0; Δ=b2-4ac>0, (4)二次方程 f(x)=0 在区间(p,q)内只有一根?f(p)· f(q)<0 或 f(p)=0 或 f(q)=0,检验另 一根在(p,q)内成立. 一、1.实数 a 处的值等于零 a 2.连续不间断的 区间端点的函数值符号相反 f(a)· f(b)<0 区间(a,b)内至少有一个零 点 3.通过零点 变号 二、2.确定区间[a,b],验证 f(a)· f(b)<0,给定精确度 ε 求区间 (a,b)的中点 x1 计算 f(x1) (1)f(x1)=0 (2)f(a)·

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